高一數(shù)學(xué)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象

關(guān)于高一數(shù)學(xué)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象（一）二次函數(shù)的定義

一般地，如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，a≠0),那么y叫做x的二次函數(shù).①②解：根據(jù)題意，得２第2頁,共16頁，2024年2月25日，星期天

（二）二次函數(shù)的幾種表達(dá)式：①、②、③、(頂點式)(一般式)(交點式)第3頁,共16頁，2024年2月25日，星期天

例2、已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)是-1、3，與y軸交點的縱坐標(biāo)是：（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo).（1）確定拋物線的解析式；你能用不同方法求解析式嗎?試試看哦開口向上;對稱軸直線x=1;頂點坐標(biāo)(1,-2)第4頁,共16頁，2024年2月25日，星期天拋物線開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸最值a>0a<0增減性a>0a<0當(dāng)a>0時開口向上，并向上無限延伸；當(dāng)a<0時開口向下，無限延伸.(h,k)直線直線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減小xyxy

（三）二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)第5頁,共16頁，2024年2月25日，星期天（四）研究二次函數(shù)的一般方法:

（1）配方（2）求函數(shù)的圖象與x軸的交點（3）列表描點作圖（4）函數(shù)圖象的對稱性質(zhì)（5）函數(shù)的增減性，最值第6頁,共16頁，2024年2月25日，星期天例3.研究函數(shù)的圖像與性質(zhì).

所以函數(shù)y=f(x)的圖像可以看作是由y=x2

經(jīng)一系列變換得到的，具體地說：先將y=x2

的圖像向左移動4個單位，再向下移動2個單位得到的圖像解：（1）配方得

（2）函數(shù)與x軸的交點是：(－6，0)和(－2，0)（0，6）函數(shù)與y軸的交點：第7頁,共16頁，2024年2月25日，星期天（4）函數(shù)f(x)在(－∞,－4]上是減函數(shù)，在[－4,+∞)

上是增函數(shù).（5）函數(shù)f(x)在x=－4時，取得最小值－2，記為ymin=－2.

它的圖象頂點為(－4，－2)（3）函數(shù)圖像的對稱性質(zhì)：函數(shù)的對稱軸是x=－4。如果一個函數(shù)f(x)滿足：

f(a+x)=f(a－x)，那么函數(shù)f(x)關(guān)于x=a對稱.第8頁,共16頁，2024年2月25日，星期天練習(xí).已知拋物線y=的的對稱軸x=2（1）求m的值，并判斷拋物線開口方向；（2）求函數(shù)的最值及單調(diào)區(qū)間。解：（1）因為拋物線的對稱軸是x=2，所以，解得m=2，m－1>0，拋物線的開口向上.（2）原函數(shù)整理得y=x2－4x+3=(x－2)2－1.

所以當(dāng)x=2時，ymin=－1.

單調(diào)增區(qū)間為[2,+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(－∞,2].第9頁,共16頁，2024年2月25日，星期天例4.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx(a，b為常數(shù))，x∈[－1，1]，（1）若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且f(1)=1，求a，b的值；（2）若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且f()=,求f(x)的值域。解：（1）因為函數(shù)f(x)=ax2+bx為偶函數(shù)，所以b=0，又f(1)=1，所以a=1.f(x)=x2.

（2）函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則a=0，b=1，所以f(x)=x，x∈[－1，1]，所以值域是[－1，1].第10頁,共16頁，2024年2月25日，星期天例5.已知函數(shù)f(x)=x2－4x+1，不計算函數(shù)值，比較f(－1)、f(1)、f(4)、f(5)的大小。解：f(x)=x2－4x+1=(x－2)2－3，對稱軸是x=2，在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù).

f(－1)=f(2－3)=f(2+3)=f(5)，

f(1)=f(2－1)=f(2+1)=f(3)，所以f(1)<f(4)<f(－1)=f(5).第11頁,共16頁，2024年2月25日，星期天例6.已知二次函數(shù)y=x2－mx+m－2，（1）證明：無論m為何值時，函數(shù)的圖象與x軸總有兩個交點；（2）m為何值時，這兩個交點之間的距離最小。解：（1）△=m2－4m+8=(m－2)2+4>0，所以無論m為何值時，函數(shù)的圖象與x軸總有兩個交點；（2）設(shè)方程的兩個解分別為x1，x2，則x1+x2=m，x1x2=m－2，(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2=m2－4m+8=(m－2)2+4.所以當(dāng)m=2時，|x1－x2|最小，最小值是2.第12頁,共16頁，2024年2月25日，星期天

能力訓(xùn)練

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則在下列各不等式中成立的個數(shù)是____________1-10xy①abc<0②a+b+c<0③a+c>b④2a+b=0⑤Δ=b2-4ac>0①④⑤第13頁,共16頁，2024年2月25日，星期天1.已知的圖象如圖所示,則a、b、c滿足()

(A)a<0,b<0,c<0;(B)a>0,b<0,c>0(C)a<0,b>0,c>0;(D)a<0,b<0,c>0Dx0y

反饋練習(xí)：第14頁,共16頁，2024年2月25日，星期天2、下列各圖中能表示函數(shù)y=ax+b和在同一坐