2022-2023學(xué)年北京市高一年級(jí)下冊(cè)冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬考試試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年北京市高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬考試試卷

（含解析）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.每小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有

一個(gè)符合題意.

Isin330o=（）

A.--B.--C.--D.-1

222

【正確答案】A

【分析】利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算可得.

【詳解】sin330o=sin（360o-30o）=-sin30°=-.

故選:A

2.若COSa<0,且tana>0,則角a的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象

限

【正確答案】C

【分析】根據(jù)角的象限與余弦函數(shù)的函數(shù)值和正切函數(shù)的函數(shù)值的正負(fù)的關(guān)系判斷.

【詳解】因?yàn)镃oSa<0,所以角a的終邊在第二象限或X軸的負(fù)半軸或第三象限，

因?yàn)閠ana>0,所以角a的終邊在第一象限或第三象限，

所以角a的終邊在第三象限，

故選：C.

3.在四邊形ZBCO中，AB-2D+CD^（）

A.BCB.CBC.ADD.DA

【正確答案】B

【分析】根據(jù)平面向量加減運(yùn)算法則計(jì)算.

【詳解】AB-AD+CD=CD+DB=CB-

故選：B

4.若角《的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)?（1,一2）,貝IJtana的值為（）

A.-2B.-?C.--D.-氈

255

【正確答案】A

【分析】利用正切函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)榻?的終邊上有一點(diǎn)尸（1,一2）,所以tana=彳=一2,

故選：A

5.在半徑為5cm的扇形中，圓心角為2rad,則扇形的面積是（）

A.50Cm2B.25Cm2C.20cm2D.

IOcm2

【正確答案】B

【分析】根據(jù)扇形的面積公式即可求解.

【詳解】由扇形面積可得，S=Jα∕=2χ2χ52=25（cm2）,

22v7

故選：B.

6.如圖，2XZ6C中，AB=a,^AC=b>D為BC中前,E為4D中點(diǎn),方用萬(wàn)和B表示

——λ

為CE=%N+"b，則一=（）

??

A.3B.-3C.D.

33

【正確答案】D

【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及平面向量基本定理求出4、〃，即可得解.

【詳解】因?yàn)椤锽C中點(diǎn)，E為4D中點(diǎn)、,

.,..1..11/,1

所以CE=CZ+/E=—ZC+—ZQ=-AC+-×-(AB+AC

222、

3—1—371-

=——AC+-AB=——b+-a,

4444

A=-

所以《4

3

故選：D

7.把函數(shù)y=Sinx的圖像上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)。個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖像上所有點(diǎn)

的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的!（縱坐標(biāo)不變），得到的圖像所表示的函數(shù)是

A.j^=sinl2x-y

2π}

Cy=sin[2x+§D.y=sinI2x+Tj

【正確答案】C

【分析】根據(jù)左右平移和周期變換原則變換即可得到結(jié)果.

【詳解】N=Sinx向左平移W個(gè)單位得：y=sin[x+?）

將N=SinlX+?）橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的;得：y=Sin（2x+?

本題正確選項(xiàng)：C

本題考查三角函數(shù)的左右平移變換和周期變換的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知萬(wàn)，b是單位向量，c=a+2b-若方工了，則彳與B的夾角為（）

【正確答案】C

【分析】依題意可得AE=0,根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出鼠6,最后根據(jù)夾角公式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)锳,B是單位向量，所以向=M=1,又1=G+2B且

7rrI

所以H=1?(N+2B)=2?5+25?B=0,即B∣+2萬(wàn)?b=o,所以4心=一］

所以CoSRWa?bg,因?yàn)樨?/p>

同利

所以G4=年

故選：C

TT

9.已知函數(shù)/(x)=SinS(G>0),則“函數(shù)/(X)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一，1)”是“函數(shù)/(X)

4

71

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一,0)”的

2

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】

先由/.(X)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)：，1求出。；再由/(χ)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)5,o1求出<y,根據(jù)充

分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.

【詳解】函數(shù)/")的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)((，1)時(shí)，有SinF=I,所以，7。=、+2%必k&Z,

因?yàn)?〉0,所以/=2+8左，左WN,函數(shù)為：/(x)=Sin(2+8左)x,k&N

冗

當(dāng)X=卻“Sin(2+8A)χ,=sin(τr+4kτ)=0,所以,充分性成立;

當(dāng)函數(shù)/(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(］，°)時(shí)，Sinm0=0,所以，^ω=k兀，k^Z,即

①=2左，％∈Z,/(X)=sin2bc(?>0,《∈Z),

當(dāng)X=;?時(shí)，/[(J=sin[2左X；J=SinT不一定等于1,所以，必要性不成立.

故選A

本題主要考查充分條件與必要條件的判定，熟記概念即可，屬于常考題型.

10.已知點(diǎn)O(0,0),"(2,1),5(1,2).若平面區(qū)域。由所有滿足而=4刀+〃麗

(1≤4≤2,1≤4≤2)的點(diǎn)尸組成，則。的面積為()

3

A-B.3C.6D.12

-2

【正確答案】B

【分析】以。/,OB為鄰邊作平行四邊形WCB,延長(zhǎng)BC到。，使CZ)=8。，延長(zhǎng)NC

到E,使CE=NC,以CD,CE為鄰邊作平行四邊形CO日E,平行四邊形COFE及內(nèi)

部便是區(qū)域。，可求出函,近的坐標(biāo)，然后求出平行四邊形CDFE的面積即可.

【詳解】如圖，以CU,08為鄰邊作平行四邊形O/CB,延長(zhǎng)BC到。，使CO=BC,

延長(zhǎng)/C到E，使CE=ZC,以CD,CE為鄰邊作平行四邊形CObE,

因?yàn)榉?4/+〃礪(1≤Λ≤2,l≤χ∕<2),

則平行四邊形CZ)EE為區(qū)域O,且麗=刃=(2,1),CE=OB=(?,2),

所以麗.麗=4，∣C5∣=√22+I2=√5,p∣=√22+l2=√5,

CDCE43

,COSZOCE==-,且NOCEe(O,兀)，..sinNDeE=—

55

.?.區(qū)域D的面積為S=∣CD∣∣C^∣sinZDCE=√5×√5×∣=3.

故選:B.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.VCOSI5°+sin15°=

22

【正確答案】—

2

【詳解】TCOSI5°+YmSinl5°

22

=cos60°cos15o÷sin60osin15°

=cos(60o—15°)=cos45o=.

2

12.已知向量5=(L2),?=(2,3),若_(而+B),則實(shí)數(shù)，的值為.

Q

【正確答案】一一

5

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求解.

【詳解】因?yàn)橄蛄緼=(L2),3=(2,3)，所以夜+B=(f+2,2f+3),

-8

又。_L(而+6)，所以lx(∕+2)+2χ(2∕+3)=0,解得」=

Q

故答案為.-《

13.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1.從48,C,Q四點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)作為向量B的始點(diǎn)

和終點(diǎn)，則。力的最大值為

D

Λr

【正確答案】3

【分析】由圖可知，要使取到最大值，即要求向量否在向量Z上的投影最大，然后再根

據(jù)圖形即可求出結(jié)果.

【詳解】由題意可知：則α?5=|?|?I^lcos<ab>=∣Λ∣cos<a,b>,

所以要使鼠B取到最大值，即要求向量B在向量［上的投影最大，

由圖形可知：當(dāng)向量否=Ne時(shí).，向量B在向量Z上的投影最大，

即α?B=缶Icos<a,b>=VlO?—1==3

11√10

即的最大值為3.

故3.

本題考查向量的數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力.

14.用“五點(diǎn)法”作函數(shù)/(8)=/$足(處+8)的圖象時(shí)，列表如下：

X??5411

6363~6

ωx+φOππ3π2π

2T

/(χ)O2O-2O

則/(-|)=；/(O)+/(-?)=.

【正確答案】①.-2②.0

【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求出A、3、0的值，可得出函數(shù)y=∕(x)的解析式，然后代

21

值計(jì)算可得出/(一?和/(0)+∕(-g)的值.

【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知，4=∕(x)nu*=2,

函數(shù)N=/(X)的最小正周期為7=?/-?=2,所以O(shè)=M=M=兀，

6V6√T2

■ITrTr

則/(x)=2sin(πx+e),當(dāng)X=—時(shí);則πx-+g=-,解得夕=—,

2π2π

則/(x)=2Sinπx+y,所以/'(-^)=2sin2sin-2,

6J36^T

/(0)+/(—；)=2si吟+2SinL=O.

故-2;0.

15.已知函數(shù)/(x)=Siniυx,g(x)=cos<υx,其中0〉0,48,C是這兩個(gè)函數(shù)圖象的

交點(diǎn)，且不共線.

①當(dāng)。=1時(shí)，ZBC面積的最小值為；

②若存在/8C是等邊三角形，則口的最小值為.

【正確答案】①.√2π②.巫##邁π

22

【分析】畫(huà)出兩函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到ZBC面積最小值；當(dāng)相鄰三個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成等邊三

。取得最小值，結(jié)合CD=@28列出方程，求出答案.

角形時(shí),

2

【詳解】當(dāng)0=1時(shí),/(x)=sinx,g(x)=COSX,

畫(huà)出兩函數(shù)圖象，如下：過(guò)點(diǎn)。作CD于點(diǎn)。,

當(dāng)4民C為如圖所示的三個(gè)相鄰的交點(diǎn)時(shí)，Z8C面積最小,

J9π7∑'5π

其中//回

I42J?T2

一…9π兀CJ5∏-

故AB=-------=2兀，CD=2×—=√2，

442

所以S,M=Lz8?8=N8=Lχ2πx√Σ=√Σπ;

abc22

因?yàn)?。?,函數(shù)最小正周期T="，

ω

故當(dāng)相鄰三個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形時(shí)，兩函數(shù)的最小正周期最大，則。取得最小值,

2π

則/6=—CP=2×-=√2.

ω2

因?yàn)镃D=好AB，所以3X型=J5,解得O=典，即為最小值.

22ω2

故顯專

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

sin(π-a)cos(π+a)tan(π-a)

16.已知角α是第三象限角，且"a，

兀

sin(-+a)tan(π+a)

(1)化簡(jiǎn)/S);

(2)若/(。)=一；，求CoS(2π-α)的值.

【正確答案】(1)Sina

⑵一直

2

【分析】(1)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可；

(2)由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出CoSα,再利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.

【小問(wèn)1詳解】

_s?n(π-a)cos(π+a)tan(π-a)

Sin(5+a)tan(π+a)

Sina?(-COSa)?(-tanα)

==Sl∏CC.

cosa?tanα

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?(a)=—；，即Sina=-；，又a是第三象限角,

所以cosa--JI-Sin2a-，

2

所以COS(2π-a)=COSa=

^τ

17.已知向量萬(wàn)=(x,2x),5=(—3x,2)

(1)若)與B共線，求實(shí)數(shù)X的值；

(2)若之與B的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)X的取值范圍.

【正確答案】(1)O或-g

114

(2)(-∞,--)U(--,O)U(―,+∞)

【分析】(I)根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算公式，列出方程，即可求解；

(2)根據(jù)題意，利用7B<o且々與B不共線，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示和數(shù)量積的運(yùn)算，即

可求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)棣僚c月共線，且向量a=(x,2x),6=(—3x,2),

所以2x=2x?(-3x),即6χ2+2x=0,解得X=O或X=

3

【小問(wèn)2詳解】

4

因?yàn)?與方的夾角是鈍角，所以1?方=-3χ2+4x<0,解得x<0或x>一.

3

又由向量Z與5不共線，可得2x≠2x?(-3x),解得XHo且x≠-L

3

114

所以實(shí)數(shù)X的取值范圍是(一8,——)U(—―,0)U(一,+8)?

333

18.已知函數(shù)函(X)=CoSX?tanx

(1)求函數(shù)/U)的定義域及/(：)的值；

π1

(2)若/(0)+/(5-二)二一1，求tana的值.

【正確答案】(1){x?x≠-+kπ,k≡Z},2

22

/、3一4

(2)----或---

43

【分析】(1)根據(jù)N=tanx有意義求解定義域，化簡(jiǎn)函數(shù)代入求值即可解答；

(2)由題意，Sina+cosa=—』.，再利用同角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.

5

【小問(wèn)1詳解】

由題意，函數(shù)/(X)有意義，只需y=tanx有意義即可,

π

所以函數(shù)/(X)的定義域?yàn)閧xIX≠→kπ,k∈Z},

SinX.π?/?

因?yàn)?(x)=COSX?tanx=cosx-------=sinx,所以=sin—=——

COSX32

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)椋磺?

/(α)+/'(5-a)=-,=sin3-0卜cosa,

所以Sina+cos0=——.

5

又因?yàn)閟ira+cos?。=]，所以(Sina+cos二了=1+2SinaCOSa=(，

一.12

所以SinaCOSa=------.

25

1

Sma+cosa=——

解方程組，

SinaCoSa=------cosa=——

255

則tan6z=——或tan0=——.

43

19.已知函數(shù)/(x)=sin(2x-崇)

(1)求函數(shù)/O)的單調(diào)遞增區(qū)間及最小正周期;

(2)當(dāng)x∈［0,m］時(shí)，/G)的取值范圍為［一;J,求〃？的最大值.

πTT

【正確答案】(1)[-----FZTC,—FATr],4∈Z;π

63

2π

(2)

T

【分析】(1)代入正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間結(jié)論計(jì)算即可，利用周期公式計(jì)算即可;

(2)先求出整體變量的范圍，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)解答即可.

【小問(wèn)1詳解】

令r=2x-工，因?yàn)閥=sinf的單調(diào)遞增區(qū)間是一4+2Λπ,2?+2Λπ,左∈Z,

622

兀JTTr7C2兀

所以令----F2kπ<2x—≤-+2kπ,《∈Z,即----F2kπ≤2x<---F2Λπ,k∈Z,

26233

TT兀

解得——+%π≤x≤-+%兀次∈Z,

63

ππ

所以函數(shù)/(χ)的單調(diào)遞增區(qū)間為[一一+Aπ,-+hr]Λ∈Z

63

最小正周期為T=與=π:

【小問(wèn)2詳解】

TUJrTt

當(dāng)x∈[O,∕x]時(shí)，2x—∈——,2m—,

666

JrTC1

令f=2x一看,貝∣"∈--,2m--,所以Sinf的取值范圍為[一一,1],

6622

itTT7冗Tr2Tt2it

由V=Sinf的性質(zhì)可知，-≤2m一一≤-,解得一4m≤-,所以機(jī)的最大值為一.

266333

π\(zhòng)

20.已知函數(shù)/(x)=∕sin((υx+e)∣A>0,<υ>0,∣^>∣<,J的部分圖象如圖所示.

(1)直接寫(xiě)出啰的值;

(2)再?gòu)臈l件①、條件②中選擇一個(gè)作為已知，求函數(shù)/(x)在區(qū)間-專,?上的最小

值.條件①：直線X=主為函數(shù)y=∕(χ)的圖象的一條對(duì)稱軸：條件②：(g,θ)為函數(shù)

12\3)

y=/(χ)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

【正確答案】⑴0=2；(2)條件選擇見(jiàn)解析，/'(無(wú))在區(qū)間-三號(hào)上的最小值為1.

【分析】(I)求出函數(shù)/(χ)的最小正周期，由此可求得口的值；

(2)根據(jù)所選條件求得夕的表達(dá)式，結(jié)合夕的取值范圍可求得夕的值，再由/(O)=力求

冗TC4

得A的值，由x∈求出2x+一的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得

1243

/(x)的最小值.

【詳解】(1)由圖象可知，函數(shù)/(尤)的最小正周期7滿足5=萬(wàn)，.?.T=萬(wàn)，則0=下=2：

ηπ

(2)選擇條件①：因?yàn)橹本€X=W為函數(shù)y=∕(χ)的圖象的一條對(duì)稱軸，

/7τr3TTTT

所以，2乂攻+0=-+2kπ^k≡Z),即φ=--?-2kπ^k∈Z),

*?*--Ve<w，：.(P=三'則/(0)=Asin—=A=?/?,力=2,

22J32

/(X)=2Sin卜x+工］,

ππ萬(wàn)Cπ5π

當(dāng)Xe時(shí)-≤2x+-≤—

12,4636

所以當(dāng)2x+gq或子時(shí)，即當(dāng)x=—?；颉鞎r(shí)，函數(shù)/(x)取得最小值，即/(x)nιhl=L

選擇條件②：因?yàn)?g,θ)是函數(shù)y=∕(χ)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，

TTJT

則2X3→9="+2ATΓH∈Z),解得Q=3→2版■(左∈Z),

*?*-~Ve<?"，?*?~?則/(0)=Asin————A—?/?,力=2,

22J32

∕,(x)=2Sin2x-?——

ππ冗，、π,5π

當(dāng)x∈時(shí)-≤2x+-≤——

124636

所以當(dāng)2x+f=X或汽寸，即當(dāng)X=-3或工時(shí)，函數(shù)/(X)取得最小值，即/(XL=L

36b124

方法點(diǎn)睛：求函數(shù)/(》)=外出(5+夕)在區(qū)間［4,句上最值的一般步驟：

第一步：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，一般化成形如V=∕sin(①X+8)+々的形式或

V=ZCOS(<υx+°)+”的形式；

第二步：由X的取值范圍確定0X+9的取值范圍，再確定Sin(S+0)(或CoS(ox+。))

的取值范圍；

第三步：求出所求函數(shù)的值域(或最值).

21.對(duì)于正整數(shù)“，如果左(左eN*)個(gè)整數(shù)q,a2,...,4滿足1≤q≤^2?…，

且％+%+…+即=〃，則稱數(shù)組(4，a2,...,/)為〃的一個(gè)“正整數(shù)分拆”.記

α∣,a2,...,為均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為/；,al,a2,...,W均為奇數(shù)的“正整數(shù)分

拆”的個(gè)數(shù)為g“.

(I)寫(xiě)出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”；

(∏)對(duì)于給定的整數(shù)〃("≥4),設(shè)(q,%，…，%)是〃的一個(gè)“正整數(shù)分拆“，且6=2,

求人的最大值；

(In)對(duì)所有的正整數(shù)〃，證明:<<g“；并求出使得等號(hào)成立的〃的值.

(注:對(duì)于"的兩個(gè)，正整數(shù)分拆”(