2021-2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編九：三角函數(shù)選擇題

專題09三角函數(shù)（選擇題）

近三年高考真題

1.（2023?全國）已知函數(shù)/（x）=sin（2萬x-（）,則（）

A.（_』,工）上單調(diào)遞增B.（-4,』）上單調(diào)遞增

2020510

C.得令上單調(diào)遞減D.舄,多上單調(diào)遞增

【答案】A

jr

［解析1f（x）=sin（2^x一―）,

——+2k7r^$,7rx———+2k/r,A:GZ,解得一--+k^c—+k?keZ、

2522020

37

=4=0時(shí)，---軟k—?

2020

故/（X）在（-4，臺(tái)上單調(diào)遞增.

故選：A.

2.（2022?天津）已知f（x）=gsin2x,關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說法：

①/（x）的最小正周期為2萬；

②/（X）在［-工，工］上單調(diào)遞增;

44

③當(dāng)?時(shí),"X）的取值范圍為g,務(wù)

④/（x）的圖象可由g（x）=；sin（2x+?）的圖象向左平移C個(gè)單位長度得到.

以上四個(gè)說法中，正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】對(duì)于〃x）=gsin2x,它的最小正周期為夸="，故①錯(cuò)誤；

在［-?,?］,2xe［-py］,函數(shù)/（x）單調(diào)遞增，故②正確;

當(dāng)xe[—2,芻時(shí)，2xe[-仝，—],f(x)的取值范圍為[-包，,故③錯(cuò)誤；

633342

./-(X)的圖象可由g(x)=1sin(2x+?)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到，故④錯(cuò)誤，

故選：A.

3.(2021?北京)函數(shù)/■。)=8$X-(:(?2》是()

A.奇函數(shù)，且最大值為2B.偶函數(shù)，且最大值為2

c.奇函數(shù)，且最大值為2D.偶函數(shù)，且最大值為2

88

【答案】D

【解析】El/(x)=cosx-cos2x=cosx-(2cos2x-1)=-2cos2X4-cos+1,

因?yàn)?(一x)=-2cos2(-x)+cos(-x)+1=-2cos2x+cosx+l=f(x),

故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，

令/KOSX,則/￡[-1,1],

故/⑺=-2/+/+1是開口向下的二次函數(shù)，

2

所以當(dāng)，二一一—=工時(shí)，/⑺取得最大值/(1)=-2X(1)+1+I=2,

2x(-2)44448

故函數(shù)的最大值為2.

8

Q

綜上所述，函數(shù)/0)是偶函數(shù)，有最大值

8

故選：D.

4.(2022?北京)已知函數(shù)f(x)=cos2x-sin2”,則()

A./0)在(一三，-巳)上單調(diào)遞減

26

B./(幻在(_?,芻上單調(diào)遞增

C.f(x)在(0,勺上單調(diào)遞減

D."X)在卷)上單調(diào)遞增

【答案】C

【解析】/(x)=cos2x-sin2x=cos2x,周期7=萬，

“⑶的單調(diào)遞減區(qū)間為叱畀㈤加Z),單調(diào)遞增區(qū)間峭+"…W),

對(duì)于A,在（-1，-$上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于8,f（x）在呼，0）上單調(diào)遞增，在（06）上單調(diào)遞減，故8錯(cuò)誤，

對(duì)于C,在（0,?）上單調(diào)遞減，故C正確，

對(duì)于。，/⑶在《，夕上單調(diào)遞減，在《，*上單調(diào)遞增，故O錯(cuò)誤,

故選：C.

5.（2021?新高考I）下列區(qū)間中，函數(shù)/（x）=7sin（x-生）單調(diào)遞增的區(qū)間是（）

6

7TY，2兀）

B.住,左）C.U,y)

【答案】A

【解析】令一2+24右瓢—工-+2^,keZ.

262

則一匹+2%技改—+2%乃，keZ.

33

當(dāng)攵=0時(shí)，xe[--,—],

33

（0,今旦g爭,

故選：A.

6.（2021?乙卷（文））函數(shù),f（x）=sing+cos]的最小正周期和最大值分別是（）

A.3萬和&B.3萬和2C.6乃和友D.6萬和2

【答案】C

【解析】/(x)=sin.1+cos^=V2sin(^+.^),

7=竿=6萬.

3

當(dāng)sin（j+,=1時(shí)，函數(shù)/（x）取得最大值四；

函數(shù)/（幻的周期為6乃，最大值0.

故選：C.

?TT

7.（多選題）（2022?新局考H）已知函數(shù)/（x）=sin（2x+e）（0<e<i）的圖像關(guān)于點(diǎn)（3-，0）中心對(duì)稱，則（

A./（x）在區(qū)間（0,三）單調(diào)遞減

B.f（x）在區(qū)間（后，巖）有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.直線》=衛(wèi)是曲線y=f（x）的對(duì)稱軸

6

D.直線y=*-x是曲線y=f（x）的切線

【答案】AD

DTT

【解析】因?yàn)?。）=§皿2%+夕）（0<0<乃）的圖象關(guān)于點(diǎn)（彳，0）對(duì)稱,

27r

所以2x-^-+e=A〃，左cZ,

所以°一J,

因?yàn)?<夕<乃,

所以e=空

故f(x)=sin(2x+等),

^-<2x+—<—,<x<—,

2321212

故/（x）在（0,葛）單調(diào)遞減，A正確；

/n11萬、2萬,乃5乃、

XG（---，----），2.X+G（一,），

1212322

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，故函數(shù)〃x）在區(qū)間（-卷，詈）只有一個(gè)極值點(diǎn)，故8錯(cuò)誤;

令2x+生=上左+巴，kwZ,Wx=—,keZ,C顯然錯(cuò)誤；

32212

24

/（x）=sin（2x+-）,

）77*

求導(dǎo)可得，f{x}=2cos（2x4--）,

2左1TT

令/'（x）=—l，即COS（2x+-y）=—耳，解得X=A4或X=]+A7T（k￡Z），

故函數(shù)y=/（x）在點(diǎn)（0號(hào)處的切線斜率為k=y'Lo=2cos,=-1,

故切線方程為y-等=-(x-0),即丫=-》+手，故。正確.

直線y=2^—x顯然與y=sin(2x+,)相切，故直線y=*-X顯然是曲線的切線，故。正確.

故選：AD.

8.(2023?上海)已知awR,記'=%*在［a,2川的最小值為s“，在［加，3a］的最小值為小則下列情

況不可能的是()

A.>0,ta>0B.sa<0,ta<0C.sa>0>ta<0D.%<0，t?>Q

【答案】D

【解析】由給定區(qū)間可知，?>().

區(qū)間［a,2a］與區(qū)間［2a,3a］相鄰，且區(qū)間長度相同.

兀5兀/京

2

取4=工,則［a,2a］=區(qū)間［2a,3a］=可知s4>0,ta>0,故A可能;

66332

取a=^|,則3，2a］=l1y,區(qū)間［2a,3a］=［^,可知s.>0,ta<0,故C可能；

取。=包，則［a,2a］=L—,—］,區(qū)間［2a,3?J=［—,—］,可知、<(),/?<(),故3可能.

66332

結(jié)合選項(xiàng)可得，不可能的是、<0,%>().

故選：。.

9.(2021?浙江)已知a,0,7是互不相同的銳角，則在sinacos￡,sin/?cos/,sinycosa三個(gè)值中,

大于3的個(gè)數(shù)的最大值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】由基本不等式可得：sinacosA，靖a;cos,6,sin/cos八,二汽溫/,

si.n-2z+cos2-a

sin/cos

三式相加，可得：sinacos/+sin尸cosy+sinycosa,,一,

很明顯sinacos/?,sincos/,sin/cosa不可能均大于一.

取a=30。，/7=60°,y=45°,

貝ijsinacos尸=：vg,sin0cosy=^->g,sinycosa=,

則三式中大于1的個(gè)數(shù)的最大值為2,

2

故選：C.

10.(2021?乙卷(文))把函數(shù)y=f(x)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的;倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得

曲線向右平移(個(gè)單位長度，得到函數(shù)…訪(》-個(gè)的圖像，則/(?=()

A.sin(---)B.sin(—+—)C.sin(2x--)D.sin(2x+—)

2122121212

【答案】B

【解析】一把函數(shù)y=f(x)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的工倍，縱坐標(biāo)不變，

再把所得曲線向右平移?個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=sin(x一7)的圖像，

把函數(shù)y=sin(x-2)的圖像，向左平移。個(gè)單位長度，

得到y(tǒng)=sin(x+q-7)=sin(x+的圖像；

再把圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，

可得f(x)=singx+自的圖像.

故選：B.

11.(2023?甲卷)已知f(x)為函數(shù)y=cos(2x+*向左平移奈個(gè)單位所得函數(shù)，則y=/(x)與y=—g的

交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】把函數(shù)y=cos(2x+\)向

左平移三個(gè)單位可得

6

函數(shù)/(x)=cos(2x+耳)=一sin2x的圖象，

而直線y=2x—1=1(x-l)經(jīng)過點(diǎn)(1,0),且斜率為工，

2222

且直線還經(jīng)過點(diǎn)（羊，3^）、

7T4+4

（---，------），

48

0＜亡＜1,

8

一＜平＜0,如圖,

故卜=/（X）與y=的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

12.（2022?浙江）為了得到函數(shù)y=2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y=2sin（3x+$圖象上所有的點(diǎn)（）

A.向左平移工個(gè)單位長度B.向右平移三個(gè)單位長度

55

C.向左平移土個(gè)單位長度I）.向右平移三個(gè)單位長度

1515

【答案】D

【解析】把y=2sin（3x+]）圖象上所有的點(diǎn)向右平移1個(gè)單位可得y=2sin[3（x-&+m=2sin3x的圖象.

故選：D.

13.（2023?乙卷）己知函數(shù)/（幻=加（5+9）在區(qū)間（生，2）單調(diào)遞增，直線犬=三和》=主為函數(shù)＞=/。）

6363

的圖像的兩條對(duì)稱軸，則/（--）=（）

A.B.--C.-D.2

2222

【答案】D

【解析】根據(jù)題意可知工=紅-工=工，

2362

；.T=7T,取69>0,CD=――=2,

T

又根據(jù)“五點(diǎn)法”可得2x?+9=g+2gkwZ,

57r

(p-----F2k冗,keZ、

6

57r、冗

f(x)=sin(2x----F2ATT)=sin(2x-----)，

66

，/54、..5萬5萬、./5冗、.7VV3

/(---)=sin(—----)=sin(-—)=sm-=—.

12oo332

故選：。.

14.(2023?天津)已知函數(shù)/。)的一條對(duì)稱軸為直線x=2,一個(gè)周期為4,則/(幻的解析式可能為(

)

A.sin(—x)B.cos(—A:)C.sin(—x)D.cos(—x)

2244

【答案】B

【解析】A：若/(x)=singx),則丁=子=4,

2

令￥]=2+攵4，kcZ,則％=1+2左，kcZ,顯然x=2不是對(duì)稱軸，不符合題意；

22

B：若f(x)=cos(gx),則T=?=4,

2

TT

令一x=k兀，keZ、貝ljx=2〃，keZ、

2

故x=2是一條對(duì)稱軸，B符合題意；

C:/(x)=sin(—x),JjjlJT=—=8,不符合題意;

4n

4

D:f(x)=cos(—x),則7="=8，不符合題意.

44

4

故選：B.

15.（2022?新高考I）記函數(shù)r（x）=sin（5+工）+以口>0）的最小正周期為T.若」~<T<兀，且y=/（x）的

43

圖像關(guān)于點(diǎn)（與，2）中心對(duì)稱，則/（$=（）

【答案】A

【解析】函數(shù)f（x）=sin（5+馬+/?3>0）的最小正周期為7,

則7=——，由——<T<冗，得——<——<71、/.2<69<3,

CD33CD

?y=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(半，2)中心對(duì)稱，「2=2,

Msin(—+—)=0,則包69+工=攵燈,k^Z.

2424

21,5

co=—(k),k^Z9取左=4,可得&=-?

342

/./(x)=sin(^x+^)+2>則/(?^)=sin('|x]+5)+2=-l+2=l.

故選：A.

16.(2023?新高考I)已知sin(c-￡)=J,cosasin^=-,貝Ucos(2a+24)=()

717

a

B----

A.9-9D.9

【答案】B

【解析】因?yàn)閟in(c-/7)=sinacos/7-sin力cosa=，,cosasin/?=—，

36

所以sinezcos/?=g,

1i2

所以sin(a+B)=sinacos/7+sin〃cosa=—+—=一,

263

4i

則cos(2a+2/3)=1-2sin2(a+^)=1-2x-=-.

99

故選：B.

17.(2023?新高考H)已知a為銳角，cosa=匕且，則sin?=()

42

A3-石D—1+V5r3—>/5八-1+石

【答案】D

【解析】cosa=t坦，

4

則cosa=1-2sin2—，

2

222

儕c.2a?3-75日n.2a3-75(75)+1-2>/5(>/5-l)

24281616

二為銳角，

.a八

sin—>0,

2

oc—1+y[s

/.sm-=----------?

24

故選：D.

18.(2022?新高考H)sin(a+/?)+cos(a+=2\[2cos(a+—)sin/7,則()

4

A.tan(a一4)=1B.tan(a+￡)=lC.tan(a-/?)=-1D.tan(a+￡)=-l

【答案】C

【解析】解法一：因?yàn)閟in(a+/?)+cos(a+/?)=2&cos(a+?)siny?,

所以&sin(a++—)=2A/2cos(a+—)sinp,

44

4TT

即sin(a+/?+W)=2cos(a+a)sin/?,

所以sin(a+—)cos〃+sincos(a4--)=2cos(a+—)sin°，

444

jr4

所以sin(a+—)cos尸一sin/?cos(a+—)=0,

44

所以sin(a+—-/?)=0,

4

TT

所以。+^-￡=攵萬，kwZ、

TT

所以二一萬=女"一1，

所以tan(a一〃)=-1.

解法二：由題意可得，sinacos/?+cosasin/?+cosacos-sincrsin=2(cosa-sina)sinP,

即sinacos[5-cosasin>0+cosacos4-sinasin/?=0，

所以sin(a—4)+cos(a-/7)=0,

故tan(a-0=-l.

故選：c.

19.（2021?新高考I）若tan，=—2,則型絲土W2=（

)

sin6/+cos0

.6

A.——B.--cD.-

55-15

【答案】C

【解析】由題音可得?sin、(1+sin29)=sinXsin20+cos2夕+2sin6>cos6>)

sin0+cos0sin8+cos0

sin0sin20+cos20+2sin6?cos0

------------------------------------------------------

sin0+cos0sirrO+cos18

tan0tanO2+2tan9+1

=----------------------------------

tan。+1tcuvO+1

_2

=-.

5

故選：C.

20.(2021?甲卷(文))若ae(0,馬，tan2c=，則tana=()

22-sina

A.叵B.75V5D.叵

C.

15533

【答案】A

徂sin2a_cosa

【解析】由tan2a=,w—

2-sincrcos2a2-sina

日n2sinacosa_cosa

1-2sin~a2-sina

aG(0,—),/.cosa^O,

2

則2sina(2-sina)=l-2sin2a，解得sina=—,

4

_______/77

則cosa=一sin2a=,

4

￡

sincr4J15

..tanoc——i——

coscr,1515

4

故選：A.

n2

21.(2021?乙卷(文))cos2COS——=()

12"12

gI)..

A.-B.C.

2322

【答案】D

27C257r

【解析】法一、cos-----cos—

1212

1萬,54

1+COS—1+COS——

66

22

11711154

一+—cos------------cos——

226226

22222

。士一2萬25萬

法一、cos-----cos—

1212

271.24

=cos~-----sin—

1212

71￡

=COS—=——

62

故選：D.

22.（2022?甲卷（理））設(shè)函數(shù)/（x）=sin（ox+至在區(qū)間（0㈤恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范

圍是（）

、「513、?中第弓，鄉(xiāng)

A.［一,—）BD.

3666

【答案】C

【解析】當(dāng)3Vo時(shí)，不能滿足在區(qū)間（0,乃）極值點(diǎn)比零點(diǎn)多，所以0>0；

函數(shù)f（x）=sin3x+g在區(qū)間（0,乃）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn),

7t.7T71、

COXH---G（一,（071H----）,

333

J7T71.

*'?-----<（D7VH—?37r，

23

拈汨138

求得--4—，

63

故選：C.

（

23.（2021?上海）已知/（x）=3sinx+2,對(duì)任意的％e[0,,，都存在x2e[0,y],使得/（占）=2fx2+，）+2

成立，則下列選項(xiàng)中，夕可能的值是（）

37r67r7乃

TB-yTD.T

【答案】B

【解析】X€10，1],

sinx,G[(),I],

/(Xj)€[2,5],

??都存在&e[0,,，使得/（%）=2/（&+。）+2成立,

3

f（x2+嘰,,o，f（x2+…萬，

1.?/(x)=3sinx+2,

?/42.1

..sin(x+9)〃加,,--，sin(zx+0\^--?

232naxo

y=sinx在xe[工，陰]上單調(diào)遞減，

22

當(dāng)。=包時(shí),

5

?*.sinC^4-0)=sin^^>sin-^=-^,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤,

業(yè)八441八「44134】

當(dāng)6=—時(shí)，西+。￡[—,——],

5-510

./八、.134.54