蘇科版七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列 專題7.1 平行線的判定【七大題型】（原卷版）

專題7.1平行線的判定【七大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平行公理及其推論】 1【題型2同位角相等，兩直線平行】 2【題型3內(nèi)錯角相等，兩直線平行】 4【題型4同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】 5【題型5平行線的判定方法的綜合運用】 6【題型6角平分線與平行線的判定綜合運用】 7【題型7平行線判定的實際應(yīng)用】 9【知識點平行線的判定】1.平行公理及其推論①經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.②如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.2.平行線的判定方法①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）.②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.（內(nèi)錯角相等，兩直線平行.③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則這兩條直線平行.（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.）【題型1平行公理及其推論】【例1】（2022·江西上饒·七年級期中）同一平面內(nèi)的四條直線若滿足a⊥b，b⊥c，c⊥d，則下列式子成立的是（

）A．a(chǎn)∥d B．b⊥d C．a(chǎn)⊥d 【變式1-1】（2022·河南漯河·七年級期末）如圖，工人師傅用角尺畫出工件邊緣AB的垂線a和b，得到a∥b，理由是（

）A．連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短B．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行C．在同一平面內(nèi)，過一點有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線D．經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行【變式1-2】（2022·湖北武漢·七年級期中）下列命題：①內(nèi)錯角相等；②兩個銳角的和是鈍角；③a，b，c是同一平面內(nèi)的三條直線，若a//b，b//c，則a//c；④a，b，c是同一平面內(nèi)的三條直線，若ab，bc，則ac；其中真命題的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-3】（2022·四川·甘孜藏族自治州教育局七年級期末）如圖，AB∥CD，如果∠1=∠2，那么EF與AB平行嗎？說說你的理由．解：因為所以____________∥___________．（

）又因為AB∥所以AB∥EF．（【題型2同位角相等，兩直線平行】【例2】（2022·甘肅·隴南育才學(xué)校七年級期末）如圖，AB⊥MN，垂足為B，CD⊥MN，垂足為D，∠1＝∠2．在下面括號中填上理由．因為AB⊥MN，CD⊥MN，所以∠ABM＝∠CDM＝90°．又因為∠1＝∠2()，所以∠ABM?∠1＝∠CDM?∠2()，即∠EBM＝∠FDM．所以EB∥【變式2-1】（2022·湖北·蘄春縣向橋鄉(xiāng)白水中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，過直線外一點畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法，其依據(jù)是______．【變式2-2】（2022·山東泰安·七年級期末）如圖，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．請說明線段BE與DF的位置關(guān)系？為什么？【變式2-3】（2022·北京東城·七年級期末）如圖，直線l與直線AB，CD分別交于點E，F(xiàn)，∠1是它的補(bǔ)角的3倍，∠1?∠2=90°．判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由．【題型3內(nèi)錯角相等，兩直線平行】【例3】（2022·山東·曲阜九巨龍學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，點A在直線DE上，AB⊥AC于A，∠1與∠C互余，DE和BC平行嗎？若平行，請說明理由．【變式3-1】（2022·北京市房山區(qū)燕山教委八年級期中）如圖，已知∠1=75°，∠2=35°，∠3=40°，求證：a∥b．【變式3-2】（2022·福建·莆田第二十五中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，CF是△ABC外角∠ACM的平分線，∠ACB=40°，【變式3-3】（2022·遼寧·阜新市第十中學(xué)七年級期中）如圖，AB∥DE，∠1=∠ACB，∠CAB=12∠BAD，試說明AD∥BC【題型4同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】【例4】（2022·河北衡水·七年級階段練習(xí)）已知：∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°，求證：AB∥【變式4-1】（2022·西藏昂仁縣中學(xué)七年級期中）如圖，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB⊥AC，求證：AD∥BC．【變式4-2】（2022·甘肅·平?jīng)鍪械谄咧袑W(xué)七年級期中）如圖，∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC.(1)∠DAB+∠B等于多少度？(2)AD與BC平行嗎？請說明理由．【變式4-3】（2022·北京市第五中學(xué)分校七年級期末）如圖，已知點E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為D，F(xiàn)，點M，G在AB上，GF交BD于點H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，求證：MD∥GF．下面是小穎同學(xué)的思考過程，請補(bǔ)全證明過程并在括號內(nèi)填上證明依據(jù)．證明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（①）．∴∠BDC＝∠EFC（等量代換）．∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行）．∴∠2＝∠CBD（②）．∵∠1＝∠2（已知）．∴∠1＝∠CBD（等量代換）．∴③（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），∴MD∥BC（④）．∴MD∥GF（⑤）．【題型5平行線的判定方法的綜合運用】【例5】（2022·廣西賀州·七年級期末）如圖，有下列條件：①∠1=∠2；②∠3+∠4=180°；③∠5+∠6=180°；④∠2=∠3．其中，能判斷直線a∥A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式5-1】（2022·浙江臺州·七年級期末）在鋪設(shè)鐵軌時，兩條直軌必須是互相平行的，如圖，已經(jīng)知道∠2是直角，那么再度量圖中已標(biāo)出的哪個角，不能判斷兩條直軌是否平行(

)A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5【變式5-2】（2022·山西臨汾·七年級期末）在下列圖形中，已知∠1=∠2，一定能推導(dǎo)出l1∥lA． B． C． D．【變式5-3】（2022·山東日照·七年級期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定DE∥BC的是（A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠5=∠C D．∠B+∠BDE=180°【題型6角平分線與平行線的判定綜合運用】【例6】（2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，點E、F分別在DC、AB上，且BE、DF分別平分∠ABC、∠ADC，判斷BE、DF是否平行，并說明理由．【變式6-1】（2022·江蘇·揚州市邗江區(qū)實驗學(xué)校七年級期末）將下列證明過程補(bǔ)充完整：已知：如圖，點E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求證：AB∥證明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠2＝∠（）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠（）．∴AB∥CD（【變式6-2】（2022·遼寧沈陽·七年級期末）按邏輯填寫步驟和理由，將下面的證明過程補(bǔ)充完整如圖，直線MN分別與直線AC、DG交于點B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分線BE交直線DG于點E，∠BFG的角平分線FC交直線AC于點C．求證：BE∥CF．證明：∵∠1＝∠2（已知）∠ABF＝∠1（對頂角相等）∠BFG＝∠2（____________）∴∠ABF＝______（等量代換）∵BE平分∠ABF（已知）∴∠EBF=1∵FC平分∠BFG（已知）∴∠CFB=1∴∠EBF＝______∴BE∥CF（____________）【變式6-3】（2022·內(nèi)蒙古·扎賚特旗音德爾第三中學(xué)七年級期末）如圖，點G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC．請說明AE∥GF的理由．解：因為∠BAG+∠AGD=180°(已知)，∠AGC+∠AGD=180°(______)，所以∠BAG=∠AGC(______)．因為EA平分∠BAG，所以∠1=1因為FG平分∠AGC，所以∠2=1得∠1=∠2(等量代換)，所以______(______)．【題型7平行線判定的實際應(yīng)用】【例7】（2022·全國·七年級課時練習(xí)）如圖，若將木條a繞點O旋轉(zhuǎn)后使其與木條b平行，則旋轉(zhuǎn)的最小角度為()A．65° B．85° C．95° D．115°【變式7-1】（2022·河南·鄭州外國語學(xué)校經(jīng)開校區(qū)七年級階段練習(xí)）如圖所示的四種沿AB進(jìn)行折疊的方法中，不一定能判斷紙帶兩條邊a，b互相平行的是（）A．如圖1，展開后測得∠1=∠2 B．如圖2，展開后測得∠1=∠2且∠3=∠4C．如圖3，測得∠1=∠2 D．在圖4中，展開后測得∠1+∠2=180°【變式7-2】（2022·全國·七年級）一輛汽車在廣闊的草原上行駛，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，那么這兩次拐彎的角度可能是（

）A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．【變式7-3】（2022·江蘇·南京外國語學(xué)校七年級期中）如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，∠1=70°,∠2=100°，現(xiàn)將木棒a、b同時順時針旋轉(zhuǎn)一周，速度分別為18度/秒和3度/秒，兩根木棒都停止時運動結(jié)束，則___________秒后木棒a，b平行．專題7.1平行線的判定【七大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平行公理及其推論】 1【題型2同位角相等，兩直線平行】 4【題型3內(nèi)錯角相等，兩直線平行】 6【題型4同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】 9【題型5平行線的判定方法的綜合運用】 12【題型6角平分線與平行線的判定綜合運用】 15【題型7平行線判定的實際應(yīng)用】 19【知識點平行線的判定】1.平行公理及其推論①經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.②如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.2.平行線的判定方法①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）.②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.（內(nèi)錯角相等，兩直線平行.③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則這兩條直線平行.（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.）【題型1平行公理及其推論】【例1】（2022·江西上饒·七年級期中）同一平面內(nèi)的四條直線若滿足a⊥b，b⊥c，c⊥d，則下列式子成立的是（

）A．a(chǎn)∥d B．b⊥d C．a(chǎn)⊥d 【答案】C【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，可證a∥c，再結(jié)合c⊥d，可證【詳解】解：∵a⊥b，b⊥c，∴a∥∵c⊥d，∴a⊥d，故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線及垂線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行．【變式1-1】（2022·河南漯河·七年級期末）如圖，工人師傅用角尺畫出工件邊緣AB的垂線a和b，得到a∥b，理由是（

）A．連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短B．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行C．在同一平面內(nèi)，過一點有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線D．經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行【答案】B【分析】三條直線AB、a、b位于同一平面內(nèi)，且直線a與直線b都垂直于AB，即可根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行的性質(zhì)來判斷出a∥b．【詳解】∵直線AB、a、b位于同一平面內(nèi)，且AB⊥a、AB⊥b∴a∥b（同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行）故答案為B．【點睛】本題考查了平行線判定的性質(zhì)，根據(jù)已知題目反應(yīng)出兩條直線是同一平面內(nèi)，且同時垂直于一條直線是本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·湖北武漢·七年級期中）下列命題：①內(nèi)錯角相等；②兩個銳角的和是鈍角；③a，b，c是同一平面內(nèi)的三條直線，若a//b，b//c，則a//c；④a，b，c是同一平面內(nèi)的三條直線，若ab，bc，則ac；其中真命題的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)可判斷①，根據(jù)兩銳角的大小求和可判斷②，根據(jù)平行公理推論可判斷③，根據(jù)垂直定義得出∠1=∠2=90°，然后利用同位角相等，兩直線平行的判定可判斷④．【詳解】解：①兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故①不正確；②兩個銳角的和可以是銳角，直角，鈍角，故②不正確；③a，b，c是同一平面內(nèi)的三條直線，若a//b，b//c，則a//c，故③正確；④a，b，c是同一平面內(nèi)的三條直線，如圖∵ab，bc，∴∠1=90°，∠2=90°，∴∠1=∠2∴a∥c，故④不正確；∴真命題只有1個．故選A．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，兩銳角和的大小，掌握平行線的性質(zhì)與判定，銳角定義是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·四川·甘孜藏族自治州教育局七年級期末）如圖，AB∥CD，如果∠1=∠2，那么EF與AB平行嗎？說說你的理由．解：因為所以____________∥___________．（

）又因為AB∥所以AB∥EF．（【答案】CD∥EF；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；平行于同一直線的兩條直線平行【分析】根據(jù)平行線的判定定理完成填空即可求解．【詳解】解：因為∠1=∠2?，所以CD∥EF．（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）又因為AB∥所以AB∥【點睛】本題考查了平行線的判定，平行公理，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【題型2同位角相等，兩直線平行】【例2】（2022·甘肅·隴南育才學(xué)校七年級期末）如圖，AB⊥MN，垂足為B，CD⊥MN，垂足為D，∠1＝∠2．在下面括號中填上理由．因為AB⊥MN，CD⊥MN，所以∠ABM＝∠CDM＝90°．又因為∠1＝∠2()，所以∠ABM?∠1＝∠CDM?∠2()，即∠EBM＝∠FDM．所以EB∥【答案】

已知

等量減等量，差相等

同位角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)垂線的定義，得出∠ABM＝∠CDM＝90°，再根據(jù)角的等量關(guān)系，得出∠EBM＝∠FDM，然后再根據(jù)同位角相等，兩直線平行，得出EB∥【詳解】因為AB⊥MN，CD⊥MN，所以∠ABM＝∠CDM＝90°．又因為∠1＝∠2（已知），所以∠ABM?∠1＝∠CDM?∠2（等量減等量，差相等），即∠EBM＝∠FDM．所以EB∥【點睛】本題考查了垂線的定義、平行線的判定，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握平行線的判定定理．【變式2-1】（2022·湖北·蘄春縣向橋鄉(xiāng)白水中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，過直線外一點畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法，其依據(jù)是______．【答案】同位角相等，兩直線平行【分析】作圖時保持∠1=∠2，根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可畫出已知直線的平行線．【詳解】解：過直線外一點畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法，其依據(jù)是：同位角相等，兩直線平行．故答案為：同位角相等，兩直線平行．【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，平行公理，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定和性質(zhì)．【變式2-2】（2022·山東泰安·七年級期末）如圖，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．請說明線段BE與DF的位置關(guān)系？為什么？【答案】BE∥DF，見解析【分析】由已知推出∠3+∠4=90°，利用∠1+∠2=90°，∠2=∠3，得到∠1=∠4，即可得到結(jié)論BE∥DF．【詳解】解：BE∥DF，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠3+∠4=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴BE∥DF．【點睛】此題考查了平行線的判定定理，熟記平行線的判定定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·北京東城·七年級期末）如圖，直線l與直線AB，CD分別交于點E，F(xiàn)，∠1是它的補(bǔ)角的3倍，∠1?∠2=90°．判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】AB∥CD；理由見解析【分析】先根據(jù)補(bǔ)角的定義求出∠1的度數(shù)，然后求出∠CFE和∠2的度數(shù)，最后根據(jù)平行線的判定進(jìn)行解答即可．【詳解】解：AB∥CD；理由如下：∵∠1是它的補(bǔ)角的3倍，∴設(shè)∠1=α，則∠1的補(bǔ)角為13∴α+1解得：α=135°，∴∠1=135°，∴∠CFE=180°?∠1=45°，∵∠1?∠2=90°，∴∠2=∠1?90°=45°，∴∠2=∠CFE=45°，∴AB∥CD．【點睛】本題主要考查了補(bǔ)角的有關(guān)計算，平行線的判定，根據(jù)題意求出∠2=∠CFE=45°，是解題的關(guān)鍵．【題型3內(nèi)錯角相等，兩直線平行】【例3】（2022·山東·曲阜九巨龍學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，點A在直線DE上，AB⊥AC于A，∠1與∠C互余，DE和BC平行嗎？若平行，請說明理由．【答案】平行，理由見解析【分析】由垂直定義可得∠BAC=90°，根據(jù)平角定義得∠1+∠BAC+∠CAE=180°，即可得出∠1+∠CAE=90°，由∠1與∠C互余，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得出∠CAE=∠C，根據(jù)平行線的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：平行，理由如下：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵∠1+∠BAC+∠CAE=180°，∴∠1+∠CAE=90°，∵∠1與∠C互余，即∠1+∠C=90°，∴∠CAE=∠C，∴DE∥BC．【點睛】本題考查平行線的判定，余角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·北京市房山區(qū)燕山教委八年級期中）如圖，已知∠1=75°，∠2=35°，∠3=40°，求證：a∥b．【答案】見解析【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)，求得∠4=75°，再根據(jù)∠1=75°，即可得到∠1=∠4，進(jìn)而判定a∥【詳解】證明：如下圖：∵∠4=∠3+∠2=75°，又∵∠1=75°，∴∠1=∠4，∴a∥【點睛】本題主要考查了平行線的判定以及三角形內(nèi)角和性質(zhì)，解題時注意：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【變式3-2】（2022·福建·莆田第二十五中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，CF是△ABC外角∠ACM的平分線，∠ACB=40°，【答案】證明見解析【分析】由角平分線的定義及補(bǔ)角的定義可求得∠ACE的度數(shù)，即可得∠【詳解】證明：∵∠ACB∴∠ACM∵CF是△ABC外角∠∴∠ACF∵∠A∴∠A∴AB∥【點睛】本題主要考查角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)和平行線的判定，證得∠A【變式3-3】（2022·遼寧·阜新市第十中學(xué)七年級期中）如圖，AB∥DE，∠1=∠ACB，∠CAB=12∠BAD，試說明AD∥BC【答案】見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BAC=∠1，等量代換得∠ACB=∠BAC，根據(jù)∠CAB=12∠BAD可得∠ACB【詳解】證明：∵AB∥∴∠BAC=∠1，∵∠1=∠ACB，∴∠ACB=∠BAC，∵∠CAB=1∴∠ACB=∠DAC，∴AD∥【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．【題型4同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】【例4】（2022·河北衡水·七年級階段練習(xí)）已知：∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°，求證：AB∥【答案】見解析【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，再根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行即可證明結(jié)論．【詳解】證明：∵∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°，∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴AB∥EF，CD∥EF，∴AB∥CD．【點睛】本題考查了平行線的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定．【變式4-1】（2022·西藏昂仁縣中學(xué)七年級期中）如圖，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB⊥AC，求證：AD∥BC．【答案】見解析【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行證明即可．【詳解】解：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵∠CAD＝20°，∠B＝70°，∴∠B+∠BAD=70°+90°+20°=180°，∴AD∥BC．【點睛】本題考查平行線的判定、垂直定義，熟練掌握平行線的判定方法是解答的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·甘肅·平?jīng)鍪械谄咧袑W(xué)七年級期中）如圖，∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC.(1)∠DAB+∠B等于多少度？(2)AD與BC平行嗎？請說明理由．【答案】(1)∠DAB+∠B=180°(2)AD∥BC；理由見解析【分析】（1）由已知可求得∠DAB=120°，從而可求得∠DAB+∠B=180°；（2）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行可得AD∥BC．（1）解：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°．又∵∠1=30°，∴∠BAD=120°，∵∠B=60°，∴∠DAB+∠B=180°．（2）解：AD∥BC．理由如下：∵∠DAB+∠B=180°，∴AD∥BC．【點睛】本題主要考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【變式4-3】（2022·北京市第五中學(xué)分校七年級期末）如圖，已知點E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為D，F(xiàn)，點M，G在AB上，GF交BD于點H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，求證：MD∥GF．下面是小穎同學(xué)的思考過程，請補(bǔ)全證明過程并在括號內(nèi)填上證明依據(jù)．證明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（①）．∴∠BDC＝∠EFC（等量代換）．∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行）．∴∠2＝∠CBD（②）．∵∠1＝∠2（已知）．∴∠1＝∠CBD（等量代換）．∴③（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），∴MD∥BC（④）．∴MD∥GF（⑤）．【答案】垂直的定義；兩直線平行，同位角相等；GF∥BC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；平行于同一直線的兩直線平行．【分析】根據(jù)垂直定義得出∠BDC＝∠EFC，根據(jù)平行線的判定推出BD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CBD＝∠2，求出∠CBD＝∠1，根據(jù)平行線的判定得出GF∥BC，GF∥MD即可．【詳解】證明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定義）．∴∠BDC＝∠EFC（等量代換）．∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行）．∴∠2＝∠CBD（兩直線平行，同位角相等）．∵∠1＝∠2（已知）．∴∠1＝∠CBD（等量代換）．∴GF∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），∴MD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．∴MD∥GF（平行于同一直線的兩直線平行）．故答案為：垂直的定義；兩直線平行，同位角相等；GF∥BC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；平行于同一直線的兩直線平行．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型5平行線的判定方法的綜合運用】【例5】（2022·廣西賀州·七年級期末）如圖，有下列條件：①∠1=∠2；②∠3+∠4=180°；③∠5+∠6=180°；④∠2=∠3．其中，能判斷直線a∥A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．依據(jù)平行線的判定方法即可得出結(jié)論．【詳解】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；②由∠3＋∠4＝180°，可得a∥b；③由∠5＋∠6＝180°，∠3＋∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；④由∠2＝∠3，不能得到a∥b；故能判斷直線a∥b的有3個，故選：B．【點睛】本題主要考查平行線的判定，掌握平行線的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·浙江臺州·七年級期末）在鋪設(shè)鐵軌時，兩條直軌必須是互相平行的，如圖，已經(jīng)知道∠2是直角，那么再度量圖中已標(biāo)出的哪個角，不能判斷兩條直軌是否平行(

)A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5【答案】A【分析】因為∠2是直角，只要找出與∠2互為同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的其他角，根據(jù)平行線的判定定理判定即可得到正確答案．【詳解】因為∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出∠4=90根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，∠5和∠2是內(nèi)錯角，如果度量出∠5=90根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，∠3和∠2是同旁內(nèi)角，如果度量出∠3=90根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，所以答案為：A．【點睛】本題考查兩直線平行的判定定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線的判定定理．【變式5-2】（2022·山西臨汾·七年級期末）在下列圖形中，已知∠1=∠2，一定能推導(dǎo)出l1∥lA． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，對頂角相等和平行線的判定定理即可求解．【詳解】解：A.如圖，∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°，∴不能推導(dǎo)出l1B.如圖，∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°，∴不能推導(dǎo)出l1C.如圖，∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°，∴不能推導(dǎo)出l1D.如圖，∵∠1=∠2，∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴一定能推導(dǎo)出l1故選：D．【點睛】本題考查了平行線的判定，關(guān)鍵是熟悉同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的知識點．【變式5-3】（2022·山東日照·七年級期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定DE∥BC的是（A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠5=∠C D．∠B+∠BDE=180°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐一判斷即可．【詳解】因為∠1=∠2，所以DE∥故A不符合題意；因為∠3=∠4，不能判斷DE∥故B符合題意；因為∠5=∠C，所以DE∥故C不符合題意；因為∠B+∠BDE=180°，所以DE∥故D不符合題意；故選B．【點睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【題型6角平分線與平行線的判定綜合運用】【例6】（2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，點E、F分別在DC、AB上，且BE、DF分別平分∠ABC、∠ADC，判斷BE、DF是否平行，并說明理由．【答案】平行，理由見解析【分析】先根據(jù)角平分線的定義可得∠ABE=12∠ABC,∠ADF=12∠ADC，從而可得【詳解】解：BE∥DF，理由如下：∵BE,DF分別平分∠ABC,∠ADC，∴∠ABE=1∵∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ADF+∠ABE=1又∵∠ADF+∠AFD=90°，∴∠ABE=∠AFD，∴BE∥DF．【點睛】本題考查了角平分線、平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·江蘇·揚州市邗江區(qū)實驗學(xué)校七年級期末）將下列證明過程補(bǔ)充完整：已知：如圖，點E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求證：AB∥證明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠2＝∠（）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠（）．∴AB∥CD（【答案】ECD；角平分線的性質(zhì)；ECD；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)平行線的判定依據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】證明：∵CE平分∠ACD，∴∠2＝∠ECD（角平分線的性質(zhì)），∵∠1＝∠2．（已知），∴∠1＝∠ECD（等量代換），∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等兩直線平行）．故答案為：ECD；角平分線的定義；ECD；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定解答．【變式6-2】（2022·遼寧沈陽·七年級期末）按邏輯填寫步驟和理由，將下面的證明過程補(bǔ)充完整如圖，直線MN分別與直線AC、DG交于點B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分線BE交直線DG于點E，∠BFG的角平分線FC交直線AC于點C．求證：BE∥CF．證明：∵∠1＝∠2（已知）∠ABF＝∠1（對頂角相等）∠BFG＝∠2（____________）∴∠ABF＝______（等量代換）∵BE平分∠ABF（已知）∴∠EBF=1∵FC平分∠BFG（已知）∴∠CFB=1∴∠EBF＝______∴BE∥CF（____________）【答案】對頂角相等；∠BFG；∠ABF；角平分線的定義；∠BFG；角平分線的定義；∠CFB；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；【分析】根據(jù)對頂角的定義，平行線的判定，角平分線的性質(zhì)，結(jié)合上下文填空即可．【詳解】證明：∵∠1＝∠2（已知）∠ABF＝∠1（對頂角相等）∠BFG＝∠2（對頂角相等）∴∠ABF＝∠BFG（等量代換）∵BE平分∠ABF（已知）∴∠EBF=12∠ABF（∵FC平分∠BFG（已知）∴∠CFB=12∠BFG（∴∠EBF＝∠CFB，∴BE∥CF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故答案為：對頂角相等；∠BFG；∠ABF；角平分線的定義；∠BFG；角平分線的定義；∠CFB；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點睛】本題考查對頂角的定義及性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的性質(zhì)，能夠熟練掌握平行線的判定是解決本題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022·內(nèi)蒙古·扎賚特旗音德爾第三中學(xué)七年級期末）如圖，點G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC．請說明AE∥GF的理由．解：因為∠BAG+∠AGD=180°(已知)，∠AGC+∠AGD=180°(______)，所以∠BAG=∠AGC(______)．因為EA平分∠BAG，所以∠1=1因為FG平分∠AGC，所以∠2=1得∠1=∠2(等量代換)，所以______(______)．【答案】平角的定義；同角的補(bǔ)角相等；角平分線的定義；∠AGC；AE∥GF；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】由題意可求得∠BAG=∠AGC，再由角平分線的定義得∠1=12∠BAG，∠2=12【詳解】解：∵∠BAG+∠AGD=180°（已知），∠AGC+∠AGD=180°（平角的定義），∴∠BAG=∠AGC（同角的補(bǔ)角相等）．∵EA平分∠BAG，∴∠1=1∵FG平分∠AGC，∴∠2=1∴∠1=∠2（等量代換），∴AE∥GF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：平角的定義；同角的補(bǔ)角相等；角平分線的定義；∠AGC；AE∥GF；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點睛】本題主要考查角平分線的定義，補(bǔ)角的性質(zhì)和平行線的判定，解答的關(guān)鍵是