（聚焦典型）高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《圓的方程》理 新人教B版

A[第47講圓的方程](時間：35分鐘分值：80分)eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)熱身)1．[2013·四川卷]圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是()A．(2，3)B．(－2，3)C．(－2，－3)D．(2，－3)2．[2013·濟寧模擬]若直線3x－y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為()A．－1B．1C．3D．53．已知方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一個圓，則實數(shù)k的取值范圍是()A．－1<k<4B．－4<k<1C．k<－4或k>1D．k<－1或k>44．[2013·青島模擬]已知圓x2＋y2－2x＋my－4＝0上兩點M，N關(guān)于直線2x＋y＝0對稱，則圓的半徑為()A．9B．3C．2eq\r(3)D．2eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別是A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，則該三角形的外接圓方程是()A．(x－2)2＋(y－2)2＝20B．(x－2)2＋(y－2)2＝10C．(x－2)2＋(y－2)2＝5D．(x－2)2＋(y－2)2＝eq\r(5)6．以線段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)為直徑的圓的方程為()A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝87．設(shè)P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上任意點，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為()A．6B．25C．26D．368．[2013·泉州聯(lián)考]圓心在曲線y＝eq\f(3,x)(x>0)上，且與直線3x＋4y＋3＝0相切的面積最小的圓的方程為()A．(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝9B．(x－3)2＋(y－1)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))eq\s\up12(2)C．(x－1)2＋(y－3)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)))eq\s\up12(2)D．(x－eq\r(3))2＋(y－eq\r(3))2＝99．過兩點A(0，4)，B(4，6)，且圓心在直線x－2y－2＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．10．[2013·山東實驗中學(xué)一模]以拋物線y2＝20x的焦點為圓心，且與雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的兩條漸近線都相切的圓的方程為________．11．[2013·江西師大附中模擬]已知圓的半徑為eq\r(10)，圓心在直線y＝2x上，直線x－y＝0被圓截得的弦長為4eq\r(2)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．12．(13分)如圖K47－1，是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2圖K47－1eq\a\vs4\al\co1(難點突破)13．(12分)已知定點A(0，1)，B(0，－1)，C(1，0)，動點P滿足：eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝k|eq\o(PC,\s\up6(→))|2.(1)求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線類型；(2)當(dāng)k＝2時，求|2eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))|的最大、最小值．

課時作業(yè)(四十七)B[第47講圓的方程](時間：35分鐘分值：80分)eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)熱身)1．圓(x－3)2＋(x＋1)2＝2的圓心和半徑分別為()A．(－3，1)，2B．(－3，1)，eq\r(2)C．(3，－1)，eq\r(2)D．(3，－1)，22．圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于原點(0，0)對稱的圓的方程為()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝53．直線y＝x－1上的點到圓x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距離為()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)－1C．2eq\r(2)－1D．14．若原點在圓(x－m)2＋(y＋m)2＝8的內(nèi)部，則實數(shù)m的取值范圍是()A．－2eq\r(2)<m<2eq\r(2)B．0<m<2eq\r(2)C．－2<m<2D．0<m<2eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．方程eq\r(x－1)lg(x2＋y2－1)＝0所表示的曲線圖形是()圖K47－26．曲線x2＋y2＋2eq\r(2)x－2eq\r(2)＝0關(guān)于()A．直線x＝eq\r(2)軸對稱B．直線y＝－x軸對稱C．點(－2，eq\r(2))中心對稱D．點(－eq\r(2)，0)中心對稱7．一動點在圓x2＋y2＝1上移動時，它與定點B(3，0)連線的中點軌跡是()A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝1C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝1D．(2x－3)2＋4y2＝18．已知實數(shù)x，y滿足x2＋y2＝4(y≥0)，則m＝eq\r(3)x＋y的取值范圍是()A．(－2eq\r(3)，4)B．[－2eq\r(3)，4]C．[－4，4]D．[－4，2eq\r(3)]9．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，點A(0，－1)，B(0，1)．P是圓C上的動點，當(dāng)|PA|2＋|PB|2取最大值時，點P的坐標(biāo)是________．10．[2013·肇慶一模]如果實數(shù)x，y滿足等式(x－2)2＋y2＝1，那么eq\f(y＋3,x－1)的取值范圍是________．11．[2013·石家莊質(zhì)檢]圓心在拋物線x2＝2y上，與直線2x＋2y＋3＝0相切的圓中，面積最小的圓的方程為________．12．(13分)圓C過點P(1，2)，Q(－2，3)，且在兩坐標(biāo)軸上截得的弦長相等，求圓C的方程．eq\a\vs4\al\co1(難點突破)13．(12分)[2013·東莞二模]已知△ABC的邊AB所在直線的方程為x－3y－6＝0，M(2，0)滿足eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))，點T(－1，1)在AC邊所在直線上且滿足eq\o(AT,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.(1)求AC邊所在直線的方程；(2)求△ABC外接圓的方程；(3)若動圓P過點N(－2，0)，且與△ABC的外接圓外切，求動圓P的圓心的軌跡方程．

課時作業(yè)(四十七)A【基礎(chǔ)熱身】1．D[解析]圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標(biāo)是(2，－3)，選D.2．D[解析]因為圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心為(－1，2)，由直線3x－y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心得a＝5.3．D[解析]由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k<－1或k>4.4．B[解析]根據(jù)圓的幾何特征，直線2x＋y＝0經(jīng)過圓的圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(m,2)))，代入解得m＝4，即圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－4＝0，配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝32，故圓的半徑為3.【能力提升】5．C[解析]易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴圓心是斜邊AC的中點(2，2)，半徑是斜邊長的一半，即r＝eq\r(5)，∴外接圓的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5.6．B[解析]易得線段的中點即圓心為(1，1)，線段的端點為(0，2)，(2，0)，∴圓的半徑為r＝eq\r(2)，∴圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.7．D[解析]方法一：(x－5)2＋(y＋4)2幾何意義是點P(x，y)到點Q(5，－4)的距離的平方，由于點P在圓(x－2)2＋y2＝1上，這個最大值是(|QC|＋1)2＝36.方法二：圓的方程是(x－2)2＋y2＝1，三角換元得P點的坐標(biāo)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosθ，,y＝sinθ，))∴(x－5)2＋(y＋4)2＝(cosθ－3)2＋(sinθ＋4)2＝cos2θ＋sin2θ＋8sinθ－6cosθ＋25＝8sinθ－6cosθ＋26＝10sin(θ－φ)＋26，則其最大值為36.選D.8．A[解析]R＝eq\f(3x＋\f(12,x)＋3,5)≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時取等號，所以半徑最小時圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))，圓方程為(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝9.9．(x－4)2＋(y－1)2＝25[解析]設(shè)圓方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵圓心在直線x－2y－2＝0上，∴a－2b－2＝0①.又∵圓過兩點A(0，4)，B(4，6)，∴(0－a)2＋(4－b)2＝r2②且(4－a)2＋(6－b)2＝r2③，由①，②，③得，a＝4，b＝1，r＝5，∴圓的方程為(x－4)2＋(y－1)2＝25.10．(x－5)2＋y2＝9[解析]由已知可以知道，拋物線的焦點坐標(biāo)為(5，0)，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(3,4)x，則所求的圓的圓心為(5，0)，利用圓心到直線3x－4y＝0的距離為半徑r，則有r＝eq\f(|3×5－4×0|,\r(32＋42))＝3，故圓的方程為(x－5)2＋y2＝9.11．(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10[解析]圓心在直線y＝2x上，設(shè)圓心為(x，2x)，圓心到直線y＝x的距離由d＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))\s\up12(2))得d＝eq\r(（\r(10)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\r(2)，所以eq\r(2)＝eq\f(|x－2x|,\r(12＋12))?x＝±2，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.12．解：建立坐標(biāo)系如圖，圓心在y軸上，由題意得P(0，4)，B(10，0)．設(shè)圓的方程為x2＋(y－b)2＝r2，因為點P(0，4)和B(10，0)在圓上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(02＋（4－b）2＝r2，,102＋（0－b）2＝r2.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－10.5，,r2＝14.52，))所以這個圓的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52.設(shè)點P2(－2，y0)，由題意y0>0，代入圓方程得(－2)2＋(y0＋10.5)2＝14.52，解得y0＝eq\r(14.52－22)－10.5≈3.86(m)，故支柱A2P2的長度約為3.86m.【難點突破】13．解：(1)設(shè)動點坐標(biāo)為P(x，y)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y－1)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x，y＋1)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，－y)．因為eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝k|eq\o(PC,\s\up6(→))|2，所以x2＋y2－1＝k[(x－1)2＋y2]，整理得(1－k)x2＋(1－k)y2＋2kx－k－1＝0.若k＝1，則方程為x＝1，表示過點(1，0)且平行于y軸的直線．若k≠1，則方程化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,1－k)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1－k)))eq\s\up12(2).表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,k－1)，0))為圓心，以eq\f(1,|1－k|)為半徑的圓．(2)當(dāng)k＝2時，方程化為(x－2)2＋y2＝1，因為2eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝(3x，3y－1)，所以|2eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))|＝eq\r(9x2＋9y2－6y＋1).又x2＋y2＝4x－3，所以|2eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))|＝eq\r(36x－6y－26).方法一：問題歸結(jié)為求6x－y的最值，令t＝6x－y，由于點P在圓(x－2)2＋y2＝1上，故圓心到直線t＝6x－y的距離不大于圓的半徑，即eq\f(|12－t|,\r(37))≤1，解得12－eq\r(37)≤t≤12＋eq\r(37)，結(jié)合|2eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))|＝eq\r(36x－6y－26)，得|2eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))|的最大值為eq\r(46＋6\r(37))＝3＋eq\r(37)，最小值為eq\r(46－6\r(37))＝eq\r(37)－3.方法二：問題歸結(jié)為求6x－y的最值，令t＝6x－y，則y＝6x－t，代入圓的方程，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)這個方程的判別式不小于零得到與方法一完全相同的結(jié)果．方法三：因為(x－2)2＋y2＝1，所以令x＝2＋cosθ，y＝sinθ，則36x－6y－26＝6eq\r(37)cos(θ＋φ)＋46∈[46－6eq\r(37)，46＋6eq\r(37)]，所以|2eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))|的最大值為eq\r(46＋6\r(37))＝3＋eq\r(37)，最小值為eq\r(46－6\r(37))＝eq\r(37)－3.課時作業(yè)(四十七)B【基礎(chǔ)熱身】1．C[解析]圓心坐標(biāo)為(3，－1)，半徑為eq\r(2).2．A[解析]把x，y分別換成－x，－y即得．3．C[解析]圓心(－2，1)到已知直線的距離為d＝2eq\r(2)，圓的半徑為r＝1，故所求距離dmin＝2eq\r(2)－1，選C.4．C[解析]依題意，得m2＋m2<8，∴－2<m<2.【能力提升】5．D[解析]eq\r(x－1)lg(x2＋y2－1)＝0等價于eq\r(x－1)＝0，或者lg(x2＋y2－1)＝0，即等價于x＝1(y≠0)或者x≥1且x2＋y2＝2.選項D中的圖形正確．6．D[解析]把x2＋y2＋2eq\r(2)x－2eq\r(2)＝0化為(x＋eq\r(2))2＋y2＝2＋2eq\r(2)，可知該曲線為圓，所以只有關(guān)于圓心對稱，故選D.7．D[解析]設(shè)圓上任意一點為A(x′，y′)，AB的中點為P(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3＋x′,2)，,y＝\f(y′,2)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x－3，,y′＝2y，))由于A(x′，y′)在圓x2＋y2＝1上，所以滿足x′2＋y′2＝1即(2x－3)2＋4y2＝1.8．B[解析]方法一：(數(shù)形結(jié)合)由于y≥0，∴x2＋y2＝4(y≥0)為上半圓.eq\r(3)x＋y－m＝0是直線(如圖)，且斜率為－eq\r(3)，在y軸上截距為m，又當(dāng)直線過點(－2，0)時，m＝－2eq\r(3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥－2\r(3)，,d≤r，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥－2\r(3)，,\f(|－m|,2)≤2，))解得m∈[－2eq\r(3)，4]，選B.方法二：(參數(shù)法)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝2sinθ))θ∈[0，π]，則m＝2eq\r(3)cosθ＋2sinθ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))，令t＝θ＋eq\f(π,3)，則t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，∴m＝4sint∈[－2eq\r(3)，4]，選B.9.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(24,5)))[解析]設(shè)P(x0，y0)，則|PA|2＋|PB|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0＋1)2＋xeq\o\al(2,0)＋(y0－1)2＝2(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＋2，顯然xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)的最大值為(5＋1)2，∴dmax＝74，此時eq\o(OP,\s\up6(→))＝－6eq\o(PC,\s\up6(→))，結(jié)合點P在圓上，解得點P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(24,5))).10.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))[解析]用數(shù)形結(jié)合，設(shè)k＝eq\f(y＋3,x－1)，則y＝kx－(k＋3)表示經(jīng)過點P(1，－3)的直線，k為直線的斜率，所以求eq\f(y＋3,x－1)的取值范圍就等價于求同時經(jīng)過點P(1，－3)和圓上的點的直線中斜率的最大，最小值．從圖中可知，當(dāng)過P的直線與圓相切時斜率取最大，最小值，此時對應(yīng)的直線斜率分別為kPB和kPA，其中kPB不存在，由圓心C(2，0)到直線y＝kx－(k＋3)的距離eq\f(|2k－（k＋3）|,\r(k2＋1))＝r＝1解得k＝eq\f(4,3)，所以eq\f(y＋3,x－1)的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)).11．(x＋1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)[解析]圓心在x2＝2y上，設(shè)圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(1,2)x2))，若直線2x＋2y＋3＝0與圓相切，則圓心到直線2x＋2y＋3＝0的距離為r＝eq\f(|2x＋x2＋3|,\r(22＋22))＝eq\f(|x2＋2x＋3|,2\r(2))＝eq\f(|（x＋1）2＋2|,2\r(2))≥eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，當(dāng)x＝－1時，r最小，從而圓的面積最小，此時圓的圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，圓的方程為(x＋1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2).12．解：方法一：設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則圓心到兩坐標(biāo)軸的距離分別是|a|，|b|，根據(jù)弦長公式，則2eq\r(r2－|a|2)＝2eq\r(r2－|b|2)，由此得|a|＝|b|.①又圓C過點P(1，2)，Q(－2，3)，∴圓心在PQ的垂直平分線上，即y－eq\f(5,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，即y＝3x＋4，∴b＝3a＋4.②由①知a＝±b，代入②得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－2.))∴r＝eq\r(（a－1）2＋（b－2）2)＝eq\r(5)或5.故所求的圓的方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋2)2＝25.方法二：設(shè)所求的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圓C過點P(1，2)和Q(－2，3)