2023年福建省泉州市普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科競(jìng)賽試題含參考答案

2023年泉州市普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科競(jìng)賽

參考答案

一、填空題：本題共15小題，每小題6分，共90分。

1.設(shè)集合/={x|^^V0},5={X|X2-3X+2=0},貝1」/門3=_________.

x-1

【答案】{2}

【解析】由土藝40得I<x43,則/={x|l<x43},又3={1,2},因此/。3={2}.

x-1

Q1

2.已知2、=3,log3-=j；,則上+>=________.

2x

【答案】2

1a

【解析】2'=3nx=log23,所以一+y=log32+log3-=log39=2.

x2

3.已知數(shù)列也}滿足%=1,%-a用=』&」("eN*),則a“=_________.

n(n+1)

【答案】-

277—1

【解析】由。“-%=芋!，^―--=—^=-一一—,故_L+，=-L+l,即{_1+3為常

n(n+1)Q〃+Iann(n+1)n〃+1an+ln+1annann

數(shù)列，^-+-=-+-=2,所以

annax\2n-1

4.若sin(x+J)=-3,且xe(一§￡),則sin(2x-g)=________.

35663

【答案】ll

【解析】因?yàn)閄6—2,3,所以x+四￡，三，3,又sin，+0=—3,所以cos[x+0=~

663(22j3j5(315

JT27rITIT424

所以sin(2x-])=—sin(2x+—)=-2sin(x+—)cos(x+—)=-2xx-=——

525

[a,a^b,

5.記max{a,6}=則函數(shù)〃x)=max{1x+11,|…1}的最小值為

【答案】1

【解析】令工(X)=|x+1"(x)=產(chǎn)-5],則兩個(gè)函數(shù)圖象交于點(diǎn)A,BCD,

根據(jù)/(x)的定義可知/(x)的圖象是圖中實(shí)線的部分，易知點(diǎn)B

的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最小值，由方程-X-1=5-尤②，解得積=3,4=-2,所以)="-2)=1.

6.設(shè)a力為實(shí)數(shù)，且仍W0,虛數(shù)z為方程◎2+云+°=0的一個(gè)根，則的最大值為.

數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案第1頁(yè)(共10頁(yè))

【答案】V2+1

【解析】因?yàn)閦和三為實(shí)系數(shù)二次方程辦2+加+。=0的兩個(gè)共筑虛根，由韋達(dá)定理知z；=q=i,即

a

目2=1,所以目=1,z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z是復(fù)平面中以0(0,0)為圓心，半徑r=1的圓上的點(diǎn)，

可以看成點(diǎn)z與定點(diǎn)4(1,1)的距離，當(dāng)且僅當(dāng)z=-冷-半i時(shí)，匕-1-i|取最大值

|^O|+r=V2+l.

7.已知函數(shù)〉=/(x+1)的圖象關(guān)于直線％=-1對(duì)稱，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=e1-%

c兀

2tan——

c=20則/(q)J(b)J(c)的大小關(guān)系為(請(qǐng)用“v”連接)

1-tan2—

20

【答案】73)</(〃)</?

【解析】函數(shù)V=/(x+l)的圖象關(guān)于直線x=T對(duì)稱，所以歹二/(')的圖象關(guān)于〉軸對(duì)稱，當(dāng)xWO時(shí),

/⑴=e~,所以k/(%)在(華⑼上單調(diào)遞減,在［。,+8)上單調(diào)遞增，/⑷=/(-舒=/(^)，

2tan—

I1-COS—、〃.兀、，“C)=/(——^-)=/(tan專)，易知

=M—^)=/()=/區(qū)116)1-tan2—10

1020

0<sin^<^<tan^,所以/(b)</(。)</(。).

8.已知△/3C的內(nèi)角4瓦。的對(duì)邊分別為。也C，點(diǎn)。滿足sin24?E+sin25.赤+sin2C.云=0,若

a=2,BCOA=6,貝!Jsin/的最大值為.

【答案】二

3

【解析】易知。是△/BC的外心.因?yàn)榍?刀=前.(刀-就)=刀?次-萬(wàn)?工=；c?-9？=6,

所以/—62=12,又0=2,得12=3/,所以02-〃=3/.由余弦定理，得

cos/=-+cj=3/+3,2-3/=4/+2°2英亞=逑,當(dāng)且僅當(dāng)人=2g，c=2^時(shí)取

2bc6bc2bc6bc3

等號(hào)，所以sin/的最大值為

3

9.過點(diǎn)b(0,g)的直線/與拋物線/=2/交于48兩點(diǎn)，則卜川+4忸刊的最小值為.

【答案】|

數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案第2頁(yè)(共10頁(yè))

11....1....1114\BF\\AF\9

【解析】易知而+的=2,故叫+4|即=](叫+4阿|)(西+網(wǎng))=5(1+4+.+雨濘

當(dāng)且僅當(dāng)\AF\=1\BF\=|時(shí)取等號(hào).

10.在直角△/BC中，AB=BC=2,。是△NBC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則24。+2。+?C。的最小值為

【答案】2V13

【解析】如圖，將繞著點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，再以C點(diǎn)為位

似中心放大到2倍，得到△4CD".2AD+BD+垂CD=

A"D"+BD+DD",根據(jù)"兩點(diǎn)之間線段最短”可知，當(dāng)

8,。,。",/"四點(diǎn)共線時(shí)，24D+AD+V?CD取得最小值

BA".易知=90。，C4"=4&，過/"作，8c交

8C延長(zhǎng)線于//,則△ABCs^aW,因?yàn)椤?3C是等腰

直角三角形，AB=BC,所以/A4c=/8C4=45。，所以4￡4〃C==45。，所以

CH=A"H=4,所以A4"=、62+4?=2萬(wàn).

11.現(xiàn)有一個(gè)上部分軸截面為半橢圓的玻璃杯(如右圖)，其杯口內(nèi)徑為4cm,深8

cm,現(xiàn)將一半徑為rcm的小球放入玻璃杯中，若小球可以接觸杯底，則r的取

值范圍為.

【答案】［。；

【解析】杯口內(nèi)徑為短軸'杯深為長(zhǎng)半軸’故可設(shè)半橢圓軸截面方程為5+?=1(^。)’設(shè)小球球心。(。，，)

,fe(-8,+oo),尸(x,y)為半橢圓軸截面上任一點(diǎn),

則|尸D「=*+(y-)2=獸/_2)+?+4,其中ye［-8,0］,當(dāng)函數(shù)=與/_2)+4的對(duì)

1616

稱軸y=￡/4-8,即時(shí)，函數(shù)在［-2,0］遞增，當(dāng)了=-8時(shí)，|尸。「取最小，這

時(shí)小球可以接觸杯底，半徑廠="(-8)e，,g.

12.已知函數(shù)f(x)=e*e'-a),當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，f(x)>ex,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【答案】(-8』

【解析】e'(e-)2ex兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，得lne'(e—)21nex0X0—a)21+lnx,

xxtax+x

crr,xe-lnx-l人,、xe-lnx-le-(tax+1)

所以a<------------,令g(x)=-------------=-----------------,

XXX

h(x)=ex-x-1,則h\x)=ex-1>0(x>0),

所以〃(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，所以〃(x)240)=0,故eMENlnx+x+l,

數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案第3頁(yè)(共10頁(yè))

所以g(x)jTnx-l=e｝、-(lnx+l)/nx+2-(1吧+1)=],故口仁.

13.有2024個(gè)半徑均為1的球密布在正四面體48c。內(nèi)（相鄰兩球外切，且邊上的球與正四面體的面相切）,

則此正四面體的外接球半徑為.

【解析】由題意，第左層有1+2+…+左=處+。個(gè)球，設(shè)正四面體內(nèi)共有〃層球，則￡絕土12=

2￡2

1?1?11111

—￡尸+—24=——〃("+1)(277+1)+——〃(〃+1)=—〃(〃+1)(〃+2)=2024,解得”=22.

2?=|2斤=]26

如圖，作與底面8co平行且與第1層球Q相切的平面，交棱4D于點(diǎn)M,則球a為這

個(gè)小四面體的內(nèi)切球，所以逅/M=l,解得4M=2遙.

12

記第22層最靠近點(diǎn)。的球心為。2,由對(duì)稱性可知OXO2DM是平行四邊形，所以

"0=002=20x2+2=42,所以4D=/M+A?=2&+42,所以正四面體的外接球半徑

為也~AD=3+生屈.故答案為：3+—V6.

14.已知△/3C的內(nèi)角C的對(duì)邊分別為a,6,c,且2/+2廬+3/=23,則△4BC面積的最大值為

【答案】-

16

【解析】過點(diǎn)C作。于。.c

當(dāng)點(diǎn)。落在線段48上時(shí)，設(shè)CD=〃，BD=m,AD=n,根據(jù)題設(shè)/

條件有：/h

23=2(〃2+加2)+2(/+/)+3(加+"J=4/?2+2(加之+〃2)+3(加+?)2>_______

4h2+(m+nf+3(m+??)"=4/』+4(m+w)2>?>h[m+n)—\6S,因此

sv里，當(dāng)且僅當(dāng)心=巫，〃=巫時(shí)取等號(hào).

當(dāng)點(diǎn)。落在N8或四的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)CD=h,BD=m,AD=n,根據(jù)題設(shè)條件有:

數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案第4頁(yè)（共10頁(yè)）

23=2（〃？+加2）+2（"2+〃2）+3（加—〃）2=4〃2+2（加2+〃2）+3（加_〃）22

4h2+（m-?）2+3（m-?）2=4h2+4（加一〃J>8/z|m-H|=165,因此S工荒，易知等號(hào)取不到.

故答案為：223.

16

15.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并

列為世界三大數(shù)學(xué)家，為了紀(jì)念他，人們把函數(shù)〉=H（xeR）稱為高斯函數(shù)，其中H表示不超過'的

轡2024'+2024斤

最大整數(shù).設(shè)S=￡「?””,則S除以2023的余數(shù)是__________.

左=1（-1）_

【答案】1013

20242,+2024?2t2024”-1+20232+1+2/20242*-1、2/+1

【解析】當(dāng)斤=2,時(shí),------------+2f+

2023202320232023

202421+2024(2/-1)?202421-1+2023⑵-1)+2/

當(dāng)無(wú)=2f-l時(shí),

-2023-2023

1-202421、，-It1一202421、「2f

-----------------2/+1+-----------------2t--------

2023202320232023

2024"+2024左—學(xué)2024?’+2024?2t1012202421+2024(2—1)

因此s=￡Z2023+Z

k=\2023(-1)"t=\-2023

朝2024—?！?/+11-202427。1012

+-----------------2t-￡(202421)+1

臺(tái)(2023120232023/=1

=1x1012+1=1013（mod2023）.

二、解答題（本大題共5小題，共110分。解答應(yīng)寫出必要文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟。）

16.（20分）

將數(shù)列｛2〃-5｝與｛3〃-3｝的公共項(xiàng)從小到大依次排列得數(shù)列｛%｝.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

2"

(2)設(shè)求數(shù)列也J的前"項(xiàng)和S,.

3

【解析】(1)設(shè)g=2〃-5,dn=3n-3,由c“=d”,，有2〃-5=3/-3,BPn=—m+\,.................5分

又“，加均為正整數(shù)，所以S=2左，左eN*,

所以4“="2k=6"-3,Bpan=6n-3..............................................................................................10分

2"

(2)由(1),bn=y(6?-3)=(2?-1)-2\

所以S“=lx2i+3x22+…+(2月-1)x2"①，

所以2S“=lx22+---+(2n-3)x2"+(2M-1)X2"+1②，

①-②，得-S“=2+(2^+24+…+2向)-(2〃-1>2"+1................................................................15分

數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案第5頁(yè)（共10頁(yè)）

=2+8(1-^-(2n-1)-2"+,=-(2n-3)-2"+,-6,

所以，=(2〃-3>2用+6..................................................................................................................20分

17.(20分)

已知△/BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“,6,c,且4a6cosc=3(/一c?).

(1)若/=臼27r，求C；

3

(2)若6c=l,當(dāng)8最大時(shí)，求△/BC的周長(zhǎng).

【解析】(1)方法一：由余弦定理得：2(/+/-。2)=3(/一。2),即/=2/>2+/,.....................5分

又。2=/+。2一2bccosA-b2+c2+be所以2〃+T=/+/+be，

7T

即/=A，所以6=c，故C=5=z..........................................................................................10分

6

方法二：由余弦定理得：2面+〃—°2)=3(〃2_02),即2廬=-2—02,

所以段-=°”...-=cosC,所以%=2〃cosC....................................................................5分

2ablab

由正弦定理得：3sin6=2sinZcosC,所以3sin(4+C)=2sin/cosC,

整理得sinZcosC=-3cos^4sinC,所以tan4=-3tanC,所以tanC=——，

3

TT

又Ce(0,7r),故。=三..........................................................10分

6

方法三：H362+4abcosC=3(a+b2-c2)=6abcosC,所以%=2〃cosC...........................5分

由正弦定理得：3sin5=2sinAcosC,所以35抽（/+。）=2$出/＜：05。，

整理得5皿/85。=一385/5111。，所以tanZ=-3tanC，所以tanC=——，

3

又Ce(0,兀)，故C=g...................................................................................................................10分

6

方法四：由正弦定理得：4sinsin5cosC=3(sin2J-sin2C),

Xsin2A-sin2C=(sinA+sinC)(sin/一sinC)=2sin"；。cos'.0?2cos，；。sin'2'

=2sin/；'cos4；0?2sin"2°cos42)=sin(/+C)sin(4-C),

所以4sin4sin5cosC=3sin(/+C)sin(Z—C)...............................................................................5分

因?yàn)閟inB=sin(Z+C),所以4sin/cosC=3sin(Z-C),

整理得5畝/85。=一385/5111。，所以tanZ=-3tanC,所以tanC=Y^,

3

又Cw(0,兀)，故。=^..........................................................10分

6

數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案第6頁(yè)（共10頁(yè)）

(2)方法一：由(1)知tanZ=—3tanC,所以

tanA+tanCtanC2

所以tan8=-tan（A+C）=-

1-tanAtanC1+3tan2C3，15分

-------F3tanC

tanC

當(dāng)且僅當(dāng)taC，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)C=5噂//

所以6=c=l,a=6，故△48C的周長(zhǎng)為2+6.20分

方法二：由余弦定理得：2(a2+b2-c2)=3(a2-c2),整理得：a2=2b2+c2,

2a2+2,一2〃2+3c2

所以4cos5=a>273，15分

acac

jr

當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào)，此時(shí)3最大為三，由bc=l,得b=c=l,a=43

6

b2=a2+c2-yl3ac,

故△力3C的周長(zhǎng)為2+石.20分

2

方法三：由余弦定理得：2(?2+b2-C2)=3(6Z-c2),整理得:a2=2b2+c2,

b\b-4）+4=^——2-------+4=（￡zlXLz2）+4=l（f+2_10）+4>-（2V9-10）+4=3'

2b+1t4t4t4

當(dāng)且僅當(dāng)f=3,即人=1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)b=c=l,a=C，

故△/8C的周長(zhǎng)為2+g,20分

18.（20分）

如圖，△NBC內(nèi)接于0O,/是△ABC的內(nèi)心，過。作8C的垂線交3C于點(diǎn)交氤于點(diǎn)、N,L

是打的中點(diǎn)，連接NL,過/作于點(diǎn)K.

證明：（1）ANAI=90°；

(2)N、K、/、M四點(diǎn)共圓.

D

數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案第7頁(yè)(共10頁(yè))

【解析】證明：（1）方法一：延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)D,則。為8c的中點(diǎn)，

因此/、/、。三點(diǎn)共線.又為直徑，故NNAI=NNAD=90。...................5分

方法二：易知N為嬴的中點(diǎn)，因此NN48=3（N3+NC）,

所以N2W=NA^8+N8//=g(N8+NC)+〈N8/C=90。...........................5分

(2)ZUNL中，ZNAL=90°且AKLNL,由射影定理知：LI?=LA1=LK,LN,又NILK=2NLI,

因止匕△￡燈s/\￡w,故NLIK=NLNI............................................10分

由雞爪定理知：DI=DC,在△NCD中，ZNCD=90",CM1ND,

由射影定理知：DI2=DC2=DM-DN,

XZMDI=ZIDN,因此△DMs/vow,故ZDIM=ZDNI.......................15分

因此ZMIK+ZMNK=AMIK+ZKNI+AMNI=ZMIK+ZKIA+AMID=180°,

故N、K、I、M四點(diǎn)共圓....................................................20分

19.(25分)

(x—2y>0,4

已知直線4：x-2y=0,，2：x+2歹=0,動(dòng)點(diǎn)G(x,y)滿足/八且到4和4的距離之積為二.

[x+2y>0,5

(1)求G的軌跡「的方程；

（2）已知尺（0,64）,過"（1,4）的動(dòng)直線/與「交于不同兩點(diǎn)尸,0,若線段夕。上有一點(diǎn)N滿足

\MP\-\NQ\^PN\-\MQ\,求|麗|的最小值.

【解析】（1）由題意可知，l±_|2d.k112d=!,整理得,2一4/卜4,.......................5分

Ix-2y>0x2o

又因?yàn)镚（xj）滿足：八，可知軌跡:T的方程為土-/=l（x>0）..............10分

[x+2歹〉04

（2）方法一：設(shè)尸（W，%）,0（X2，%）,N（X。,%）,由題意可知直線尸。的斜率存在,

丫2

設(shè)尸。：y-4=?x—1),與:--/=1聯(lián)立得(1-4k2)x2+(8k2-32k)x一4二+32左一68=0.

4-

上士丁a/曰32k—8k--4左2+32左一68

由韋達(dá)JE理得西+%=—.~—r~?.15分

1—4k~1一叱

因?yàn)閨礪|?|而|=|而H國(guó)I，且M，尸,M0共線,

所以(再-1)(%-%)=(%-X1)(%2T),即2占々-(1+%)區(qū)+%)-2%=0②.

—

16左一681%—68y4

由①②整理得即-小居n

而無(wú)oNl,所以x：68=%_4,即%-16%-4=0.

10

所以點(diǎn)N(x。,%)在直線/':x-16y-4=0上，.....20分

數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案第8頁(yè)（共10頁(yè)）

所以|而|的最小值即R到直線V的距離d,其中"=矍]=47257,

1A//S/

這時(shí)，N(4,0)在雙曲線右支內(nèi)，符合題意.

所以|我叫的最小值為44V.....................................................25分

方法二：由題意，設(shè)尸(士,%),0(3,%)，陽(yáng)％,%),

因?yàn)閨也?用而1=1的H而回，且尸,M，N,Q共線，

T^MP=AMQ,PN=ANQ,其中幾>0,2^1,

由加=2殖，得1=^^,4=AZ^①，

由兩=4而，得x°=^±^,JO=2I±A)1②.................................15分

1+A1+X

將①②對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得：

x,-AXx+AXx2-A2X2%一Ayy,+Ayy,2-A2J2

],/=2--r-----2=-2f4?y=22--2,

01-21+21-rn0l-A1+21-22

而x；=4+4y；,xJ=4+4yj,所以i.%—4x4,=再一_4(.力)=:I—')=4,

1—A1—Z1—A

即X。-16yo-4=0,所以點(diǎn)N(x。,%)在直線/'：X-16k4=0上，....................20分

1028___

所以|西|的最小值即尺到直線廠的距離“，其中豆=4A國(guó)'，

這時(shí)，N(4,0)在雙曲線右支內(nèi)，符合題意，

所以|秋|的最小值為47^7?....................................................25分

20.(25分)

已知多項(xiàng)式/(x)=x"+a“_]X"TH--1-atx+a0.

(1)若〃=3,且/(x)=。有三個(gè)正實(shí)數(shù)根%,%,無(wú)3,證明：阮+27%427%出；

(2)對(duì)一般的正整數(shù)”24,若。"_|=-5,an_2=U,*=-18,a,,eR(0</<?-4),證明：方程

/(x)=0的根不全是正實(shí)數(shù).

%+々+毛=—。2，

【解析】證明：(1)方法一：由韋達(dá)定理有：xrx2+xrx3+x2x3=%,5分

=-"o

3

要證的結(jié)論：8婕+274<27aleI?u>8(%+x2+x3)+Hxxx2x3>27(項(xiàng)+x2++xxx3+x2x3)

故只需證明2(x：+考+W"xyx2+xfx3+xfx}+xfx3+x^xx+xfx2.

1