大學(xué)高等數(shù)學(xué)下考試題庫附答案

《高等數(shù)學(xué)》試卷1〔下〕

一.選擇題［3分X10)

1.點(diǎn)峪(2,3,1)到點(diǎn)必(2,7,4)的距離阿％|=().

A.3B.4C.5D.6

2.向量萬=-i+2j+k,b=2z+j,那么有().

\.a//bB.a-LbC.(a,b

3.函數(shù)y=72-%2-y2+’的定義域是〔).

G+y2-i

A.{(x,刈<x2+y2<2}B.{Q,y|l</+y2<2}

C.{(x,期<x2+y2<?]D{(x,yjl<x2+y2<2\

4.兩個(gè)向量5與3垂直的充要條件是〔).

A.a-b=0B.axb=0C.a-b=0D.a+b=0

5.函數(shù)Z=%3+y3一3町的極小值是。.

A.2B.-2C.lD.-1

9z

6.設(shè)2=xsiny,那么一f.

A與C.6

D.—

001

7.假設(shè)p級(jí)數(shù)X——收斂，那么。.

n-1曜

A.p<1B.p<1C.p>1D.p>l

8Yn

8.幕級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?).

〃=1H

A.[-1,1]B(―1,1)C.[―1,1)D.(-U]

9.塞級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù)是().

1221

A.—B.—C.—D.—

1-X2-x1-X2-x

10.微分方程孫'-yiny=0的通解為U.

A.y=cexB.y=exC.y-cxexD.y=ecx

二.填空題（4分x5〕

1.一平面過點(diǎn)A（0,0,3）且垂直于直線A3,其中點(diǎn)B（2-l,l）,那么此平面方程為

2.函數(shù)z=sin（孫）的全微分是.

3.設(shè)Z=%3y2_3孫3一孫+1,那么----------------------------------.

dxdy

4.—的麥克勞林級(jí)數(shù)是.

2+x

5彳散分方程y〃+4V+4y=0的通解為.

三.計(jì)算題（5分x6）

1、幾MK492SZ

I.RZ=esinv,而〃=*,v=x+y,求一,一.

一dxdy

2.隱函數(shù)z=z（x,y）由方程——2y2+z2—4x+2z—5=0確定，求—,—.

dxdy

3.計(jì)算JJsin-Jx2+y2d<y,其中D:7r~<x2+y2<4萬？.

D

4.如圖，求兩個(gè)半徑相等的直交圓柱面所圍成的立體的體積為半徑〕.

5.求微分方程V-3y=在y|x=0=0條件下的特解.

四.應(yīng)用題〔10分義2）

1.要用鐵板做一個(gè)體積為2加3的有蓋長方體水箱，問長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí)，才能使用料最??？

2..曲線y=/（x）上任何一點(diǎn)的切線斜率等于自原點(diǎn)到該切點(diǎn)的連線斜率的2倍，且曲線過點(diǎn)[1]}

求此曲線方程

試卷1參考答案

一.選擇題CBCADACCBD

二.填空題

1.2%—y—2z+6-0.

2.cos（町）（丁公+九力）.

3.6/y-9y2-1

4

,乙0"+l%.

n=0乙

2x

5.y=(G+C2x)e~.

三.計(jì)算題

1.—=e*〉[ysin(x+y)+cos(%+y)],-=exy[xsm(x+y)+cos(x+y)].

dxdy

dz2—xdz2y

2.—=---,—=----.

dxz+1dyz+1

0240242

3J。d(p^sinp-pdp=-6TT.

16「

4.—3&.

3

5u.y=e-2ex.

四.應(yīng)用題

1.長、寬、高均為次相時(shí)，用料最省.

012

2”廣

《高數(shù)》試卷2(下)

一.選擇題[3分X10)

1.點(diǎn)此(4,3,1),AG(7,L2)的距離|必以2|=〔).

A.712B.V13C,V14D.V15

2.設(shè)兩平面方程分別為x—2y+2z+l=0和—x+y+5=0,那么兩平面的夾角為U.

71717C71

A.—B.—C.—D.—

6432

3.函數(shù)z=arcsinQ:?+/)的定義域?yàn)?).

A.{(九,旦0<%2+j2<1}B.{(%,理<x2+y2<1]

C.<(%,yjo<%2+y2<^>D.<(%,y)0<x2+y2<^>

4.點(diǎn)尸(—1,—2,1)到平面x+2y—2z—5=0的距離為U.

A.3B.4C.5D.6

5.函數(shù)z=2盯—3，—2y2的極大值為（）.

?1

A.OB.1C.-1D.一

2

6.設(shè)z=/+3xy+y?,那么—[12）=（）,

dx1

A.6B.7C.8D.9

00

7.假設(shè)幾何級(jí)數(shù)是收斂的，那么0.

n-0

A.r<1B.r>1C.|r|<1D.|r|<1

00

8.塞級(jí)數(shù)ZS+1*的收斂域?yàn)?）.

n=0

A.[—1,1]B.[—1,1）C.（—1,1]D.（—1,1）

sin〃〃口，、

9.級(jí)數(shù)X—「是（）?

n=\〃

A.條件收斂B.絕對(duì)收斂C.發(fā)散D.不能確定

1（1微分方程沖'—yin>=0的通解為1）.

A.y=ecxB.y=cexC.y=exD.y=cxex

二.填空題（4分x5）

x=3+%

1.直線/過點(diǎn)A（2,2,-1）且與直線<y=f平行，那么直線/的方程為

z=l-2t

2.函數(shù)Z=6肛的全微分為.

3.曲面z=2——4y2在點(diǎn)（2,1,4）處的切平面方程為

4.」方的麥克勞林級(jí)數(shù)是____________________.

1+x2

5.微分方程xdy-3ydx=0在＞|日=1條件下的特解為.

三.計(jì)算題（5分x6）

1.設(shè)N=7+2/—乙B=2/+3無，求五xB.

2.^z=u2v-uv2,而〃=xcosy#=xsiny,求一,一.

dxdy

3.隱函數(shù)z=2（X,y）由/+3盯Z=2確定，求一,一.

8x8y

4.如圖，求球面/+y2+Z?=4。2與圓柱面/+y2=2ax（?！?）所圍的幾何體的體積.

5.求微分方程yn+3y'+2y=0的通解.

四.應(yīng)用題（10分義2）

1.試用二重積分計(jì)算由y=6,y=2?和尤=4所圍圖形的面積.

2.如圖，以初速度V。將質(zhì)點(diǎn)鉛直上拋，不計(jì)阻力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律x=x（?！蔡崾荆横?-g.當(dāng)f=0

._dx

時(shí)，有％,一=v0J

試卷2參考答案

.選擇題CBABACCDBA.

二.填空題

x—2y—2z+1

1--------------------------------------

廠一1一百

l.exy{ydx+xdy).

3.8x—8y—z=4.

n-0

3

5.y=%.

三.計(jì)算題

1.87-37+2^.

2.—=3x2sinjcosj(cosj-sinj),—=-2x3sinjcosj(sinj+cosy)+x3(sin3y+cos3y

dxdy

dz—yzdz—xz

3二二-----T二"------r-

oxxy+zoyxy+z

712

2~~3

5.y=Cie

四.應(yīng)用題

16

1.—

3

1，

2.x=--gf+VQt+XQ.

《高等數(shù)學(xué)》試卷3（下）

、選擇題（此題共10小題，每題3分，共30分）

1、二階行列式2-3的值為。

45

A、10B、20C、24D、22

2、設(shè)a=i+2j-k,b=2j+3k,那么a與b的向量積為（）

A、i-j+2kB、8i-j+2kC、8i-3j+2kD、8i-3i+k

3、點(diǎn)P31、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距離為1）

A、2B、3C、4D、5

4、函數(shù)z=xsiny在點(diǎn)門，］）處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)分別為（）

V2V2V2V2V2V2V2V2

A、---,---,B、---,-----C、---------------D、--------------

222222

5、設(shè)x2+y2+z2=2Rx,那么一,一分別為()

dxdy

x-Ryx-Ryx-Ry

A、-------B、-------C、----------------

zzzzzzzz

6、設(shè)圓心在原點(diǎn)，半徑為R,面密度為〃=/+y2的薄板的質(zhì)量為［）（面積A=；rf?2

A、R2AB、2R2AC、3R2AD、-R2A

2

8Yn

7、級(jí)數(shù)￡（-D"二的收斂半徑為（）

n=l〃

1

A、2B、一C、1D、3

2

8、cosx的麥克勞林級(jí)數(shù)為。

00002n00002n-l

XX

A、￡(-1)'B、￡(-D"c、D、2(-1)"

n=0(2初n=l(2初n=0(2〃)!n=0(2/1-1)!

9、微分方程（y''）4+（y'）5+y'+2=0的階數(shù)是〔）

A、一階B、二階C、三階D、四階

10、微分方程y''+3y'+2y=0的特征根為〔)

A、-2,-1B、2,1C、-2,1D、1,-2

二、填空題〔此題共5小題，每題4分，共20分)

1、直線Li：x=y=z與直線L2：—―?=丁+3=z的夾角為o

2—1

直線L3：——-=，+2=三與平面3x+2y-6z=0之間的夾角為?

2-12

2、〔0.98)2-。3的近似值為,sinl0。的近似值為。

3、二重積分Jjdb,。：尤2+/<1的值為。

D

oooon

4、幕級(jí)數(shù)，>!爐的收斂半徑為，2—的收斂半徑為o

n=0n=0幾，

5、微分方程y、=xy的一般解為,微分方程xy'+y=y2的解為。

三、計(jì)算題1此題共6小題，每題5分，共30分〕

1、用行列式解方程組『-3x+2y-8z=17

y2x-5y+3z=3

-x+7y-5z=2

2、求曲線x=t,y=t2,z=t3在點(diǎn)［1,1,1)處的切線及法平面方程.

3、計(jì)算到db,其中。由直線y=l,x=2及y=x圍成.

D

81

4、問級(jí)數(shù)Z(T)'sin—收斂嗎？若收斂，則是條件收斂還是絕對(duì)收斂?

n=l〃

5、將函數(shù)f(x)=e3x展成麥克勞林級(jí)數(shù)

6、用特征根法求y''+3y'+2y=0的一般解

四、應(yīng)用題〔此題共2小題，每題10分，共20分)

1、求外表積為a?而體積最大的長方體體積。

2、放射性元素鈾由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其它元素，鈾的含量就不斷減小，這種現(xiàn)象叫

做衰變。由原子物理學(xué)知道，鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比，［比例系數(shù)為k)t=0

時(shí)，鈾的含量為Mo，求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律。

參考答案

一、選擇題

1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B

10,A

二、填空題

K.rcosA

jarcsin2、0.96,0.17365

V1821

3、Ji4、0,+oo

5、y=ce2,cx=l----

三、計(jì)算題

解:△=2-53=[-3)X-53-2X23+[-8)2-5=-138

17-57-51-5

172-8

△x二3-53二17X-53-2X33+G8)X3-5=-138

27-57-52-527

同理:

-317-8

△y二233二276,Az=414

12-5

方程組的解為包=丁=包=—=絲=—

所以,1=1,2*3

AAA

2、解：因?yàn)閤=t,y=t；z=t;

2

所以Xt=1,yt=2t,zt=3t,

所以Xt|t=i=l,yt|t=i=2,zt|t=i=3

故切線方程為：—=^--

123

法平面方程為：(x-1)+2(y-l)+3(z-l)=0

即x+2y+3z=6

3、解：因?yàn)镈由直線y=l,x=2,y=x圍成,

所以

D：QWyW2

yWxW2

故:Jj孫初=([J：xydx\dy=((2y—=1"

4、解：這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，因?yàn)?/p>

Vn=sin—)0,所以，Vn+l(Vn,Mlimsin—=0,所以該級(jí)數(shù)為萊布尼遜^級(jí)數(shù)，故收斂。

nn

?1]co]

又￡sin"x趨于0時(shí),sinx~x,所以,lim阜=1,又級(jí)數(shù)二發(fā)散從而gs叫發(fā)散。5

n

所以，原級(jí)數(shù)條件收斂

“,ew=l+x+-x2+-x3+■■

、解：因?yàn)?!3!n\

X€(-00,+oo)

用2x代x,得：

6、解：特征方程為d+4r+4=0

所以，(r+2)2=0

2x2x

得重根ri=r2=-2,其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)解為yi=e-,y2=xe-

所以，方程的一般解為y=(ci+c2x)e"x

四、應(yīng)用題

1、解：設(shè)長方體的三棱長分別為x,y,z

那么2(xy+yz+zx〕=a2

構(gòu)造輔助函數(shù)

F[x,y,z)=xyz+2(2xy+2~yz+2zx—a1)

求其對(duì)x,y,z的偏導(dǎo)，并使之為0,得：

^yz+22(y+z)=0

yxz+2X(x+z)=0

jXy+24(x+y)=0

與2(xy+yz+zx)-a2=0聯(lián)立，由于x,y,z均不等于零

可得x=y=z

代入2(xy+yz+zx)-a2=0得x=y=z=------

6

l~73

所以，外表積為a2而體積最大的長方體的體積為V==

36

2、解：據(jù)題意

《高數(shù)》試卷4(下〕

—.選擇題：3'xlO=3O'

1.以下平面中過點(diǎn)(1,1,1)的平面是.

[A)x+y+z=O[B)x+y+z=l(C)x=1(D)x=3

2.在空間直角坐標(biāo)系中，方程/+尸=2表示.

[A)圓[B)圓域(C)球面[D)圓柱面

3.二元函數(shù)z=(l-x)2+(l-y)2的駐點(diǎn)是.

[A)[0,0)(B)(0,1)[C)[1,0)(D)(1,1)

4.二重積分的積分區(qū)域〃是1VN+產(chǎn)<4,那么

D

[A)萬〔B)鈕[c)3萬⑴)15萬

5.交換積分次序后，辦y)dy=.

Myf{x,y)dx⑻二時(shí)；/(2)小?￡嘲〃Eg⑴)

6.77階行列式中所有元素都是1,其值是.

[A)n0(On![D)l

7.對(duì)于A元線性方程組，當(dāng)r(A)=r(N)=r時(shí)，它有無窮多組解,那么.

[A)r=n[B)r<n[C)r>n[D)無法確定

8.以下級(jí)數(shù)收斂的是.

力°OQn8zi\n-l81

[A)(-1)-—⑻Z有?[D)工〒

n=l〃+1?=12n=l〃n=lv〃

0000

9.正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡詞和〃滿足關(guān)系式/W%,那么.

n=\n=l

oooooooo

[A)假設(shè)收斂，那么收斂(B)假設(shè)￡v“收斂，那么Z/收斂

n=ln=\n=ln=l

oooooooo

[C)假設(shè)2>"發(fā)散，那么發(fā)散(D)假設(shè)Z"“收斂，那么￡力發(fā)散

n=ln=ln=\n=l

2

10.：——=1+X+XH—,那么一^―-的嘉級(jí)數(shù)展開式為.

1-X1+X2

[A[1+x2+x4d—（B）—1+x2—x4H—（C）—1—x2-x4---（D）1—x2+x4---

二.填空題：4'義5=20'

1.數(shù)z=J/+y2—i+ln（2-1一產(chǎn)）的定義域?yàn)?

2.假設(shè)于（x,y）=孫，那么/（—,1）=.

x

3.（的,％）是/（x,y）的駐點(diǎn)，假設(shè)笈（沏,,％）=3,加（沏,％）=12,總（沏,％）=〃那么

當(dāng)時(shí)，（沏,％）一定是極小點(diǎn).

4.矩陣A為三階方陣，那么行列式13Al=|川

00

5.級(jí)數(shù)收斂的必要條件是.

n=]

三.計(jì)算題（一）：6x5=30'

2.計(jì)算二重積分JJ44-Nd。,其中D={(%,y)|0<y<J4-N,o<x<2}.

D

、(12-3、

3.：XB=A,其中4=[f12T],B=012,求未知矩陣X.

I201J

lo01J

4.求幕級(jí)數(shù)￡(-1)"TL的收斂區(qū)間.

?=in

5.求/(x)=er的麥克勞林展開式〔需指出收斂區(qū)間).

四.計(jì)算題(二)：10'x2=20'

1.求平面x—2y+z=2和2x+y—z=4的交線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

&+y+z=1

2.設(shè)方程組尤+2y+z=l,試問：力分別為何值時(shí)，方程組無解、有唯一解、有無窮多組解.

x+y+Az=1

參考答案

一,1.C；2.D；3.D；4.D；5.A；6.B；7.B；8.C；9.B；10.D.

22

二.1.{(%,y)\l<x+y<?]2.—3.-6<a<64.275.limun=0

Xn->co

四.1.解：—=yxy-1—=xy\ny

dxdy

---r-.2

2.解：JJ—Ndo=jjdxJo4*yl4-x2dy=j^(4-x2)dx=4x-—=—

D3J。3

q-27、

102

3.解：B-l=01-2,AB-1=

2-415

00

4.解：A=l,當(dāng)|x|〈1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)x=l時(shí)，得汽（T）'1收斂,

?=1?

當(dāng)x=-l時(shí)，得之在”=之匚發(fā)散，所以收斂區(qū)間為（-1,小

n=l〃n=l〃

00n88(A\n

rxn

5.解：.因?yàn)閑%=￡——xG(^x),4-oo)，所以e~-￡----=￡-----xxG(^X),+QO).

n=0"it=04n=04

j%

四.1.解：.求直線的方向向量:亍=1-21=7+3]+5E,求點(diǎn):令z=0,得丫=0以=2,即交點(diǎn)為(2,0.0),所

21-1

以交線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:?下

%1111p121^(\1A1101A1、

2.解：A=111^1X11-0A-11-Z0foZ-l1-20

Z1)[九111J1o1-Z21-zJ[o0

11-2(1-2)(2+2)1-A?

(1)當(dāng);I=—2時(shí),(4)=2,(4=3,無解；

(2)當(dāng)aw1,4w—2時(shí),r(A)—(A)=3,有唯一^星:x=y=z=—-—；

2+2

X=\—Cj—t*2

(3)當(dāng)a=1時(shí),r(A)=(N)=1,有無窮多組解:<y=q(。，⑦為任意常數(shù))

z=c2

《高數(shù)》試卷5〔下〕

一、選擇題（3分/題）

1、a-i+j,b=-kf那么〃xB=（）

A0Bi—jCi+jD—i+j

2、空間直角坐標(biāo)系中/+V=1表示（）

A圓B圓面C圓柱面D球面

3、二元函數(shù)2="至在［0,0）點(diǎn)處的極限是（）

x

A1B0CooD不存在

4、交換積分次序后jdxf//x,y協(xié)=［）

Af（x,y）dx

0X

1

D心

oy0

5、二重積分的積分區(qū)域D是W+那么JJdxdy=〔）

D

A2B1C0D4

6、n階行列式中所有元素都是1,其值為U

A0B1CnDn!

、假設(shè)有矩陣,以下可運(yùn)算的式子是

7As*2,B”3,C3X30

AACBCBCABCDAB-AC

8、n元線性方程組，當(dāng)==廠時(shí)有無窮多組解，那么（）

Ar=nBr<nCr>nD無法確定

9、在一秩為r的矩陣中，任r階子式（）

A必等于零B必不等于零

C可以等于零，也可以不等于零D不會(huì)都不等于零

0000

10、正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡設(shè)“和￡匕,滿足關(guān)系式*<V.，那么（）

n=ln=l

0000008

A假設(shè)?“收斂，那么2丫〃收斂B假設(shè)收斂，那么￡即收斂

n=ln=ln=ln=l

0000000