指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（解析版）2023年高考數(shù)學(xué)技巧練習(xí)

專題04指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)

一、結(jié)論

若函數(shù)y=∕(x)是定義在非空數(shù)集。上的單調(diào)函數(shù)，則存在反函數(shù)y=/T(χ).特別地，y=優(yōu)與

j=Iogn%(α>0且α≠l)互為反函數(shù).

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，兩函數(shù)互為反函數(shù)圖象關(guān)于)'=X對(duì)稱，即O?,∕(Xo))與(/(%),x°)分別在函

數(shù)y=/(x)與反函數(shù)y=/T(x)的圖象上.

若方程x+∕(x)=Z的根為X∣,方程x+/T(x)=A的根為々，那么西+X2=h

二、典型例題

例題1.(2022?高三課時(shí)練習(xí))若關(guān)于X的方程x+logsX=4與χ+5*=4的根分別為"7、"，貝!]〃?+〃的

值為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【詳解】解：由題意，可知k>gsX=-χ+4,5'V=-X+4,作出函數(shù)y=l0g5X,y=5*,y=-χ+4的圖像(如

圖)，

fV=X,

A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為〃，且A、B關(guān)于直線y=x對(duì)稱，AB的中點(diǎn)為C,聯(lián)立可得點(diǎn)C

[y=r+4Z,f

的橫坐標(biāo)為2,因此zn+"=4.

故選：C.

【反思】本題也可直接利用結(jié)論解題：若方程％+∕(X)=左的根為西，方程x+/T(x)=A的根為馬，那

么斗+Z=h在本例中，記/(X)=Iog0則尸(X)=5\這樣利用結(jié)論，可快速得到：機(jī)+〃=4。

例題2.(2022春?河南新鄉(xiāng)?高二封丘一中?？计谀?已知X是方程x?3*=4的根，9是方程x?bg3*=4

的根，則XlX2=()

A.16B.8C.6D.4

【答案】D

4_4

【詳解】方程43，=4可變形為3'=2，方程x?logjx=4可變形為logs》==,

44

所以，巧是y=3，與y=—的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，々是y=bg3X與Y=一的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，

因?yàn)閥=3，與y=log3X互為反函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

在函數(shù)y=：圖象上任取一點(diǎn)（a,。），該點(diǎn)關(guān)于直線V=X的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（反?）,

4Λ4

由b=—可得a==,則點(diǎn)SM）也在函數(shù)y=—的圖象上，

a0X

4

故函數(shù)y=2的圖象關(guān)于直線y=X對(duì)稱，

所以，點(diǎn)與點(diǎn)|\,色］關(guān)于直線y=χ對(duì)稱，所以玉=色，故為χ,=4.

IXjI×1）?

故選：D.

【反思】本題主要考查反函數(shù)的性質(zhì)，（。，3在y=∕（x）上，貝!∣S,α）在y=/T（X）上，結(jié)合圖形的對(duì)稱性,

從而得到結(jié)論=4.

三、針對(duì)訓(xùn)練舉一反三

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若陽(yáng)滿足2'=5-x,々滿足x+log2X=5,則占+芻等于（）

【答案】D

【詳解】由題意5-x∣=2%故有5-X2=IognX2

故士和巧是直線V=5-X和曲線＞=2'、曲線y=bg2X交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

根據(jù)函數(shù)y=2*和函數(shù)y=Iogzx互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線V=x對(duì)稱,

故曲線y=2,和曲線y=log?x的圖象交點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

即點(diǎn)（制，5-制）和點(diǎn)（X2,5-X2）構(gòu)成的線段的中點(diǎn)在直線y=x上，

土也=5f+5f,求得χ∕+χ2=5,

22

故選：D.

2.(2022?陜西咸陽(yáng)?校考模擬預(yù)測(cè))已知4是函數(shù)/(x)=2"+X-2的零點(diǎn)，々是函數(shù)8(力=1%(》-1)+》一3

的零點(diǎn)，則玉+W的值為()

A.17B.5C.12D.3

【答案】D

1

【詳解】由已知可得/(X,)=2*+Λ,-2=0,所以，2'=2-x1,

所以，A為直線y=2-x與曲線y=2*的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

g(x2)=Iog2(x2-l)+?-3=0,則Iogz(X2-I)=2-(電-1),

則*2-1為直線y=2-x與曲線y=log2》的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如下圖所示：

函數(shù)y=∣0g2χ與y=2'的圖象關(guān)于直線y=χ對(duì)稱，聯(lián)立「V=XC，可得χ=y=ι,

U=2-X

所以，直線V=X與直線y=2-χ交于點(diǎn)C(Ll),

由圖象可知，點(diǎn)A、8關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，所以，X,+X2-1=2,可得%+*2=3.

故選：D.

3.(2020秋?湖南常德?高二臨澧縣第一中學(xué)校考階段練習(xí))若α>l,設(shè)函數(shù)/(χ)=/+χ-4的零點(diǎn)為加，

8(》)=108“工+*-4零點(diǎn)為"，則'+’的取值范圍是()

mn

A.g'+OO[B.*+OO)C.[l,+∞)D.[4,+∞)

【答案】C

【詳解】α"+x-4=0o優(yōu)=4-x,Iogt,x+x-4=0=log,,x=4-x,

也〃可以看作是直線丫=4-*與函數(shù)、="和)，=108。》交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

作出圖象，如圖，

y=lθg.X與y=α”互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線Y=X對(duì)稱，而直線y=4-x與直線y=x垂直，因此直線

y=4-x與)，="和y=log∕圖象交點(diǎn)尸,。也關(guān)于直線y=%對(duì)稱，

所以m+71=4,由圖象知0<m≤2,2≤”<4.

11"?+〃4

y=——+—=-------=-------------,

tnnmnm(4-∕%)

Xy=AH(4-tn)=-m2+4/w=-(m-2)2+4,O<∕n≤2,所以0<m(4-τπ)≤4,

M（4-ni）

所以所求范圍是［I,”）.

故選：c.

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知α是方程x+lgx=3的解，6是方程2x+100*=3的解，則（）

A.a+b~=—B.a+b^=3

2

3

C.a+2b=3D.a+2b=-

2

【答案】C

【詳解】在2x+100'=3中，令f=2x,則有t+l（T=3,

因?yàn)閥=Igx與y=10'互為反函數(shù)，圖象關(guān)于N=X對(duì)稱.

依題意可知。，f就是直線y=3-x與曲線y=lgx,y=10,交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

所以駕=?，所以“+z=3,SPa+2?=3.

22

故選：C.

5.（2020秋?高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于X的方程x+lgx=3,χ+10'=3的根分別為α,夕，則α+/?的值為（）.

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【詳解】∣gx=3-x,10,=3-χ.

作出y=igχ,y=10'和y=3—X的圖象如圖所示.

A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是夕，α,點(diǎn)A,B關(guān)于直線y=x對(duì)稱,

.?.A,B兩點(diǎn)的中點(diǎn)是C.聯(lián)立y=x和y=3—X,

x13

6.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)相，〃分別是方程丫*/_4和x+el°gd=4(Q>l)的根，則」7+丁F的

x+a-4〃2+14+3〃

最小值是()

13128

A.—B.—C.2?y2—1D.—

2119713

【答案】B

【詳解】方程χ+∕=4和x+el°gM=4(a>l)可化為：

X?

eex

a=(a)=4-X,loglx=4-x,

af

即方程的根分別為函數(shù)y=(U)',y=bg∕X圖象與y=4-x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

因?yàn)閥=(α","i°g∕χ互為反函數(shù)，

所以y=3%,y=∣°g丁的圖象關(guān)于直線y=χ對(duì)稱，

因?yàn)橹本€〉=4-》與直線丁=犬垂直且交點(diǎn)為(2,2)

所以7%+〃=4,

所以3"+3+3"+4=19,

1333133

故募十小廠藐TrErWg+3)+(4+3")K---------1-----)----

3m÷34+3〃

=!>嗤普+箋*)*(6+2拘4

1311

當(dāng)且僅當(dāng)3m+3=4+3〃，即m=L12=^7時(shí)，等號(hào)成立,

66

故選：B

7.(2017秋?山西太原?高一山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中)若占滿足x+2*=4,小滿足'+/意2》=4,則占+々=()

5C7

A.-B.3C.-D.4

22

【答案】D

【詳解】由題x∣滿足2'=4-x,*2滿足l°g2*=4-x.故畫出y=4-x與y=log2?r和y=2"的圖像可知,因?yàn)?/p>

丫=1082》和,=2'關(guān)于'=犬對(duì)稱,且'=》與丫=4_》交于(2,2).

8.(2022秋?黑龍江牡丹江?高一牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)?？计谀?已知三個(gè)函數(shù)/(X)=2Λ+X-2,

g(x)=d-8,∕z(x)=log2X+x-2的零點(diǎn)依次為α、b、J則q+6+c=

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【詳解】令F(X)=O,得出2*=2r,令MX)=0,??log2x=2-x,

則函數(shù)y=2-x與函數(shù)y=21y=log∕交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為。、C.

函數(shù)y=2，與y=Iog?X的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且直線、=%與直線丫=2-*垂直，

如下圖所示：

聯(lián)立二;得χ=y=l,則點(diǎn)A(Ll),

由圖象可知，直線y=2-x與函數(shù)y=2，、y=bg2X的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，則α+c=2,

由題意得g(b)="-8=0,解得b=2,因此，a+b+c=4.

故選：C.

9.(2020?高一課時(shí)練習(xí))若玉是方程χe*=4的解，々是方程XInX=4的解，則王超等于()

A.4B.2C.eD.1

【答案】A

4

【詳解】因?yàn)椤┦欠匠甜?=4的解，所以/是函數(shù)y=e*與y=?交點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)；

X

4

又巧是方程XlnX=4的解，所以々是函數(shù)V=Inx與y=一交點(diǎn)。的橫坐標(biāo)；

X

因?yàn)楹瘮?shù)y=e*與y=Inx互為反函數(shù)，所以函數(shù)y="與N=Inx圖像關(guān)于直線y=X對(duì)稱，

4

又y=2的圖像關(guān)于直線y=為對(duì)稱，

X

因此，P,Q兩點(diǎn)關(guān)于直線y=χ對(duì)稱，所以有~二%，

M=K

因止匕XlX2=XJ=4.

故選：A

二、填空題

10.(2023秋?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末)設(shè)方程2"∣+x-6=0的解為玉，方程1鳴捺+犬-6=0的解為々，

貝IJΛl+X2=.

【答案】6

YY

【詳解】由方程2'*∣+x-6=0得2's=6-x,由方程logq+x-6=0得1%1=6-尤

由于f(x)=2用與g(x)=log25互為反函數(shù)，圖像關(guān)于V=X對(duì)稱.

、P∕=2"∣y=x

如圖示，2川=6-%的根為點(diǎn)4的橫坐標(biāo)，1。82'|=6-%的根為點(diǎn)8的橫坐標(biāo)，

因?yàn)?(X)=2*M與g(x)=log2^圖像關(guān)于y=χ對(duì)稱，且y=χ與y=6-x垂直，所以

AB兩點(diǎn)為y=x與y=6-x的交點(diǎn)，且關(guān)于V=X對(duì)稱.

y=X

-N解得：x=3,則為+々=6.

{y=6-X

故答案為：6.

11.(2022春?湖南?高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e'+x—兀，g(x)=x+lnx-π,若

afM=加川=1(α>0,α≠1),則%+々.

【答案】兀

【詳解】=朋*"=l(">0,α*l),則/(x∣)=e*i+X]—兀=。，得：ev'=π-x∣；

令g(x2)=Λ2+1ΠΛ?-π=0,得：Inx2=π-x2；

所以A，巧分別為y=e"和y=lnx與V=兀-X的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示：

因?yàn)閥=e"和y=lnx互為反函數(shù)，所以y=e，和y=lnx的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱，所以A、B兩點(diǎn)關(guān)于N=X對(duì)

稱.又A、8兩點(diǎn)均在N=兀-X的圖像上，所以Xl=Tt-￡，所以玉+七=兀.

故答案為：π

12.(2021秋?陜西安康?高一統(tǒng)考期中)若實(shí)數(shù)“、/7滿足2"=2-“，1。82e-1)=3-6,則4+b=.

【答案】3

【詳解】因?yàn)?"=2-”,則“可視為直線y=2r與函數(shù)尸2，的圖象交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，

因?yàn)閘og2(b-l)=3—b=2—(6-1),則人—1叮視為