高中數(shù)學(xué)人教版必修五第二章 等差數(shù)列（一） 導(dǎo)學(xué)案

二章數(shù)列

2.2等差數(shù)列(一)

.學(xué)習(xí)目標(biāo).1.理解等差數(shù)列的定義.2.會(huì)推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，能運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)

公式解決一些簡(jiǎn)單的問題.3.掌握等差中項(xiàng)的概念，深化認(rèn)識(shí)并能運(yùn)用.

n問題導(dǎo)學(xué)-------------------------

知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列的概念

思考給出以下三個(gè)數(shù)列：

(1)0,5,10,15,20；

(2)4,4,4,4,???；

(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.

它們有什么共同的特征？

答案從第2項(xiàng)起，每項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù).

梳理一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第&項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)宣教，那么

這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，可正可

負(fù)可為零.

知識(shí)點(diǎn)二等差中項(xiàng)的概念

思考觀察所給的兩個(gè)數(shù)之間，插入一個(gè)什么數(shù)后三個(gè)數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等差數(shù)列：

(1)2,4；(2)-1,5；(3)a,b；(4)0,0.

答案插入的數(shù)分別為3,2,一丁，0.

0—1—A

梳理如果三個(gè)數(shù)a,A,6組成等差數(shù)列，那么1叫做a和6的等差中項(xiàng)，且［=一］一.

知識(shí)點(diǎn)三等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

思考對(duì)于等差數(shù)列2,4,6,8,…，有例一ai=2,即az=ai+2；腐一az=2,即柒=a+2=

8+2X2；a=2,BP&=8+2=ai+3X2.

試猜想&=4+()X2.

答案n-i

梳理若一個(gè)等差數(shù)列{a},首項(xiàng)是公差為&則&=&+(〃-Dd此公式可用累加法

證明.

2題型探究

類型一等差數(shù)列的概念

例1判斷下列數(shù)列是不是等差數(shù)列？

(1)9,7,5,3,一2〃+11,…；

(2)-1,11,23,35,…，12/7-13,…；

(3)1,2,1,2,???；

(4)1,2,4,6,8,10,…；

(5)a,a,a,a,a,….

解由等差數(shù)列的定義得(1),(2),(5)為等差數(shù)列，(3),(4)不是等差數(shù)列.

反思與感悟判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列，就是判斷該數(shù)列的每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)差是

否為同一個(gè)常數(shù)，但數(shù)列項(xiàng)數(shù)較多或是無窮數(shù)列時(shí)，逐一驗(yàn)證顯然不行，這時(shí)可以驗(yàn)證a+1

一是不是一個(gè)與〃無關(guān)的常數(shù).

跟蹤訓(xùn)練1數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式a“=2〃+5,則此數(shù)列()

A.是公差為2的等差數(shù)列

B.是公差為5的等差數(shù)列

C.是首項(xiàng)為5的等差數(shù)列

D.是公差為〃的等差數(shù)列

答案A

解析—a,=2(n+l)+5—(2〃+5)—2,

：.｛aj是公差為2的等差數(shù)列.

類型二等差中項(xiàng)

例2在一1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a,b,c使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列.

解V-l,a,b,c,7成等差數(shù)列，

.?"是一1與7的等差中項(xiàng)，

又a是一1與3的等差中項(xiàng)，.?.a=W^=L

34-7

又c是3與7的等差中項(xiàng)，?,?2=哥=5.

?,?該數(shù)列為-1,1,3,5,7.

反思與感悟在等差數(shù)列｛4｝中，由定義有a〃+i-a=&—a-1(〃22,即an=

,從而由等差中項(xiàng)的定義知，等差數(shù)列從第2項(xiàng)起的每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一

項(xiàng)的等差中項(xiàng).

跟蹤訓(xùn)練2若卬和2〃的等差中項(xiàng)為4,2〃和c的等差中項(xiàng)為5,求加和c的等差中項(xiàng).

解由力和2n的等差中項(xiàng)為4f得勿+2〃=8?

又由2%和〃的等差中項(xiàng)為5,得2〃/+〃=10.

兩式相加，得〃十刀=6.

所以0和n的等差中項(xiàng)為9=3.

類型三等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用

命題角度1基本量(a,d)

例3在等差數(shù)列｛&｝中，已知26=12,ais=36,求通項(xiàng)公式a“.

ai+5d=12,

解由題意可得

0+17d=36.

解得d—2,ai=2.

；.a〃=2+(/?-1)X2=2P.

反思與感悟像本例中根據(jù)已知量和未知量之間的關(guān)系，列出方程求解的思想方法，稱為方

程思想.

跟蹤訓(xùn)練3(1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項(xiàng)；

(2)判斷一401是不是等差數(shù)列一5,-9,—13,…的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？

解(1)由ai=8,全=5,得"=/一ai=5—8=—3,

由〃=20,得的=8+(20—1)><(-3)=—49.

(2)由ai=-5,d=-9—(-5)=—4,得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為a?=—5+(/?—1)X(—4)

=-4〃一1.

由題意，令一401=-4〃-1,得〃=100,

即一401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng).

命題角度2等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

例4某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為元/km,起步價(jià)為10元，即最初的4km(不含4km)計(jì)費(fèi)10元,

如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0,那么需要

支付多少車費(fèi)？

解根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時(shí)，每增加1km,乘客需要支付元.

所以，可以建立一個(gè)等差數(shù)列｛a,,｝來計(jì)算車費(fèi).

令團(tuán)=,表示4km處的車費(fèi)，公差"=,

那么當(dāng)出租車行至14km處時(shí),n=\\,

此時(shí)需要支付車費(fèi)a“=+—X=23.2（元）.

即需要支付車費(fèi)元.

反思與感悟在實(shí)際問題中，若一組數(shù)依次成等數(shù)額增長(zhǎng)或下降，則可考慮利用等差數(shù)列方

法解決.在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問題時(shí)，一定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵問題.

跟蹤訓(xùn)練4在通常情況下，從地面到10km高空，高度每增加1km,氣溫就下降某一個(gè)固定

數(shù)值.如果1km高度的氣溫是℃,5k（n高度的氣溫是一℃,求2km,4km,8km高度的氣溫.

解用｛4｝表示自下而上各高度氣溫組成的等差數(shù)列，則團(tuán)=,a$=一，

由a；=ai+4d=+4d=—,

解得d=一，

/.a“=15-/7.

**?3-2——11,a=-37,

即2km,4km,8km高度的氣溫分別為2℃,-1TC,

-37℃.

3當(dāng)堂訓(xùn)練

1.已知等差數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式a=3—2〃，則它的公差"為（）

A.2B.3

C.-2D.-3

答案C

解析由等差數(shù)列的定義，得冷痣一哥=一1一1=-2.

2.已知在△4%'中，三內(nèi)角4B,C成等差數(shù)列，則角8等于（）

A.30°B.60°

C.90°D.120°

答案B

解析因?yàn)?B,C成等差數(shù)列，

所以8是4,C的等差中項(xiàng)，

則有4+C=26,

又因?yàn)?+8+C=180°,

所以38=180°,從而8=60°.

3.等差數(shù)列｛a“｝中，已知團(tuán)=；,32+35=4,a?=33,求〃的值.

解V,32+55=（a+由+（a+4do=2a+5d=4,

1,,、221

：.an—~+(.77—1)X-

由33,

解得〃=50.

L規(guī)律與方法------------------------------1

1.判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列的常用方法：

（1）為+la產(chǎn)d（d為常數(shù)，N*）Q｛a｝是等差數(shù)列；

（2）2a“+i=a"+&+2（〃GN*）=｛a〃｝是等差數(shù)列；

⑻a”=kn+b（k,6為常數(shù)，〃GW）Q｛a,J是等差數(shù)列.

但若要說明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出一個(gè)反例即可.

2.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式&=@+（〃-1）,可以看出，只要知道首項(xiàng)囪和公差4就可以求

出通項(xiàng)公式，反過來，在切，d,n,a.四個(gè)量中，只要知道其中任意三個(gè)量，就可以求出另

一個(gè)量.

40分鐘課時(shí)作業(yè)

一、選擇題

1.若則等差數(shù)列a,汨，型,人的公差是（）

?b-a

A.b—aB.~-~

答案C

解析由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，

得b=a+（4—1）d,

所以4年.

2.已知等差數(shù)列｛&｝中，&+4=22,備=7,則徐等于（）

A.15B.22

C.7D.29

答案A

解析設(shè)｛4｝的首項(xiàng)為8,公差為"，

a-i+必=a+2"+劭+7d=22,

根據(jù)題意得，

a=國(guó)+5〃=7,

解得a=47,d=-8.

所以的=47+(5-1)X(-8)=15.

3.等差數(shù)列20,17,14,11,…中第一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)是()

A.第7項(xiàng)B.第8項(xiàng)

C.第9項(xiàng)D.第10項(xiàng)

答案B

解析Va,=20."=一3,

a〃=20+(n—1)X(—3)—23—3〃，

???日=2>0,3s=-1V0.

4.若5,x,y,z,21成等差數(shù)列，則*+y+z的值為()

A.26B.29

C.39D.52

答案C

解析V5,x,y,z,21成等差數(shù)列，

既是5和21的等差中項(xiàng)也是x和z的等差中項(xiàng).

.,.5+21=2/,

.*.y=13,x+z=2y=26,

??.x+y+z=39.

5.若數(shù)列｛4｝滿足3品+戶3a+1,則數(shù)列是()

A.公差為1的等差數(shù)列

B.公差為;的等差數(shù)列

C.公差為一〈的等差數(shù)列

D.不是等差數(shù)列

答案B

解析由3&+i=3&+l,

得3&+1-3dn=19

即為+1-&=),

所以數(shù)列｛a｝是公差為9的等差數(shù)列.

6.已知等差數(shù)列｛4｝中，&+a=16,a=1,則42的值是()

A.15B.30

C.31D.64

答案A

&8+3d-~1,

解析由

的+4=2m+14d=16,

/.ai2=ai+lld=—~―+11X-=15.

二、填空題

7.4—1與4+1的等差中項(xiàng)是

設(shè)等差中項(xiàng)為a,

則有a=魚墨3=近

8.若一個(gè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)為名2日-1,3一%則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為

答案&=：+1,〃￡N*

解析Va+(3—a)=2(2a—1),

???這個(gè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為彳5，*R?7

；.d=；,&=彳+(〃-1)x[=￡+l,〃￡N*.

9.若｛a｝是等差數(shù)列，315=8,560=20,則375=.

答案24

解析設(shè)｛4｝的公差為a

@5=8+14d=8,

由題意知

的=a+59d=20,

644

所以a75=3i+74cf=—+74X—=24.

10.首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差”的取值范圍是

o

答案g"W3

解析設(shè)a=—24+(〃-D",

⑦=-24+8■0,

由《

U10=-24+9rf>0,

解不等式得條運(yùn)3.

三、解答題

4

11.己知數(shù)列｛a｝滿足國(guó)=4,a=4-----(〃22,

Qtr~\

人1

令bn=Q-

a,-2.

(1)求證：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛8,｝的通項(xiàng)公式.

4

(1)證明因?yàn)閍=4--—(〃22),

n3f｛—\

2(a2)

所以a?+,-2=2--=-(/7^1),

a”Qu

所以—=a%=異力(自)，

所以——]=:(〃21)，

A+L2alt-￡乙

即4+1—4=/(〃21).

所以數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列.

⑵解由(1)知[七|是公差為4的等差數(shù)列，

—句/

11.Z\1〃

所以力=力+(〃-1)-2=?

2

解得a=2+-.

n

2

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為&=2+二

n

12.甲蟲是行動(dòng)較快的昆蟲之一，下表記錄了某種類型的甲蟲的爬行速度:

時(shí)間ds)123???????60

距離s(cm)…