3.3 方差和標準差-八年級數(shù)學下冊同步課堂（浙教版）

3.3方差和標準差學習目標能熟練計算一組數(shù)據(jù)的方差和標準差；1我們要理解方差的計算公式，并會用它來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小解決一些實際問題；3我們要明白方差的意義，學會如何刻畫一組數(shù)據(jù)波動的大?。?探索方差產(chǎn)生的過程，發(fā)展合情推理的能力.4第一次第二次第三次第四次第五次甲命中環(huán)數(shù)78889乙命中環(huán)數(shù)1061068012234546810甲，乙兩名射擊手的測試成績統(tǒng)計如下：成績（環(huán)）射擊次序⑴請分別計算兩名射手的平均成績；⑵請根據(jù)這兩名射擊手的成績在下圖中畫出折線統(tǒng)計圖；誰的穩(wěn)定性好？應以什么數(shù)據(jù)來衡量？甲射擊成績與平均成績的偏差的和：乙射擊成績與平均成績的偏差的和：（7-8）+（8-8）+（8-8）+（8-8）+（9-8）=（10-8）+（6-8）+（10-8）+（6-8）+（8-8）=（10-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（6-8）2+（8-8）2=？（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2=？00怎么辦？甲射擊成績與平均成績的偏差的平方和：乙射擊成績與平均成績的偏差的平方和：找到啦！有區(qū)別了！216上述各偏差的平方和的大小還與什么有關(guān)？——與射擊次數(shù)有關(guān)！所以要進一步用各偏差平方的平均數(shù)來衡量數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性想一想計算公式：n表示樣本容量；X表示樣本平均數(shù)來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.方差用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大小(即這批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小).計算方差的步驟可概括為“先平均，后求差，平方后，再平均”.方差越大,說明數(shù)據(jù)的波動越大,越不穩(wěn)定.方差越小,說明數(shù)據(jù)的波動越小,越穩(wěn)定.方差的適用條件：當兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或相近時，才利用方差來判斷它們的波動情況．例:

為了考察甲、乙兩種小麥的長勢,分別從中抽出10株苗，測得苗高如下(單位:cm):

甲:12131415101613111511

乙:111617141319681016

問哪種小麥長得比較整齊?思考：求數(shù)據(jù)方差的一般步驟是什么？1、求數(shù)據(jù)的平均數(shù)；2、利用方差公式求方差。解110X甲=(12+13+14+15+10+16+13+11+15+11)=13(cm);110X乙=(11+16+17+14+13+19+6+8+10+16)=13(cm);s甲2=110(10-13)2+(14-13)2+(15-13)2+(16-13)2+[(12-13)2+(13-13)2+(11-13)2]=3.6(cm2);s甲2=110(13-13)2+(11-13)2+(15-13)2+S乙2=110(13-13)2+(17-13)2+(14-13)2+(19-13)2+(6-13)2+[(11-13)2+(16-13)2+(8-13)2+(10-13)2+(16-13)2]=15.8(cm2).因為S2甲＜S2乙,所以甲種小麥長得比較整齊.方差的單位和數(shù)據(jù)的單位是一致嗎?為使單位一致,怎么辦?用方差的算術(shù)平方根:

并把它叫做標準差(standarddeviation)

觀察和探究。（1）觀察下列各組數(shù)據(jù)并填空

A.1、2、3、4、5

B.11、12、13、14、15

C.10、20、30、40、50

D.3、5、7、9、11（2）分別比較A與B、A與C、A與D的計算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？方差的性質(zhì)xA=

SA2=

.xB=

SB2=

.xC=

SC2=

.xD=

SD2=

.321323020078B比A的平均數(shù)大10，兩者的方差相等；C是A的10倍，所以平均數(shù)也是十倍，方差是一百倍；A中相鄰兩數(shù)相差1，D中相鄰兩數(shù)相差2。歸納1.

如果一組數(shù)據(jù)X1X2X3……

Xn的平均數(shù)是x，方差是S2，

那么，X1±a,

X2±a

……

Xn±a

的平均數(shù)是x±a,方差是S2

；2.如果一組數(shù)據(jù)X1X2X3……

Xn

的平均數(shù)是x，方差是S2，

那么，bX1,bX2

……bXn

,的平均數(shù)是bx,方差是b2S2請你用發(fā)現(xiàn)的結(jié)論來解決以下的問題：已知數(shù)據(jù)a1，a2，a3，…，an的平均數(shù)為X，方差為Y,則①數(shù)據(jù)a1+3，a2+

3，a3+3

，…，an+3的平均數(shù)為-————-------，方差為-------；

②數(shù)據(jù)a1-3，a2-3，a3-3

，…，an-3的平均數(shù)為----------，方差為--------；

③數(shù)據(jù)3a1，3a2，3a3，…，3an的平均數(shù)為-----------，方差為----------.

④數(shù)據(jù)2a1-3，2a2-3，2a3-3

，…，2an-3的平均數(shù)為----------，方差為---------.

X+3YX-3Y3X9Y2X-34Y練一練舉一反三1、已知某樣本的方差是4，則這個樣本的標準差是———。2、已知一個樣本1、3、2、x、5，其平均數(shù)是3，則這個樣本的標準差是

。3、甲、乙兩名戰(zhàn)士在射擊訓練中，打靶的次數(shù)相同

，且射擊成績的平均數(shù)x甲

=x乙，如果甲的射擊成績比較穩(wěn)定，那么方差的大小關(guān)系是S2甲————S2乙。＜2

鞏固提升B1.有一組數(shù)據(jù)如下：3、a、4、6、7，它們的平均數(shù)是5，那么這組數(shù)據(jù)的方差是A.10B.C.2D.2.甲、乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件.在10天中，兩臺機床每天出次品的數(shù)量如下表.甲0102203124乙2311021101(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差；(2)從計算結(jié)果看，在10天中，哪臺機床出次品的平均數(shù)較??？哪臺機床出次品的波動較小？解:（1）；；（2）從計算結(jié)果看，在這10天中，乙機床出次品的平均數(shù)較小，由于，所以乙機床出次品的波動較?。?.甲、乙兩臺包裝機同時包裝糖果.從中各抽出10袋，測得它們的實際質(zhì)量（單位：g）如下表.甲501506508508497508506508507499乙505507505498505506505505506506(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差；(2)哪臺包裝機包裝的10袋糖果的質(zhì)量比較穩(wěn)定？解：（1）甲、乙兩臺包裝機包裝的糖果的平均質(zhì)量分別為：

甲、乙兩臺包裝機包裝的糖果的方差分別為．（2）由于，，所以乙包裝機包裝的10袋糖果的質(zhì)量比較穩(wěn)定.4.為了從甲、乙兩名學生中選擇一人去參加電腦知識競賽，在相同條件下對他們的電腦知識進行10次測驗，成績（單位：分）如下：甲的成績76849084818788818584乙的成績82868790798193907478（1）填寫下表：同學平均成績中位數(shù)眾數(shù)方差85分以上的頻率甲84840.3乙84843484900.514.4（2）利用以上信息，請從不同的角度對甲、乙兩名同學的成績進行評價。（2）利用以上信息，請從不同的角度對甲、乙兩名同學的成績進行評價從眾數(shù)看，甲成績的眾數(shù)為84分，乙成績的眾數(shù)是90分，乙的成績比甲好；從方差看，s甲2=14.4，s乙2=34，甲的成績比乙相對穩(wěn)定；從甲、乙的中位數(shù)、平均數(shù)看，中位數(shù)、平均數(shù)都是84分，兩人成績一樣好；從頻率看，甲85分以上的次數(shù)比乙少，乙的成績比甲好。方差意義（判斷數(shù)據(jù)