13 微專題11　立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)、截面與折疊展開問題 【正文】教師

微專題11立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)、截面與折疊展開問題[備選理由]例1考查旋轉(zhuǎn)體中的動(dòng)點(diǎn)問題;例2考查球內(nèi)接正六棱柱中截面問題,考查利用導(dǎo)數(shù)求最值;例3考查三棱柱中動(dòng)點(diǎn)問題,考查位置關(guān)系、展開問題及最值問題.1[配例1使用](多選題)如圖所示,圓錐PO中,AB為底面圓的直徑,圓錐的軸截面是面積等于4的等腰直角三角形,C為母線PA的中點(diǎn),點(diǎn)M為底面上的動(dòng)點(diǎn),且OM⊥AM,點(diǎn)O在直線PM上的射影為H.當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí),下列結(jié)論正確的是 (BCD)A.三棱錐P-BCM體積的最大值為4B.線段PB的長度是線段CM長度的兩倍C.直線CH一定與直線PA垂直D.點(diǎn)H的軌跡是以O(shè)C中點(diǎn)為圓心,OC為直徑的圓(除去點(diǎn)O,C)[解析]設(shè)圓錐的底面半徑為R,高為h,母線長為l,∵圓錐的軸截面為面積等于4的等腰直角三角形,∴∠APB=π2,△PAB的面積S=12PA·PB=12l2=4,且PO=OA,PO⊥AB,可得l=22,R=h=2.對于A,如圖,∵OM⊥AM,∴點(diǎn)M在以O(shè)A中點(diǎn)為圓心,OA為直徑的圓上且與點(diǎn)O,∵OA=R=2,∴點(diǎn)M到平面ABC的距離的最大值為12OA=1,∵S△PBC=12S△PAB=12×4=2,三棱錐P-BCM的體積即為三棱錐M-PBC的體積,∴三棱錐P-BCM體積的最大值為13×2×1=23,故A錯(cuò)誤;對于B,∵PO⊥平面AMB,AM?平面AMB,∴AM⊥PO,∵AM⊥OM,且OM∩PO=O,∴AM⊥平面POM,∴AM⊥PM,又C為PA的中點(diǎn),∴在直角三角形AMP中,線段CM的長度是線段PA長度的一半,即為線段PB的長度的一半,故B正確;對于C,∵AM⊥平面POM,且OH?平面POM,∴AM⊥OH,∵OH⊥PM,且PM∩AM=M,∴OH⊥平面PAM,∵PA?平面PAM,∴OH⊥PA,∵C為PA的中點(diǎn),PO=OA,∴PA⊥OC,∵OH∩OC=O,∴PA⊥平面OHC,又CH?平面OHC,∴PA⊥CH,故C正確;對于D,∵OH⊥平面PAM,且HC?平面PAM,∴OH⊥HC,∵PA⊥平面OHC,過點(diǎn)C且與PA垂直的平面僅有一個(gè),點(diǎn)M與點(diǎn)O,A不重合,∴點(diǎn)H的軌跡是以O(shè)C中點(diǎn)為圓心,OC為直徑的圓(除去點(diǎn)O,C),故D2[配例2使用][2023·湖南長沙實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模]2023年12月7日為該年第21個(gè)節(jié)氣“大雪”.“大雪”節(jié)氣標(biāo)志著仲冬時(shí)節(jié)正式開始,該節(jié)氣的特點(diǎn)是氣溫顯著下降,降水量增多,天氣變得更加寒冷.“大雪”節(jié)氣的民俗活動(dòng)有打雪仗、賞雪景等.東北某學(xué)生小張滾了一個(gè)半徑為2分米的雪球,準(zhǔn)備對它進(jìn)行切割,制作一個(gè)正六棱柱模型ABCDEF-A1B1C1D1E1F1,設(shè)M為B1E1的中點(diǎn),當(dāng)削去的雪最少時(shí),平面ACM截該正六棱柱所得的截面面積為43平方分米.

[解析]設(shè)正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面邊長為a,高為h.要使削去的雪最少,則該正六棱柱的體積最大,則該正六棱柱應(yīng)為球的內(nèi)接正六棱柱中體積最大者,所以h24+a2=22,即a2=4-h24,又S六邊形ABCDEF=6×34a2,所以該正六棱柱的體積V=S六邊形ABCDEF·h=6×34a2h=338(16-h2)h.設(shè)f(h)=(16-h2)h,0<h<4,則f'(h)=16-3h2,令f'(h)>0,解得0<h<433,令f'(h)<0,解得433<h<4,則f(h)在0,433上單調(diào)遞增,在433,4上單調(diào)遞減,所以f(h)max=f433,則當(dāng)h=433,a=263時(shí)V取得最大值.連接A1C1,過M作PQ∥A1C1,交A1F1于點(diǎn)P,交C1D1于點(diǎn)Q,則P,Q分別是A1F1,C1D1的中點(diǎn),又A1C1∥AC,所以PQ∥AC.連接AP,CQ,易證AP∥CQ,所以四邊形ACQP為平行四邊形.易知AC⊥平面AA1F1因?yàn)镻Q=A1C1=3a=22,且AP=AA12+A1P2=h2+14a2=3[配例1使用](多選題)[2023·福建福州一中模擬]如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1=AB=2,BC=1,∠ABC=90°,E是棱BB1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則 (ACD)A.直線AC與直線C1E是異面直線B.△AC1E周長的最小值為3+22C.存在點(diǎn)E使得平面AC1E⊥平面AA1C1CD.點(diǎn)C到平面AC1E的最大距離為2[解析]對于選項(xiàng)A,不管E點(diǎn)移動(dòng)到BB1上的哪個(gè)位置,直線AC與直線C1E均不相交,也不平行,所以A正確;對于選項(xiàng)B,△AC1E的周長為AC1+AE+EC1,要使周長最小,即AE+EC1最小,將面AA1B1B沿BB1翻折到面BB1C1C所在平面,且C1不在線段A1B1上,連接AC1,如圖①,則AE+EC1的最小值即為翻折后AC1的長,所以(AE+EC1)min=32+22=13,又翻折前AC1=AA12+A1B12+B1C12=3,所以(AC1+AE+EC1)min=3+13,所以B錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)C,以B為原點(diǎn),BA,BB1,BC的方向分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)BE=a(0≤a≤2),則E(0,a,0),A(2,0,0),C(0,0,1),C1(0,2,1),所以AE=(-2,a,0),AC=(-2,0,1),AC1=(-2,2,1),設(shè)平面AA1C1C的法向量為n=(x1,y1,z1),則n·AC=0,n·AC1=0,即-2x1+z1=0,-2x1+2y1+z1=0,令x1=1,則n=(1,0,2),設(shè)平面AC1E的法向量為m=(x2,y2,z2),則m·AC1=0,m·AE=0,即-2x2+2y2+z2=0,-2x2+ay2=0,令x2=a,則m=(a,2,2a-4),