三角恒等變換-2022年高考數(shù)學訓練（解析版）

備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學核心考點專題訓練

專題12三角恒等變換

一、單選題(本大題共10小題，共50分)

1.已知函數(shù)/(x)=√2sinωxcosωx÷√2cos2ωx——(ω>0)?若函數(shù)f(x)在(1加)上單調(diào)

遞減，則實數(shù)3的取值范圍是()

A.?,jlB.盟］C.(θ,?］D,(θ,?］

【答案】A

【解析】解：函數(shù)/(%)=y]2s?nωxcosωx+√2cos2ωx—?-(ω>0)=^-sin2ωx÷γ(l+

cos2ωx)—γ=γsin2ωx+^-cos2ωx=sin(2ωx+；)，

由函數(shù)f(%)在弓,")上單調(diào)遞減，

H2￠0X+-∈(<t)7Γ+—,2(JL)71+-),

444

Iqjr+—》一+"ix

zmI121」

解得:÷2fc≤ω≤^÷fc,fc∈Z,

48

又儂>0,???Zc=0,

???實數(shù)3的取值范圍是［；［］.

故選A.

2.已知函數(shù)f(x)=苧Sin(2x+苴—cos2χ+：(χ∈R),則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/Q)的最小正周期為三

B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱

C.點《,0)為函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心

D.函數(shù)/(x)的最大值為］

【答案】D

【解析】解：函數(shù)/(x)=?^sin(2x+§—cos2χ+(=?(sin2xcos；+cos2xsing)-

l+cos2x.1√3.?,1n

---------------F-=——sinlxΛ--cos2x

2-----244

=∣sin(2x+^)(x∈/?),

由3=2知,/(%)的最小正周期為7Γ,A錯誤;

由f(。)=?s?n^=:不是最值,

???f(X)的圖象不關(guān)于)，軸對稱，8錯誤；

?∕φ=∣sin^=j≠0,

???點場,0)不是函數(shù)/(x)圖象的一個對稱中心，C錯誤；

由sin(2x+》∈[-1,1],.?.f(χ)的最大值是玄。正確.

故選D.

3.函數(shù)/(%)=5也2%+2g852%-百，8(入)-〃18512》-：|2∕w+；(m>0),若對

任意NF0;，存在.Lf0.1,使得gθι)=∕Q?)成立，則實數(shù)〃?的取值范圍是

44

()

?-[4]B?GHC.[∣,1]D.[l,i]

【答案】。

【解析】解：V/(x)=sin2x+2√3COS2X-√3=sin2x+√3(2cos2x—1)

=sin2x+√3cos2x=2(∣sin2x+Jcos2%)=2sin(2x+?),

當Xe[0,g時，2x+geg,曲,???∕(x)e[L2];

對于g(x)=rncos(2x-—2m+3(τn>0),

當2x-,€[一?,守時，mcos(2x-^)∈[y,m],.??g(x)∈[―∣τn+3,3—τn].

??,對任意與e[。幣，存在刀2?[。幣，使得g(xι)=fθ?)成立，

.?.[1,2]?[-∣m,3-m],于是f^lni+3≥l,解得實數(shù)/n的取值范圍是口力.

12j(.3-m<23

故選：D.

4.把函數(shù)/(x)=SinXCos(久+§的圖象向右平移;個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則

下列關(guān)于函數(shù)g(x)的結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)的最小正周期為]B.函數(shù)在區(qū)間卜,θ]上單調(diào)遞增

C.函數(shù)關(guān)于國一日)對稱D.函數(shù)關(guān)于X=W對稱

【答案】C

[解析]解：/(x)=sinXcos(%+g)=SinX(CoSXCOSm-sinxsin個)=SinXGCOSX-ysinx)

=LSinXcosX--sin2x>=%(^sin2x+-cos2x)--=?sin(2x+—

222\22742v374

向右平移g,可得函數(shù)gQ)=1in(2x-g)-f,

函數(shù)的最小正周期為兀，故選項A錯誤;

當2(W，心<2x<0,一等<2x*<—或函數(shù)g(x)不單調(diào)遞增，故選項B錯

誤；

函數(shù)的對稱中心滿足得+?—?)，k€Z,當Zc=O時，對稱中心為&_f)，故選項C正

確；

對稱軸的方程為2x*=ZOT+》fc∈Z,即％=?+余，k∈Z,不能取到X=%故選項D

錯誤.

故選C.

5.已知SinX+sin(x+§=奈x∈(-^∕^),則CoSe—2x)=()

A-7+246B_2√2Q7-246D型

?501050?10

【答案】C

【解析】解:sinx÷sin(x+§=∣sinx+γcosx=√3(γsinx+?cosx)=√3sin(x÷=γ∣,

則Sin(X+])=,.

???尤€(-號)，???x+襄(Y瀉)，ιcos(x+3=9

???sin(2x+?)=2sin(x+^)cos(x÷=?,

cos(2x+；)=2cos2(x+^)-1=1^.：.CoSG—2x)=cos[γ?—(2x+^)]=CoS等COS(2%+

2)+sin^sin(2%+C)=-^x^+Xχ4=qZ故選：C.

6.己知X,y∈K且滿足/+2Xy+4y2=6,則z=/+4/的取值范圍為()

A.[4,12]B.[4,8]C.[8,12]D.[4,10]

【答案】A

【解析】解：X2+2xy+4y2=6變形為(X+y)2?(√3y)2=6,

設(shè)X+y=Vδcos8,√3y=√6sinθτθ∈[0,2π)..?.y=y12sinθ?x=yfβcosθ-42sinθ??,?

z=x2+4y2=(V^COSe-y∕2sinθy)+4(V2sinθ)=4sin2θ—4y∕3sinθcosθ+6，=2×(1—

cos2θ)-2√3sin2θ+6=8-4sin(2θ+^),vsin(2θ÷∈[-1,1],???z∈[4,12].故選：

4.

7.己知函數(shù)Jr皿2x+g+m(2χ1),給出下列結(jié)論：①/0)的最小正周期為

「；②點I^(I),是函數(shù)f(χ)的一個對稱中心；③f⑺在(^^,I上是增函數(shù)：④

把y=2sin2x的圖象向左平移：個單位長度就可以得到f(%)的圖象，則正確的是()

A.①②B.③④C.①②③D.①②③④

【答案】C

8.已知函數(shù)/^(x)=sin2-√^sinEXcos".則f(l)+/(2)+…+/(2020)的值等于()

A.2018B,1009C.1010D.2020

【答案】C

【解析】解：/(x)=sin2-x—√3sin-XCOS-X=---cos-x--sin-x=?—Sin(EX+E)

八,444222222v267

???函數(shù)/^(x)的周期r=等=4,

2

⑴=A爭/(2)=χ，/(3)=i+?,/(4)=i-i,

?/(4fc+1)=i-y,/(4fc+2)=∣÷∣,f(4fc+3)=^+γ,f(4k+4)=A}

?f(4k+1)÷f(4k+2)+f(4k+3)÷f(4k+4)=2,

V2020=505×4,

???/(1)+/(2)++/(2020)=505×2=1010.

故選：C.

9.將函數(shù)f(x)=SinF(COS等-Sin詈)+l(ω>0)在ɑyj上單調(diào)遞減，則3的取值范

圍為()

?2oι?1?

A.0<ω≤2B.;<3≤2C.?≤ω<D.<ω≤2

2288

【答案】C

【解析】解：/(x)=sin節(jié)(cos等-sin學)+1=^sinωx-JCrX+?

)+：，(ω>0)

f(%)在E，用上單調(diào)遞減,

—+-≥2fcπ+-

2

64kG7

根據(jù)題意得,2ωπ,π.3π>ftl>>

F-≤π2kπH------

,3-------42

ω≥12k+-

?,kEZ目”1>2Ξ.Ξ

1f(Λ)236

(Λ)≤3k+—

?0<ω≤2,

當k=0時，符合題意,

315

?-≤60≤-,

2、8

故選C.

10.已知△ABC的三邊長分別為a,b,c,面積為S,且ɑ?+b2—c2=4√3S.c=1,則國力-a

的最大值為()

A.√3B.2C.3D.√2

【答案】B

【解析】解：??,△ABC中，S=?absinC,cosC=a+b-~c,Ra2÷h2—c2=4-?∕3S,

22ab

?2abcosC=4√3×?×absinC,解得：tanC=-,

23

VC∈(0,7r),?'?C=￡,

ba1?

?C_LSinBSinA?，

可得：a=2sinA,b=2sinB=2sin(^--A),二√3h—a=2y∕3sinB—2sinA=2V3sin(y?-

A)-2sinA=2√3(^cosΛ+ysin√l)-2sinA=陋COSA+sinA=2s譏(A+g)≤2.

可得√5b-α的最大值為2.

故選8.

二、單空題(本大題共4小題，共20分)

11.有一塊半徑為2,圓心角為45。的扇形鋼板，從這個扇形中切割下一個矩形(矩形的各個

頂點都在扇形的半徑或弧上，且矩形的一邊在扇形的半徑上)，則這個內(nèi)接矩形的面積

最大值為_________

【答案】2√22

【解析】解：如圖，設(shè)NCOF=O,

所以O(shè)E=DE=CF=2sinθ,

EF-OF-OE=2cos0—2sin0,

設(shè)矩形CZ)EF的面積為S,

則S=CFEF=2sinθ■(2cosθ—2sin0)=4×CSin2。+ICOS2。—

-2v勺⑤u(%+2,

又?.?n<e<

當ehι∣20--J1,即“、時，

S取得最大值為2√Σ-2.

故答案為2√Σ-2.

12.已知函數(shù)f(x)=2代Sin等CoS與+2cos2等3>0)的周期為拳當x∈[θ用時,函數(shù)

g(?=/(x)+k恰有兩個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是.

【答案】(—3,—2]

【解析】解:函數(shù)/QO=2λ∕3sin?eos?+2cos2?=√3sinωx+cosωx+1=

2sin(ωx÷-)+1,

6

因為函數(shù)/(x)的周期為拳所以3=聿=3,/(%)=2sin(3x+≡)+l

因為Xe[θ圖時，函數(shù)g(x)=/(x)+好合有兩個不同的零點，

所以X∈∣0,g]時，f(,χ)--k恰有兩個不同的根，

在同一坐標系中作出函數(shù)y=/(x),y=-/c的圖象如圖所示：

由圖象可知：2≤-k<3,即-3<kW-2,所以實數(shù)k的取值范圍是(一3,-2],

故答案為(-3,-2].

13.己知函數(shù)/(x)=sinωx?sin(ωx+g)+α(<υ>0,αeR)的圖象的相鄰兩對稱軸之間的

距離為泉且f(x)在礙,勺上恰有3個零點，則α=.

【答案】心

【解析】解：∕^(x)=sinωx?sin(ωx+；)+α=^sin2ωx—?cos2ωx+?+α

=LSin(23X-+?+a,

2'6，4

由題意，知/(%)的最小正周期T=2×?=7Γ,所以23=意即3=1,所以f(x)=∣sin(2x-

"+Q?

6)4

若g≤%≤?,則3≤2xT≤27r+a若/(%)在E勺上恰有3個零點，則/(J)=O,

OboOOOOO

BP?xg+(+a=O,

故答案為—

14.如圖所示,圓O與X軸的正半軸的交點為A,點C,B在圓。上，

且點C位于第一象限，點8的坐標為一|),?AOC=a,

nBOC=?則√5cos2±—sin2cos±—立的值為_______

?2222

【答案】I

【解析】解：???點2的坐標為《,一|),設(shè)乙4OB=8,

34

???sin(2ττ—8)=一二，cos(2τr—θ)=-f

即Sin8=三，cosθ=±,

55

????BOC=p

?θ÷α=p

則

λV3cos2^—SinqCoS-——=—cosa—?sina=cos(α+巴)=cos(二一9)=sinθ

222222?6/?2J

_3

-S,

故答案為

三、解答題(本大題共3小題，共30分)

15.在AABC中，a,b,C分別為角A,B,C的對邊，且滿足4cos2S-CoS2(B+C)=：.

⑴求A;

(2)若點。滿足布號前，I前∣=√5,求C-16的取值范圍.

【答案】解：(1)因為B+C=7Γ-4,

1,??w?A7

所以IX------?---------COB(2v,2.1」1-?

即4COS2√4—4cos?+1=0,

解得CoSa=?,

因為A∈(O,τr),所以4=(

(2)在Λ48D中，由正弦定理知

`jsιn?BADsιn?ABDs?n?ADB

即T=——=―票----,

SinmSinzG48。sin(γ-zΛFD)

所以b=3sin?ABD,C=2sin(y-/LABD),

所以C--b=2siπ(——乙48D)—2si∏Z.ABD

—y∕3cos?ABD—sin?ABD=2cos(?ABD+-)

6

因為ZjlBD∈(0,[),所以ZjlBO+B∈(g,]),

OOOO

所以CoS(N4BD+》∈(-y,y).

所以c—Ib的范圍為(―V5,6).

16.設(shè)函數(shù)/(x)=2Sin(X+gCOSW+x)—爭x&R.

(1)求函數(shù)f(x)的對稱軸方程；

(2)在銳角三角形△?!BC中，a,6,c分別是角A,B,C的對邊，且/⑷=爭α=2,

求的周長?

SΔABC=√3,44BC

【答案】解：⑴因為/(x)=2Sin(X+：)COS(半+x)-彳

√3.R?ι???

")=2-cosx+——Sinx-Sinx------=sιnxcosx+√3smx------

2222

I,■nι-cos2x75

=-smIx+√3-------------------

222

SJrtc.

可得函數(shù)/(x)的對稱軸方程為X=三■+'

(2)因為銳角三角形A,48C，所以4A,Ce(0「：

所以，(24-：卜,g.g),

又因為，/(4)=sin(24-；)=^，

所以，A=-，

3

因為Sy=IACSin/=3??c=，所以6c=4,

λλ*24

又因為8β∕=QΛU∑e=色或乏￠=Lα=2

2bcIbc2

所以b+c=4，

所以A∕8C的周長為α+b+c=6?

17.在△力8C中，角A,B,C的對邊分別為〃，b,c9若