遼寧省協(xié)作校2023-2024學年高三下學期第一次模擬考試數(shù)學試題（含答案）

-2024學年度下學期高三第一次模擬考試試題數(shù)學時間：120分鐘 試卷滿分：150分注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名，準考證號填寫在答題卡上。2．答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合，且，則集合可以是（）A． B． C． D．2．已知，（為虛數(shù)單位），則（）A．， B．，C．， D．，3．已知．則“且”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知雙曲線的下焦點和上焦點分別為，，直線與交于，兩點，若面積是面積的4倍，則（）A．3 B． C． D．5．猜燈謎是中國元宵節(jié)特色活動之一．已知甲、乙、丙三人每人寫一個燈謎，分別放入三個完全相同的小球，三人約定每人隨機選一個球（不放回），猜出自己所選球內(nèi)的燈謎者獲勝．若他們每人必能猜對自己寫的燈謎，并有的概率猜對其他人寫的燈謎，則甲獨自獲勝的概率為（）A． B． C． D．6．若函數(shù)使得數(shù)列，為遞減數(shù)列，則稱函數(shù)為“數(shù)列保減函數(shù)”，已知函數(shù)為“數(shù)列保減函數(shù)”，則的取值范圍（）A． B． C． D．7．若，則（）A．或2 B．或 C．2 D．8．已知函數(shù)，若成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）9．下圖是樣本甲與樣本乙的頻率分布直方圖，下列說法判斷正確的是（）A．樣本乙的極差一定大于樣本甲的極差 B．樣本乙的眾數(shù)一定大于樣本甲的眾數(shù)C．樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差 D．樣本甲的中位數(shù)一定小于樣本乙的中位數(shù)10．已知函數(shù)，則在區(qū)間上為減函數(shù)的充分條件是（）A． B．的圖象關(guān)于直線對稱C．是奇函數(shù) D．的圖象關(guān)于點對稱11．已知不相等的實數(shù)，滿足，則下列四個數(shù)，，，經(jīng)過適當排序后（）A．可能是等差數(shù)列 B．不可能是等差數(shù)列C．可能是等比數(shù)列 D．不可能是等比數(shù)列12．設(shè)直線系（其中，，均為參數(shù)，，），則下列命題中是真命題的是（）A．當，時，存在一個圓與直線系中所有直線都相切B．存在，，使直線系中所有直線恒過定點，且不過第三象限C．當時，坐標原點到直線系中所有直線的距離最大值為1，最小值為D．當，時，若存在一點，使其到直線系中所有直線的距離不小于1，則三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．拋物線上的一點到其準線的距離為______．14．已知函數(shù)在處有極值8，則等于______．15．杭州第19屆亞運會是繼1990年北京亞運會、2010年廣州亞運會之后，中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事．本屆亞運會徽寶由上下兩方玉璽組成（如圖一），上方以杭州城市文化代表（錢塘潮和杭州奧體中心體育場）為主體元素（如圖二），若將徽寶上方看成一個圓臺與兩個圓柱的組合體，其軸截面如圖三所示，其中兩個圓柱的底面直徑均為10，高分別為2和6；圓臺的上、下底面直徑分別為8和10，高為2．則該組合體的體積為______．16．已知，是空間單位向量，，若空間向量滿足，，且對于任意，都有（其中），則______．四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答需寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，滿足．（1）求證：；（2）若為銳角三角形，求的最大值．18．（12分）已知為數(shù)列的前項和，滿足，且，，，，成等比數(shù)列，當時，．（1）求證：當時，成等差數(shù)列；（2）求的前項和．19．（12分）某教育教研機構(gòu)為了研究學生理科思維和文科思維的差異情況，對某班級35名同學的數(shù)學成績和語文成績進行了統(tǒng)計并整理成如下列聯(lián)表（單位：人）：數(shù)學成績良好數(shù)學成績不夠良好語文成績良好1210語文成績不夠良好85（1）能否有的把握認為該班數(shù)學成績與語文成績有關(guān)？（計算結(jié)果精確到0.001）（2）從該班的學生中任選一人，表示事件“選到的學生數(shù)學成績良好”，表示事件“選到的學生語文成績良好”，與的比值是文、理科思維差異化的一項度量指標，記該指標為．（i）證明：；（ii）利用該表中數(shù)據(jù)，給出，的估計值，并利用（i）的結(jié)果給出的估計值．附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82820．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面?zhèn)让?，為中點，是上的點，，．（1）求證：平面平面；（2）若二面角的余弦值為，求到平面的距離．21．（12分）已知圓和橢圓，橢圓的四個頂點為，，，，如圖．（1）圓與平行四邊形內(nèi)切，求的最小值；（2）已知橢圓的內(nèi)接平行四邊形的中心與橢圓的中心重合．當，滿足什么條件時，對上任意一點，均存在以為頂點與外切，與內(nèi)接的平行四邊形？并證明你的結(jié)論．22．（12分）已知函數(shù)，（其中，為實數(shù)，且）（1）當時，恒成立，求；（2）當時，函數(shù)有兩個不同的零點，求的最大整數(shù)值．（參考數(shù)據(jù)：）2023-2024學年度下學期高三第一次模擬考試試題數(shù)學參考答案一、1．D2．A3．A4．D5．C6．B7．C8．C二、9．CD10．BD11．AD12．ABD三、13．514．15．16．四、17．解：（1）據(jù)余弦定理得由正弦定理：或（舍）（2）為銳角三角形由（1），，原式令則原式，當時，所求式子的最大值為．18．解析（1），①，當時，，②①②得．又當時，，所以，所以當時，成等差數(shù)列．（2）由，解得或，又，，，，成等比數(shù)列，所以由（1）得，進而，而，所以，從而，所以，所以19．解：（1）由已知，又，而，所以沒有的把握認為該班數(shù)學成績與語文成績有關(guān)．（2）（i）因為．所以，所以，（ii）由已知，，又，，所以．20．解：（1）側(cè)面?zhèn)让嬗?，于，平面平面又是正方形，，平面，又平面平面平面?）法1：作垂直于，作，連接，取中點，連接，，，，，側(cè)面底面于，底面，，，為二面角的平面角，設(shè)，則，在中，在中，得，，得，是的中點設(shè)是的中點，由（1）可知平面．平面平面于到平面的距離為到直線的距離在中，，到的距離為，是的中點，到平面的距離即是到平面距離的到平面距離為法2：以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，．，，，設(shè)，得，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取得，，則．平面的一個法向量為設(shè)二面角的大小為，則，解得，所以設(shè)平面的一個法向量為，則，取則．到平面距離為．21．解：（1）直線的方程為，由條件得，原點到直線的距離為，即，所以，當，時取“”（1）證明：由平面幾何可知，若平行四邊形有內(nèi)切圓，則平行四邊形是菱形，設(shè)菱形為，設(shè)直線，則直線聯(lián)立，消得，，同理有，設(shè)原點到直線的距離為，又則，又．即同理可得到直線，，的距離均為1，所以該平行四邊形與相切．22．解：（1）設(shè)，則其定義域為，當時，，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，對于恒成立，即恒成立，所以合理．當時，令，即，解得（舍），當時，單調(diào)遞增；又有，所以當時，，不合題意．當時，令，即，解得（舍），當時，，單調(diào)遞減；又有，所以當時，，不合題意．綜上所述，．（2）由題意，方程有兩個不