圖形與幾何教材分析及策略

圖形與幾何教材分析及策略

空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。實際物體幾何圖形特征描述空間知覺（表象的基礎(chǔ)）↓空間觀念（表象的形成）↓空間想象（表象的改造）三種水平既遞進發(fā)展，又交錯共存實物指認(rèn)圖形指認(rèn)剖面指認(rèn)例如：指認(rèn)圓柱高我們認(rèn)為其中的“空間與圖形”涉及到的內(nèi)容可以分為這樣幾類：視圖；圖形的位置；圖形的認(rèn)識；圖形的變換；測量；展開與折疊。

PISA通過各種各樣的問題或是分開或是綜合地對它們進行了考察。例如，PISA中有這樣一個問題是對視圖、變換及測量的綜合考察：螺旋形的建筑（PISA2000）現(xiàn)代建筑通常有著不尋常的形狀。下圖給的是一個螺旋形的建筑的模型及它的地層的平面圖。圖形下方是方向軸。建筑的底樓有一個主要入口和一些商店，在此上面的20層都是公寓。每層的平面圖都和底層相同，但每層都相對于下一層旋轉(zhuǎn)了一定角度。建筑的電梯和平臺位于圖中的圓柱形內(nèi)。問題1：試以米為單位估計這棟建筑的高度，并解釋你的答案。現(xiàn)有兩張不同方向看到的圖，問題2：圖1是從哪個方向看到的？（A.北B.南C.東D.西）問題3：圖2是從哪個方向看到的？（A.西北B.東北C.東南D.西南）問題4：每層的公寓相對于底層都有一定角度的“旋轉(zhuǎn)”。最頂層（21層）相對于底層來說旋轉(zhuǎn)了。下面的圖表示的是底層。請在它上面畫出第11層的平面圖，并標(biāo)明它與底層的相對旋轉(zhuǎn)度數(shù)。這是一道綜合性問題，問題1涉及的是對建筑高度的估測，問題2、3則是一個與視圖有關(guān)的題目，而問題4就從“旋轉(zhuǎn)”變換的角度來要求學(xué)生。它不是用抽象的幾何圖形來考察學(xué)生對相關(guān)知識的理解，而是將其融入到這樣一個現(xiàn)實的情景中，考察學(xué)生是否能在現(xiàn)實中把握現(xiàn)代建筑這個“幾何體”，PISA認(rèn)為這將反映出一個人的幾何素養(yǎng)。我們可以進一步地把PISA中考察的內(nèi)容總體分為兩大類——靜態(tài)與動態(tài)。所謂靜態(tài)，即指我們傳統(tǒng)的幾何課程中所關(guān)注的一些部分，如度量衡方面的知識、圖形的認(rèn)識等；而動態(tài)，則包含了變換、視圖、立體的展開與折疊等內(nèi)容。PISA在不擯棄傳統(tǒng)的幾何的同時，更側(cè)重于希望學(xué)生用“動態(tài)”的眼光去“了解、探索和征服我們所居住、呼吸和運動的空間，以使我們對它有更多的了解”（Freudenthal,1973）。PISA考察的是15歲年齡段的處于基礎(chǔ)教育結(jié)束階段的學(xué)生，對我國來說，這個年齡段的學(xué)生正是初中畢業(yè)，那么，值得我們思考的是對初中階段的學(xué)生來說，PISA中所關(guān)注的幾何素養(yǎng)是否也應(yīng)成為我國義務(wù)教育階段的學(xué)生幾何學(xué)習(xí)目標(biāo)的重要組成部分呢？從PISA試題中我們可以看出，它處處滲透著推理的思想和要求，處處體現(xiàn)著幾何中的直觀、經(jīng)驗和歸納。

從《圓的認(rèn)識》三種教材的變化

看該領(lǐng)域教學(xué)的變化

1.“圓的認(rèn)識”的編寫順序1980：（1）說明生活中有許多圓形的物體（2）圓規(guī)畫圓（3）圓心、半徑、直徑概念（4）半徑與直徑的屬性（相等、無數(shù)條）（5）圓是軸對稱圖形（6）練習(xí)1990：（1）從平面直線圖形引出曲線圖形圓。（2）生活中有許多圓（3）用圓形物體畫圓（4）紙質(zhì)的圓對折給出圓心（5）用尺子量圓心與與圓上任意一點的距離，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，給出半徑。（6）半徑的屬性（7）直徑的概念與屬性（8）直徑與半徑的關(guān)系（9）圓規(guī)畫圓（10）練習(xí)2006：（1）用圓形物體畫圓（2）用紙質(zhì)的圓對折（3）給出圓心、半徑直徑概念。（4）直徑與半徑屬性與關(guān)系（5）圓規(guī)畫圓（6）練習(xí)（7）圓是軸對稱圖形，畫軸對稱圖（8）練習(xí)2.三種教材如何開頭，引導(dǎo)教師與學(xué)生對圓的認(rèn)識進行研究的?有什么共同點與不同點？3.三種教材如何給出圓心、半徑、直徑三個概念，如何引導(dǎo)師生研究半徑、直徑的屬性以及它們的關(guān)系？4.三種教材如何引導(dǎo)學(xué)生畫圓？5.三種教材出現(xiàn)了哪些練習(xí)題的類型？圖形與幾何“圖形的認(rèn)識”“測量”“圖形的運動”“圖形與位置”新的課程標(biāo)準(zhǔn)在圖形的認(rèn)識方面有哪些變化？有哪些新的要求呢？小學(xué)階段對于“圖形的認(rèn)識”這一內(nèi)容，教材是遵循怎樣一個編排體系？怎樣通過圖形的認(rèn)識教學(xué)，促進學(xué)生空間觀念的發(fā)展？(請你舉例）話題一:圖形的認(rèn)識實驗稿2011年版

第一學(xué)段（1）通過實物和模型辨認(rèn)長方體、正方體、圓柱和球等立體圖形。

（2）辨認(rèn)從正面、側(cè)面、上面觀察到的簡單物體的形狀。［參見例1］

（3）辨認(rèn)長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡單圖形。

（4）通過觀察、操作，能用自己的語言描述長方形、正方形的特征。

（5）會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。

（6）結(jié)合生活情境認(rèn)識角，會辨認(rèn)直角、銳角和鈍角。

（7）能對簡單幾何體和圖形進行分類。1.能通過實物和模型辨認(rèn)長方體、正方體、圓柱和球等幾何體。2.能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認(rèn)從不同角度觀察到的簡單物體（參見例11）。3.能辨認(rèn)長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡單圖形。4.通過觀察、操作，初步認(rèn)識長方形、正方形的特征。5.會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。6.結(jié)合生活情境認(rèn)識角，了解直角、銳角和鈍角。7.能對簡單幾何體和圖形進行分類（參見例20）。1.新的課程標(biāo)準(zhǔn)在圖形的認(rèn)識方面有哪些變化？有哪些新的要求呢？實驗稿2011年版

第二學(xué)段（1）了解兩點確定一條直線和兩條相交直線確定一個點。

（2）能區(qū)分直線、線段和射線。

（3）體會兩點間所有連線中線段最短，知道兩點間的距離。

（4）知道周角、平角的概念及周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。

（5）結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系。

（6）通過觀察、操作，認(rèn)識平行四邊形、梯形和圓，會用圓規(guī)畫圓。

（7）認(rèn)識三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角形內(nèi)角和是180°。

（8）認(rèn)識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。

（9）通過觀察、操作，認(rèn)識長方體、正方體、圓柱和圓錐，認(rèn)識長方體、正方體和圓柱的展開圖。

（10）能辨認(rèn)從不同方位看到的物體的形狀和相對位置。［參見例1］1．結(jié)合實例了解線段、射線和直線。2．體會兩點間所有連線中線段最短，知道兩點間的距離。3．知道平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。4．結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系。5．通過觀察、操作，認(rèn)識平行四邊形、梯形和圓，知道扇形，會用圓規(guī)畫圓。6．認(rèn)識三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角形內(nèi)角和是180°。7．認(rèn)識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。8．能辨認(rèn)從不同方向（前面、側(cè)面、上面）看到的物體的形狀圖（參見例32）。9．通過觀察、操作，認(rèn)識長方體、正方體、圓柱和圓錐，認(rèn)識長方體、正方體和圓柱的展開圖。

對圖形認(rèn)識的要求主要包括兩個方面：一是對圖形自身特征的認(rèn)識。二是對圖形各元素之間、圖形與圖形之間關(guān)系的認(rèn)識。有哪些新的要求呢？學(xué)生的圖形認(rèn)知水平主要分為五級：水平1：直觀化；水平2：描述/分析；

小學(xué)水平3：抽象/關(guān)聯(lián)；水平4：演繹/形式化推理；水平5：嚴(yán)密/元數(shù)學(xué)。中學(xué)圖形認(rèn)識的教學(xué)要明確兩點：一是這部分內(nèi)容屬于圖形認(rèn)識的哪個水平，前面的知識基礎(chǔ)和后續(xù)知識各是什么；二是多數(shù)學(xué)生現(xiàn)在的形象思維處于一個什么階段，要通過教學(xué)達到什么階段?！绑w－面－體”的混合螺旋編排結(jié)構(gòu)原因是：

第一、分散難點

第二、符合兒童生活經(jīng)驗和認(rèn)知規(guī)律。2.小學(xué)階段，對于圖形的認(rèn)識，教材是遵循了怎么樣的一個編排體系？第一：通過對實物的觀察與操作認(rèn)識圖形發(fā)展空間觀念

案例：畫圖的技能3.怎樣通過圖形的認(rèn)識教學(xué)，促進學(xué)生空間觀念的發(fā)展？畫圖技能思考：畫圖技能背后有哪些認(rèn)知目標(biāo)？教師如何通過設(shè)計教學(xué)任務(wù)來完成這些認(rèn)知目標(biāo)？有關(guān)圖形知識的學(xué)習(xí)從認(rèn)知目標(biāo)出發(fā)分為：識圖和畫圖。識圖是頭腦中的操作，畫圖是行為中的操作。畫圖的技能對該概念的形成很有意義?！耙詧D識性”第一學(xué)段側(cè)重直觀感知圖形特征第二學(xué)段側(cè)重理論提升，畫圖時需要理解畫圖的原理。第二：基于圖形的想象和圖形之間的轉(zhuǎn)換，

發(fā)展空間觀念案例《正方體展開圖》正方體盒巧展開，六個面兒七刀裁。十四條邊布周圍，十一類圖記分明：四方成線兩相衛(wèi)，六種圖形巧組合；躍馬失蹄四分開；兩兩錯開一階梯。對面相隔不相連,識圖巧排“7”、“凹”、“田”。一、四方成線兩相衛(wèi)，六種圖形巧組合

以上六種展開圖可歸結(jié)為四方連線，即，另外兩個小方塊在四個方塊的上下兩側(cè)，共六種情況。二、躍馬失蹄四分開以上四種情況可歸結(jié)為五個小方塊組成“三二相連”的基本圖形（如圖），另外一個小方塊的位置有四種情況，即圖中四個小方塊中的任意一個，這一圖形有點像失蹄的馬，故稱為“躍馬失蹄”。三、兩兩錯開一階梯這一種圖形是兩個小方塊一組，兩兩錯開，像階梯一樣，故稱“兩兩錯開一階梯”。四、對面相隔不相連這是確定展開圖的又一種方法，也是確定展開圖中的對面的一種方法。如果出現(xiàn)三個相連，則1號面與3號面是對面，中間隔了一個2號面，并且是對面的一定不相連。五、識圖巧排“7”、“凹”、“田”

這里介紹的是一種排除法。如果圖中出現(xiàn)象圖（1）中的“7”形結(jié)構(gòu)的圖形不可能是正方體展開圖的，因為圖中1號面與3號面是對面，3號面又與5號面是對面，出現(xiàn)矛盾。如果圖中出現(xiàn)象圖（2）中的“田”形結(jié)構(gòu)的圖形不可能是正方體展開圖的，因為同一頂點處不可能出現(xiàn)四個面的。如果圖中出現(xiàn)象圖（3）中的“凹”形結(jié)構(gòu)的圖形不可能是正方體展開圖的，因為如果把該圖形折疊起來將有兩個面重合。話題二：測量一維圖形的大小二維圖形的大小面積長度三維圖形的大小體積重點問題問題1：如何以“測量”為載體，體會測量的意義，認(rèn)識度量單位及其實際意義，滲透度量意識。問題2：如何幫助學(xué)生在圖形測量過程中感悟數(shù)學(xué)思想，了解掌握測量的基本方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。問題3：如何在圖形測量的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的估測意識和能力，體驗解決問題方法的多樣性。問題1：如何以“測量”為載體，體會測量的意義，認(rèn)識度量單位及其實際意義，滲透度量意識。

《角的度量》案例3：關(guān)注沒有問題的“輕松”課堂

——角的度量

創(chuàng)設(shè)情境認(rèn)識量角器

使用量角器總結(jié)提高課后留給老師們的思考：１.課堂學(xué)生似乎輕松地學(xué)會了角的度量，難道他們真的沒有遇到問題嗎？3.如何讓學(xué)生在探究知識的過程中學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并嘗試著解決問題呢？2.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中是否還有比掌握量角的技能更重要的東西呢？4.這樣的課堂似乎缺了點什么，缺了點什么呢？……“問題叢生”的課堂問題一：“怎么才能量出這兩個角誰大誰小呢？”

——小角量大角，滲透度量意識(1)⑵問題二：“小角量大角太麻煩了，有更簡便的測量方法嗎？”——認(rèn)識量角器，感受量角器的價值問題三：“這樣量怎么讀不出度數(shù)”？——親自嘗試，探究量角的方法學(xué)生一上來就犯了從直尺一端開始測量的“經(jīng)驗主義”錯誤。不會正確擺放量角器。用量角器非中心點的一端頂住了角的頂點。因此，找不到角的度數(shù)。學(xué)生用量角器的圓弧直接卡住了兩條邊的任意一點直接去量點。問題四：“究竟是30°還是150°呢？”

——親自嘗試，突破難點

30°

150°這是一節(jié)問題叢生的“活力課堂”，巧妙的教學(xué)設(shè)計魅力就在于此——讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，積極主動地自主建構(gòu)。學(xué)生的錯誤是有價值的教學(xué)資源。從引發(fā)沖突，激起探究需要，到最后自主解決問題，這樣才能真正讓學(xué)生從知識產(chǎn)生過程的體驗中，享受到探究的樂趣，獲得自信和活力，讓學(xué)生獲得高質(zhì)量的課堂生活。問題2：如何幫助學(xué)生在圖形測量過程中感悟數(shù)學(xué)思想，了解掌握測量的基本方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

《計量單位》問題3：如何在圖形測量的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的估測意識和能力，體驗解決問題方法的多樣性。

《課標(biāo)的三個案例》感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗

----從《課標(biāo)》的三個案例說起

案例（一）

圖中每個小方格為1個面積單位，試估計曲線所圍成的面積。如圖一:解決這個問題通常的做法是數(shù)方格。先數(shù)一數(shù)有多少個整格，再數(shù)一數(shù)有幾個半格，把不滿整格的進行整合,最后累加起來,用此方法估計不規(guī)則圖形的面積。這是我們常用的方法。沒能體現(xiàn)估算的價值，此題還可以挖掘更豐富、更深刻的內(nèi)涵。教學(xué)時教師可以幫助學(xué)生事先做好規(guī)劃，鼓勵學(xué)生運用不同的方法估計圖形的面積。例如，教學(xué)中教師可以啟發(fā)學(xué)生首先觀察圖形，邊進行思考“你認(rèn)為曲線所圍成的面積結(jié)果可能會在那個范圍之間呢？你能用已有的經(jīng)驗來解決這個問題嗎？”教師可以引導(dǎo)學(xué)生試一試。首先選擇好用來估計的“單位”即：以圖形中的一個小方格為一個單位。再找出曲線圍成圖形面積的上界和下界。學(xué)生可以這樣操作，先數(shù)出曲線圍成圖形內(nèi)包含的完整小方格數(shù)，用彩色筆將它圈出來，估計出這個曲線圍成圖形面積的下界（有75個這樣的單位）；然后再數(shù)出曲線圍成圖形邊緣接觸到的所有的小方格數(shù)，也用彩色筆將它圈出來，估計出這個曲線圍成圖形面積的上界（有113個這樣的單位）。第一種方法估計的比實際面積小，第二種方法估計的比實際面積大，實際的面積是在這兩個數(shù)之間。由此確定曲線圍成圖形面積可能的取值范圍。教師繼續(xù)追問“那么還有什么方法能使估算的結(jié)果更接近實際面積的嗎？試一試！”對學(xué)有余力的學(xué)生無疑是提出了更富有挑戰(zhàn)性的問題。引導(dǎo)學(xué)生將所有的方格等分成更小的方格，繼續(xù)利用上面的經(jīng)驗，探索出更接近實際面積的估計值。滲透極限思想。如圖三:同樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素材，截然不同的教學(xué)設(shè)計，給我們的啟示是什么？“數(shù)方格”的設(shè)計沒能充分體現(xiàn)估算的學(xué)習(xí)價值，只是把估算當(dāng)成一個操作技能——數(shù)方格（知識點）去教了，為了教估算而估算?！皩ふ覅^(qū)間”的設(shè)計則注重學(xué)生估算意識和方法的培養(yǎng)。選擇合適的估計“單位”是引導(dǎo)學(xué)生進行有效估算的關(guān)鍵，引導(dǎo)學(xué)生體驗逐漸逼近的極限思想。教學(xué)過程中教師要注重幫助學(xué)生養(yǎng)成事先做好規(guī)劃的習(xí)慣，啟發(fā)學(xué)生運用不同的方法估計圖形的面積。通過對上界、下界的確定，幫助學(xué)生尋求取值范圍，找到合適的區(qū)間。這個上界、下界的確定，對學(xué)生體驗估算是很有意義的。這是真正意義上估算價值的體現(xiàn)。特別是通過教師引導(dǎo)學(xué)生將方格等分成更小的方格，使估計值更逼近準(zhǔn)確值，從中滲透“極限”的數(shù)學(xué)思想。這對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是很有意義的。估算教學(xué)要通過在具體情境背景下的問題解決，培養(yǎng)學(xué)生用近似的思想解決問題，培養(yǎng)學(xué)生估算意識和方法，讓學(xué)生多擁有一種解決問題的方法。并在其中幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想和方法，積累數(shù)學(xué)數(shù)活動的經(jīng)驗。“圖形的測量”中的幾個核心理念：1.使學(xué)生體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性；2.使學(xué)生理解與把握度量單位的實際意義，對測量結(jié)果有很好的感悟；3.在具體的問題情境中恰當(dāng)?shù)剡x擇度量單位、工具和方法進行測量；4.重視估測及其簡單應(yīng)用；5.幫助學(xué)生在圖形測量活動中感悟數(shù)學(xué)思想，了解掌握測量的基本方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，培養(yǎng)空間觀念。話題三:圖形的運動1.圖形的運動有哪些主要方式？2.2011版課標(biāo)中關(guān)于“圖形的運動”這部分內(nèi)容與2001版實驗稿課標(biāo)相比有哪些變化？有什么新的要求？3.“圖形的運動”常用的教學(xué)策略有哪些？圖形的運動合同運動相似運動形狀和大小不變，僅僅位置發(fā)生變化形狀不變而大小變化問題一：圖形的運動有哪些主要方式？

第一學(xué)段：學(xué)生借助日常生活中對圖形運動現(xiàn)象的觀察與直觀感受，了解平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱；并認(rèn)識兩個圖形具有平移或軸對稱的關(guān)系。提供大量的豐富的圖形運動現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生充分地觀察、想象，運用日常生活中已經(jīng)積累的有關(guān)經(jīng)驗，歸納、發(fā)現(xiàn)各種運動的特點，是達成這個課程目標(biāo)的有效途徑。新修訂的課標(biāo)提倡我們組織學(xué)生分組收集日常生活中常見的圖形。（如課標(biāo)案例21——生活中的軸對稱圖形。）

引導(dǎo)學(xué)生觀察它們是否有對稱軸，若有對稱軸，數(shù)出或說出有幾條對稱軸。嘗試畫出它們的對稱軸。在課堂中展示交流大家的發(fā)現(xiàn)，并嘗試設(shè)計出一些軸對稱圖形。這個活動可以鼓勵學(xué)生主動觀察，設(shè)法收集（如可以使用數(shù)碼相機或現(xiàn)場素描等）。學(xué)生可以結(jié)合自己的生活環(huán)境發(fā)現(xiàn)、找到他們熟悉的圖形對象中隱藏的對稱軸，并在交流過程中豐富自己的經(jīng)驗。在交流大家收集到的圖形的基礎(chǔ)上，教師進一步鼓勵學(xué)生自己設(shè)計軸對稱圖形，并交流自己圖形所表達的意思。第二學(xué)段：（1）按要求在方格紙上畫出一個圖形經(jīng)過平移或旋轉(zhuǎn)后所得的圖形，會補全一個軸對稱圖形。圖形的運動對小學(xué)生的認(rèn)識來說，是比較抽象的，有一定難度。如果把抽象的空間意識轉(zhuǎn)化為具體的、容易操作的教與學(xué)的過程，方格紙起到很好的作用。《標(biāo)準(zhǔn)》只要求圖形沿水平或豎直方向平移、圖形繞著一點旋轉(zhuǎn)90°。不要求圖形沿其他方向平移或繞著一點旋轉(zhuǎn)任意角度。方格紙能幫助學(xué)生更準(zhǔn)確地認(rèn)識和理解圖形基本特征，能更好地使學(xué)生認(rèn)識和描述空間圖形的變換過程，可以有效地促進學(xué)生對空間概念的建立。這也就回答了在“圖形與幾何”學(xué)習(xí)中方格紙的作用。（2）研究圖形的相似運動，即將圖形放大或縮小。第二學(xué)段要求“能利用方格紙按一定比例將簡單圖形放大或縮小”，這里的“放大與縮小”不是嚴(yán)格的相似，主要是直觀感知，即放大或縮小后的圖形與原來的圖形形狀相同而大小不同。這將為第三學(xué)段研究圖形的相似運動和位似運動奠定基礎(chǔ)。（3）綜合運用圖形的運動進行圖案的欣賞與設(shè)計。學(xué)生對圖形運動特點的了解、能夠在方格紙上按要求畫出運動后的圖形，這些知識技能和經(jīng)驗是圖案的欣賞和設(shè)計的基礎(chǔ)。圖案的欣賞與設(shè)計，為學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界、看生活提供了機會，也可以進一步感受數(shù)學(xué)的美、數(shù)學(xué)的價值。

欣賞或設(shè)計一個圖案時，不同的學(xué)生會有不同的感受、不同的解釋、不同的想象，只要是合理的都應(yīng)予以肯定，并進行交流與分享；但應(yīng)要求學(xué)生用自己的語言表達圖案中的圖形運動關(guān)系，從而更好地體會圖形的運動在圖案欣賞和設(shè)計中的作用。關(guān)于對稱的教學(xué)5觀察物體

五下第一單元：圖形的變化

1.學(xué)生進一步認(rèn)識圖形的軸對稱，探索成軸對稱的特征和性質(zhì)，并能在方格紙上畫一個圖形的軸對稱圖形。

2。進一步認(rèn)識圖形的旋轉(zhuǎn)，探索圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)，能在方格紙上畫簡單圖形旋轉(zhuǎn)90度。

3.初步學(xué)會用對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的方法在方格紙上設(shè)計圖案，進一步增強空間觀念。1.為什么由“圖形與變換”改為“圖形的運動”？

一是為了突出小學(xué)階段的特點，“運動”更加直觀易懂；二是更加突出了從運動的角度刻畫圖形。

運動是世間萬物的基本特征，是物質(zhì)存在的基本形式。問題二：2011版課標(biāo)的新變化？新要求？

2.學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的價值是什么？（1）從學(xué)生角度來看

現(xiàn)實生活中存在著大量的圖形的變換的現(xiàn)象，學(xué)生有豐富的生活經(jīng)驗，為兒童學(xué)習(xí)圖形的變換提供了豐富多彩的現(xiàn)實背景。我們希望提供給學(xué)生一種數(shù)學(xué)的眼光，去認(rèn)識和把握這些現(xiàn)象。問題二：2011版課標(biāo)的新變化？新要求？（2）從數(shù)學(xué)發(fā)展的角度來看

1872年，德國大數(shù)學(xué)家克萊茵發(fā)表“愛爾蘭根綱領(lǐng)”的演說，這個里程碑式的論斷，改變了近兩千年來人們用靜止的觀點研究幾何的傳統(tǒng)方法。2.學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的價值是什么？問題二：2011版課標(biāo)的新變化？新要求？課標(biāo)實驗稿2011版課標(biāo)第一學(xué)段1.結(jié)合實例，感受平移、旋轉(zhuǎn)、對稱現(xiàn)象。2.能在方格紙上畫出一個簡單圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形。3．通過觀察、操作，初步認(rèn)識軸對稱圖形。并能在方格紙上畫出簡單圖形的軸對稱圖形。結(jié)合實例，感受平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱現(xiàn)象。能辨認(rèn)簡單圖形平移后的圖形。通過觀察、操作，初步認(rèn)識軸對稱圖形。問題二：2011版課標(biāo)的新變化？新要求？3.與實驗稿的課標(biāo)相比有哪些變化？有什么新要求？課標(biāo)實驗稿2011版課標(biāo)第二學(xué)段1.用折紙等方法確定軸對稱圖形的對稱軸，能在方格紙上畫出一個簡單的軸對稱圖形。2.能利用方格紙按一定比例將簡單圖形放大或縮小，體會圖形的相似。3.通過觀察實例，認(rèn)識圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，能在方格紙上將簡單圖形平移或旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)90°。4.欣賞生活中的圖案，靈活運用平移、對稱和旋轉(zhuǎn)在方格紙上設(shè)計圖案。1．通過觀察、操作等活動，進一步認(rèn)識軸對稱圖形及其對稱軸，能在方格紙上畫出軸對稱圖形的對稱軸；能在方格紙上補全一個簡單的軸對稱圖形。2．通過觀察、操作等，在方格紙上認(rèn)識圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，能在方格紙上按水平或垂直方向?qū)⒑唵螆D形平移，會在方格紙上將簡單圖形旋轉(zhuǎn)90°。3．能利用方格紙按一定比例將簡單圖形放大或縮小。4．能從平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的角度欣賞生活中的圖案，并運用它們在方格紙上設(shè)計簡單的圖案。問題二：2011版課標(biāo)的新變化？新要求？3.與實驗稿的課標(biāo)相比有哪些變化？有什么新要求？1.結(jié)合生活實例，在觀察與比較中認(rèn)識圖形的運動問題三：常用的教學(xué)策略有哪些？2.借助操作活動，加深對圖形運動的認(rèn)識，幫助學(xué)生體會圖形運動的特征3.注重從運動的角度，引導(dǎo)學(xué)生欣賞圖形、設(shè)計圖案4.在解決問題中注重“圖形的運動”和相關(guān)知識的聯(lián)系，發(fā)展空間想象力和解決問題的能力修訂課標(biāo)中有這樣的案例——例35圖畫還原：打亂由幾塊積木或者幾幅圖畫構(gòu)成的平面畫面，請學(xué)生還原并利用平移和旋轉(zhuǎn)記錄還原步驟。2.從運動變換的角度理解度量小學(xué)階段，在平面幾何和立體幾何的面積和體積公式的推導(dǎo)過程中，時刻都能感受到變換的重要作用。三角形、平行四邊形、梯形、圓的面積公式的推導(dǎo)過程中，會用到拼湊、割補等多種推導(dǎo)的方法，這些方法的實質(zhì)是圖形的變換。（單位：dm）10862利用圖形的旋轉(zhuǎn)、平移變換求面積2.從運動變換的角度理解度量公園草坪上有一把休閑椅（如下圖）。園林工人發(fā)現(xiàn)，椅子的側(cè)面出現(xiàn)了破損。如果重新更換側(cè)面的裝飾膜，一共需要多少裝飾膜？總之，小學(xué)階段有關(guān)圖形的運動目標(biāo)的達成是一個循序漸進的過程，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)該注重多種策略的運用，以這個內(nèi)容為載體，幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。1.新的課程標(biāo)準(zhǔn)在確定圖形位置方面有哪些變化？變化的意義是什么？2.來自老師們的問題有哪些？3.這部分內(nèi)容教學(xué)中發(fā)展空間觀念的教學(xué)建議有哪些？話題四:圖形與位置實驗稿課標(biāo)2011年版課標(biāo)第一學(xué)段（1）會用上、下、左、右、前、后描述物體的相對位置。

（2）在東、南、西、北和東北、西北、東南、西南中，給定一個方向（東、南、西或北）辨認(rèn)其余七個方向，并能用這些詞語描繪物體所在的方向；會看簡單的路線圖。1.會用上、下、左、右、前、后描述物體的相對位置。2.給定東、南、西、北四個方向中的一個方向，能辨認(rèn)其余三個方向，知道東北、西北、東南、西南四個方向，會用這些詞語描繪物體所在的方向（參見例16）。問題一：新的課程標(biāo)準(zhǔn)在確定圖形位置方面

有哪些變化？變化的意義是什么？實驗稿課標(biāo)2011年版課標(biāo)第二學(xué)段（1）了解比例尺；在具體情境中，會按給定的比例進行圖上距離與實際距離的換算。

（2）能根據(jù)方向和距離確定物體的位置。［參見例5］

（3）能描述簡單的路線圖。［參見例6］

（4）在具體情境中，能用數(shù)對來表示位置，并能在方格紙上用數(shù)對確定位置。［參見例7］1．了解比例尺；在具體情境中，會按給定的比例進行圖上距離與實際距離的換算。2．能根據(jù)物體相對于參照點的方向和距離確定其位置。3．會描述簡單的路線圖（參見例36）。4．在具體情境中，能在方格紙上用數(shù)對（限于正整數(shù)）表示位置，知道數(shù)對與方格紙上點的對應(yīng)（參見例37）。問題一：新的課程標(biāo)準(zhǔn)在確定圖形位置方面

有哪些變化？變化的意義是什么？第一、二學(xué)段“圖形與位置”的內(nèi)容是按兩條線索展開的：一是確定物體的相對位置；二是辨認(rèn)方向和使用路線圖。圖形與位置內(nèi)容分析與教學(xué)建議“圖形與位置”的教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)目標(biāo)

人教版教材在第一、二學(xué)段五次編排了“圖形與位置”的內(nèi)容。

第一次：（一年級上冊）用上、下、左、右、前、后描述物體的相對位置。

第一次呈現(xiàn)“圖形與位置”的內(nèi)容，教材編排了四個方面的內(nèi)容。

上、下上、下在的上面，在的下面。在的

面，在的

面。的下面有什么?李林在王英的前面，王英在李林的后面。張寧在李林的___面，王英在張寧的___面。李林王英張寧前、后等一下，我后面還有3個人。左、右1這是右手。另一只手是······看看你的兩只手。左右左右手是好朋友。兩只小手可以做什么？右手寫字,左手壓本子。我舉手發(fā)言用右手。我的左邊有什么?我的左邊有······2伸出右手，握一握。我是第1組第2個。我是第5組第5個。第()組第()個。第()組第()個。3344位置你的座位是第(

)組第(

)個。你前面的同學(xué)是第(

)組第(

)個。你后面的同學(xué)是第(

)組第(

)個。你左邊的同學(xué)是第(

)組第(

)個。你右邊的同學(xué)是第(

)組第(

)個。教學(xué)目標(biāo)借助學(xué)生的生活經(jīng)驗認(rèn)識“上、下”，學(xué)習(xí)用上、下描述物體的相對位置。

排隊上車、游泳比賽中的運動員、教室中的座位等都有前、后順序，利用這些學(xué)生的生活經(jīng)驗認(rèn)識前、后，學(xué)會用前、后描述物體的相對位置。借助“左手、右手平時做什么”這些早已養(yǎng)成的生活習(xí)慣，認(rèn)識左、右，學(xué)會用左、右描述物體的相對位置。

借助學(xué)生的生活經(jīng)驗（教室的座位、電影院中的座位等），初步學(xué)習(xí)用“第幾組第幾個”、“第幾行第幾個”、“第幾排第幾個”等語言描述的方式確定物體的位置。

第二次：（三年級下冊）在東、南、西、北、東北、西北、東南、西南八個方向中，給定一個方向，辨析其余七個方向；用方位詞和距離描述路線；會看簡單的路線圖。

第二次呈現(xiàn)“圖形與位置”的內(nèi)容，教材編排了五個方面的內(nèi)容：

早晨，太陽在東方。圖書館在校園的東面，體育館在校園的___

面。我面向東，背對著的方向是西。教學(xué)樓體育館圖書館小明小明左手指向北方，右手指向南方。1我們來完成校園的示意圖。

操場北教學(xué)樓我把上方定為西。我把上方定為南。2北請問去少年宮怎么走?先向東再向北。如果要去體育場，可以怎么走?3(1)小紅從家向東走了120米，又向____

走了

____

米到游泳館?！ぁぁぁぁぁぁ晷√m家小明家劇場學(xué)校游泳館小紅家120米200米280米150米80米210米170米90米北····郵局50米100米多功能廳在校園的東北角。多功能廳食堂可以用指南針幫助我們辨別方向。4動物園導(dǎo)游圖北去熊貓館，可以先到獅山，再向西北走。也可以······熊貓館在西北角。飛禽館在動物園的什么位置？從大門出發(fā)可以怎樣走？5教學(xué)目標(biāo)借助學(xué)生熟悉的校園認(rèn)識東、南、西、北。

畫校園示意圖，把生活中的東、南、西、北與圖上的東、南、西、北聯(lián)系起來，提高學(xué)生辨別方向的能力。

學(xué)會用東、南、西、北和距離描述簡單的路線。

借助指南針辨別東、南、西、北、西北、東北、西南、東南八個方向，給定一個方向，能辨析其余七個方向。

會看簡單的路線圖，能用東、南、西、北、西北、東北、西南、東南八個方向描述簡單的路線。

第三次：（四年級下冊）用方向與距離確定物體的位置。

第三次呈現(xiàn)“圖形與位置”的內(nèi)容，教材編排了四個方面的內(nèi)容：

東西南北起點30°1千米111號檢查點在東偏北30o的方向上。大約要走1千米。在平面圖上標(biāo)出校園內(nèi)各建筑物的位置。(1)教學(xué)樓在校門的正北方向150米處。(2)圖書館在校門的北偏東35o方向150米處。(3)體育館在校門的西偏北40o方向200米處。2怎樣表示出150米?可以用

1

厘米代表50米。先確定方向。北京和上海兩地相距大約1067千米。3上海在北京的南偏東約30o的方向上。北京在上海的___偏___約_____的方向上。公園定向運動路線圖(1)根據(jù)上面的路線圖，說一說每一賽段所走的方向和路程。終點起點100米12東偏北30°西偏北20°1000米1000米西偏南45°800米4教學(xué)目標(biāo)

學(xué)習(xí)用方向和距離確定物體位置的方法。

通過在校園平面圖上確定物體的位置，掌握用方向和距離確定物體位置的方法。

在地圖上描述北京、上海兩地之間的位置關(guān)系，體會用方向和距離確定物體位置的相對性。

借助校園定向運動路線圖，利用確定位置的方法描述比賽路線。

第四次：（六年級上冊）用“數(shù)對”確定位置。

第四次呈現(xiàn)“圖形與位置”的內(nèi)容，教材編排了兩個方面的內(nèi)容：

是第二列，第三行的同學(xué)。(1)你能指出哪個是張亮同學(xué)嗎?趙強李剛1熊貓館在(

，)。6543210

1

2

3

4

5

6動物園示意圖大象館大門猴山熊貓館海洋館我用(3，0)表示大門的位置。2教學(xué)目標(biāo)以教室內(nèi)學(xué)生的位置情況為背景學(xué)習(xí)用“數(shù)對”確定位置的方法。

在動物園示意圖上，利用“數(shù)對”確定位置的方法表示各場館的位置。

第五次（六年級下冊）了解比例尺；在具體情境中，會按給定的比例進行圖上距離與實際距離的換算。

學(xué)習(xí)比例尺，提高學(xué)生識圖、畫圖的能力，是確定位置方法的具體應(yīng)用。第五次呈現(xiàn)“圖形與位置”的內(nèi)容，教材編排了三個方面的內(nèi)容：

比例尺

在繪制地圖和其他平面圖的時候，需要把實際距離按一定的比縮小(或擴大)，再畫在圖紙上。這時，就要確定圖上距離和相對應(yīng)的實際距離的比。一幅圖的圖上距離和實際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。1:100000000是數(shù)值比例尺，有時寫成1100000000這是線段比例尺，表示地圖上

1

cm

的距離相當(dāng)于地面上50km的實際距離。比例尺1:100000000比例尺050100km

在生產(chǎn)中，有時由于機器零件比較小，需要把實際距離擴大一定的倍數(shù)以后，再畫在圖紙上。你知道圖中的2:1表示什么嗎?把下圖的線段比例尺改成數(shù)值比例尺。比例尺050100km1下面是北京市地鐵規(guī)劃圖。地鐵1號線在圖中的長度大約是10cm，它的實際長度大約是多少?2比例尺1:500000學(xué)校要建一個長80m、寬60m的長方形操場，畫出操場的平面圖。我想用線段比例尺。可以先確定比例尺。我覺得1:1000的比例尺比較合適。再根據(jù)比例尺確定圖上操場的長和寬。3教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)實際地圖、平面圖理解比例尺的意義；根據(jù)圖上距離、實際距離會計算一幅圖的比例尺；認(rèn)識數(shù)值比例尺、線段比例尺，能進行二者之間的轉(zhuǎn)換。根據(jù)給出的比例尺會進行圖上距離與實際距離之間的轉(zhuǎn)換。能根據(jù)實際情況靈活選擇比例尺，繪制簡單的平面圖?！皥D形與位置”內(nèi)容之間的關(guān)系第一、二學(xué)段“圖形與位置”的內(nèi)容是按兩條線索展開的：一是確定物體的相對位置；二是辨認(rèn)方向和使用路線圖。圖形與位置確定物體的相對位置辨認(rèn)方向和使用路線圖用上、下、前、后、左、右描述物體的相對位置用“第幾行第幾個”、“第幾排第幾個”描述物體的位置用“數(shù)對”描述、確定物體的位置認(rèn)識八個方向，會用方向詞描述物體所在的方向和簡單路線用方向、距離描述、確定物體的位置，描述路線，畫路線圖比例尺及其應(yīng)用學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)確定點，用坐標(biāo)表示幾何圖形學(xué)習(xí)極坐標(biāo)把“圖形與位置”的教學(xué)內(nèi)容分成“確定物體的相對位置”、“辨認(rèn)方向與使用路線圖”兩部分，可以讓我們看出兩方面內(nèi)容是有區(qū)別的。但是它們并非截然分開，而是有聯(lián)系的，無論是上下、前后、左右，還是東、南、西、北，都既可以用來描述物體的相對位置，又可以用來說明方向。

例如，“把數(shù)學(xué)書放在作業(yè)本的上面”、“電梯上行”，前者表示相對位置，后者表示方向。在“圖形與位置”內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計中應(yīng)該注意哪些問題？

“圖形與位置”的內(nèi)容是“空間觀念”在教材中的具體呈現(xiàn)，因此，發(fā)展學(xué)生的空間觀念是“圖形與位置”教學(xué)的核心目標(biāo)。

在“圖形與位置”的教學(xué)中，如何更好地發(fā)展學(xué)生的空間觀念呢？提出三點總體建議：

建議一：充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗學(xué)生的空間知識來自于豐富的現(xiàn)實原型，與現(xiàn)實生活關(guān)系非常緊密，這是他們理解和發(fā)展空間觀念的寶貴資源。讓學(xué)生在“教室里”、“校園內(nèi)”、“電影院中”、“上學(xué)路上”等熟悉的情境中學(xué)習(xí)“圖形與位置”的內(nèi)容，不僅可以激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，而且有利于更好地認(rèn)識空間，發(fā)展空間觀念。建議二：讓學(xué)生經(jīng)歷生活經(jīng)驗回憶、觀察、操作、

想象、描述、思考、交流、分析、推理、表示等活動過程

發(fā)展空間觀念的途徑是多樣化的，在教學(xué)中我們只有讓學(xué)生經(jīng)歷了多樣化的數(shù)學(xué)活動過程，才能逐步發(fā)展空間觀念。

建議三：倡導(dǎo)自主探索與合作交流的教學(xué)方式

以被動的聽講和練習(xí)為主的方式，很難形成空間觀念。培養(yǎng)空間觀念需要大量的實踐活動，學(xué)生需要有充分的時間和空間去經(jīng)歷多樣化的數(shù)學(xué)活動過程，這不僅需要自主探索、親身體驗，更需要合作交流。

辨別方向

變式練習(xí)

游戲鞏固

填寫記錄卡

制作校園平面圖

案例：《認(rèn)識東、南、西、北》教學(xué)片段（在操場上辨別方向）

案例解讀

操場是學(xué)生熟悉的校園環(huán)境，太陽從東方升起從西方落下是學(xué)生已有的生活經(jīng)驗，前、后、左、右是學(xué)生已有的知識，在學(xué)生熟悉的情境中，利用學(xué)生已有的知識經(jīng)驗認(rèn)識東、南、西、北，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

案例解讀

變式練習(xí)讓學(xué)生在比較中感知到了東、南、西、北各占一方的固定性和前、后、左、右的相對性。有趣的游戲要利用剛剛學(xué)到的方位的知識，實現(xiàn)了“興趣”與“數(shù)學(xué)思考”的有機結(jié)合。

填寫記錄卡、制作校園平面圖這兩個活動，對于低年級學(xué)生來說還是有一定難度的，但是非常有意義，不僅讓學(xué)生剛知道了實際方位與圖上方向之間的聯(lián)系，而且讓學(xué)生經(jīng)歷了“觀察——初步形成表象——再現(xiàn)——形成校園平面圖的表象”的過程，有利于發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

學(xué)生在生活中獲得了很多對“圖形與位置”的認(rèn)識，可能這些認(rèn)識是零散、模糊的，與教學(xué)的要求并不相符，教學(xué)中如何充分利用學(xué)生的已有經(jīng)驗？

案例一：

六年級《數(shù)對》教學(xué)前測

測試問題：請你在紙上描述出