2022-2023學(xué)年遼寧省丹東市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2022-2023學(xué)年遼寧省丹東市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.設(shè)集合4={4,5,6,7},B={6,7,8},U=AuB,則CU(An8)中元素個數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

2.已知I甘I=遍，則正實數(shù)α=()

A.1B.√2C.√3D.2

3.設(shè)命題P：力設(shè)，命題q：["W二則P是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

4.將函數(shù)y=sin(2x+6圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，所得圖象函數(shù)式為()

A.y-sin(4x+B.y=sin(4x+^)C.y=sin(x+工)D.y=sjn(x+ξ)

5.已知等比數(shù)列{αjl}的前三項和84,a1-a4=42,則α4=()

A.3B.6C.12D.24

6.從三個班級，每班隨機選派兩名學(xué)生為代表，這六名同學(xué)被隨機安排在一個圓桌會議室

進(jìn)行“深度學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)”座談，會議室的圓桌正有好有六個座位，則同一班級的兩名同學(xué)恰

好被安排在一起相鄰而坐的概率為()

?2_R-L

a?30ts?15

7.設(shè)函數(shù)/(X)=育，則()

A./(χ)是奇函數(shù)B."X)是偶函數(shù)

C./(X)的圖象關(guān)于點(0,1)中心對稱D./(尤)的圖象關(guān)于直線％=1軸對稱

8.已知&F2為雙曲線C；捻-，=1?>0，匕>°)的兩個焦點，以RF2為直徑的圓與C及C

的漸近線在第一象限的交點分別為點4和點B,若A,B兩點橫坐標(biāo)之比為4：3,則C的離心率

為()

A.√5B.2C.絲D.挈

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識，為了解講座效果，隨機抽取10位

社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座

前和講座后問卷答題的正確率如圖，則()

A.講座前問卷答題的正確率都小于100%

B.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

C.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

10.正方體ABCD-AIBIClDi的棱長為1,P為線段BiDi上的點，則()

A.BP〃平面AD11CB.AP〃平面CIBD

C.三棱錐B—APD的體積為定值D.BP與ADl所成角的最小值為45。

11.拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F,準(zhǔn)線為I,經(jīng)過C上的點M作C的切線m,m與y軸、

I、X軸分別相交于點N、P、Q,過M作/垂線，垂足為貝∣J()

A.?PF?=IPQlB.N為MI尸中點

C.若P(-2,3),貝IJlMFl=10D.若NMPF=60°,則IMlQl=2p

b

12.設(shè)πι>l,logma=m=c,若α,b,C互不相等，則()

A.α>1B.c≠e

C.b<c<aD.(c—b)(c—α)<0

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量d=(2,1),b-(2,x)>若其〃B,則實數(shù)X=.

14.當(dāng)X=Xo時，SinXCoSX+V^cos2χ取得最大值，則沏的一個值為.(任意寫出滿足條

件的一個Λ?值即可)

15.直三棱柱力BC-4&G的所有棱長均為2,以Cl為球心，√7為半徑的球面與側(cè)面4BB14

的交線長為_.

16.若X=I是函數(shù)f(x)=/+以2+以的極大值點，則/(1)的取值范圍為_.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

△力BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c,設(shè)爐+c?=√∑bc.

⑴求4

(2)若α+√∑b=2c,求sinC.

18.(本小題12.0分)

設(shè)數(shù)列｛α7l｝的前n項和是Srι,數(shù)列｛Srι｝的前n項乘積是〃，已知Sn+7；=1.

(1)證明：數(shù)列｛/｝是等差數(shù)列;

ln

(2)數(shù)歹(]｛；｝中的第幾項最接近2023?

an

19.(本小題12.0分)

已知某商業(yè)銀行甲、乙兩個風(fēng)險理財項目的年利潤率分別為Xi和X2，利潤率為負(fù)表示虧損,

根據(jù)往年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到Xl和X2的分布列:

現(xiàn)有200萬元資金準(zhǔn)備投資到甲、乙兩個風(fēng)險理財項目一年.

(1)在甲、乙兩個項目上各投資100萬元，匕和匕分別表示投資項目甲和乙所獲得的年利潤,

求。(匕)和。(%)；

(2)項目甲投資X萬元，項目乙投資200-X萬元，其中0≤x≤200,XEN,用f(x)表示投資

甲項目的年利潤方差與投資乙項目的年利潤方差之和，問該如何分配這200萬元資金，能使

/(X)的數(shù)值最小?

20.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P-HBeD中，已知4D〃BC,BC=2AD,AD=DC,NBCD=60。，CD1PD,

PB1BD.

(1)證明：PBIAB；

(2)設(shè)E是PC的中點，直線AE與平面力BCD所成角等于45。，求二面角B-PC-C的余弦值.

E

21.(本小題12.0分)

已知橢圓C：務(wù)，=l(α>b>0)有兩個頂點在直線〃X+歷—√∑b=0上，C的中心到I

的距離為苧

(1)求C的方程；

(2)設(shè)，1、。是經(jīng)過C下頂點的兩條直線，。與C相交于點M,%與圓/+y2=1相交于點N,若

匕斜率的不等于0,%斜率等于El斜率的2倍，證明：直線MN經(jīng)過定點.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(%)=ex—xlnx÷%2—ax.

(1)證明：若α≤e+l,則/(%)≥0；

(2)證明：若f(%)有兩個零點%2,則%ι%2<L

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：U=AUB={4,5,6,7,8},AnB={6,7},

???CU(4CB)={4,5,8},

???CU(A∩B)中元素個數(shù)為3.

故選：A.

進(jìn)行并集、交集和補集的運算求出Cu(4nB),然后即可得出答案.

本題考查了交集、并集和補集的運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：號I=%，

K∣J∣-l+αi∣=√5,即/(-I/+層=√5.解得α=2或α=-2(舍去).

故選：D.

根據(jù)己知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：%1>1，%2>1，

則+%2>2,X1X2>1,故命題P能推出q,充分性成立，

令Xl=O.5,X2=3,滿足仁】+?：2,但與<1，故命題q不能推出P，必要性不成立,

kxlx271

故P是q的充分不必要條件.

故選:A.

根據(jù)不等式的性質(zhì)，推出充分性成立，結(jié)合特殊值法，推出必要性不成立，即可求解.

本題主要考查充分條件與必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：由函數(shù)的伸縮變化可知：

將函數(shù)y=sin(2x+弓)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍后的解析式為：y=sin(2×∣x+

I)=Sin(X+≡).

故選：D.

由三角函數(shù)的伸縮變化即可得答案.

本題考查了三角函數(shù)圖象的伸縮變化，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

3

【解析】解：由題意得由(1+q+q2)=84,a1—a4=ɑ?(l—Q)=42,

解得q=g，ɑ?=48,

所以4=^iQ3=48×?=6.

O

故選:B.

由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項公式先求出首項及公比，進(jìn)而可求.

本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：六名同學(xué)被隨機安排在一個圓桌會議室進(jìn)行“深度學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)”座談，

則共有國=120種，

同一班級的兩名同學(xué)恰好被安排在一起相鄰而坐，即將每個班級的兩名同學(xué)捆綁，形成新的3個元

素，環(huán)形排列，共有多膨膨外=16種,

故所求概率為=卷

故選：C.

根據(jù)已知條件，依次求出總排列數(shù)，以及滿足題意的排列數(shù)，并結(jié)合古典概型的概率公式，即可

求解.

本題主要考查排列數(shù)的求解，以及古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)/(X)=各，則/(_?=告=1第，

則有/(乃+/(_乃=篇+奇=2,則函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(0,1)對稱，

故選：C.

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得f(-x)的表達(dá)式,分析可得f(x)+/(-X)=2,由此分析可得答案.

本題考查函數(shù)對稱性的判斷，涉及函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：由題意得雙曲線的焦點F](-c,0),F2(C,0),且漸近線為y=±gx,則以FiF2為直徑

的圓為/+y2=c2,

_b

以FlF2為直徑的圓與C及C的漸近線在第一象限的交點分別為點4和點B,則聯(lián)立y=?%,解

X2+y2=C2

得%B=Q，

v

Λ1B兩點橫坐標(biāo)之比為4：3,?,./l=gα,則XA=Jc?_ga)2,即a(gɑ,Jc?—(gα)2),

將4點代入雙曲線C得G半_吐望=1，整理得當(dāng)=I

a2b2Q/2

e>1,.?.e=苧

故選：D.

由題意得雙曲線的焦點Fι(-c,O),Fz(c,O),且漸近線為y=±^x,則以F/2為直徑的圓為/+y2=

'_b

c2,聯(lián)立，求出4點坐標(biāo)，即可得出答案.

X2+y2=C2

本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：根據(jù)題意，由圖表可知：10名社區(qū)居民在講座前問卷答題的正確率分別為65%,60%,

70%,60%,65%,75%,90%,85%,80%,95%；

而這10名社區(qū)居民在講座后問卷答題的正確率分別為90%,85%,80%,90%,85%,85%,95%,

100%,85%,100%；

由此分析選項：

對于a,10名社區(qū)居民在講座前問卷答題的正確率分別為65%,60%,70%,60%,65%,75%,

90%,85%,80%,95%,其問卷答題的正確率都小于100%,4正確；

對于8,10名社區(qū)居民在講座前問卷答題的正確率從小到大排列為60%,60%,65%,65%,70%,

75%,80%,85%,90%,95%,

所以其中位數(shù)為;(70%+75%)=72.5%,B錯誤;

對于C,這10名社區(qū)居民在講座后問卷答題的正確率分別為90%,85%,80%,90%,85%,85%,

95%,100%,85%,100%,C正確；

對于D,講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%,講座后問卷答題的正確率的極差

100%-80%-20%,所以講座后問卷答題的正確率的極差小于講座前正確率的極差，所以。錯

誤，

故選：AC.

根據(jù)題意，分析圖表可得10名社區(qū)居民在講座前和講座后卷答題的正確率，由此分析選項是否正

確，即可得答案.

本題考查極差、中位數(shù)的計算，注意從圖表讀取數(shù)據(jù)，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：對于4當(dāng)點P與Dl重合時，BP與平面ADiC交于點/，故A錯誤；

對于因為。且

B,BBJ/5BBl=DD1,

所以四邊形BDDlBl為平行四邊形，

所以

同理可得ABi〃￡)G，

?5U平面。，

XB1D1,AB1FffiC1BD,BD,DC1CI8

所以BIDI〃平面CiBD,ABi〃平面CIBD,

又U平面入?yún)渤穑?/p>

BlDl∩AB1=B1,B1D1.i4B1

所以平面DI〃平面ClBD,

又因APU平面ABi?！?/p>

所以AP〃平面ABlD1，

又易知平面TlBiD"/GBD,故8正確；

對于C,由B選項可知B0〃BID1，

則點P到BD的距離為1,

則SAPBD=∣×l×√2=y>

連接4C,則ACJLBD,

因為BBl_L平面ZBmACU平面4BCD,

所以BBl1AC,

又BBInBD=B,BB1,BDU平面BDDIB

所以AC1平面BDDlB1，

所以三棱錐4-BPD的高為aAC=與,

所以%-BPD=∣×y×y=j,

即三棱錐B-4PD的體積為定值，故C正確;

對于。，如圖，以點。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(1,0,0),B(l,l,0),D1(OAl).設(shè)P(α,α,D(O≤α≤l),

則砧=(-1,0,1),BP=(ɑ-l,ɑ-1,1)，

MDI?BP∣_2一。

故ICoS<AD[,^BP>I=

I兩網(wǎng)=ej2(α-l)2+l'

令t=2—α,t∈[1,2],則α=2—t,

]

則ICoS<ADl~BP>I=-----1

f√2x∕Ξ≡+4,

V2×J2(2-t—1)+1

Λy∣tr

令m=?,m∈有1],

______1______

則ICOS<ADγ,>

√2×V3m2-4m+2,

當(dāng)m=1時，∣cos＜麗,前＞I=芋，此時BP與所成的角為45。,

當(dāng)m=?∣時，ICoSC而］而>I=竽>爭

所以當(dāng)nι=熱即點P與Dl重合時，BP與明所成的角小于45。，故。錯誤.

故選：BC.

根據(jù)點P與Z)I重合時，即可判斷力：證明ABlDI〃平面GBD,再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可判斷B：

說明APBD的面積為定值，再證明4C1平面BDDlB1，結(jié)合三棱錐的體積公式即可判斷C；以點。為

原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可判斷D?

本題主要考查點，線，面之間的位置關(guān)系，屬于中檔題.

11.【答案】BD

【解析】解：選項A,設(shè)準(zhǔn)線1與％軸交點為H,過H作C的切線τn,此時P、Q重合，顯然IPFl≠?PQ?,

選項B,設(shè)M(Xo,M)),則Mi(-gyo)，設(shè)拋物線在點M(XO,ytj)處的切線巾為y-%=上。一殉)，

與C：y2=2pχ(p>0)聯(lián)立，得［y2一、一A%。+%=0,

卬

k≠0

4=1-WoO-kx0)=0,解得k=r-,

P沏

(x°~?

則切線方程Tn為：y-yo=^^.×-Xo),令尤=0,則YN=-劈+M)=與，即N(O多，

又F(gθ),.??N為MlF中點，正確；

選項C,P(-2,3),貝∣Jp=4,

由切線方程my-y<)=夕X-Xo)經(jīng)過點P(-2,3),代入得3-y0=/-2-3，

且光=8&,解得%=8或-2,即a=8或;，則IMFl=Xo+*10或|,錯誤；

選項。，若NMPF=60。，則切線m的斜率為6，即力=百,

由切線方程憶y-y0=^-(χ-3可化簡為yWX-√-?+y0=修+詈，

%?o?θ?o?o

令y=0,則XQ=-XO,Q(To,0)

MQl=√HMf+HQ2=舊+(-%0+獷,又y°=專，XO=那代入得MQl=2p,正確；

故選：BD.

設(shè)準(zhǔn)線/與工軸交點為H,過H作C的切線m,此時P、Q重合，判斷出選項4設(shè)M(XOfo)，寫出切

線方程，求出N的坐標(biāo)，判斷選項以若P(-2,3),可求出拋物線方程和切點坐標(biāo)，判斷選項C；

若NMPF=60。，可得切線斜率和Ml坐標(biāo)，判斷選項。.

本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：由mi>=c>0,可得Iogma>0,

?.?τn>1,.,.ɑ>1,故A正確；

b

當(dāng)C=e時，log7nα=m=c=e,

若m=e；>l，則α=？∏e=e，c=e,b=logme=e,

..a=b=c,不滿足α,b,C互不相等，二c≠e,故B正確；

b

???m>1,logmα=m=c,

t

可將α,b,C看成函數(shù)y=∕ogrnx,y=nr,y=X與y=c圖象的交點的橫坐標(biāo),

當(dāng)m=1.1時,圖象如下:

可得α<c<b,此時(C—b)(c—a)<0,

當(dāng)zn=3時，圖象如下圖，

y.

?…......................

可得b<c<α,此時(c一b)(c-α)<0,故C錯誤，力正確.

故選：ABD.

由Iognla>0,解得α>l,可判斷4；當(dāng)c=e時，取瓶=*>1，可得α=b=c,不滿足a,b,

x

C不相等，可判斷B；將α,b,C看成函數(shù)y=logτnx,y=m,y=x,y=C圖象的交點，可判斷

CD.

本題考查指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

13.【答案】1

【解析】解：向量a=(2,1),b=(2,x).a∕∕b>

則2x=1X2,解得X=1.

故答案為：L

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量平行的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查向量平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】?

【解析1解:Sinxcosx+V3cos2x=^sin2x+遮?〔+，產(chǎn)工_Sin(2x+?)+?>

當(dāng)2x+號=]+2k∏?,kEZ,即X=?^+∕OT,k∈Z時，sinxcosx+V^Ce)S2χ取得最大值，

所以Xo的一個值為：??

故答案為:??.

利用三角恒等變換公式，化簡可得SiTIXCOSX+V5cos2χ=sin(2x+^)+爭再結(jié)合正弦函數(shù)的圖

象與性質(zhì)，得解.

本題考查三角函數(shù)的求值，熟練掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵,

考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】y

【解析】解：直三棱柱ABC-aBICl的所有棱長均為2,取中

點。，

以CI為球心，√7為半徑的球面與側(cè)面ABB】&的交線是母線長為√7

的圓錐與側(cè)面ABBiA的交線，

OC1=Λ∕3,ClE=C1F=V7，則ZIE=B1F=√7—4=V3?OE=

OF=√FΓ5=2,

ZB1OF=60°,所以aEOF=60。,該交線長為2x：手

故答案為：y?

畫出圖形，結(jié)合已知條件，推出以Cl為球心，√7為半徑的球面與側(cè)面ABB√lι的交線，然后求解即

可.

本題考查直三棱柱與球的位置關(guān)系，屬于中檔題.

16.【答案】(1,+8)

【解析】解：f(x)=3x2+2ax+b,

因為X=1是函數(shù)f(x)=%3÷ax2+bx的極大值點，

所以((1)=0,得3+2α+b=0,b=-3-2α,

f,(x)=3x2+2ax+b=3x2+2ax—3-2α=(3x+2α+3)(%—1),

令r(X)=O得％=1.或%=

若使得％=1為f(x)=X3+ax2+版的極大值點，只需>1,

解得α<—3,

所以在(1,一竽)時，∕,(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

在(一8,1)時,∕,(x)>0,/(%)單調(diào)遞增,

所以X=1為極大值點，

所以α<-3符合題意，

所以f(l)=l+Q+b=l+α+(—2Q—3)=-Q—2>1,

所以/(1)的取值范圍為(1,+8),

故答案為：(1,+8).

由％=1是函數(shù)/(%)=%3÷ax2+bx的極大值點，得((1)=0,即b=-3-2a,進(jìn)而可得/'(%)=

(3x+2α+3)(X-1),只需一等>1,解得α<-3,檢驗/(無)的是否有極大值點，進(jìn)而可得/(1)

的取值范圍.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由題設(shè)及余弦定理得CoSA=Q±乂=包，

2bc2

由于0。<A<180°,故A=45°；

⑵由α+√∑b=2c，以及正弦定理得sin45o+√Isin(135°-C)=2sinC,

化簡得：y+cosC+sinC=2sinC>

可得Sin(C-45。)=1,

由0。<。<135。，可知CoS(C-45。)=浮

故SinC=sin[(C-45o)+45°]=sin(C-45°)cos45°+cos(C-45o)sin45o=^×y+y×y=

T2+V6

-4~，

【解析】(1)利用余弦定理結(jié)合已知求解；

(2)利用正弦定理和兩角和與差公式化簡已知條件，湊角求值即可.

本題考查三角恒等變換，考查正余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)證明：-Sn+Tn=1,

,

???當(dāng)n=1時，T1=S1,且Sl+7ι=1,解得7；=?,

當(dāng)n≥2時，Sn=甘彳，則/y+Tn=1,即視—去y=1,

二數(shù)列｛磊｝是首項為2,公差為1的等差數(shù)列；

(2)由(1)得數(shù)列｛2｝是首項為2,公差為1的等差數(shù)列，則〃=擊，

n

?1"Sc"=不’

當(dāng)幾≥2時，an=Sn-SnT=n(n+i),

「

*?'ɑl=S]=1

?—=n(n+1),

an

???數(shù)列｛m>+i)｝單調(diào)遞增，

,當(dāng)Ti=44時，n(n+1)=1980,當(dāng)九=45時，n(n+1)=2070,

；?數(shù)列｛；｝中的第44項最接近2023.

an

【解析】(1)根據(jù)數(shù)列的遞推式，令n=l,n≥2,可得--J-=I,利用等差數(shù)列的定義，即

可證明結(jié)論；

(2)由(1)得數(shù)列｛尚｝是首項為2,公差為1的等差數(shù)列，則〃=嗇，可得S”=缶，求出即，即可

得出答案.

本題考查數(shù)列的遞推式，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)由題意可知,

匕的分布列為

匕510-2

P0.60.150.25

22

所以E(V1)=5×0.6+10×0.15+(-2)X0.25=4,D(Y1)=(5-4)X0.6+(10-4)X0.15+

(-2-4)2X0.25=15,

力的分布列為

4612-2.5

y2

P0.20.50.10.2

2

所以E(%)=4X0.2+6×0.5+12×0.1+(-2.5)X0.2=4.5,D(Y2)=(4-4.5)X0.2+(6-

4.5)2X0.5+(12-4.5)2X0.1+(-2.5-4.5)2X0.2=16.6.

(2)由題意可知，

K)=D&+°(鬻㈤=(?)^??)+(需)2。初=15(含￥+16.6(需A=

31.6?)2-4X16.6×(?)+4×16.6.

當(dāng)高=瑞4，即X=啜XIooaI05時，f(x)取得最小值.

IUUZXJ1.0Z.7

因此投資甲項目105萬元，投資乙項目95萬元時f(%)有最小值.

【解析】(1)根據(jù)Xi和X2的分布列可列出利潤匕和七的分布列，并分別計算出其期望值，再利用方

差計算公式即可得D(K)和)；

(2)由方差性質(zhì)可得/(X)=(高)2。(匕)+(需)20(%),再結(jié)合(1)中數(shù)據(jù)利用二次函數(shù)單調(diào)性即

可求得結(jié)果.

本題考查離散型隨機變量的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【答案】解法1：(1)證明：連結(jié)BD,在ABDC中，

???BC=2DC,乙BCD=60°,由余弦定理BD=√3DC?

???BC=2DC,

.?.CDIBD,

又CDJ.PD,BDCPD=D,BD,PDU平面PDB,

.?.CD1平面PoB,

又PBU平面PoB,

：.CDA.PB.

???PBLBD,CDCBD=D,CD,BDU平面力BCz),

.?.PB平面4BC。，

又4BU平面4BC0,

.?.PBLAB.

(2)以B為坐標(biāo)原點，正的方向為X軸正方向，I比I為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

A—xyz,

由⑴可知y軸在平面ABCD內(nèi).

E

則B(OOO),相,苧,0),C(2,0,0),Dd0)，DC=(∣,-y,0)?

設(shè)P(O,O,t)(t>O),則定=(2,0,-t)，E(1,0,5,AE=(?,-?,?).

?.?平面力BCD的法向量為沅=(0,0,1),

'S〈荏麗=焉=忘?

由AE與平面ABCD所成角等于45。，可知力=$譏45,解得=2.

設(shè)平面DPC的法向量元I=(x,y,z),

則忖字齊-苧y=0,取X=0^I=(√3,I,√3).

n??PC=2x-2z=0

???平面BPC的法向量為元2=(0,1,0)，

???8炳,6=磊J=今

???二面角B-PC-。是銳二面角，

其余弦值為爭

解法2：(1)證明：連結(jié)BD,在ABDC中，

BC=2DC,乙BCD=60°,由余弦定理BD=√3DC?

?.?BC=2DC,CD1BD,

又以>?LPD,BDCPD=D,BD,PDU平面PDB,

.?.CD1平面PDB,

又PBU平面PoB,

.?.CDLPB.

■■■PBLBD,CDCBD=D,CD,BDU平面ZBCD,

.?.PB?!平面ABCD,

又ABU平面ABC。，

.?.PB1AB.

(2)取BC中點為F,連結(jié)EF,AF,則EF∕∕P8,S.AF=DC.

由(I)可知EFlψffi?BCD,4E4F是4E與平面ABC。所成角，

.?./.EAF=45°,所以EF=AF=DC,于是PB=2EF=2DC.

以B為坐標(biāo)原點，正的方向為X軸正方向，I/I為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-

xyz,

由⑴可知y軸在平面48CD內(nèi).

則B(0,0,0),C(2,0,0),Dd0)，P(Oo2),正=(2。-2)，DC=(∣,-y,0).

設(shè)平面OPC的法向量記=(Q,b,c),

(m^PC=2a-2c=0

貝可一7τ→1√3?取Q=√5,得記=(√5,1,√5).

m?DC=-La-?Lh=0

因為平面BPC的法向量=(0,1,0),于是CoS(記,記)=I蒜:I=y.

因為二面角B-PC—D是銳二面角，所以其余弦值為亨.

解法3：(1)證明：連結(jié)BD,在ABOC中，

,：BC=2DC,乙BCD=60°,由余弦定理BO=√3DC?

???BC=2DC,???CDLBD,

又CDLPD,BDCPD=D,BD,PDU平面PDB,

???CD1平面PDB,

又PBU平面POB,

.?.CDVPB.

???PBLBD,CDCtBD=D,CD,BDU平面ABCD,

:?PB-L平面ABCD,

乂ABU平面ZBCD,

：.PB1AB.

(2)取BC中點為F,連結(jié)EF,AF,貝∣JE∕√∕PB,S.AF=DC.

由(1)可知EFJ_平面48?！?gt;,NEAF是AE與平面ABcT)所成角，故ZEAF=45。，

因此EF=4F=DC,于是PB=2EF=2DC=BC,可得PC=2√∑DC?

連結(jié)8E,則BEIPC.過E在平面PDC內(nèi)作EG_LPC,交PD于點G,則NBEG是二面角B—PC—D的

平面角.

因為PB1BC,所以BE=五DC,PD=√7CC.因為C。_LPD,由4PEGS△POC可得EG=耳DC?

由PCJ■平面BEG,BGU平面BEG,

可得PC1BG,而COJLBG,

又PCCCD=C,PC,CoU平面POC,

故BGI平面PDC,

又GEU平面PDC,

從而BGJ.GE,所以COSZ?BEG=器=

因此二面角B-PC-D的余弦值為今

【解析】法1：(1)連結(jié)BD,由余弦定理BD=√3DC.推導(dǎo)出CD1BD,由CD1PD,得CD_L平面

PDB,從而CD1PB,由PB?BD,得PB1平面4BCD,由此能證明PB1AB.

(2)以B為坐標(biāo)原點，配的方向為X軸正方向，I配I為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系力-孫z,

利用向量法能求出二面角B-PC-。的余弦值.

解法2：(1)連結(jié)BD,由余弦定理BD=√5θC,推導(dǎo)出CO_LBD,由CDLPD,得CDJ■平面PDB,

從而COJLPB,由PBJ.80,得PBI平面48C。，由此能證明PBJ.48.

(2)取BC中點為F,連結(jié)EF,AF,則EF〃PB,且4F=DC,推導(dǎo)出NE4F是4E與平面ABCD所成

角，以B為坐標(biāo)原點，近的方向為X軸正方向，I前I為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz,

利用向量法能求出二面角B-PC-。是的余弦值

解法3：(I)連結(jié)BD,由余弦定理BD=bDC,推導(dǎo)出CDIBD,由CDJ.PD,得CD平面PDB,

從而CDIPB,由PBIB0,得PBI平面48C0,由此能證明PB_L48.

(2)取BC中點為F,連結(jié)EF,AF,則EF〃PB,且AF=DC,4EA尸是AE與平面ABCD所成角，連

結(jié)BE,則BEIPC.過E在平面Pz)C內(nèi)作EGIPC,交PD于點G,則NBEG是二面角B-PC-。的平

面角，由此能求出二面角B-PC-"的余弦值.

本題考查線面垂直、線線垂直的判定與性質(zhì)、二面角的定義及其余弦值的求法，考查運算求解能

力，是中檔題.

21.【答案】解：(1)由題設(shè)I經(jīng)過點(α,0),(O,b),可得α=√Ib.

√6_∣-√?∣

由丁=；^，

??b=1,從而Q=√2.

2

因此C的方程為a+y2=ι.

(2)證明：設(shè)小G的斜率分別為名2k,k≠0,由(1)可知B(O,-1),可得小y=kx-l,l2:y=

2kx—1.

將y=kx—1代入］+y2=1，化為(1+2fc2)x2—4kx=0,

解得X=；2或X-0,

l+t2fc

4k2k2-l

可得M(

l+2k2,2k2+l

將y=2kx-1代入/+y2=1,同理可得N，舞,哈!).

4?2-lZfe2-I

直線MN的斜率為孽1-?I=-?.

4κ4k2k

4∕C2+12∕C2+1

2

因此直線MN方程為y-猊I=-?(?-??

化簡得y=-∕x+l,于是直線MN經(jīng)過定點(0,1).

√6