浙江省杭州地區(qū)七校2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題含解析

浙江省杭州地區(qū)七校2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，S?=2a?+l（2>l）,%=一2,則&=（）

A.-2047B.-1023

C.1025D.2049

2.已知a=（再—4,2）,。=（3,%—5）,若也,則f+J的取值范圍為（）

A.[2,+oo）B.[3,+oo）

C.[4,+co）D.[5,+OO）

3.已知數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為。，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列他,｝滿足2=匕若對(duì)任意的都有2?.白成

an

立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是。

A.[—6,—5]B.(-

C.[—5,—4]D.(~5,—4)

22

4.如圖，片、心分別為橢圓C:5+3=l（a〉b〉0）的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓。上的點(diǎn)，。是線段「耳上靠近耳

ab

的三等分點(diǎn)，.P24為正三角形，則橢圓。的離心率為（）

5.從集合｛2,4,6,8｝中任取兩個(gè)不同元素，則這兩個(gè)元素相差2的概率為()

2

D.-

3

6.某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為。

7.已知函數(shù)方(x)=丁。則下列判斷正確的是()

A.直線y=ex-l與曲線y=相切

B.函數(shù)/(x)只有極大值，無極小值

C.若tx與t2互為相反數(shù)，則Z,。)的極值與反(了)的極值互為相反數(shù)

D.若tx與t2互為倒數(shù)，則人(%)的極值與工2(x)的極值互為倒數(shù)

8.對(duì)任意實(shí)數(shù)"c,在以下命題中，正確的個(gè)數(shù)有。

①若ac1<be2，則a<b；②若a>b,則/>1；

b

③若則。(同；④若a>l>9>0,則log“(a—b)>0

A」B.2

C.3D.O

9.已知函數(shù)/。）=學(xué)亙在x=4處取得極值，則/（尤）的極大值為（）

x+a

1

A.-B.1

1

C.一一D.T

4

10.已知直線x+陽+6=0和（加一2）x+3y+2加=0互相平行，則實(shí)數(shù)加的取值為（）

A-1或3B.-1

C.-3D.1或—3

22

11.“-3<m<4”是“方程」一+^^=1表示橢圓”的（）條件

4-mm+3

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

12.二項(xiàng)式（l+x）s的展開式中，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和是（）

A.2B.8

C.16D.32

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若向量a=（l,2,2）,Z?=（2,1,2）,c=（1,4,m）,且向量a,b，c共面，則〃z=

27r

14.已知圓錐的側(cè)面積為若其過軸的截面為正三角形，則該圓錐的母線的長為.

15.已知函數(shù)/（乃二白，數(shù)列｛4｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，且4o=l,貝!I

X十1

/（。1）+/（。2）+/（。3）+…+/（。18）+/（須）=

16.已知圓0：必+/=1,過點(diǎn)次2,1）作圓。的切線，則切線方程為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知直線（：x+ay-2=0,Z2:（?-2）x+3ay+2a=Q,分別求實(shí)數(shù)a的值，使得:

（1）”〃2；

（2）/j±Z2；

（3）4與4相交.

18.（12分）已知圓C:x2+y2—6x—4y+4=0

(1)若一直線被圓C所截得的弦的中點(diǎn)為M(2,3),求該直線的方程；

(2)設(shè)直線/：y=x+機(jī)與圓C交于A,B兩點(diǎn),把△C4B的面積S表示為機(jī)的函數(shù)，并求S的最大值

n+,

19.(12分)已知｛4｝數(shù)列滿足q=2,an+I-2a?=2.

(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列.

(2)求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和T”.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=or-lnx.

⑴若a=l,求函數(shù)在(1］(D)處的切線方程;

(2)討論函數(shù)y=f(x)在工2］上的單調(diào)性.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=xlnx+l.

(1)求函數(shù)y=/(x)在x=e處的切線方程；

(2)設(shè)/■'(*)為y=/(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程"(x)=2x+a的兩根為玉,吃,且不＜々，當(dāng)，＞0時(shí)，不等式

。＜(2-/)%+%對(duì)任意的％,王e((0,+8)恒成立，求正實(shí)數(shù)f的最小值.

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，橢圓。:，+，=1(?！怠！?)的離心率為手，且點(diǎn)［&，￥］在橢圓C上

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)P(LO)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),試探究直線y=x上是否存在定點(diǎn)Q,使得上出+左緲為定值X.若

存在，求出定點(diǎn)。的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)彳的值；若不存在，請(qǐng)說明理由

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

Ss幾＞2

【解析】根據(jù)題意得4=2,進(jìn)而根據(jù)4="一得數(shù)列｛q,｝是等比數(shù)列，公比為2,首項(xiàng)為q=-1,再

根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.

【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為s“滿足s“=2?“+l(/l＞l),4=-2

所以當(dāng)”=1時(shí)，Sj=+1=a；,解得％=——，

1-A

當(dāng)〃=2時(shí)，S=Aa+1=6+%=~~~—F%，即一22+1=---2

221—X1—A

所以2彳2一52+2=0,解得2=(或2=2,

因?yàn)閹祝?,所以2=2.

所以5“=2。"+1,q=T,

所以當(dāng)2時(shí)，S,i=2a,i+1,

所以q=2an-2ayI,即an=24T

所以數(shù)列｛&｝是等比數(shù)列，公比為2,首項(xiàng)為4=-1,

10

所以/=—(J)=1-2=-1023

101-2

故選：B

2、C

【解析】根據(jù)題意°-6=(x,-4,2).(3,%-5)=3尤-4y-10=0,由f+y2為原點(diǎn)到直線3x-4y-10=0上點(diǎn)的距離的平

方，再根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短，即可求得范圍.

【詳解】由ab=(x,-4,2)?(3,y-5)-4y-10=0,

視f+y?為原點(diǎn)到直線3工-4〉-10=0上點(diǎn)的距離的平方,

根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短,

|-10|

可得4nin==2,

游+(-4)2

所有x2+y2的取值范圍為巴+8),

故選：c.

3、D

【解析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得為="+1-1,再結(jié)合題意得數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，且滿足為＜0，。6＞。，即

etc--5+62—1<0

f+a-1>?！俳獠坏仁郊纯傻么鸬?/p>

【詳解】解：根據(jù)題意：數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為。，公差為1的等差數(shù)列,

所以？=〃+〃一1,

/、71+4”I1

由于數(shù)列出｝滿足句=-^=一+1,

anan

一II

所以一…一對(duì)任意的都成立,

冊%

故數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，且滿足％<0，。6〉0,

a.=5+?！?<0

所以

=6+。一1〉0

解得-5<a<-4

故選：D

4、D

【解析】根據(jù)橢圓定義及正三角形的性質(zhì)可得到|尸耳|\|尸耳再在△尸片耳中運(yùn)用余弦定理得到。、c的關(guān)系，進(jìn)而

求得橢圓的離心率

3

【詳解】由橢圓的定義知，|/閨+|尸E|=2a,則1PQ|+|PK|=2a,

因尸。月為正三角形，所以|「典=彳，|P周=彳

在△尸片月中，由余弦定理得4c2=—a2+—a2-2x—x—xcos60°tz2,

25255525

貝!Ie2=1e=-,

255

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率的求解，考查考生的邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力，屬于中等題.

5、B

irj

【解析】一一列出所有基本事件，然后數(shù)出基本事件數(shù)〃和有利事件數(shù)加，代入古典概型的概率計(jì)算公式。=—,即

n

可得解.

【詳解】解：從集合｛2,4,6,8｝中任取兩個(gè)不同元素的取法有（2,4）、（2,6）、（2,8）、（4,6）、（4,8）、（6,8）共6種,

其中滿足兩個(gè)元素相差2的取法有(2,4)、(4,6)、(6,8)共3種.故這兩個(gè)元素相差2的概率為g.

故選：B.

6、A

【解析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體(三棱錐)，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可計(jì)算該幾何體的表面積.

【詳解】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐O-ABC,

其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，

由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長為1,

故其表面積為3x』xlxl+走=55,

24')2

故選：A.

【解析】求出函數(shù)￡(x)=y(/eRjwO)的導(dǎo)函數(shù)，通過在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為該點(diǎn)處切線的斜率，求出切線方程，并

且判斷出極值，通過結(jié)合a與互為相反數(shù)，若。與才2互為倒數(shù)，分別判斷Z,(X)的極值與A(%)的極值是否互為相

反數(shù)，以及是否互為倒數(shù).

【詳解】￡(%)=華(北氏"0),fa)」：”令f(x)=O,得Inx」，所以f=e，

XXt

因?yàn)椤?1)=1，/⑴=0,所以曲線y=/；(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y=x-i,故A錯(cuò)；

當(dāng).<0時(shí)，存在/e(0,+oo)使￡(%)=0,且當(dāng)xe(O,Xo)時(shí)，/(%)<0；

當(dāng)xe(xo，+s)時(shí)，/(%)>0,即工⑴有極小值，無極大值，故B錯(cuò)誤；

設(shè)％為￡(x)的極值點(diǎn)，則芯=e,且ln%o=；,

所以〃X0）=TU」e=T=U當(dāng)…2=。時(shí)，

4（%）+月（％）=：（甘）=o；當(dāng)%=i時(shí)，或（/）.右（/）=471,

e'i"2e

故C正確，D錯(cuò)誤.

8、B

【解析】直接利用不等式的基本性質(zhì)判斷.

【詳解】①因?yàn)閍c2Vbe2,則02＞。，根據(jù)不等式性質(zhì)得。＜。，故正確;

②當(dāng)。=1力=—1時(shí)，a＞b,而q＜1,故錯(cuò)誤；

b

③因?yàn)槎旧?所以0＜6＜人即時(shí)＜M|,aW網(wǎng)，故正確;

ab

3i

④當(dāng)。=萬2=5時(shí)，log/?！罚?o,故錯(cuò)誤；

故選：B

9、B

【解析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得了'（4）=0,即可求出參數(shù)。的值，從而得到函數(shù)解析式，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)

得到函數(shù)單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值點(diǎn)，從而求出函數(shù)的極大值；

□_,丫_2（/+〃）—2x（3—2x）2%2-6x―2a

【詳解】解：因?yàn)?（x）=4,所以/'（x）=\/、2------=一~］，依題意可得/"（4）=0,即

x+Q（爐+勾（/+a）

2

2x42—6x4—2〃n3—2元,，（、2x-6x-82（x+l）（x-4）

儼+同二°，解得。=4,所以”x）=泊定義域?yàn)镽,且八刈=正仁=6+=,令/'（可＞0,

解得光＞4或令/'（x）＜0解得—l＜x＜4,即"％）在（—8,—1）和（4,+8）上單調(diào)遞增，在（—1,4）上單調(diào)遞

,、，、3—2x（—1）

減，即在％=—1處取得極大值，在x=4處取得極小值，所以/'（X）極大值=/（一1）=''=1；

+4

故選:B

10、B

【解析】利用兩直線平行的等價(jià)條件求得實(shí)數(shù)m的值.

【詳解】,??兩條直線x+my+6=0和（m-2）x+3y+2m=0互相平行，

1x3-mm-2=0

2m-6(m-2)w0

解得m=-1,

故選B

【點(diǎn)睛】已知兩直線的一般方程判定兩直線平行或垂直時(shí)，記住以下結(jié)論，可避免討論:

已知丸：4%+4,+G=o，

/2:+B2y+C2-0,

4芻-44=0

則4//乙o<

4G—A,G力o

Z[±Z2<4>A4+BtB2=0

11、B

221

【解析】求出方程」一+-J=1表示橢圓的充要條件是-3＜相＜4且機(jī)彳彳，由此可得答案.

4—mm+32

4-m＞0

22i

【詳解】因?yàn)榉匠獭挂?^^=1表示橢圓的充要條件是m+3〉0，解得一3＜7〃＜4且加力彳,

4—mm+3._2

4—mWm+3

所以“-3＜機(jī)＜4”是“方程二二+二二=1表示橢圓”的必要不充分條件.

4-mm+3

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查了由方程表示橢圓求參數(shù)的范圍，考查了充要條件和必要不充分條件，本題易錯(cuò)點(diǎn)警示:漏掉

4—m^m+3，本題屬于基礎(chǔ)題.

12、D

【解析】根據(jù)給定條件利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)直接計(jì)算作答.

【詳解】二項(xiàng)式(l+x)5的展開式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和是25=32.

故選:D

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

101

13、—##3—

33

【解析】由向量共面的性質(zhì)列出方程組求解即可.

x+2y=1,

【詳解】因?yàn)閍,b，C共面，所以存在實(shí)數(shù)x，y，使得c=xa+yb,得2x+y=4,

2x+2y=m,

7

X=35

2

解得<y=-j,

10

m=—,

[3

10

/.m=——

3

故答案為：—

3

2

14、-

3

【解析】利用圓錐的結(jié)構(gòu)特征及側(cè)面積公式即得.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r,圓錐的母線為/,

又圓錐過軸的截面為正三角形，圓錐的側(cè)面積為

27r

：.l=2r,7irl=—,

9

3

2

故答案為：

3

19

15、—##9.5

2

【解析】根據(jù)給定條件計(jì)算當(dāng)x>0時(shí)，/(x)+/(1)的值，再結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.

X

.f(^\_11_1%―1

【詳解】函數(shù)y(x)=-1當(dāng)％>o時(shí)，-zw+/v"T7I+-T"T7I+T7I=，

x+11+-

X

因數(shù)列｛4｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，且%0=1，則87^^10]，

/(%)+/(《9)=/(〃1)+/(g)=1，同理/(出)+/(%8)=/(〃3)+/(%7)==/(〃10)+/(〃10)=1，

令sn/RHAwHAgH，+/(陽)+/(?19)，

又S=/(o19)+/(/)+/(%)++/(a2)+/(a1),

19

則有2s=19,S=一,

2

所以/(%)+/(42)+/(“3)+~+/(%8)+/(%9)=^.

1Q

故答案為：y

16、y=1或4x-3y-5=0

【解析】首先判斷點(diǎn)圓位置關(guān)系，再設(shè)切線方程并聯(lián)立圓的方程，根據(jù)所得方程A=0求參數(shù)左，即可寫出切線方程.

【詳解】由題設(shè)，22+12=5>1，故P在圓外，

根據(jù)圓0:爐+)?=1及尸(2,1),知：過p作圓。的切線斜率一定存在，

二可設(shè)切線為>=左。-2)+1,聯(lián)立圓的方程，

整理得(1+k~)x2+2k(l-2k)x+4k(k-1)=0,

4

...A=4左2(1_2上/一16左伏-1)(1+左2)=0,解得左=?；蜃?§.

二切線方程為或4x-3y-5=0.

故答案為：y=l或4x—3y—5=0.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)。=0或。=5

2

(2)a=—1或。=—

3

(3)且a05

【解析】(1)根據(jù)直線一般式平行的條件列式計(jì)算；

(2)根據(jù)直線一般式垂直的條件列式計(jì)算；

(3)根據(jù)相交和平行的關(guān)系可得答案.

【小問1詳解】

」.lx3a=a(a-2),解得。=0或。=5

又a=0時(shí)，直線4：x—2=0,Z2:x=0,兩直線不重合；

a=5時(shí)，直線4：%+5y—2=O,/2：3x+15y+10=0,兩直線不重合；

故a=0或a=5；

【小問2詳解】

6-LI］，

.■.lx(a—2)+a-3a=0,

,2

解得4=一1或〃=§；

【小問3詳解】

k與，2相交

故由(1)得〃。0且aw5.

18、(1)y=x+l

(2)s=5訕夏一義與?，(—30—1(機(jī)<30—1,機(jī)w—1)，最大值為:?

【解析】(1)利用垂徑定理求出斜率，即可求出直線的方程；(2)利用幾何法表示出弦長與d的關(guān)系，利用基本不等

式求出△C4B的面積S的最大值

【小問1詳解】

圓U^+V—6x—4y+4=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x—3『+(y—2『=9.

3-2

^kCM=-=-l.

設(shè)所求的直線為利由圓的幾何性質(zhì)可知：km-kCM=-1,所以&=1,

所以所求的直線為：y-3=l-(x-2),即y=x+l.

【小問2詳解】

|3-2+771|且（網(wǎng)］+d?=R2=9,所以股

設(shè)圓心C到直線/的距離為d,則4=

~ir~2

IJ2

因?yàn)橹本€/：y=x+7力與圓C交于A,B兩點(diǎn),所以0<d<3,解得：—30—1<m<3上—1且mwT.

而△CLB的面積：s=||xd=^9-^^x與?30—1<30—1,mw—1）

因?yàn)镴——-+d=9

12}

所以S=g|AB|xd<g［用］+/=|（其中苧=d=當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.

9

所以S的最大值為乙

2

19、(1)證明見解析

(2)，=(〃-1)2m+2

【解析】(1)由需-2=1結(jié)合等差數(shù)列的定義證明即可；

22

(2)由an=〃?2"結(jié)合錯(cuò)位相減法得出前幾項(xiàng)和Tn.

【小問1詳解】

在%-2%=2"兩邊同時(shí)除以2向，得:爵音=1，1=1，

故數(shù)列｛墨｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；

【小問2詳解】

由(1)得：墨=1+("-1)=〃，an^n-2",

7；,=1-21+2-22++(〃—①

27；=1-22+2-23++(〃-1>2"+“-2"+|②

①-②得：

12nn+ln+1n+1

-Tn=2+2++2-n-2=,2=2(1-H)-2

1-2

所以7；=5—1)2用+2.

20、(1)y=l

(2)答案見解析

【解析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)r(x)后計(jì)算廣⑴得斜率，由點(diǎn)斜式得直線方程并整理;

(2)求出導(dǎo)函數(shù)/‘(X),然后分類討論它在口,2］上的正負(fù)得單調(diào)性

【小問1詳解】

當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=x—lnx,貝!j/'(x)=l—L

X

故切線的斜率左=/''⑴=0.

又/⑴=1.

所以函數(shù)了。)在(1J⑴)處的切線方程為：y=L

【小問2詳解】

由/(x)=a%_lnx,^,f\x)=a-—~—―-

xx

①當(dāng)。40時(shí)，/'(x)<0"(x)在［1,2］上單調(diào)遞減；

②當(dāng)0Vg時(shí)，f\x)<0,/(x)在［1,2］上單調(diào)遞減；

③當(dāng)工<。<1時(shí)，令/'(x)=0,得x=L

2a

當(dāng)時(shí)，/(x)<0J(x)在1,工］上單調(diào)遞減；

aLa)

當(dāng)!<x?2時(shí)，/'(%)〉0,/(的在(,,2單調(diào)遞增；

aI。」

④當(dāng)時(shí)，/(九)之0,/(x)在［1,2］上單調(diào)遞增；

綜上：當(dāng)時(shí)，/(X)在口,2］上單調(diào)遞減；

2

當(dāng)!時(shí)，〃幻在1,工］上單調(diào)遞減，在(4,2上單調(diào)遞增；

2La)\a

當(dāng)a21時(shí)，〃尤)在口2］上單調(diào)遞增.

21、(1)y=2x-e+l

(2)1

【解析】(1)先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線方程；

二2(X2-%)

(2)將已知方程結(jié)合其兩根，進(jìn)行變式，求得」一r衛(wèi)，利用該式再將不等式(2-。%+%變形，然后將

百

不等式的恒成立問題變?yōu)楹瘮?shù)的最值問題求解.

【小問1詳解】

由題意可得/z(x)=lnx+l,//(e)=2,/(e)=e+l,

所以切點(diǎn)為(e,e+l),

貝！J切線方程為：y=2(%-e)+e+1=2%-e+1.

【小問2詳解】

由題意有：a(lnx+l)=2x+a,則alnx=2x,

因?yàn)榘?馬分別是方程alnx—2x=0的兩個(gè)根，

即aln%=2%1MIn電=2%.兩式相減。(in/TnxJ=2(%2f)，

玉

2（%2-玉）/\

則不等式。＜（2-/）石+t（相＞0），可變?yōu)?迤＜2"七+/,

兩邊同時(shí)除以*得,

令,則在上恒成立.

整理可得,在上恒成立,

令

則

①當(dāng),即時(shí),在上恒成立,

則在上單調(diào)遞增,

又則在上恒成立;

②當(dāng)七2當(dāng)m

>1,即0</<1時(shí),時(shí)，/女）＜0,

則M外在［生算

上單調(diào)遞減，則刈左）＜m1）=0,不符合題意.

綜上：t＞l,所以r的最小值為L

22、(1)—+)2=1

4'

Q

（2）存在，定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4,4）,實(shí)數(shù)X的值為（

c.

e---——

【解析】（D由題意可得1a2,再結(jié)合a2=/+c2,可求出/力2,從而可求得橢圓方程，

21_