![浙江專版2023高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí):第8章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程_第1頁(yè)](http://file4.renrendoc.com/view3/M00/16/2C/wKhkFmYCBO-ALw5mAAF5M_ZaIXs834.jpg)
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文檔簡(jiǎn)介
第三節(jié)圓的方程
抓基礎(chǔ)?自主學(xué)習(xí)I理教材?雙基自主測(cè)評(píng)
知識(shí)梳理
1.圓的定義及方程
定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)
標(biāo)準(zhǔn)
(x—a)'+(y—b)2=f(r>0)圓心(a,8),半徑r
方程
圓E心([一D,~2A)f
一般?+―+瓜+發(fā)+尸=o,
方程半徑右/)+廣一4/
2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
點(diǎn)、MAO,%)與圓(x—a)?+(y—6)°=/的位置關(guān)系:
(1)假設(shè)水松,㈤在圓外,那么(般一a)?十(%—02>產(chǎn).
(2)假設(shè)材(加,丹)在圓上,那么(加一動(dòng)2+(%—〃2=/
(3)假設(shè)M(xo,H)在圓內(nèi),那么(施一@/+(%—
學(xué)情自測(cè)
1.(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤.(正確的打“J",錯(cuò)誤的打"X").
(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.()
(2)方程(x+a)?+(y+份2={teR)表示圓心為(a,6),半徑為力的一個(gè)圓.()
(3)方程4/+5盯+夕+加+陵+尸=0表示圓的充要條件是4=今0,8=0,4+4一
4加>0.()
⑷假設(shè)點(diǎn)欣胸,㈤在圓/+/+以+砂+尸=0外,那么■+髭+浜+庚+冷0.()
[解析]由圓的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,知(1)(3)(4)正確.
(2)中,當(dāng)[W0時(shí),表示圓心為(-a,-6),半徑為|t|的圓,不正確.
[答案]⑴V(2)X(3)V(4)V
2.(教材改編)方程f+/+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,那么a的取值范圍是()
22
A.aV—2或3>鼻B.—-<a<0
jo
2
C.-2<a<0D.-2<a<-
D[由題意知3+4才一4(2a'+a—1)>0,
2
解得一2caV..]
3.圓2x—8y+13=0的圓心到直線ax+y—1=0的距離為1,那么a=()
3
B.-4-
C.小D.2
A[圓/+/—2x—8y+13=0,得圓心坐標(biāo)為(1,4),所以圓心到直線ax+y—1=0的
□匚8,Id+4-114
品巨離d=/。-=1,解得a——-]
7a旺1J
4.(2023?嘉興一中質(zhì)檢)假設(shè)圓。的半徑為1,其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,
那么圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
/+(y-l)2=l[兩圓關(guān)于直線對(duì)稱那么圓心關(guān)于直線對(duì)稱,半徑相等.圓C的圓心為
(0,1),半徑為1,標(biāo)準(zhǔn)方程為f+(y—1)2=1.]
22
5.一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓?+個(gè)=1的三個(gè)頂點(diǎn),且圓心在x軸的正半軸上,那么該圓的標(biāo)準(zhǔn)
164
方程為_(kāi)_______.【導(dǎo)學(xué)號(hào):51062268]
(X—5)+/=彳[由題意知a=4,b—2,上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,2),(0,—2),
右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0).由圓心在x軸的正半軸上知圓過(guò)點(diǎn)(0,2),(0,-2),(4,0)三點(diǎn).設(shè)
+4=r,
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—4+/=/(0〈水4,r〉0),那么22解得
I4—ffl'—r,
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+T]
明考向?題型突破?析典例?探求規(guī)律方法■
~求圓的方程
卜例口⑴三點(diǎn)4(1,0),夙0,小),以2,小),那么△/比外接圓的圓心到原點(diǎn)的距
離為()
5y/21
A.-B.~~
oo
C.羋D.|
Jo
(2)圓C的圓心在x軸的正半軸上,點(diǎn)材(0,4)在圓C上,且圓心到直線2x—y=0的
距離為T(mén)-,那么圓。的方程為
5
(DB(2)(x-2)2+y=9[(1)法一:在坐標(biāo)系中畫(huà)出△/回(如圖),利用兩點(diǎn)間的距
離公式可得=MCI=I8。=2(也可以借助圖形直接觀察得出),所以為等邊三角
形.設(shè)a'的中點(diǎn)為。,點(diǎn)£為外心,同時(shí)也是重心.所以|四|=芻/"=縛,從而|第=
oo
法二:設(shè)圓的一般方程為丁+/+以+。+尸=0,
'D=-2,
jl+〃+尸=0,
那么43+小什尸=0,解得<£=一羋,
O
[7+2D+yliE+F=0,
/=L
所以△/(比外接圓的圓心為11,
因此圓心到原點(diǎn)的距離d=
(2)因?yàn)閳AC的圓心在x軸的正半軸上,設(shè)C(a,0),且a>0,
所以圓心到直線2x—y=0的距離"=親=唔
解得a=2,
所以圓C的半徑r=|CM\=4中=3,
所以圓,的方程為5—2)2+/=9.]
[規(guī)律方法]1.直接法求圓的方程,根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)
而寫(xiě)出方程.
2.待定系數(shù)法求圓的方程:①假設(shè)條件與圓心(a,6)和半徑r有關(guān),那么設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)
方程,依據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值;②假設(shè)條件沒(méi)有明確
給出圓心或半徑,那么選擇圓的一般方程,依據(jù)條件列出關(guān)于〃,E,b的方程組,進(jìn)而求出
D,E,尸的值.
溫馨提醒:解答圓的方程問(wèn)題,應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合,充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì).
[變式訓(xùn)練1](2023?浙江五校聯(lián)盟聯(lián)考)經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(5,2),M3,-2),且圓心在直線
2x-y-3=0上的圓的方程為一.
_?+/—4”一2y一5=0(或(*-2)2+(7-1)2=10)
[法一:;圓過(guò)/(5,2),6(3,—2)兩點(diǎn),
.?.圓心一定在線段46的垂直平分線上.
易知線段18的垂直平分線方程為y=-1(^-4).
(2a—b-3=0,
設(shè)所求圓的圓心為C(&6),那么有(1
[b=~2L4,
解得a=2,且,=1.
因此圓心坐標(biāo)(7(2,1),半徑r=\AC\
故所求圓的方程為(x—2尸+(y—i)2=io.
法二:設(shè)圓的方程為丁+/+%+。+夕=0(〃+百一4/>0),
"25+4+5〃+2£+尸=0,
9+4+34-2E+少=0,
那么j
2X^+f-3=0,
解得〃=-4,E=—2,F=-5,
.,.所求圓的方程為x+y-4x-2y~5^0.]
IWP1_2J_________________與圓有關(guān)的最值問(wèn)題
卜例財(cái)材(為力為圓G一4x-14y+45=0上任意一點(diǎn),且點(diǎn)0(—2,3).
⑴求|,留的最大值和最小值;
(2)求臺(tái)|的最大值和最小值.【導(dǎo)學(xué)號(hào):51062269]
[解](1)由圓C:/+/—4x—14y+45=0,
可得(X-2)2+(尸-7)2=8,
二圓心C的坐標(biāo)為⑵7),半徑r=2p2分
又|^|=72+22+7-30的
二I第[=+2隹=6小,
I幽[=44-2*=2蚯.6分
⑵可知曷表示直線板的斜率左8分
設(shè)直線,媳的方程為y—3=A(x+2),即成一了+24+3=0.10分
所以菅廿三2m
由直線制與圓,有交點(diǎn),
可得2—
,色|的最大值為2+4,最小值為2-m.14分
[遷移探究1](變化結(jié)論)在本例的條件下,求y-x的最大值和最小值.
[解]設(shè)y—x=Z?,那么x—p+b=0.4分
當(dāng)直線尸x+力與圓。相切時(shí),截距b取到最值,
27+b
/.([-—^2\[2,;.6=9或8=1.12分
+T
因此y-x的最大值為9,最小值為1.14分
[遷移探究2](變換條件結(jié)論)假設(shè)本例中條件”點(diǎn)。(-2,3)”改為"點(diǎn)0是直線3x
+4y+l=0上的動(dòng)點(diǎn)”,其它條件不變,試求\媳|的最小值.
[解]:圓心(7(2,7)到直線3x+4y+l=0上動(dòng)點(diǎn)0的最小值為點(diǎn)C到直線3x+4y+l
=0的距離,
..12X3+7X4+11八
QC\Bi=(/-/-?”=7.6分
n0+4'
又圓C的半徑r=2班,
:.\MQ\的最小值為7-2^2.14分
[規(guī)律方法]1.處理與圓有關(guān)的最值問(wèn)題,應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì),并根據(jù)代數(shù)式的
幾何意義,數(shù)形結(jié)合求解.
2.某些與圓相關(guān)的最值可利用函數(shù)關(guān)系求最值.
根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)
法、配方法、函數(shù)的性質(zhì)、利用根本不等式求最值是比擬常用的.
[變式訓(xùn)練2]設(shè)尸為直線3x—4y+H=0上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)一作圓G^+^-2x-2y
+1=0的兩條切線,切點(diǎn)分別為4B,求四邊形胡龍的面積的最小值.
[解]圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—1)2+(y—1產(chǎn)=1,2分
圓心為以1,1),半徑為r=L6分
根據(jù)對(duì)稱性可知,四邊形為⑦的面積為
2區(qū).=2Xg必|r=|必|=y\\PC\'-r.8分
要使四邊形用%的面積最小,那么只需|此1最小,最小時(shí)為圓心到直線/:3A~4Z+
11=0的距離
3-4+11110°_八
d=-]=一—=2.12分
#2十—425
所以四邊形為⑶面積的最小值為
IPC\1=y[i.14分
I「向3|與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題-
卜例圖點(diǎn)尸(2,2),圓G*+/—8y=0,過(guò)點(diǎn)。的動(dòng)直線/與圓。交于4,6兩點(diǎn),
線段47的中點(diǎn)為M,0為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求,"的軌跡方程;
⑵^\OP\=甥時(shí),求/的方程及的面積.
[解](1)圓C的方程可化為f+3-4)2=16,所以圓心為以0,4),半徑為4.2分
設(shè)J/(x,y),那么。/=(x,y—4),MP—{2—x,2—y).
由題設(shè)知MP=0,故x(2—x)+(y—4)(2—0=0,
即(x—1)2+(y—3)2=2.
由于點(diǎn)尸在圓。的內(nèi)部,
2
所以"的軌跡方程是1尸+(7-3)=2.6分
(2)由(1)可知?dú)v的軌跡是以點(diǎn)Ml,3)為圓心,啦為半徑的圓.
由于|8|=|,故。在線段的垂直平分線上.
又一在圓/V上,從而ONLPM.8分
因?yàn)椤╒的斜率為3,所以1的斜率為一4,
O
1O
故1的方程為y=-^x+-A2分
JJ
又|QV|=|加=2娘,。到/的距離為絲旦|掰=空幽,所以△陽(yáng)”的面積為15
[規(guī)律方法]求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的四種方法
(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解.
(2)定義法:根據(jù)圓的定義列方程求解.
(3)幾何法:利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解.
(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法):找出要求的點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系,代入點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解.
[變式訓(xùn)練3]點(diǎn)4(—1,0),點(diǎn)以2,0),動(dòng)點(diǎn)61滿足14a=|M,求點(diǎn)C與點(diǎn)尸(1,4)
所連線段的中點(diǎn)M的軌跡方程.
[解]由題意可知:動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以(一1,0)為圓心,3為半徑長(zhǎng)的圓,方程為(x+
1)'+/=9.4分
設(shè)就施,%),那么由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得
C(2的一1,2%—4),8分
代入點(diǎn)。的軌跡方程得4京+4(%—2尸=9,
化簡(jiǎn)得笳+(%—2)2=*13分
9
故點(diǎn)材的軌跡方程為/+(y-2)2--15分
名師微博與
[思想與方法]
1.確定一個(gè)圓的方程,需要三個(gè)獨(dú)立條件,“選形式、定參數(shù)”是求圓的方程的根本
方法.
2.解答圓的問(wèn)題,應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合,充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì),簡(jiǎn)化運(yùn)算.
[易錯(cuò)與防范]
1.二元二次方程/+y+Dx+Ey+F—0表示圓時(shí)易無(wú)視jf+^—4F>0這一前提條件.
2.求圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件,所以不管是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個(gè)
獨(dú)立方程.
3.求軌跡方程和求軌跡是有區(qū)別的,求軌跡方程得出方程即可,而求軌跡在得出方程
后還要指明軌跡表示什么曲線.
課時(shí)分層訓(xùn)練(四十五)圓的方程
A組根底達(dá)標(biāo)
(建議用時(shí):30分鐘)
一、選擇題
1.(2023?舟山模擬)圓(x—l)2+(y—2)z=l關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圓的方程為
)
A.(A~2)2+(y-l)2=lB.(x+l)-+(y-2)2=l
C.(x+2)?+(y—1)2=1D.(x—1)~+(y+2)-=l
A[(1,2)關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)為(2,1),.,.圓(x-l)2+(y—2)2=l關(guān)于直線y=x
對(duì)稱的圓的方程為(x—2)2+(y—1)2=1.]
2.圓V+/—2x+4y+3=0的圓心到直線x一尸1的距離為()
【導(dǎo)學(xué)號(hào):51062270]
A.2B弋
C.1D.^/2
D[圓的方程可化為(x—1)2+5+2尸=2,那么圓心坐標(biāo)為(1,-2).
故圓心到直線x—y—1=0的距離"=上擊"=[1]
3.圓(x—2)2+(y+l)2=16的一條直徑通過(guò)直線x—2y+3=0被圓所截弦的中點(diǎn),那
么該直徑所在的直線方程為()
A.3x+y—5=0B.x—2尸=0
C.x—2y+4=0D.2x+y-3=0
D[易知圓心坐標(biāo)為(2,-1).
由于直線X—2y+3=0的斜率為今
...該直徑所在直線的斜率k=-2.
故所求直線方程為y+l=-2(x—2),即2x+y—3=0.]
4.假設(shè)圓心在x軸上,半徑為乖的圓。位于y軸左側(cè),且與直線x+2y=0相切,那
么圓0的方程是()
A.(%—A/5)+/=5B.(x+4)"+/=5
C.(x—5尸+/=5D.(>+5尸+/=5
D[設(shè)圓心為(20)(〃<0),
那么r=縹等-=m,解得a=-5,
yjl+2"v
所以圓。的方程為(x+5)2+/=5.]
5.設(shè)P是圓(x-3)2+(y+l)2=4上的動(dòng)點(diǎn),0是直線x=-3上的動(dòng)點(diǎn),那么|尸0|的最
小值為()
A.6B.4
C.3D.2y
B[如下圖,圓心M(3,—1)與直線x=-3的最短距離為"心
=3—(-3)=6,又圓的半徑為2,故所求最短距離為6—2=4」
二、填空題
6.(2023?浙江高考)aGR,方程-1+(a+2)/+4*+8y+5a=0表示圓,那么圓心坐
標(biāo)是,半徑是.
(-2,-4)5[由二元二次方程表示圓的條件可得a?=a+2,解得a=2或一1.當(dāng)a
=2時(shí),方程為4V+4/+4x+8y+10=0,即/+/+才+2夕+|=0,配方得,+;)+(9+
1)2=—1<0,不表示圓;
當(dāng)&=一1時(shí),方程為f+/+4x+8y—5=0,配方得(x+2)*+(y+4)'=25,那么圓心
坐標(biāo)為(-2,-4),半徑是5.]
7.點(diǎn)M(l,0)是圓G_?+/-4x—2y=0內(nèi)的一點(diǎn),那么過(guò)點(diǎn)必的最短弦所在直線的方
程是.【導(dǎo)學(xué)號(hào):51062271]
x+y~l=0[圓G系+/-4*一2尸0的圓心為以2,1),
1—0
=
那么kcn-72)—r11-
?..過(guò)點(diǎn)M的最短弦與C"垂直,最短弦所在直線的方程為y-0=-l(%-l),即x+y
-1=0.]
8.在平面直角坐標(biāo)系xa中,以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx—y—2〃L1=0(/6R)相切
的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(x—1>+/=2[因?yàn)橹本€wx—y—20-1=0恒過(guò)定點(diǎn)(2,-1),所以圓心(1,0)到直
線mx-y-2m-1=0的最大距離為d=y]2-12+-1-02=^2,所以半徑最大時(shí)的
半徑r=心,所以半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為5—1)2+爐=2.]
三、解答題
9.直線/:尸x+m,m《R,假設(shè)以點(diǎn)M(2,0)為圓心的圓與直線/相切于點(diǎn)只且點(diǎn)一
在y軸上,求該圓的方程.
[解]法一:依題意,點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(0,必),2分
因?yàn)槲锼云鸛l=-1,6分
解得勿=2,即點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,2),10分
圓的半徑r=I,網(wǎng)=y)2-02+0-22=2^2,
故所求圓的方程為(x—2/+/=8.15分
法二:設(shè)所求圓的半徑為r,那么圓的方程可設(shè)為(*-2尸+/=d,2分
依題意,所求圓與直線/:x—y+勿=0相切于點(diǎn)戶(0,加,
4+/?=r,
那么,2-0+7|6分
zff—2,
解得|r-10分
lr=2隹
所以所求圓的方程為(x—2尸+/=8.15分
10.過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線/與圓G:/+/-6犬+5=0相交于不同的兩點(diǎn)4B.
(1)求圓G的圓心坐標(biāo);
(2)求線段48的中點(diǎn)”的軌跡。的方程.【導(dǎo)學(xué)號(hào):510622721
[解](1)由f+/—6x+5=0得(1-3)2+/=4,2分
所以圓G的圓心坐標(biāo)為(3,0).6分
(2)設(shè)M(x,y),依題意GM?〃井=0,
所以(x—3,y),(x,y)=0,那么3x+/=0,
所以(x-■!)+/=*9分
又原點(diǎn)。(0,0)在圓G外,
因此中點(diǎn)"的軌跡是圓,與圓G相交落在圓G內(nèi)的一段圓弧.
卜-3x+/=0,5
'I'x+/—6x+5=0,消去/得x=1,
O
5
因此12分
O
所以線段的中點(diǎn)材的軌跡方程為(L|)+/=3(|VXW3)15分
B組能力提升
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