復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)

復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)1第1頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月一、問題的引入問題:任一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)來表達(dá)？.內(nèi)任意點(diǎn)如圖:.K.2第2頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月由柯西積分公式,有其中K取正方向.則3第3頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月4第4頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月由高階導(dǎo)數(shù)公式,上式又可寫成其中可知在K內(nèi)5第5頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月令則在K上連續(xù),6第6頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月即存在一個正常數(shù)M,7第7頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月在內(nèi)成立,從而在K內(nèi)圓周的半徑可以任意增大,只要內(nèi)成立.在的泰勒展開式,在泰勒級數(shù)8第8頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月如果到的邊界上各點(diǎn)的最短距離為那末在的泰勒展開式在內(nèi)成立．因?yàn)榉矟M足的必能使由上討論得重要定理——泰勒展開定理在的泰勒級數(shù)的收斂半徑至少等于，但9第9頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月二、泰勒定理其中泰勒級數(shù)泰勒展開式定理設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析,為

內(nèi)的一為到的邊界上各點(diǎn)的最短距離,那末點(diǎn),時,成立,當(dāng)泰勒介紹10第10頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月說明:1.復(fù)變函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的條件要比實(shí)函數(shù)時弱得多;(想一想,為什么?)4.任何解析函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒級數(shù)是唯一的.(為什么?)11第11頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月因?yàn)榻馕觯梢员ＷC無限次可各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性;所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級數(shù)的實(shí)用范圍就要比實(shí)變函數(shù)廣闊的多.注意問題：利用泰勒級數(shù)可以將函數(shù)展開為冪級數(shù)，展開式是否唯一？12第12頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月那末即因此,任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù),因而是唯一的.13第13頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月三、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)常用方法:

直接法和間接法.1.直接法:由泰勒展開定理計(jì)算系數(shù)14第14頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，故有15第15頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月仿照上例,16第16頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月2.間接展開法:借助于一些已知函數(shù)的展開式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo),積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的泰勒展開式.間接法的優(yōu)點(diǎn):不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開更為簡潔,使用范圍也更為廣泛.17第17頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，18第18頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月附:常見函數(shù)的泰勒展開式19第19頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月20第20頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解四、典型例題21第21頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),22第22頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例2分析如圖,23第23頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月即將展開式兩端沿C逐項(xiàng)積分,得解24第24頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例3

解25第25頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例4解26第26頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例5解27第27頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例6解即微分方程對微分方程逐次求導(dǎo)得:28第28頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月29第29頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月五、小結(jié)與思考通過本課的學(xué)習(xí),應(yīng)理解泰勒展開定理,熟記五個基本函數(shù)的泰勒展開式,掌握將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法,能比較熟練的把一些解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù).30第30頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月奇、偶函數(shù)的泰勒級數(shù)有什么特點(diǎn)?思考題31第31頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月奇函數(shù)的泰勒級數(shù)只含z的奇次冪項(xiàng),偶函數(shù)的泰勒級數(shù)只含z的偶次冪項(xiàng).思考題答案放映結(jié)束，按Esc退出.32第32頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月泰勒資料Born:18Aug1685inEdmonton,Middlesex,England

Died:29Dec1731inSomersetHouse,Londo