考研數(shù)學(xué)北京航天航空大學(xué)線性代數(shù)-2-4

§2.4初等變換與初等矩陣一初等變換二用初等變換求矩陣的秩三初等矩陣四用初等變換求逆矩陣一矩陣的初等變換初等變換的逆變換也是初等變換,且變換類(lèi)型不變.定義矩陣的以下變換稱(chēng)為矩陣的初等變換：(1)互換矩陣的兩行或兩列的位置;(2)用不為零的常數(shù)k乘矩陣的某一行或某一列;

(3)用常數(shù)k乘矩陣的某一行(或列)加到另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素上去.注這三種初等變換分別簡(jiǎn)稱(chēng)為互換、倍乘、倍加.1.自反性：A≌A;在數(shù)學(xué)中把具有上述三個(gè)根本性質(zhì)的關(guān)系稱(chēng)為“等價(jià)關(guān)系”.同型矩陣的等價(jià)關(guān)系具有以下三個(gè)根本性質(zhì):定義矩陣A經(jīng)過(guò)初等變化而得到新矩陣B,稱(chēng)矩陣A與矩陣B等價(jià).記為:A≌B.2.對(duì)稱(chēng)性：A≌

B

B≌

A;3.傳遞性：A≌

B且B≌C

A≌

C.

注三角形的相似、全等都是等價(jià)關(guān)系.數(shù)之間的“大于”、“小于”不是等價(jià)關(guān)系.例如(–2)–2–2即A與B等價(jià).矩陣B是階梯型矩陣.從上述矩陣演算過(guò)程中可以看到:任意一個(gè)矩陣總可以經(jīng)過(guò)有限次初等變換化成階梯形矩陣.另外,我們?cè)谥v矩陣的秩的時(shí)候,知道階梯形矩陣的秩是很容易確定的,如果初等變換不改變矩陣的秩,那么我們就可以根據(jù)階梯形矩陣求出與其等價(jià)的原矩陣的秩.二用初等變換求矩陣的秩即初等變換不改變矩陣的秩.證定理4.1設(shè)A,B均為mn矩陣,假設(shè)A≌B,那么R(A)=R(B).只要證明對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換不改變秩即可.首先,前兩種變換對(duì)矩陣的任何階子式等于零或不等于零的性質(zhì)不產(chǎn)生影響,因此對(duì)矩陣的前兩種初等變換不改變其秩.對(duì)第三種變換,設(shè)k設(shè)R(A)=r,R(B)=s.下面證明r=s.對(duì)B中任一r+1階子式B1,可能有以下三種情形:1.如果B1中不含B的第j行元素,那么B1也是A的r+1階子式.由R(A)=r,得B1=0.2.如果B1中既含B的第i行元素,又含B的第j行元素,那么3.如果B1中含B的第j行但不含B的第i行,那么A的一個(gè)r+1階子式至多與A的r+1階子式差一符號(hào)總之,不管哪一種情形,B中任一r+1階子式都等于零,因此R(B)

r，即s

r.假設(shè)將B的第i行乘(–k)加到第j行的矩陣A.同樣可得r

s.因此r=s,即R(A)=R(B).同理結(jié)論對(duì)列的初等變換也成立.初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變?yōu)殡A梯形矩陣，階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例1求矩陣的秩.解21–2

R(A)=2.假設(shè)繼續(xù)對(duì)A進(jìn)行化簡(jiǎn)(–1)11114稱(chēng)為A在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形.解分析：練習(xí)三初等矩陣逆矩陣是與矩陣的乘法運(yùn)算密切相關(guān)的概念,要利用初等變換求逆矩陣,就需要首先矩陣的初等變換與乘法的運(yùn)算聯(lián)系起來(lái),為此我們要引入初等矩陣的概念.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣.定義由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣.1.互換E的第i行與第j行用m階初等矩陣Pm(i,j)左乘A=(aij)m

n,得用初等矩陣P(i,j)左乘A相當(dāng)于將A的第i行與第j行互換.2.用數(shù)k0乘E的第i行用m階初等矩陣P(i(k))左乘A=(aij)m

n,得用初等矩陣P(i(k))左乘A相當(dāng)于對(duì)A用不為0的數(shù)k乘以A的第i行.

3.用數(shù)k乘E的第i行加到第j行用m階初等矩陣P(i(k),j)左乘A=(aij)m

n,得用P(i(k),j)左乘A相當(dāng)于用數(shù)k乘A的第i行加到第j行.同樣有列變換對(duì)應(yīng)的初等矩陣三種,右乘矩陣A相當(dāng)于對(duì)A進(jìn)行列變換.從上面的討論結(jié)果,我們可以得到這樣的結(jié)論:定理4.2設(shè)A是一個(gè)m

n矩陣,對(duì)A進(jìn)行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A進(jìn)行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣.(1)根據(jù)這個(gè)定理,矩陣的等價(jià)關(guān)系可用矩陣的乘法方式表示出來(lái),即:推論

m

n矩陣A與B等價(jià)

有m階初等矩陣P1,P2,…,Pl與n階初等矩陣Q1,Q2,…,Qt使得m

n矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形D有以下三種形式:(2)(3)1的個(gè)數(shù)為矩陣A的秩.1初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍為同類(lèi)型的初等矩陣;2初等矩陣都是可逆矩陣;3初等矩陣的逆陣仍為初等矩陣.由推論必存在有m階初等矩陣P1,P2,…,Pl與n階初等矩陣Q1,Q2,…,Qt使得初等矩陣的性質(zhì)定理4.3

n階方陣A可逆的充分必要條件是:它能表成有限個(gè)初等矩陣的乘積即證明必要性即令顯然Qi仍為初等矩陣;故必要性得證.充分性由初等矩陣可逆及可逆矩陣的乘積仍可逆即證.由A可逆,那么A≌E.因此A經(jīng)過(guò)有限次初等變換可變?yōu)镋.因此存在初等矩陣P1,P2,…,Pl,Pl+1,…,Pt使得由定理4.3得因此有推論1可逆矩陣經(jīng)過(guò)有限次行的初等變換可化為單位矩陣.推論2兩個(gè)矩陣m

n矩陣A,B等價(jià)的充分必要條件是:存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q,使得A=PBQ.推論3設(shè)A為mn矩陣,P,Q分別為m階及n階可逆矩陣,那么:R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ).即一個(gè)矩陣乘一個(gè)可逆矩陣后不改變秩.四用初等變換求逆矩陣?yán)贸醯茸儞Q求逆陣的方法：假設(shè)矩陣A可逆,那么存在有限個(gè)初等矩陣P1,P2,…,Pt使得因此說(shuō)明:如果用有限次行的初等變換把可逆矩陣A化為單位矩陣,那么用同樣的行初等變換作用與單位矩陣E,就可以得到A的逆矩陣A-1.從