微專題06圓錐曲線中非對稱韋達定理問題的處理 2024年高考數(shù)學二輪復習高頻考點追蹤與預測（江蘇專用）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁微專題06圓錐曲線中非對稱韋達定理問題的處理研考題·聚焦關鍵詞解析幾何問題中的一些定值、定點、定線，經(jīng)常出現(xiàn)需要證明類似（為常數(shù)），為定值的情形，通過直線代換可得：，但此時的式子并不能完全整理為韋達定理的形式，這種式子一般稱為“非對稱韋達定理”題型一定直線例1【2023年新高考2卷21】1．已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.變式2．已知點A、分別是橢圓：的上、下頂點，、是橢圓的左、右焦點，，．(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線與橢圓交于不同兩點、（、與橢圓上、下頂點均不重合），證明：直線、的交點在一條定直線上．題型二定點例2（安徽省六校教育研究會2023-2024學年高三下學期下學期第二次素養(yǎng)測試（2月）數(shù)學試題）3．已知點是圓上任意一點，點關于點的對稱點為，線段的中垂線與直線相交于點，記點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若點，直線，過點的直線與交于兩點，直線與直線分別交于點．證明：的中點為定點．變式【江蘇省揚州市高郵中學2023屆高考前熱身訓練（二）】4．設直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點，且三角形的面積為.(1)求的值；(2)已知直線與軸不垂直且斜率不為0，與交于兩個不同的點，，關于軸的對稱點為，為的右焦點，若，，三點共線，證明：直線經(jīng)過軸上的一個定點.題型三定值例3（湖南省2024屆高三數(shù)學新改革提高訓練一）5．已知圓的方程,,，拋物線過兩點，且以圓的切線為準線.(1)求拋物線焦點的軌跡C的方程；(2)已知，設x軸上一定點，過T的直線交軌跡C于兩點（直線與軸不重合），求證：為定值.變式【江蘇省揚州中學2023屆高三下學期模擬檢測六】6．已知雙曲線的左、右焦點分別為，斜率為的直線l與雙曲線C交于兩點，點在雙曲線C上，且.(1)求的面積；(2)若（O為坐標原點），點，記直線的斜率分別為，問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.鞏固能力·突破高分（廣東省潮州市2022屆高三上學期期末數(shù)學試題）7．已知橢圓的離心率為，以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知點A，B為動直線y=k(x-2)(k≠0)與橢圓C的兩個交點，問：在x軸上是否存在定點E，使得為定值？若存在，試求出點E的坐標和定值；若不存在，請說明理由．8．已知雙曲線的右頂點為，左焦點到其漸近線的距離為2，斜率為的直線交雙曲線于A，B兩點，且．(1)求雙曲線的方程；(2)過點的直線與雙曲線交于P，Q兩點，直線，分別與直線相交于，兩點，試問：以線段為直徑的圓是否過定點?若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由．9．在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.（1）求的方程；（2）設點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.（江蘇省徐州市第七中學2023屆高三上學期一檢）10．已知雙曲線的實軸長為4，左?右頂點分別為，經(jīng)過點的直線與的右支分別交于兩點，其中點在軸上方.當軸時，(1)設直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.11．已知為的兩個頂點，為的重心，邊上的兩條中線長度之和為.(1)求點的軌跡的方程；(2)過作不平行于坐標軸的直線交于D，E兩點，若軸于點M，軸于點N，直線DN與EM交于點Q.①求證：點Q在一條定直線上，并求此定直線；②求面積的最大值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．(1)(2)證明見解析.【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；（2）設出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標分別寫出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達定理計算可得，即交點的橫坐標為定值，據(jù)此可證得點在定直線上.【詳解】（1）設雙曲線方程為，由焦點坐標可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設，顯然直線的斜率不為0，所以設直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點在定直線上運動.【點睛】關鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應用能力，其中根據(jù)設而不求的思想，利用韋達定理得到根與系數(shù)的關系可以簡化運算，是解題的關鍵.2．(1)(2)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)體積確定橢圓中、的值，得出橢圓的標準方程.（2）先設出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系，寫出，，再表示出直線、，確定其交點，并判斷它們的交點在一條定直線上.【詳解】（1）由，，所以所求橢圓的標準方程為：.（2）如圖：過點的直線與橢圓相交于、兩點，因為、不與A、重合，故直線的斜率一定存在.設直線方程為：，聯(lián)立方程組：，消去得：.設，，則，.所以.直線：；直線:.所以：.所以：.即直線與的交點在定直線上.【點睛】方法點睛：求證點在定直線上的問題，一般可以采用以下方法：（1）求出點的坐標，根據(jù)橫縱坐標的關系，寫出直線方程，得到點在定直線上；（2）大膽猜測定直線的性質(zhì)，如該題就大膽猜測兩直線的交點所在的直線與軸平行，所以直接消去x，得到y(tǒng)的值，從而確定交點在定直線上.3．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由雙曲線定義得到點的軌跡是以為焦點的雙曲線，求出答案；（2）設，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，得到直線，求出的坐標，同理得到的坐標，得到的中點坐標.【詳解】（1）由題意可得，且為的中點，又為的中點，所以，且．因為點關于點的對稱點為，線段的中垂線與直線相交于點，由垂直平分線的性質(zhì)可得，所以，所以由雙曲線的定義可得，點的軌跡是以為焦點的雙曲線．，故曲線的方程為；（2）由題意可知：直線的斜率存在，設，聯(lián)立方程，消去得：，則，解得，且，①由，得直線，令，解得，即，同理可得，則，所以的中點為定點.【點睛】求軌跡方程常用的方法：直接法，相關點法，交軌法，定義法，特別重視圓錐曲線的定義在求軌跡方程中的應用，只要動點滿足已知曲線的定義，就可直接得到所求軌跡方程，求解過程中要注意一些軌跡問題中包含隱含條件，也就是曲線上的點的坐標的取值范圍，有時還要補充特殊點的坐標.4．(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出雙曲線的漸近線方程，從而得到兩點的坐標，得到三角形的面積為，列出方程，求出的值；（2）設出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)三點共線，得到斜率相等，列出方程，代入后求解出，求出直線所過的定點.【詳解】（1）雙曲線：的漸近線方程為，不妨設，因為三角形的面積為，所以，所以，又，所以.（2）雙曲線的方程為：，所以右焦點的坐標為，依題意，設直線與軸交于點，直線的方程為，設，，則，聯(lián)立，得，且，化簡得且，所以，，因為直線的斜率存在，所以直線的斜率也存在，因為，，三點共線，所以，即，即，所以，因為，所以，所以，所以，化簡得，所以經(jīng)過軸上的定點.

【點睛】關鍵點睛：本題第二問的關鍵是設直線的方程為，，，則，再將其與雙曲線方程聯(lián)立，從而得到韋達定理式，根據(jù)三點共線，則有，整理代入韋達定理式化簡求出值即可.5．(1)；(2)證明見解析．【分析】（1）是圓的切線，分別過作直線的垂直，垂足分別為，由，利用橢圓定義可得軌跡方程；（2）設直線的方程為，設，直線方程代入橢圓方程后應用韋達定理得，然后計算，代入化簡可得．【詳解】（1）如圖，是圓的切線，分別過作直線的垂直，垂足分別為，又是中點，則是直角梯形的中位線，，設是以為準線的拋物線的焦點，則，，所以，所以點軌跡是以為焦點的橢圓，橢圓長軸長為8，，則，因此，所以拋物線的焦點軌跡方程為；

（2）由題意設直線的方程為，設，由得，，，，代入，，得為常數(shù)．

【點睛】方法點睛：本題考查橢圓中定值問題，解題方法是設交點坐標．設直線方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組后消元應用韋達定理得（或），利用交點坐標計算出要證明常數(shù)的量，然后代入韋達定理的結(jié)果化簡變形即可得．6．(1)(2)為定值.·【分析】（1）設，根據(jù)兩點間長度得出與，即可根據(jù)已知列式解出，即可得出答案；（2）根據(jù)第一問得出雙曲線的方程，設，直線l的方程為，根據(jù)韋達定理得出，即可根據(jù)直線方程得出與，則根基兩點斜率公式得出，化簡代入即可得出答案.【詳解】（1）依題意可知，，則，，又，所以，解得（舍去），又，所以，則，所以的面積.（2）由（1）可，解得，所以雙曲線C的方程為，設，則，則，，設直線l的方程為，與雙曲線C的方程聯(lián)立，消去y得：，由，得，由一元二次方程根與系數(shù)的關系得，所以，，則，故為定值.·7．(1)(2)存在定點，使得為定值【分析】（1）求得圓得方程，由直線與圓相切得條件，可得的值，再由離心率可求得，從而可得，即可得出答案；（2），假設存在，設，，聯(lián)立,消，利用韋達定理求得，分析計算從而可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：由離心率為，得，及，又以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓為，且與直線相切，所以，所以，，所以橢圓C的標準方程為；（2）解：假設存在，設，聯(lián)立,消整理得，，設，則，由，則，要使上式為定值，即與無關，則應，即，此時為定值，所以在x軸上存在定點，使得為定值.【點睛】本題考查了橢圓方程的求法，考查了滿足條件的定點是否存在的判斷與方法，考查了定值定點問題，考查了學生的計算能力和數(shù)據(jù)分析能力，計算量較大.8．(1)(2)以線段為直徑的圓過定點和．【分析】（1）根據(jù)點到直線的距離公式即可求解，進而聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)弦長公式即可求解，（2）聯(lián)立直線與曲線的方程得韋達定理，根據(jù)圓的對稱性可判斷若有定點則在軸上，進而根據(jù)垂直關系得向量的坐標運算，即可求解.【詳解】（1）∵雙曲線的左焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為，而，∴．∴雙曲線的方程為．依題意直線的方程為．由消去y整理得：，依題意：，，點A，B的橫坐標分別為，則．∵，∴．∴，∴．即，解得或（舍去），且時，，∴雙曲線的方程為．（2）依題意直線的斜率不等于0，設直線的方程為．由消去整理得：，∴，．設，，則，．直線的方程為，令得：，∴．同理可得．由對稱性可知，若以線段為直徑的圓過定點，則該定點一定在軸上，設該定點為，則，，故．解得或．故以線段為直徑的圓過定點和．【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵是根據(jù)圓的對稱性可判斷定點在坐標軸上，結(jié)合向量垂直的坐標運算化簡求解就可，對計算能力要求較高.9．（1）；（2）.【分析】(1)利用雙曲線的定義可知軌跡是以點、為左、右焦點雙曲線的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程；(2)方法一：設出點的坐標和直線方程，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，結(jié)合韋達定理求得直線的斜率，最后化簡計算可得的值.【詳解】(1)因為，所以，軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，設軌跡的方程為，則，可得，，所以，軌跡的方程為.（2）[方法一]【最優(yōu)解】：直線方程與雙曲線方程聯(lián)立如圖所示，設,設直線的方程為．

聯(lián)立,化簡得.則．故．則．設的方程為，同理．因為，所以，化簡得，所以，即．因為，所以．[方法二]：參數(shù)方程法設．設直線的傾斜角為，則其參數(shù)方程為，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，可得，整理得．設，由根與系數(shù)的關系得．設直線的傾斜角為，，同理可得由，得．因為，所以．由題意分析知．所以，故直線的斜率與直線的斜率之和為0．[方法三]：利用圓冪定理因為，由圓冪定理知A，B，P，Q四點共圓．設,直線的方程為，直線的方程為,則二次曲線．又由，得過A，B，P，Q四點的二次曲線系方程為：，整理可得：，其中．由于A，B，P，Q四點共圓，則xy項的系數(shù)為0，即.【整體點評】(2)方法一：直線方程與二次曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理處理圓錐曲線問題是最經(jīng)典的方法，它體現(xiàn)了解析幾何的特征，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：參數(shù)方程的使用充分利用了參數(shù)的幾何意義，要求解題過程中對參數(shù)有深刻的理解，并能夠靈活的應用到題目中.方法三：圓冪定理的應用更多的提現(xiàn)了幾何的思想，二次曲線系的應用使得計算更為簡單.10．(1)；(2).【分析】（1）法一：根據(jù)實軸長，求得a值，根據(jù)題意，求得，可得b值，即可得曲線C方程，設直線方程為，與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達定理，可得表達式，代入，化簡整理，即可得答案.法二：由題意，求得a，b的值，即可得曲線C方程，設方程為，與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達定理，可得表達式，代入，化簡整理，即可得答案.（2）法一：因為，根據(jù)二倍角的正切公式，結(jié)合及，化簡計算，可得，進而可得方程，與曲線C聯(lián)立，可得M點坐標，即可得直線的方程，根據(jù)面積公式，即可得答案.法二：設，由，結(jié)合二倍角正切公式，可得的值，進而可得直線方程，與曲線C聯(lián)立，可得，同理可得，代入面積公式，即可得答案.【詳解】（1）法一：因為，所以，令得，所以，解得，所以的方程為顯然直線與軸不垂直，設其方程為，聯(lián)立直線與的方程，消去得，當時，，設，則.因為，所以.法二：由題意得，解得，雙曲線的方程為.設方程為，聯(lián)立，可得，，，，.（2）法一：因為，所以，又因為，所以，即，（※）將代入（※）得，因為在軸上方，所以，所以直線方程為，聯(lián)立與直線方程，消去得，，解得或（舍），所以，代入，得，所以直線方程為，聯(lián)立與直線方程，消去得，，解得或，所以的面積為.法二：設，由，可得，，解