高數(shù)同濟(jì)六版課件D15極限運(yùn)算法則

高數(shù)同濟(jì)六版課件D15極限運(yùn)算法則contents目錄引言極限的基本概念極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算的應(yīng)用極限運(yùn)算的注意事項(xiàng)極限運(yùn)算的拓展知識(shí)01引言背景高等數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程，極限運(yùn)算是其中的重要內(nèi)容之一。同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)教材是國內(nèi)廣泛使用的高等數(shù)學(xué)教材之一，其內(nèi)容豐富、系統(tǒng)、嚴(yán)謹(jǐn)。目的本節(jié)課旨在介紹同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)教材中的極限運(yùn)算法則，幫助學(xué)生掌握極限運(yùn)算的基本方法和技巧，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。背景和目的微積分是研究變量的數(shù)學(xué)分支，而極限運(yùn)算是微積分的基礎(chǔ)和核心。掌握極限運(yùn)算對(duì)于學(xué)習(xí)微積分具有重要意義。極限運(yùn)算是微積分的基礎(chǔ)極限運(yùn)算不僅在數(shù)學(xué)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，而且在物理、化學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域也有著重要的應(yīng)用。掌握極限運(yùn)算對(duì)于解決實(shí)際問題具有重要意義。極限運(yùn)算在實(shí)際應(yīng)用中的廣泛性極限運(yùn)算的重要性介紹極限的加法、減法、乘法、除法運(yùn)算法則，以及這些法則的應(yīng)用條件和注意事項(xiàng)。極限的四則運(yùn)算法則介紹復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則，包括極限的鏈?zhǔn)椒▌t和換元法則等。極限的復(fù)合運(yùn)算法則介紹一些常用的極限運(yùn)算技巧，如等價(jià)無窮小替換、洛必達(dá)法則、泰勒公式等，以及這些技巧的應(yīng)用范圍和限制條件。極限運(yùn)算的常用技巧通過解析一些典型的極限運(yùn)算例題，幫助學(xué)生加深對(duì)極限運(yùn)算法則的理解和掌握，提高解題能力。典型例題解析本節(jié)課的主要內(nèi)容02極限的基本概念對(duì)于數(shù)列{xn}，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，如果數(shù)列的項(xiàng)xn無限接近于某個(gè)常數(shù)a，則稱a為數(shù)列{xn}的極限。對(duì)于函數(shù)f(x)，當(dāng)x趨于某個(gè)點(diǎn)x0（或無窮大）時(shí)，如果函數(shù)值f(x)無限接近于某個(gè)常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于x0（或無窮大）時(shí)的極限。極限的定義函數(shù)極限的定義數(shù)列極限的定義有界性如果數(shù)列或函數(shù)有極限，那么它們在極限點(diǎn)的附近是有界的。唯一性一個(gè)數(shù)列或函數(shù)在同一變化過程中的極限是唯一的。保號(hào)性如果數(shù)列或函數(shù)的極限大于0（或小于0），那么在極限點(diǎn)的附近，數(shù)列或函數(shù)的項(xiàng)也大于0（或小于0）。極限的性質(zhì)如果數(shù)列{xn}單調(diào)增加（或減少）且有上界（或下界），則數(shù)列{xn}必有極限。單調(diào)有界數(shù)列必有極限對(duì)于任何正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)m>N，n>N時(shí)，有|xm-xn|<ε，則數(shù)列{xn}存在極限。對(duì)于函數(shù)極限也有類似的柯西準(zhǔn)則?？挛鳒?zhǔn)則極限存在的條件03極限運(yùn)算法則第二季度第一季度第四季度第三季度加法運(yùn)算法則減法運(yùn)算法則乘法運(yùn)算法則除法運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則若兩個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則它們在該點(diǎn)的和的極限等于這兩個(gè)極限的和。若兩個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則它們在該點(diǎn)的差的極限等于這兩個(gè)極限的差。若兩個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則它們在該點(diǎn)的積的極限等于這兩個(gè)極限的積。特別地，當(dāng)其中一個(gè)極限為零，而另一個(gè)極限為有限數(shù)時(shí)，其積的極限為零。若兩個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，且分母函數(shù)的極限不為零，則它們在該點(diǎn)的商的極限等于這兩個(gè)極限的商。復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則若函數(shù)f(u)在u0點(diǎn)連續(xù)，且lim(u->u0)g(x)=u0，則lim(x->x0)f[g(x)]=f(u0)。即當(dāng)內(nèi)層函數(shù)的極限存在且外層函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)的極限可以由內(nèi)層函數(shù)極限和外層函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值確定。特別注意在使用復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則時(shí)，需要特別注意內(nèi)層函數(shù)的極限是否存在以及外層函數(shù)是否連續(xù)。否則，不能直接應(yīng)用該法則。極限的復(fù)合運(yùn)算法則換元法求極限01在某些復(fù)雜的極限問題中，可以通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將問題簡化。換元法求極限的關(guān)鍵在于選擇合適的代換變量，使得代換后的表達(dá)式更易于求解。常用的換元方法02常見的換元方法包括三角代換、根式代換、倒數(shù)代換等。具體使用哪種換元方法需要根據(jù)問題的特點(diǎn)來選擇。換元后的注意事項(xiàng)03在換元后，需要注意新變量的取值范圍是否與原變量一致，以及新表達(dá)式是否與原表達(dá)式等價(jià)。只有在保證等價(jià)性的前提下，才能通過求新表達(dá)式的極限來得到原表達(dá)式的極限。極限的換元運(yùn)算法則04極限運(yùn)算的應(yīng)用03利用洛必達(dá)法則求極限對(duì)于未定式極限，可以通過洛必達(dá)法則將其轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的比值來求解。01利用極限運(yùn)算法則求極限通過對(duì)函數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算等，利用已知的極限運(yùn)算法則求出函數(shù)的極限值。02利用無窮小量性質(zhì)求極限利用無窮小量的性質(zhì)，如無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量等，來簡化函數(shù)并求出極限值。求函數(shù)的極限值123如果函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則該函數(shù)在該點(diǎn)收斂；否則，函數(shù)在該點(diǎn)發(fā)散。利用極限存在準(zhǔn)則判斷斂散性對(duì)于級(jí)數(shù)形式的函數(shù)，可以利用級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)來判斷其斂散性。利用級(jí)數(shù)收斂性質(zhì)判斷斂散性通過與已知斂散性的函數(shù)進(jìn)行比較，來判斷未知函數(shù)的斂散性。利用比較判別法判斷斂散性判斷函數(shù)的斂散性利用微積分基本定理解決實(shí)際問題微積分基本定理建立了定積分與不定積分之間的聯(lián)系，可以利用它來求解一些實(shí)際問題中的定積分或不定積分問題。利用數(shù)值計(jì)算方法解決實(shí)際問題對(duì)于一些復(fù)雜的實(shí)際問題，往往需要通過數(shù)值計(jì)算方法來進(jìn)行求解，其中極限運(yùn)算是數(shù)值計(jì)算中的重要環(huán)節(jié)之一。利用極限思想解決實(shí)際問題在實(shí)際問題中，往往需要考慮某種趨勢或變化率，這時(shí)可以利用極限思想來建立數(shù)學(xué)模型并求解。解決實(shí)際問題05極限運(yùn)算的注意事項(xiàng)遵循先乘除后加減的原則在沒有括號(hào)的情況下，應(yīng)按照先乘除后加減的順序進(jìn)行運(yùn)算，以避免出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果。注意運(yùn)算級(jí)別的變化在進(jìn)行復(fù)雜的極限運(yùn)算時(shí)，應(yīng)密切關(guān)注運(yùn)算級(jí)別的變化，及時(shí)調(diào)整運(yùn)算順序，以確保最終結(jié)果的正確性。優(yōu)先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的部分在進(jìn)行極限運(yùn)算時(shí)，應(yīng)優(yōu)先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式，以確保運(yùn)算順序的正確性。運(yùn)算順序的注意事項(xiàng)利用特殊極限公式對(duì)于一些特殊的極限形式，如0/0型、∞/∞型等，可以利用相應(yīng)的特殊極限公式進(jìn)行計(jì)算，以簡化運(yùn)算過程。變量替換法對(duì)于一些難以直接計(jì)算的極限表達(dá)式，可以嘗試進(jìn)行變量替換，將其轉(zhuǎn)化為更易于計(jì)算的形式。洛必達(dá)法則對(duì)于滿足一定條件的極限表達(dá)式，可以利用洛必達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算，得到正確的結(jié)果。特殊極限的處理方法在進(jìn)行極限運(yùn)算時(shí)，必須嚴(yán)格遵守運(yùn)算順序，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果。忽略運(yùn)算順序在使用特殊極限公式時(shí)，應(yīng)注意其適用范圍和條件，避免誤用導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。誤用特殊極限公式在進(jìn)行極限運(yùn)算時(shí)，應(yīng)關(guān)注變量的變化范圍，確保最終結(jié)果的正確性。同時(shí)，還需要注意一些細(xì)節(jié)問題，如符號(hào)的變化、絕對(duì)值的處理等。忽略變量變化范圍避免常見錯(cuò)誤06極限運(yùn)算的拓展知識(shí)函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)是指函數(shù)在該點(diǎn)處的極限值等于函數(shù)值。連續(xù)性的定義極限與連續(xù)的聯(lián)系極限與連續(xù)的區(qū)別函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，極限是判斷函數(shù)連續(xù)性的重要工具。連續(xù)是函數(shù)的一種性質(zhì)，而極限是一個(gè)過程，連續(xù)是建立在極限基礎(chǔ)上的。030201極限與連續(xù)的關(guān)系導(dǎo)數(shù)是通過極限來定義的，表示函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率。導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的計(jì)算依賴于極限，極限是求導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)。極限與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率，是一個(gè)數(shù)值；而極限是一個(gè)過程，表示函數(shù)值趨近于某個(gè)值。極限與導(dǎo)數(shù)的區(qū)別極限與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系極限是微積分的基礎(chǔ)微積分中的許多重要概念，如導(dǎo)數(shù)、積分等，