2022-2023學(xué)年河南省洛陽市高二（下）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（文科）（附答案）

2022-2023學(xué)年河南省洛陽市高二(下)質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷(文科)

1.Eln/("+『-'-1，則/'(右)等于()

Ar4>??S')

A.2B.?C.1D.0

2

2.已知隨機(jī)變量X~N(3,o2),若p(χ>5)=0.3,則P(1<X<5)=()

A.0.2B,0.4C.0.6D.0.7

2：-

3.已知直線k：X+ay+6=0,Z2(ɑ2)x+3ay+2a=0,若ZJ∕%則實(shí)數(shù)a的值為()

A.一1或3B.0或3C.-1或0D.-1或3或0

4.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,

共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈.”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中

的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,問塔的頂層燈的盞數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

5.已知隨機(jī)變量X的分布列為:

X1234

P-0.10.20.30.4

則D(2X+7)=()

A.1B.3C.4D.9

6.已知直線y=X-2與拋物線y?=4x交于4,8兩點(diǎn)，若。為線段AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)

原點(diǎn)，則直線。。的斜率為()

A.?B.?C.；D.

7.已知函數(shù)/(x)=χ2-2尤一alnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-∞,-?]B.(-∞,-1)C.(-i,+∞)D.[-∣,+∞)

8.某學(xué)校有A,3兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A

餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.5；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率

為0.9.請問王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率是()

A.0.8B.0.7C.0.6D,0.45

9.已知點(diǎn)P為直線y=x+1上的一點(diǎn)，M,N分別為圓G：(%-4)2+(y-I)2=1與圓C2：

(x-3)2+(y-l)2=1上的點(diǎn)，則IPMl+IPNl的最小值為()

A.5B.3C.2D.I

10.平面內(nèi)有兩組平行線，一組有6條，另一組有8條，這兩組平行線相交，由這些平行線

可以構(gòu)成平行四邊形的個(gè)數(shù)為()

A.14B.48C.91D.420

11.設(shè)/'Q)是定義在R上的函數(shù)"x)的導(dǎo)函數(shù)，且f(x)>f'(x).若e2ατ∕(α+1)>/(3α)(e

為自然對數(shù)的底數(shù))，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為()

1Il1

A.(-,+∞)B.(―∞,-)C.(―2^÷∞)D.(―∞l--)

12.己知雙曲蟾J=l(α>0/>0)的離心率e=2,A,B是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的

兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上異于A，8的動(dòng)點(diǎn)，直線PA,PB的斜率分別為自，k2,若l≤kι≤2,

則心的取值范圍是()

OQ

A.[-3,-∣JB.[p]C.[-4,-2]D.[2,4]

13.將5名學(xué)生分配到4個(gè)社區(qū)參加志愿服務(wù)，每個(gè)社區(qū)至少1名學(xué)生，則不同的分配方法

有種(用數(shù)字作答).

14.投擲一枚骰子，當(dāng)出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，記在30次試驗(yàn)中成功的次

數(shù)為X,則E(X)=.

15.已知數(shù)列｛arι｝的首項(xiàng)為=|,且滿足att+ι=蠢,若\+,+,+…+今<81，則〃

的最大值為.

16.己知正方體48CD的棱長為2,AH=t??(t∈[0,1]),現(xiàn)有如下四個(gè)命題：

①vt∈[0,1],都有宙?麗=0；

②Vt∈[0,1],都存在S∈[0,1]使得麗=SCA+(1-s)?z?;

③九∈[0,1],使得而1QB；

@HB+HCl的最小值為√飛+3.

其中所有真命題的序號是.

17.在(2%+白產(chǎn)5€/7*)的展開式中，第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列.

(1)求〃的值；

(2)求展開式中第7項(xiàng).

112

18.已知｛αn｝是等比數(shù)列,前篦項(xiàng)和為Sn(n∈N*),且,一丁=,，56=63.

(1)求｛azι｝的通項(xiàng)公式；

(2)若對任意的nGN*,勾是log??和log2%l+1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列｛(—1產(chǎn)山的前2〃項(xiàng)和.

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAABCD,AB1AD,AD//BC,AP=AB=AD=1,

且直線PB與CD所成角的大小為]

(1)求BC的長；

(2)求二面角D-PB-C的余弦值.

20.已知圓S：x2+y2+4x-20=0,點(diǎn)P是圓S上的動(dòng)點(diǎn)，T是拋物線y2=8%的焦點(diǎn)為

PT的中點(diǎn)，過Q作QGJLPT'交尸S于G,設(shè)點(diǎn)G的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過S(-2,0)的直線/交曲線C于點(diǎn)M,N,若AM。N的面積為號(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線

/的方程.

21.第40屆中國洛陽牡丹文化節(jié)以“花開洛陽、青春登場”為主題，緊扣“顛覆性創(chuàng)意、

沉浸式體驗(yàn)、年輕化消費(fèi)、移動(dòng)端傳播”，組織開展眾多文旅項(xiàng)目，取得了喜人的成績，使

洛陽成為最熱門的全國“網(wǎng)紅打卡城市”之一.其中“穿漢服免費(fèi)游園”項(xiàng)目火爆“出圈”，

倍受廣大游客喜愛，帶火了以“夢里隋唐盡在洛邑”為主的漢服體驗(yàn)活動(dòng).為了解漢服體驗(yàn)店

廣告支出和銷售額之間的關(guān)系，在洛陽洛邑古城附近抽取7家漢服體驗(yàn)店，得到了廣告支出

與銷售額數(shù)據(jù)如下：

體驗(yàn)店ABCDEFG

廣告支出/萬元3468111516

銷售額/萬元6101517233845

對進(jìn)入G體驗(yàn)店的400名游客進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得知，其中女性游客有280人，女性游客中體驗(yàn)漢服

的有180人，男性游客中沒有體驗(yàn)漢服的有80人.

(1)請將下列2X2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為體驗(yàn)漢

服與性別有關(guān)聯(lián)；

是否體驗(yàn)漢服

性別合計(jì)

體驗(yàn)漢服沒有體驗(yàn)漢服

180280

W80

合計(jì)400

(2)設(shè)廣告支出為變量x(萬元)，銷售額為變量y(萬元)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)，?，并據(jù)

此說明可用線性回歸模型擬合y與X的關(guān)系(若∣r∣>0?75,則線性相關(guān)程度很強(qiáng)，可用線性回

歸模型擬合)；

(3)建立y關(guān)于X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測廣告支出為18萬元時(shí)的銷售額(精確到0.1).

附：參考數(shù)據(jù)及公式：

∑l=1xf=727,EL%?=4648,￡7=1看%=1827,≈3.74,√^0≈3.17,√7≈2.64,相

∑C=ιXi%-nx?y一與在線性回歸方程中V=bχ+含中。="zi~~~~學(xué)，a=

關(guān)系數(shù)「2

J∑^xj-nχ^∑fL1y?y

~ny￡%x1-nχ

2

n(ad-bc),,,,,

2n

y-bx.χ=二/wh,3?

(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)'=α+b+c+d.

a0.050.010.001

Xa3.8416.63510.828

22.已知函數(shù)/(x)=∣x2—2ax+InX(α為常數(shù)).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(IJ(I))處的切線方程：

(2)設(shè)函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x2(x1<x2),求fθ?)的范圍.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的概念，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的意義,屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)Iim?4'"'"?'—’

?t-s2?x

,

=∕(x0)>將已知條件代入即可求出所求.

【解答】

解：.?.加，〃"八1+2予一"刊)_?,

/(%+2第-/5J=(8)，

???<>2?r2

故選C.

2.【答案】B

【解析】解：???隨機(jī)變量X~N(3,02),且P(X>5)=0.3,

ΛP(l<X<5)=1—2P(X>5)=1-2×0.3=0.4.

故選：B.

利用正態(tài)分布曲線的對稱性求解.

本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

2

【解析】解：?i41=1,B1=α,C1=6,

A2=a-2,B2=3a,C2=2a.

-=。

l,llM1B2,ZQ

UiC2-Zl2C1≠0

3a—a2(a-2)=O①

2a-6(a-2)≠0@)

解①得a1=O,a2=-1,a=3.

代入②驗(yàn)證得，a1=O,a2=-1.

???若及〃%則實(shí)數(shù)a的值為一1或。

故選：C.

直接由兩直線的系數(shù)之間的關(guān)系列式求解。的值.

本題考查直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系，直線k：&X++G=0,l2:A2x+B2y+C2=

O,

ZJ/Z20牖二髓U，是基礎(chǔ)題?

4.【答案】C

【解析】解：設(shè)頂層的燈數(shù)是由,則每一層燈數(shù)形成以2為公比的等比數(shù)列{arι},

7

由題可得S7=40-21=381，解得％=3,

1—2

所以塔的頂層的燈數(shù)是3.

故選：C.

可知每一層燈數(shù)形成以2為公比的等比數(shù)列{αrι},根據(jù)S7=381即可求出.

本題主要考查等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：E(X)=IXO.1+2X0.2+3X0.3+4x0,4=3,

O(X)=(1-3)2X0.1+(2-3)2X0.2+(3-3)2X0.3+(4-3)2X0.4

=4X0.1+1×0.2+0×0.3+1×0.4=1,

所以。(2X+7)=22D(X)=4.

故選：C.

由均值和方差的公式求出E(X),D(X),再由方差的性質(zhì)求解即可.

本題考查了方差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：聯(lián)立得/-8x+4=0,

設(shè)直線y=%-2與拋物線f=4%交于A,8兩點(diǎn)分別為(xl,yι),(%2,y2),

???%I+%2=8,?XD==4,?yD=4—2=2,

???D(4,2),

2-01

?"?fe0D=4?0=2'

故選：C.

聯(lián)立直線和拋物線方程，化為關(guān)于X的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)的和，進(jìn)而可求。的坐標(biāo)，可求直線。。的斜率.

本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬中檔題.

7.【答案】A

【解析】解：由題意得/'(X)=2x-2-T=W棄？，Xe(0,+∞),

,?,函數(shù)f(x)=%2-2%-0ln%在(0,+8)上單調(diào)遞增，

???∕z(x)≥O在(0,+8)上恒成立，即r≤2X2-2%在(0,+8)上恒成立，

令y=2X2-2x=2(x—?)2—I≥—?,

α≤-∣,即實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(一8,-芻.

故選：A.

由題意得"Go=2x—2—t=2/了丫-%題意轉(zhuǎn)化為尸(X)≥O在(0,+8)上恒成立，即α≤2∕一

2x在(0,+8)上恒成立，令y=2/一2x,X∈(O,+∞),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，

屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，假設(shè)第1天去A餐廳為事件A,第1天去8餐廳為事件8,第2天去A

餐廳為事件C,

P(C)=P(A)P(CM)+P(B)P(ClB)=0.5X0.5+0.5×0.9=0.7.

故選：B.

根據(jù)題意，假設(shè)第1天去A餐廳為事件A,第1天去B餐廳為事件B,第2天去A餐廳為事件C,

由全概率公式P(C)=P(A)P(CM)+P(B)P(Cl8),計(jì)算可得答案.

本題考查全概率公式，涉及條件概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】B

【解析】解：由圓G：(x-4)2+(y—I)2=1,可得圓心

C1(4,1),半徑為r=l,

由圓C2：(X-3)2+(y—l)2=1,可得圓心。2(3,1),半徑為

R=1,

設(shè)點(diǎn)G關(guān)于直線y=X+1的對稱點(diǎn)為C3(χ0,y0),如圖，

(^s-??1=-1(χ=0

則FU，，解得?一;，即C3(O,5),

5

yfi±l=χo+4,1(y0=

V2^2

連接C2C3,

因?yàn)辄c(diǎn)G、C3關(guān)于直線y=%+1對稱，

所以IIPCll=∣PC31>

則IPMl+IPNl≥(IPeII-IMCII)+(∣PC2∣-∣JVC2∣)

=(IPC3I-I)+(∣PC2∣-1)=IPC31+?PC2?-2≥IC2C3I-2,

當(dāng)且僅當(dāng)P,C2,C3在同一直線上時(shí)取等號，

又∣C2C3∣-2=J(3-0)2+(1-5)2-2=5-2=3,

故選：B.

求得點(diǎn)Cl關(guān)于直線y=x+1的對稱點(diǎn)C3的坐標(biāo)，連接C2C3,要求IPMl+IPNl的最小值，可以轉(zhuǎn)化

為求∣PC3∣+∣PC2∣-2的最小值，從而可得答案.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔

題.

10.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，從每一組種分別選2條，即可組成一個(gè)平行四邊形，

則有弓弓=420種選法，即可以組成420個(gè)平行四邊形.

故選：D.

根據(jù)題意，由平行四邊形的性質(zhì)，從每一組種分別選2條，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可得到答案.

本題考查排列組合的性質(zhì)和應(yīng)用，注意平行四邊形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】A

【解析】解：令g(x)=號，x∈R,

則g，(X)=卓誓，

V∕(x)>f(x),EPf(X)-/(X)<0-

.?.g'(x)<0在R上恒成立，即g(x)在R上單調(diào)遞減，

又e2ατ∕(α+1)>/(3α),g∣Je3α-(α+i)χ(α+1)>f(3α),

,f(α+D、f(3α)

,即g(α+1)>g(3α),

?ea+l/e3a，

???a+1<3α,解得Q>?,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為6,+∞).

故選：A.

由題意構(gòu)造函數(shù)g(x)=得，x€R,則g'(x)=△竽2結(jié)合題意可得g(x)在R上單調(diào)遞減，

題意轉(zhuǎn)化為g(α+l)>g(3α),即α+l<3α,求解即可得出答案.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,

屬于中檔題.

12.【答案】D

【解析】解：雙曲線今-，=l(α>0,b>0)的離心率e=2,

,2

可得e=：c=2,即有1+與=5,可得b=2α,

aαz

設(shè)做卬為)，B(,-X11-y1),P(XoJo),

可得≡j-4=1,4-4=1.

兩式相減可得(XLX。)*+*。)=d-y。孕+”

Qb

即為但ι.gfl=4=4,

Xl+XoXl-Xoɑ2

可得自卜2=4,

^k1∈[1,2],則上的取值范圍為[2,4]

故選：D.

運(yùn)用雙曲線的離心率公式和a,b,C的關(guān)系可得2α=b,設(shè)4(//1),β(-x1,-y1),M(x0,y0),

代入雙曲線的方程，作差，由直線的斜率公式可得七七=4,再由不等式的性質(zhì)可得所求范圍.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是離心率的范圍，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

13.【答案】240

【解析】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①將5名學(xué)生分為4組，有廢=10種分組方法，

②將分好的4組安排到4個(gè)社區(qū)，有用=24種情況，

則有10×24=240種安排方法.

故答案為：240.

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將5名學(xué)生分為4組，②將分好的4組安排到4個(gè)社區(qū)，由分步

計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】10

【解析】解：由題意，成功概率為P=I=W,X?8(309,所以E(X)=30X,=10.

故答案為：10.

由隨機(jī)變量X服從于二項(xiàng)分布，利用期望公式求解.

本題考查了二項(xiàng)分布的期望公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】15

【解析】解：由限L哉可得，含=警*+|，

112τ712

an+lan3'ɑ?3,

故數(shù)列｛；｝是以弓為首項(xiàng)，I為公差的等差數(shù)列，

α∏J?

,?,^-=∣+∣(n-l)=?,

1112

故由工+瓦+…+工=式1+2+…+A

=IX當(dāng)Q=駕義≥81可知，n≥16,

故符合題意的〃的最大值為15.

故答案為：15.

將遞推式兩邊同時(shí)取倒數(shù)，可得數(shù)列｛；｝是等差數(shù)列，求和以后，解出符合條件的正整數(shù)解即可.

an

本題考查了可化為等差數(shù)列的遞推式的處理及等差數(shù)列求和公式，屬簡單題.

16.【答案】①②③

【解析】解：以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,A4所在直線分別為x、y、Z軸建立如下圖所示的空

間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)檎襟w4BC0-4ιBιG5的棱長為2,而=tAA1(t∈[0,1])>

則A(0,0,0)、F(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0)、Al(0,0,2)、B1(2,0,2),

Ci(2,2,2)?D1(0,2,2)>H(0,0,2t).

對于①，CH=(-2,-2,2t),BD=(-2,2,0)，

?t∈[0,1],CH-BD=4-4+0=0,①對；

對于②,CA=(-2,-2,0),C??,=(-2,-2,2).

?t∈[0,1],都存在s∈[0,1],使得函=s+(I-S)鬲

則SCA+(1—S)CAl-s(—2,-2,0)+(1—s)(—2,—2,2)——(—2,—2,2—2s)，

由麗=S石？+(1-S)鬲*可得2-2s=23可得s=1-t6[0,1],合乎題意，②對;

對于③，DH=(0,-2,2t),CTB=(0,-2,-2).

若tC[0,1],使得說_L布，則而?酢=4-4t=0,解得t=l,合乎題意，③對;

j

對于④，在正方體ABCD-AlBlGDl中，AA1lF≡ABCD,

因?yàn)?CU平面ABCD,則44ι1AC,

又因?yàn)锳4〃CCi且441=CC1，故四邊形/MiCIC為矩形，且AC=CAB=2√^五,

易知四邊形為正方形，

將側(cè)面ABB14與面4CG4延展至同一平面，如下圖所示：

當(dāng)點(diǎn)8,H、Cl共線時(shí)，HB+HQ取最小值，

222

且HB+HC1≥BCl=√(AB+AC)+CC1=(2+2√-2)+2=2√4+2√^2>

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)8、H、Cl共線時(shí)，等號成立，故HB+HQ的最小值為2λ∕4+24，④錯(cuò).

故答案為：①②③.

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AD,Λ4ι所在直線分別為x、y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向

量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷①③；利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷②；將側(cè)面4B8ι4與面4CG4

延展至同一平面，分析可知當(dāng)點(diǎn)8、”、Cl共線時(shí)，HB+HQ取最小值，求出“B+HG的最小值，

可判斷④.

本題考查了立體幾何的綜合運(yùn)用，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由于(2x+/)n(τιeN*)的二項(xiàng)展開式滿足耳+1=Cz.(2x)nτ?x+*

第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為CJb第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)髭，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)%，

由于第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，

故2服=盤+鬃，整理得n=2或7(2舍去)；

故n—7.

(2)二項(xiàng)式(2x+上)τι展開式的第7項(xiàng)為t6+i=c$?(2x)i?x-5=14√^^x.

【解析】(1)直接利用展開式的第二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及第四項(xiàng)的二項(xiàng)

式系數(shù)程等差數(shù)列建立方程，進(jìn)一步求出"的值；

(2)利用(1)的結(jié)論，進(jìn)一步利用二項(xiàng)展開式求出結(jié)果.

本題考查的知識要點(diǎn)：二項(xiàng)展開式，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，組合數(shù)的求法，主要考查學(xué)生的理解

能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解:(1)設(shè)｛an｝的公比為g,

Ii917

則-------=2,工0，即1-----=~2'

ɑi出爐1qqz

解得q=2或q=-1,

若q=-1,則$6=0,與$6=63矛盾，不符合題意.

???q=2,

-

cɑl(l2^)UQ?an—1

?S6=-匚^—=63，??ι-?-

,n1

..an=2~,

(2)???brι是l0g2an和log2%ι+ι的等差中項(xiàng)，

1

???bn=2(log2Q〃+log2a〃+i)

11

n1n

=2(?og22-÷log22)=n-2?

λ

^n+l-brι=1，

???｛%｝是以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，

設(shè)數(shù)列高的前2n項(xiàng)和為72n，

則%?=(一必+班)+(-?3+必)+…+(-%T+%)

=b1+b2+b3+b4+―+b2n-1+b2n

—也學(xué)Ii-2n=2?2n=2n2.

【解析】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和，屬于較難題.

(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程解出公比4,利用求和公式解出的,得出通項(xiàng)公式;

(2)求出勾，利用分組轉(zhuǎn)化及等差數(shù)列求和公式即可求解.

19.【答案】解：(1)分別以AB、AD.AP所在直線為

X、y、Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-Xyz.

???AP=AB=AD=1,

?/1(0,0,0),8(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,l)?

設(shè)C(I,犯0),

則麗=(LO,-1)，CD=(-1,1-m,0).

???直線P8與CO所成角大小為全

.?.∣cos<PF,CD>∣=∣^gf∣=^

1_1

即L72=2，

?C2×J1+(1—m)

解得TH=2或TH=0(舍),

.?.C(l,2,0),即BC的長為2；

(2)設(shè)平面尸8。的一個(gè)法向量為沅=(x,y,z).

???麗=(1,0,-1),PD=(0,1,-1),

可取沆=(1,1,1).

設(shè)PBC的一個(gè)法向量為記=(α,b,c),PC=(1,2,-1),

p?ij(n-PB=a—c=0

，可取五(i,o,i).

m-PC=a+2b—c=0

則c°s<而，元>=就=Hn=f'

即二面角。-PB-C的余弦值為容.

【解析】(1)分別以A8、A。、AP所在直線為x、y、Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4一XyZ.由

已知求得A,B,D,尸的坐標(biāo)，設(shè)C(I,m,0),可得兩=(1,0,-1),而=(一1,1一τn,O).再由直線

PB與C。所成角大小為系列式求得〃?的值，則C的坐標(biāo)可求，即可求得BC的長；

(2)分別求出平面PBD與平面PBC的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角。-

PB-C的余弦值.

本題考查異面直線及其所成角，考查了二面角的平面角的求法，訓(xùn)練了空間向量在求解空間角中

的應(yīng)用，是中檔題.

20.【答案】解：(1)由題意可得7(2,0),且GQ是PT的中垂線，

所以IPGl=?GT?,

又IGSl+?GT?=IGSl+?GP?=?PS?=2y∏>>4=?ST?,

所以點(diǎn)G的軌跡是以S,T為焦點(diǎn)的橢圓，

設(shè)橢圓方程為各*l(α>b>0),

所以Q=√-6,c=2,

所以b=?/α2-c2=Λ∕-^2,

所以橢圓C的方程為F+4=L

6L

(2)易知直線/與y軸不垂直，所以設(shè)直線/的方程為X=ty-2,

(x=ty-2

聯(lián)立∣χ2y2,得?2+3)丫2一鈍)/-2=0,

LE=I

設(shè)M(XI,yι),/V(x2,y2),

所以為+%=彘，%y2=∕?,

所以1月一曠21=J(?)2-4?=篝

2

所以S-IlaSIRvI_1x?y2√-6∫tZl_2√6,

XMoN-2∣σ5∣∣>zl372∣-2×Z×----------------一

所以JN1—1,解得t2=3或［2=0,

1?7Γ-3

所以t=±yj3或t=0,

所以直線/的方程為X±√3y+2=0或X=-2.

【解析】(I)由題意可得7(2,0),且GQ是PT的中垂線，則∣GS∣+?GT?=IGSl+?GP?=?PS?=

2<6>4=∣ST∣,由橢圓的定義可得點(diǎn)G的軌跡是以S,T為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程為1+m=

l(α>6>0),解得α,c,再由b=>。解得從即可得出答案.

(2)直線/與坐標(biāo)軸不垂直，設(shè)M(Λ?,%),N(X2/2)，直線/的方程為％="-2,聯(lián)立橢圓的方程,

結(jié)合韋達(dá)定理可得力+丫2，〃丁2，進(jìn)而可得Iyl-'2∣,則SAMON=TI。SlIyl-'2∣=2X2X

2√6λf?_2<6,解得3即可得出答案.

-?~

本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的相交問題，解題中需要一定的計(jì)算能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)根據(jù)題意，列聯(lián)表完成如下:

是否體驗(yàn)漢服

性別合計(jì)

體驗(yàn)漢服沒有體驗(yàn)漢服

?180100280

?4080120

220180400

2_400×(180×80-100×40)2_

K-280×120×220×180~32-516>10'828

根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為體驗(yàn)漢服與性別之間有關(guān)聯(lián).

(2)由數(shù)據(jù)可知，

--1

因?yàn)閄='x(3+4+6+8+11+15+16)=9,

一1

y=?×(6+10+15+17÷23+