2021新高考數(shù)學新課程一輪復習學案第七章第6講空間向量及運算

第6講空間向量及運算[考綱解讀]1.了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標表示點的位置，了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義.2.能應用空間兩點間的距離公式，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.3.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，并能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．(重點、難點)[考向預測]從近三年高考情況來看，本講一直是空間立體幾何的基礎，一般不單獨命題．預測2021年會與多面體相結合進行考查，題型為解答題，解題時利用空間向量法解決問題，試題難度不會太大，屬中檔題型.1．空間兩點間的距離公式、中點公式(1)距離公式①設點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\o(□,\s\up3(01))eq\r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).②設點P(x，y，z)，則與坐標原點O之間的距離為|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\o(□,\s\up3(02))eq\r(x2＋y2＋z2).(2)中點公式設點P(x，y，z)為P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中點，則eq\a\vs4\al(\o(□,\s\up3(03))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，,z＝\f(z1＋z2,2).)))2．空間向量的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．3．空間向量的坐標運算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)(a，b均為非零向量)：1．概念辨析(1)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成的角的范圍相同．()(2)在向量的數(shù)量積運算中(a·b)·c＝a·(b·c)．()(3)若{a，b，c}是空間的一個基底，則a，b，c中至多有一個零向量．()(4)對空間任意一點O與不共線的三點A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x，y，z∈R)，則P，A，B，C四點共面．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小題熱身(1)如圖，在四面體ABCD中，設G是CD的中點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))等于()A.eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(BG,\s\up6(→))D.eq\o(AG,\s\up6(→))答案D解析因為G是CD的中點，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BG,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→)).(2)若{a，b，c}為空間的一組基底，則下列各項中，能構成基底的一組向量是()A．a，a＋b，a－b B．b，a＋b，a－bC．c，a＋b，a－b D．a＋b，a－b，a＋2b答案C解析A，B，D中三組向量都是共面向量，不能構成基底，c，a＋b，a－b不共面可以構成基底．(3)已知向量a＝(2，－3,5)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，λ，\f(15,2)))，且a∥b，則λ等于________．答案－eq\f(9,2)解析因為a∥b，所以eq\f(3,2)＝eq\f(λ,－3)＝eq\f(\f(15,2),5)，所以λ＝－eq\f(9,2).(4)已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，則a，b夾角的余弦值為________．答案－eq\f(2\r(5),15)解析cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(2\r(5),15).題型一空間向量的線性運算如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).解(1)∵P是C1D1的中點，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中點，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M是AA1的中點，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a.∴eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c＋a))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.用已知向量表示某一向量的注意事項(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵.(2)要正確理解和運用向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義．向量加法的多邊形法則對空間向量仍然成立.(3)在立體幾何中要靈活應用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間仍然成立.提醒：靈活運用三角形法則或平行四邊形法則，把所求向量用已知基向量表示出來.1.如圖所示，在四面體OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則eq\o(OE,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示).答案eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c解析因為D為BC的中點，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(b＋c)，又E為AD的中點，所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b＋c))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.2.如圖所示，已知P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD，點M在線段PC上，點N在線段PD上，且PM＝2MC，PN＝ND，若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))，則x＋y＋z＝________.答案－eq\f(2,3)解析eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，所以x＋y＋z＝－eq\f(2,3)－eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝－eq\f(2,3).題型二共線向量與共面向量定理的應用1.(2019·鄭州調研)已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，則λ等于________.答案－9解析由題意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7，,x＋2y＝6，,－3x＋3y＝λ，))解得λ＝－9.2．(2019·唐山質檢)如圖所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，點M，N分別在AC1和BC上，且滿足eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1).(1)向量eq\o(MN,\s\up6(→))是否與向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面？(2)直線MN是否與平面ABB1A1解(1)∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋keq\o(BC,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(B1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－k(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－k)eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AA1,\s\up6(→))，∴由共面向量定理知向量eq\o(MN,\s\up6(→))與向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面.(2)當k＝0時，點M，A重合，點N，B重合，MN在平面ABB1A1內，故直線MN與平面ABB1A當0<k≤1時，MN不在平面ABB1A1內，又由(1)知eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面，故MN∥平面ABB1A1.證明三點共線和空間四點共面的方法三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))且同過點Peq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，如舉例說明2(1)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，如舉例說明1對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))提醒：三點共線通常轉化為向量共線，四點共面通常轉化為向量共面，線面平行可轉化為向量共線、共面來證明，共面向量定理實際上也是三個非零向量所在直線共面的充要條件.1.(2019·晉江一模)已知四面體O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，則x＋y＋z等于()A.1B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,4)D．2答案C解析如圖所示，由題意得eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up6(→))，所以eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OG1,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)yeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)zeq\o(OC,\s\up6(→))，又G1，A，B，C四點共面，所以eq\f(4,3)x＋eq\f(4,3)y＋eq\f(4,3)z＝1，所以x＋y＋z＝eq\f(3,4).2.已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))).(1)判斷eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三個向量是否共面；(2)判斷點M是否在平面ABC內.解(1)由已知eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，即eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，∴eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面.(2)由(1)知，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面且MA，MB，MC過同一點M，∴M，A，B，C四點共面，從而點M在平面ABC內.題型三空間向量的數(shù)量積及應用角度1空間向量數(shù)量積的運算1.(2020·西安質檢)已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值為()A.a2B.eq\f(1,2)a2C.eq\f(1,4)a2D.eq\f(\r(3),4)a2答案C解析如圖，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三個向量兩兩的夾角為60°.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·eq\f(1,2)c＝eq\f(1,4)(a·c＋b·c)＝eq\f(1,4)(a2cos60°＋a2cos60°)＝eq\f(1,4)a2.故選C.角度2空間向量數(shù)量積的應用2.已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O為坐標原點，eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，則λ的值為()A.±eq\f(\r(6),6)B.eq\f(\r(6),6)C．－eq\f(\r(6),6)D．±eq\r(6)答案C解析eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，－λ，λ)，cos120°＝eq\f(λ＋λ,\r(1＋2λ2)·\r(2))＝－eq\f(1,2)，得λ＝±eq\f(\r(6),6).經檢驗λ＝eq\f(\r(6),6)不符合題意，舍去，所以λ＝－eq\f(\r(6),6).3.已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝eq\f(π,3)，〈b，c〉＝eq\f(π,2)，〈a，c〉＝eq\f(π,2)，則|a＋2b－c|＝________.答案2eq\r(2)解析|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝eq\f(π,3)，〈b，c〉＝eq\f(π,2)，〈a，c〉＝eq\f(π,2)，則(a＋2b－c)2＝a2＋4b2＋c2＋4a·b－2a·c－4b·c＝1＋4＋1＋4×coseq\f(π,3)－0－0＝8，∴|a＋2b－c|＝2eq\r(2).空間向量數(shù)量積的三個應用求夾角設向量a，b所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，進而可求兩異面直線所成的角，如舉例說明2求長度(距離)運用公式|a|2＝a·a，可使線段長度的計算問題轉化為向量數(shù)量積的計算問題．如舉例說明3解決垂直問題利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可將垂直問題轉化為向量數(shù)量積的計算問題1.(2019·南充三模)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，①(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))2＝3eq\o(A1B1,\s\up6(→))2；②eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0；③向量eq\o(AD1,\s\up6(→)