人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)綜合測(cè)試（基礎(chǔ)）（解析版）

人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)綜合測(cè)試（基礎(chǔ)）單選題(每題5分，每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，8題共40分)1．（2023春·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）直線與直線平行，則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】依題意，直線與直線平行或重合時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，當(dāng)時(shí)，直線與直線平行，所以的值為.故選：C2．（2023秋·北京·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【解析】由已知得圓心為，半徑，因?yàn)閳A心在直線上，所以直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為.故選：C3．（2023秋·江西宜春·高二統(tǒng)考期末）向量，，若，則（

）A． B．，C．， D．，【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄?，，且，則設(shè)，即，則有，則，，解得，，故選：C4．（2022秋·重慶·高二重慶一中?？茧A段練習(xí)）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在n時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線方程為，由題意知：在拋物線上，即，解得：，，當(dāng)水位下降1米后，即將代入，即，解得：，∴水面寬為米.故選：D.5．（2022秋·廣東廣州·高二?？计谥校┙裹c(diǎn)在軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)距離為2，到左頂點(diǎn)的距離為3的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)距離為2，到左頂點(diǎn)的距離為3所以，即，所以，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：A6．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線的準(zhǔn)線與直線的距離為3，則此拋物線的方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，或-16．故所求拋物線方程為或．故選：D7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知A，B，C是橢圓上不同的三點(diǎn)，且原點(diǎn)O是△ABC的重心，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，直線AB的斜率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)的中點(diǎn)，因?yàn)樵c(diǎn)O是△ABC的重心，所以三點(diǎn)共線，所以，由于，所以，故選：B.8．（2023·吉林遼源）已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由雙曲線的定義得：，因?yàn)椋?，所?又，所以，在中，，設(shè)，因?yàn)?，所以，由余弦定理得：，即，所以，解得，故選：B二、多選題（每題至少有兩個(gè)選項(xiàng)為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）9．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在正三棱柱中，，則（）A．直線與所成的角為B．直線與所成的角為C．與平面所成角的正弦值為D．與側(cè)面所成角的正弦值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，依題意，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，如圖，

易得，又面，所以面，又面，所以，又是正三角形，是的中點(diǎn)，故，則兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，則，故，則，又，所以直線與所成的角為，故正確；對(duì)于B，又，則，又，則直線與所成的角不為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易得平面的一個(gè)法向量為，所以與平面所成角的正弦值為，故C正確；對(duì)于D，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槊?，面，所以，又是正三角形，是的中點(diǎn)，故，因?yàn)槊?，所以面，易得的坐?biāo)為，所以側(cè)面的一個(gè)法向量為，所以與側(cè)面所成角的正弦值為，故D正確.故選：ACD.10．（2024秋·安徽·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知直線及圓，則（

）A．直線過(guò)定點(diǎn)B．直線截圓所得弦長(zhǎng)最小值為2C．存在，使得直線與圓相切D．存在，使得圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，由，得，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)為，故A正確；B選項(xiàng)，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為，半徑，直線過(guò)的定點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，直線截圓所得弦長(zhǎng)最短，因?yàn)椋瑒t最短弦長(zhǎng)為，故B正確；C選項(xiàng)，，故點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓一定相交，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)直線過(guò)圓心時(shí)，滿(mǎn)足題意，此時(shí)，解得，故D正確.故選：ABD.11．（2024秋·浙江·高三舟山中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓：，直線：，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線恒過(guò)定點(diǎn) B．直線被圓截得的弦最長(zhǎng)時(shí)，C．直線被圓截得的弦最短時(shí)， D．直線被圓截得的弦最短弦長(zhǎng)為【答案】ABC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：直線的方程可化為，令，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋袋c(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)直線過(guò)圓心時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，此時(shí)，解得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)直線時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，直線的斜率為，，由，解得，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：此時(shí)直線的方程是，圓心到直線的距離為，可得，所以最短弦長(zhǎng)是，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．12．（2023秋·全國(guó)·高二期中）已知方程表示的曲線為C，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線C是橢圓 B．當(dāng)或時(shí)，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則 D．若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則曲線是圓，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)或時(shí)，，曲線是雙曲線，B正確；對(duì)于C，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，C正確；對(duì)于D，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得，D正確．故選：BCD三、填空題(每題5分，4題共20分)13．（2023秋·江西南昌）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【解析】由題意知，.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由是雙曲線右支上的點(diǎn)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.又，則.所以，的最小值為.故答案為：.

14．（2023秋·四川資陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則的最大值為.【答案】11【解析】由題意可得，，所以,因?yàn)椋?因?yàn)?，所?故答案為：11.

15．（2023秋·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓，直線，當(dāng)圓被直線截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線的方程為.【答案】【解析】由題意，直線的方程化為，由得∴直線過(guò)定點(diǎn)，顯然點(diǎn)在圓內(nèi)，要使直線被圓截得弦長(zhǎng)最短，只需與圓心的連線垂直于直線，，解得，代入到直線的方程并化簡(jiǎn)得.故答案為：.16．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知菱形中，，沿對(duì)角線AC折疊之后，使得平面平面，則平面與平面夾角的余弦值為.

【答案】【解析】設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為1，取的中點(diǎn)，連接，，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，同理，平面的一個(gè)法向量為，所以，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.故答案為：四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分17．（2022秋·北京·高二北京十五中?？计谥校┮阎獔AC經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)，且圓心在x軸上．(1)求圓C的方程．(2)設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且l與圓C相交所得弦長(zhǎng)為，求直線l的方程．【答案】(1)(2)和【解析】（1）設(shè)圓心，則圓心到與距離相同且等于半徑，所以，解得，所以圓心為，半徑，所以圓C的方程為．（2）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為，整理得，則圓心到直線的距離，①又因?yàn)?，解得，②由①②解得：，所以直線方程為，整理得；當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線為，此時(shí)圓心到直線的距離，所以其弦長(zhǎng)為，符合題意.綜上，所求直線方程為和.18．（2023春·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)D為棱AC的中點(diǎn)，平面平面，，且．

(1)求證：平面ABC；(2)若，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）如圖，連接．因?yàn)閭?cè)面為菱形，且，所以為等邊三角形，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平面，所以平面ABC．（2）

由（1）的過(guò)程可知，可以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DB，DC，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．不妨設(shè)，由題可知，，，，．由，可得．設(shè)平面的法向量為，而，，則有,取，得．設(shè)平面的法向量為，而，，則有，取，得．設(shè)平面與平面夾角為，則，所以，即平面與平面夾角的正弦值為．19．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)直線的方程.【答案】(1)(2)面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.【解析】（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程為，（2）設(shè)，由，得，因?yàn)橹本€與橢圓交于兩點(diǎn)，所以，解得，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.20．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓C過(guò)點(diǎn)，，且圓心C在直線上.(1)求圓C的方程；(2)若點(diǎn)P在圓C上，點(diǎn)，M為AP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)圓的方程為：，則有，解得．∴圓的方程為：．（2）由（1）知圓，設(shè)，，則，所以又P在圓上，

所以，所以，即M的軌跡方程為.數(shù)形結(jié)合易知，當(dāng)OM與圓相切時(shí)，取最大值，此時(shí)，.所以的最大值為.21．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在三棱錐中，平面，，，M是的中點(diǎn)，N為上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)證明：平面平面；(2)當(dāng)平面時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面．又，平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．又，M是的中點(diǎn)，所以．又，，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為y，z軸，過(guò)點(diǎn)A作與平行的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以．又M是的中點(diǎn)，所以N是的中點(diǎn)，則，，，，所以，，，則平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則．令，得，，所以平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，所以，故平面與平面夾角的余弦值為．22．（2024秋·山西朔州·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓E的上頂點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓E上.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)和C