2024年1月普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試適應(yīng)性測試（九省聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題（解析）

2024年1月普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試適應(yīng)性測試（九省聯(lián)考）

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

].答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場號及座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需要

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為（）

A.14B.16C.18D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由中位數(shù)定義即可得.

【詳解】將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,

則其中位數(shù)為16.

故選：B.

2.橢圓工+、2=1（?！?）的離心率為則。=（）

A.正

B.V2C.73D.2

3

【答案】A

【解析】

【分析】由橢圓的離心率公式即可求解.

2A/3

【詳解】由題意得e==解得a=二----------，

故選：A.

3.記等差數(shù)列｛4,｝的前幾項(xiàng)和為+%=6,/2=17,貝i」S[6=()

A.120B.140C.160D.180

【答案】c

【解析】

【分析】利用下標(biāo)和性質(zhì)先求出%+%2的值，然后根據(jù)前〃項(xiàng)和公式結(jié)合下標(biāo)和性質(zhì)求解出S16的值.

【詳解】因?yàn)椤?+%=2%=6,所以%=3,所以%+%2=3+17=20,

所以S[6=_8（%+?12）=160,

故選：C.

4.設(shè)名廠是兩個平面，相，/是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）

A.韭a，B，m〃a,U/§,則〃z_L/B.若mua,lu0,m〃l,則a〃1

C.若a13=m,l//a,l///3,則加〃/D.若"z_La,/_L尸，加〃/,則。_1/?

【答案】C

【解析】

【分析】由線面平行性質(zhì)判斷真命題，舉反例判定假命題即可.

【詳解】對于A,帆,/可能平行，相交或異面，故A錯誤，對于B,名P可能相交或平行，故B錯誤，

對于D,名A可能相交或平行，故D錯誤，由線面平行性質(zhì)得C正確，

故選：C

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（）

A.20種B.16種C.12種D.8種

【答案】B

【解析】

【分析】分類討論：乙丙及中間2人占據(jù)首四位、乙丙及中間2人占據(jù)尾四位，然后根據(jù)分類加法計數(shù)原理

求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橐液捅g恰有2人，所以乙丙及中間2人占據(jù)首四位或尾四位，

①當(dāng)乙丙及中間2人占據(jù)首四位，此時還剩末位，故甲在乙丙中間，

排乙丙有A；種方法，排甲有用種方法，剩余兩個位置兩人全排列有A；種排法，

所以有人上人上人；=8種方法；

②當(dāng)乙丙及中間2人占據(jù)尾四位，此時還剩首位，故甲在乙丙中間,

排乙丙有A；種方法，排甲有A；種方法，剩余兩個位置兩人全排列有A；種排法，

所以有人就人人人；=8種方法；

由分類加法計數(shù)原理可知，一共有8+8=16種排法，

故選：B.

6.已知。為直線/：x+2y+l=0上的動點(diǎn)，點(diǎn)P滿足QP=(1,—3),記P的軌跡為E,則()

A.E是一個半徑為百的圓B.E是一條與/相交的直線

C.E上的點(diǎn)到/的距離均為J?D.E是兩條平行直線

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)由QP=(l,-3)可得。點(diǎn)坐標(biāo)，由。在直線上，故可將點(diǎn)代入坐標(biāo)，即可得產(chǎn)軌跡E,

結(jié)合選項(xiàng)即可得出正確答案.

【詳解】設(shè)P?y),由QP=(1,—3),貝UQ(x—l,y+3),

由。在直線/：x+2y+l=0上，故x-l+2(y+3)+l=0,

化簡得x+2y+6=0,即p軌跡為E為直線且與直線/平行，

E上的點(diǎn)到/的距離故A、B、D錯誤，C正確.

Vl2+22

故選：C.

7.已知(羽，7r],tan2，=_4tan[，+^],則一1；sin2"_=()

I4)I2cos2e+sin28

133

A.—B.-C.1D.一

442

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)正弦、余弦、正切二倍角公式，將齊次化即可得出答案.

2cos2^+sin20

【詳解】由題6eLT，tan2e=Ttan(e+：),

夕曰2tang—4ftan^+l)>.2

得---------=——----------^>-4((tan6^+1)=2tan。n，

l-tan2<91-tan^v7

則(210!1。+1)&311。+2)=0=>1011。二一2或12118=-;,

因?yàn)閑￡［年,7i),tane￡(—l,0),所以tan8=—g,

l+sin28_sin2^+cos2^+2sin^cos0_tan2^+l+2tan^

2cos2。+sin282cos2^+2sin^cos^2+2tan^

-2+（-1）-4

故選：A

22

8.設(shè)雙曲線C:5-斗=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,且，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與C交于AB兩點(diǎn),

ab

閨邳=2閨4厘.@=4〃,則。的離心率為（）

A.72B.2C.75D.77

【答案】D

【解析】

【分析】由雙曲線的對稱性可得閨H=|8隊(duì)閨固=|耳H且四邊形A45月為平行四邊形，由題意可得出

ZF2BFlt結(jié)合余弦定理表示出與。、c有關(guān)齊次式即可得離心率.

由雙曲線的對稱性可知閨4|=|耳到，山.=醫(yī)旬，有四邊形鳥為平行四邊形,

令陽川=|乙同=加，則閨目=|用旬=2根,

由雙曲線定義可知|月旬一閨旬=2。，故有2機(jī)—機(jī)=2a,即帆=2a,

即閨H=優(yōu)到=m=2。，閨W=EH=4a,

2

F2A-F2B--|F2B^COSZAF2B=2ax4acosZAF2B-4a,

1Ojr

則cos/Ag3=—,即447”=與，故/用5耳=一，

233

『+2（4?）2+（2a）2-（2c）2

則有cosZFBF=

2l2國即2x4ax2a2

\F2B1

20a2-4c21204P之1

即即二—'=—上，則e?=7，由e〉l，故e=?.

16?2216162

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于〃、b.。之間的等量關(guān)系，本題中

結(jié)合題意與雙曲線的定義得出閨小優(yōu)目與。的具體關(guān)系及的大小，借助余弦定理表示出與

a、。有關(guān)齊次式，即可得解.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

3兀3兀

9.已知函數(shù)/（x）=sin|2x+—+cos2x+一,則（

44

函數(shù)/卜一:

A.為偶函數(shù)

B.曲線y=/(x)對稱軸為％=E，左￡Z

八%)在區(qū)間1m，3

C.單調(diào)遞增

D.了(力的最小值為-2

【答案】AC

【解析】

【分析】利用輔助角公式化簡/(x)=sinf2x+—j+cosf2x+—3兀

,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即

4

可.

【詳解】/(x)=sin(2x+今+COS2x+亞

I4

=sin2xcos—+sin—cos2x+cos2xcos-—sin2xsin—

4444

-名心+2os2A避8s2"-正疝2』小心,

2222

即/(x)=-V2sin2x,

對于A,7（九一；-V2sin（2x-1-I=V2cos2x,易知為偶函數(shù)，所以A正確;

對于B,〃％)=—正51112%對稱軸為2%二二十防1,左eZ^>%=—+—,Z:eZ,故B錯誤;

v7242

71712兀

對于C,,2xG，y=sin2x單調(diào)遞減，則

392T,7r

/（x）=-V2sin2x單調(diào)遞增，故C正確;

對于D,/(%)=-V2sin2x,則sin2xe,所以/(x)e[-后,0],故D錯誤;

故選：AC

10.已知復(fù)數(shù)z,w均不為o,則（

2

ZZ

A.z2=|z|2B.■=?—-----

,Z|zI2

ZZ

C.z—w=z—wD.

【答案】BCD

【解析】

【分析】設(shè)出z=“+bi、卬=。+潰，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共輾復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)逐個計算即可得.

【詳解】設(shè)2=々+歷（a,〃￡R）、vv=c+H（c,d￡R）；

對A：設(shè)z=a+bi￡R)，則z2=(〃+歷『—/^2abi—b2=a—b2+2Q歷,

|Z+方）=/+/,故人錯誤;

Z22—zz2

對B：==^=-,又z?z=|z|9,即有）二可，故B正確;

Z2?2

對C：z-w=a+bi-c-di=a-c+(b-d^\,則z-w=a-c-(b-d)i,

z=a—bi，w=c—di>貝Uz—w=a一歷一c+di=a—c—(6一d)i

即有z—w=z—w，故C正確;

za+bi(a+bi)(c-di)ac+bd-^ad-bc^i

對D：

wc+di(c+di)(c-di)c2+d2

2

ac+bdI+ad-be+2abed+b2d2+a2d?—2abcd+b?$

c1+d2c2+d2

a2c2+b2d2+01d2+b2c2y/a2c2+b2d2+a2d2+b2c2

c2+d2

c2+d2c2+d2

y/a2c2+b'c2+a~d2+b'd~

+/

zz

故一—,故D正確.

ww

故選:BCD.

11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且/H0,若/（1+?。?/（%）/（?。?4孫，則（

A.f0B.f-2

C.函數(shù)小一；D.函數(shù)+g

是偶函數(shù)是減函數(shù)

【答案】ABD

【解析】

【分析】對抽象函數(shù)采用賦值法，令》=；、y=°，結(jié)合題意可得/（o）=—1，對A：令x=g、丁=°，

代入計算即可得；對B、C、D：令丁=-；，可得/卜I-2x,即可得函數(shù)—g及函數(shù)/x+g

函數(shù)的性質(zhì)，代入尤=1,即可得了

【詳解】令》=；、y=°，則有/[g1

+/X/⑼=/即1+"。)]=0,

2

又/[；卜0,故1+/(0)=0,即/(o)=—1,

即+=由/(O)=-L可得J=0'

又了（；]w0，故/1_g]=0,故A正確;

-2%,故函數(shù)/1x-g

即/是奇函數(shù),

有/fx+l-^-j=-2(x+l)=-2x-2,即/fx+^-j=-2x-2,

即函數(shù)/x+g是減函數(shù),

令x=l,有/]g]=-2xl=-2,

故B正確、C錯誤、D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用賦值法解決抽象函數(shù)問題，借助賦值法，得到/（0）=-1，再重新

賦值，得到—g]=0,再得至U/1x—g]=_2x.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合A={-2,0,2,4},3={x||x—3區(qū)相},若AB=A,則加的最小值為

【答案】5

【解析】

【分析】由AB=A可得解出集合B后結(jié)合集合的關(guān)系計算即可得.

【詳解】由AB=A,故

由上一3|〈根，得一切+3<%+3,

4<m+3m>1

故有《即《廠，即加25,

-2>-m+3m>5

即〃2的最小值為5.

故答案為：5.

13.已知軸截面為正三角形的圓錐W的高與球。的直徑相等，則圓錐W的體積與球。的體積的比值

是，圓錐W的表面積與球。的表面積的比值是.

2

【答案】①.1②.1

【解析】

【分析】設(shè)圓錐的底面圓半徑，?以及球的半徑R,用「表示出圓錐的高/7和母線/以及球的半徑R,然后根

據(jù)體積公式求出體積比，根據(jù)表面積公式求得表面積之比.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為「，球的半徑為R,

因?yàn)閳A錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高〃=6廣，母線/=2r，

由題可知：h=2R,所以球的半徑R=

2

所以圓錐的體積為M=-x

13

2

3

圓錐的表面積耳=nrl+7ir2=3兀/,

、2

球的表面積S2=4兀尺2=4”r-3兀產(chǎn)，

所以j

2

故答案為：—；1.

14.以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).設(shè)OVQVZ?VCV1,已知或a+b<l,則

max{Z?-a,c-Z>,l-c}的最小值為

【答案】1##0.2

【解析】

b=l-n-p

【分析】利用換元法可得<?，進(jìn)而根據(jù)不等式的性質(zhì)，分情況討論求解.

a=l—m—n—p

【詳解】令人一〃=也。一人=〃,1一。=p,其中加，凡p>0,

[a=l—m—n—p

若bN2a,則b=l—〃一，22（1—加一九一夕），故2a+〃+pNl,

☆A(yù)/=max{/7—a,c—b,l-c}=max{m,&p},

2M>2m

因止匕<M>n，故4M>2m+n+PN1,則M2工，

4

M>p

若a+bWL則1一〃一，+1一m一九一pKl,Bpm+2n+2p>l,

A/=max\b-a,c-b,l-c]=max{m,zz,/?},

M>m

則<2M>2n，故5M之機(jī)+2〃+2pNl,則

2M>2p

當(dāng)根=2〃=2P時，等號成立，

綜上可知max抄一a,c—Z?,l-c}的最小值為g,

故答案：—

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用換元法，在622〃和。+5<1前提下進(jìn)行合理分類討論，根據(jù)題意

得到相對應(yīng)的不等式組，注意題目的條件關(guān)鍵詞是“或”.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(兄)=11^+必+依+2在點(diǎn)(2J(2))處的切線與直線2%+3y=。垂直.

(1)求。；

(2)求/(%)單調(diào)區(qū)間和極值.

【答案】(1)a=-3

(2)單調(diào)遞增區(qū)間為1o,gj、。,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為極大值;—ln2,極小值0

【分析】(1)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線垂直的性質(zhì)計算即可得;

(2)借助導(dǎo)數(shù)可討論單調(diào)性，即可得極值.

【小問1詳解】

則/(2)=；+2X29

+a=—a，

2

=-1>解得a=—3；

【小問2詳解】

由。=一3,故/(%)=111工+X2一3X+2,

、1cc2x-3x+l(2x-l)(x-l)

則r(x)=—+2x—3=--------------=-------八——L,x>o,

XXX

故當(dāng)。<x<；時，當(dāng)工<X<1時，f'(x)<0,當(dāng)X〉1時，>0,

22

故的單調(diào)遞增區(qū)間為［o,g］、(1,+8),的單調(diào)遞減區(qū)間為&,1

故/⑴有極大值嗎卜lng+出13

-3x-+2=——ln2,

24

有極小值/(I)=lnl+12—3xl+2=0.

16.盒中有標(biāo)記數(shù)字1,2,3,4的小球各2個，隨機(jī)一次取出3個小球.

(1)求取出的3個小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；

(2)記取出的3個小球上的最小數(shù)字為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

4

【答案】(1)-

7

(2)分布列見解析，E(X)=?

【解析】

【分析】(1)先確定3個不同數(shù)字的小球，然后再從確定的每種小球中取1個，通過計算可求符合要求的取

法數(shù)，再除以總的取法數(shù)可得結(jié)果；

(2)先確定X的可取值為1,2,3,然后計算出不同取值的概率，注意X的每種取值對應(yīng)兩種情況，由此可

求分布列和期望E(X).

【小問1詳解】

記“取出的3個小球上的數(shù)字兩兩不同”為事件M,

先確定3個不同數(shù)字的小球，有C；種方法，

然后每種小球各取1個，有C；xC；xC；種取法，

所以號

8

【小問2詳解】

由題意可知，X的可取值為1,2,3,

當(dāng)X=1時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為1的小球、有兩個數(shù)字為1的小球，

所以p（x=i）=c；c，3c汜；

8

當(dāng)X=2時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為2的小球、有兩個數(shù)字為2的小球,

所以P（X=2）=弋半

8

當(dāng)X=3時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為3的小球、有兩個數(shù)字為3的小球，

所以P（X=3）=唯用

8

所以X的分布列為:

X123

921

p

14714

=1X2+2-+3XLW

147147

17.如圖，平行六面體ABC?！?4GR中，底面A3CD是邊長為2的正方形，。為AC與的交點(diǎn),

"=2,ZqCB=ZQCD^QCO=45°.

AB

(1)證明：GOJL平面A3CD；

(2)求二面角3-A4-。的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵述

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明即可.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的正弦值.

【小問1詳解】

連接5C],DG,

因?yàn)榈酌鍭3CD是邊長為2的正方形，所以3。=。。，

又因NC[CB=NC\CD,CQ=CCt,

所以QCB三GCD,所以

點(diǎn)。為線段BD中點(diǎn)，所以GOLBD,

在△GCO中，CQ=2,C(9=1AC=V2,ZC1C(9=45°,

所以cosNC。。=—=J。?十℃2-COnG。=3，

1

22xCxCxOC

則QC2=<9C2+C。nCQ±OC,

又OCBD=O,OCu平面ABC。，BDu平面ABC。，

所以G。，平面A3CD.

【小問2詳解】

由題知正方形43。。中4?，3￡）,平面A3CD，所以建系如圖所示,

則用0,倉0),￡>(0,一應(yīng),0),A(立0,0),汽―仁,0,0),G(0,0,72),

則叫=/=(60,后)，

AB=(-V2,A0),AD=(-A-V2,0),

設(shè)面8A4］的法向量為m=（%,%,zj,面。的法向量為〃=（%2，%，22），

AA.-m=0

則0

AB-m=0

設(shè)二面角B-AA】-。大小為e,

-m-n11sin0=A/1-COS20=?垃

則“MfFFT3，

所以二面角3-。的正弦值為弟.

3

18.已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為尸，過尸的直線/交C于A3兩點(diǎn)，過尸與/垂直的直線交。于。,E

兩點(diǎn)，其中瓦。在x軸上方，分別為的中點(diǎn).

（1）證明：直線過定點(diǎn)；

（2）設(shè)G為直線AE與直線BD的交點(diǎn)，求GMN面積的最小值.

【答案】（1）證明見解析

(2)8

【解析】

【分析】（1）設(shè)出直線A3與直線CD的方程，聯(lián)立曲線后得到與縱坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合題意，表示出

直線后即可得定點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)出直線AE與直線3D的方程，聯(lián)立兩直線后結(jié)合第一問中韋達(dá)定理得出點(diǎn)G的橫坐標(biāo)恒為T,再

結(jié)合面積公式及基本不等式即可得.

【小問1詳解】

由C：V=4x,故b（1,0）,由直線A5與直線CD垂直，

故兩只直線斜率都存在且不為0,

設(shè)直線AB、CD分別為％=叫了+1、x^m^y+1,有班鈾=一1,

A（X，X）、3（%,%）、石（七,為）、。（4為），

y2=4JC

聯(lián)立C：y2=4x與直線AB,即有廣，

x=m1y+l

2

消去尤可得y一4mly—4=0,A=16加;+16>0,

故%+%=4叫、%%=-4，

則石+%2=州％+1+叫％+1=町（％+%）+2=4喈+2,

故生產(chǎn)=24+1,乎=2叫，

即M（2喈+1,2班），同理可得N（2mf+1,2%）,

當(dāng)2〃彳+1w2m1+1時，

則0：'=二聾湍旬卜一2"-1）+2%

即產(chǎn)喈-1）+2ml=^-3+2…

7

G-YY\'叫+m1m2+/

x2訴+1-2mm2-2/x1-2mm2

~l—l，

叫+町也+叫m2+叫叫+叫

X1+217

由叫加2=_］，即,=-----------------=--------—

加2+叫m2+mim2+m\

故x=3時，有了=--—（3-3）=0,

m2+叫

此時MN過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為（3,0）,

當(dāng)2喈+1=2堀+1時，即訴=加；時，由叫鈾=一1,即仍=±1時,

有“v：x=2+l=3,亦過定點(diǎn)（3,0）,

故直線過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為（3,0）；

【小問2詳解】

由A（&%）、3（九2,%）、E（毛，為）、。（％4，乂），

V—"V

則金：＞=」3-L(x—xJ+弘,由y；=4X］、yl=4X2,

%3—Xj

才］.4xy；才+為為一?%%

i7y——2-----rx-------十%----------------------------1----------------------------1-----------

改4)%+%%+M%+M%+%%+M

44

4%?%%

y

4x1%%%+X為+X

同理可得品：＞=,聯(lián)立兩直線，即＜

%+%%+%4x?%九

y

%+%%+%

+4x,%%4x,y2y4

有十二十，

%+必%+M%+%%+%

即4x(%+%)+%%(%+%)=4x(%+X)+%%(%+%),

有x=-----77------------------『，由%%=-4,同理y3y4=-4，

4(%+%-一

故％=y2y4(%+%)—%%(%+%)=%%%+2y4-yy3y4-1%%

14(%+%—%—%)4(%+%—%—X)

「4(%+%-Q-、］

4(%+%-%-%)'

故％=T,

過點(diǎn)G作GQ〃x軸，交直線MN于點(diǎn)Q,則SGMN=；|%—%上昆―七|，

由M(2m^+1,2ml)、N(2那+1,2叫)，

2I2~

故1%一%|=2叫—2㈣=2叫+—>2\2m{x一二4,

m1V班

當(dāng)且僅當(dāng)叫=±1時，等號成立，

下證上一％124

由拋物線的對稱性，不妨設(shè)班〉0,則加2<°，

當(dāng)叫>1時，有加2=-」-€(-1,0),則點(diǎn)G在X軸上方，點(diǎn)。亦在無軸上方，

mx

---=-^->0(、

有咫+叫叫，由直線肱V過定點(diǎn)(3,0),

m2

此時,°_%|>3-(一1)=4,

同理，當(dāng)叫<1時，有點(diǎn)G在x軸下方，點(diǎn)。亦在x軸下方，

有-------<。，故此時卜。一龍G|>4，

當(dāng)且僅當(dāng)啊=1時，％=3,

故卜。一%