圓錐曲線復(fù)習(xí)第十六講：圖形問(wèn)題4（解析版）

第十六講：圖形問(wèn)題4

3【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

基礎(chǔ)目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，特殊四邊形的性質(zhì)；

應(yīng)用目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線中四邊形的幾何特征，以及幾何特征的代數(shù)轉(zhuǎn)換；

拓展目標(biāo)：能夠熟練應(yīng)用菱形，矩形，正方形的向量表示，并在平行四邊形的基礎(chǔ)上，增加相

關(guān)的垂直的向量或斜率表示.

素養(yǎng)目標(biāo)：通過(guò)數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨(dú)立思考和邏輯分析能力，提升學(xué)生

的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

【基礎(chǔ)知識(shí)】

1、菱形

①一組鄰邊相等的平行四邊形，是菱形，即可以翻譯成等腰三角形，三線合一進(jìn)行計(jì)算.

②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，可以翻譯用向量或斜率表示的直角關(guān)系.

2、矩形

①有一個(gè)角是直角的平行四邊形，是矩形，即可以翻譯成直角三角形，用向量和斜率進(jìn)行直角關(guān)系的表示.

②對(duì)角線相等的平行四邊形，是矩形，即可以翻譯成兩條弦長(zhǎng)相等，利用弦長(zhǎng)公式求解.

3、正方形

即滿足菱形的要求，又滿足矩形的要求進(jìn)行求解.

if?【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：菱形

22

、例1.已知橢圓C：=+2r=l(α>0>0),P(l,3),Q(3,l),M(-3,1),N(0,2)這四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)

、a-b-

在橢圓C上.F

(1)求橢圓C的方程；

(2)點(diǎn)E是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求劃'面積的最大值;

⑶過(guò)R(0,l)的直線1交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線1的斜率A〉0,在X軸

上是否存在一點(diǎn)D(m,0),使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在,

求實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴二+匚1;(2)3+2√3;(3)W,0

1243

【詳解】(I)因?yàn)镼(3,1),"(—3,1)關(guān)于y軸對(duì)稱,根據(jù)題意以及I用圓的對(duì)稱性可知，兩點(diǎn)都在帽圓上,

Q1

即有/+屏=1成立.

1O

若尸(1,3)在橢圓上,則有力+本=1.

9I

-

+1

2F=1

?

得

可

聯(lián)立＜I9a2=Z?2=10,不合題意，舍去.

1

-+F=1

2

?

所以，N(0,2)在橢圓上，即有微=1,所以〃=4,代入/+《T，可得"2=12.

f2

所以，橢圓C的方程為土+v二=1.

124

(2)要使一EAW面積最大，則應(yīng)有點(diǎn)E到直線MN的距離最大.

由M(-3,1),N(0,2),可得直線MN方程為x-3y+6=0.

過(guò)點(diǎn)E作直線/,使得〃/腦V,則E到直線MN的距離即等于直線/到直線MN的距離.

顯然，當(dāng)直線/與橢圓相切時(shí)，距離為最大或最小.

則設(shè)直線/方程為x-3y+w=0,聯(lián)立直線與橢圓的方程

fχ2∕,

--++----=1CC

?124可得，12y-6my+m~-12=0.

x-3y+m=0

因?yàn)?，直線/與橢圓相切，貝ijA=(-6m)，-4xl2(相2-12)=-12(m2-48)=0,

解得，/〃=±4石.

則當(dāng)〃?=-46時(shí)，此時(shí)直線方程為x-3y-4√5=0，與直線x-3y+6=0距離最大，此時(shí)

∣-4√3-62√3O+3√1O

a=.——L=---------------------

?+(-3)25

又IMM=7(-3-O)2+(1-2)2=Tio,

2+3λ

所以.EMN面積的最大值為"=k√iθχ^?θ=3+2√3.

(3)設(shè)Aa,χ),B(x2,y2),假設(shè)在X軸上存在一點(diǎn)。(〃?,0),使得D4、OB為鄰邊的平行四邊形為菱形.

因?yàn)橹本€/過(guò)R(O,1)點(diǎn)，則直線/的方程為y=H+l(A>O),

y=kx+↑

聯(lián)立直線/的方程與橢圓的方程/√可得，(3?2*4+l)x2+6fo-9=0,

1124

Δ=(6?)2-4x(3公+1)×(-9)=36(4公+1)>0恒成立，

口6%—9j1j1

且,+W=-%—XIX2=1，yt=kxt+?,y2=kx2+?,

JK+I5k+1

Λ

所以X+%=MX∣+2)+2=-^?T+2=^?T,

3K+1DKI-1

則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為J爵7,二一r],

I3Ar+l3?-+lJ

所以線段AB的垂直平分線方程為y-二一T=-7∣X+普71，

3K+1k?3?+1√

顯然該直線過(guò)點(diǎn)。(機(jī)0).

3k-2k

令y=0,則-∕n+,即m—

3J12+1k3r+13?2+l'

因?yàn)锳>0,所以巾<0,==2√J,

kkNk

當(dāng)且僅當(dāng)弘=?時(shí)，即A=立時(shí)，等號(hào)成立.

k3

所以，411≥25所以-≤擊，則/土=子，

所以m≥-正.即實(shí)數(shù)m的取值范圍為-坐,0

33

22

變式訓(xùn)練設(shè)橢圓：∣方的左、右焦點(diǎn)分別為耳，橢圓的離心率為連接橢圓

1.cr+=Ig>b>o)F2,

的四個(gè)頂點(diǎn)得到菱形面積為4石.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)右焦點(diǎn)鳥(niǎo)作斜率為我的直線，與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)P(0,m)使得以PM,

PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出加的取值范圍，如果不存在，說(shuō)明理由.

22Γ/?fΛ'

【答案】(1)—+—=1；(2)存在，一~°，TT-

4312JI12

【詳解】（1）???橢圓離心率為連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)的菱形面積為4√L

1

e=-

2

.，???r∕?×4=4>/3,

a1=b1+C2

?.a=2,b—^?[^,c=l,

故橢圓C的方程為：-+^=?.

43

(2)[(1,0),設(shè)直線/的方程為y=Z(x—1),

將y=Z(x-l)代入?+：=1,

得：(3+4)t2)x2-8λr2x+4?2-12=O,

設(shè)Ma,X)，N(七,％),

貝IJXl+X2=y^p?,乂+%=%(玉+々-2),

PM+PN=(xl+X2,JI+y2-2w),

因?yàn)橐訮M,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形,

所以(PM+PN)?Λ∕N=0,

又MN=Q,k),

：.(xl+x2)?l+(yl+y2-2m)-k=0,

當(dāng)Z=O時(shí)，m≠0,上式恒成立，

k1

當(dāng)AHo時(shí)，=i=二

QKH--

k

IMr

若火>o,則"一:^一法，當(dāng)且僅當(dāng)左=當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

k

所以0<〃?≤；

12

\、6f

若A<0,則"'一一，小，3「一方,當(dāng)且僅當(dāng)k=-正時(shí)取等號(hào),

i+hd2

所以...-<m<0>

12

綜上，加的取值范圍為?！悒Ou[0，用?

變式訓(xùn)練2.已知拋物線：尤2=2萬(wàn)(2>0)的頂點(diǎn)為0,焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為1,過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于

點(diǎn)A、B,且(FA+。尸)?(FB+O尸)=-3.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)拋物線上一點(diǎn)P(非原點(diǎn))作拋物線的切線，與X軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N,PHA.I,垂足為H,求

證：四邊形PFNH為菱形，

【答案】⑴f=4y；

(2)證明見(jiàn)解析.

【詳解】⑴設(shè)直線AB方程為y=H+5,A(xl,y1),B(x2,y2),

f=Ipy

2

由《〃，得f-2kpx-p=0f

I2

2

所以X+x2=2kp,xix2=-p,

(FA+OF)?(FB+OF)=OA-OB=xlx2+yly2=Λ1x2+(Ax1+-^)(Ax2+-?)

22222

=(l+?)x1x2+?γ(x1+x2)+-^-=-(?+k)p+kp÷-^-=-3,解得p=2,

所以拋物線方程為d=4y；

⑵焦點(diǎn)為尸(0,1),準(zhǔn)線方程是y=-1,設(shè)P(%,y°),則H(XO,-1),焉=4幾，

y211

由/=4)，，即y=丁，y'=-X,所以AMN=彳*0，

422

切線方程為y-%=gχt)(χ-χo),

-rr-r-j-

令x=0得y*=yo~?o=~?o--o=-?=Λ，

因此∣∕W∣=l+%=pM,又FNilPH,所以刊WH是平行四邊形，

而仍產(chǎn)I=IPM,所以四邊形PFM7是菱形.

變式訓(xùn)練3.在平面直角坐標(biāo)系XOy中，雙曲線/-2丁=2的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為線、F2,動(dòng)點(diǎn)P滿足

IP周+附∣=4.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程;

(2)設(shè)過(guò)戶2且不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線1交軌跡E于A、B兩點(diǎn)，問(wèn)：線段。罵上是否存在一點(diǎn)D,使得以

DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)給出證明：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)E+V=1;

4-

(2)存在，理由見(jiàn)解析.

2

【詳解】⑴由題意得：y-y2=l,所以川-百,0),∕s(√3,θ),而歸附+附卜4>2技故動(dòng)點(diǎn)P的軌

跡E的方程為以點(diǎn)寫(xiě)、心為焦點(diǎn)的橢圓方程，由勿=4得：α=2,"=4-3=1,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方

2

程為工r+>2=1；

4-

⑵存在，理由如下：

顯然，直線1的斜率存在，設(shè)為X=my+?/?(m?0),

聯(lián)立橢圓方程得??M+4"+2圓…=。，設(shè)A(S),5(3),則χ+%=一聾"「上

要想以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，則點(diǎn)D為AB垂直平分線上一點(diǎn)，

其中十=一離’…=Mi)+2層一常+2庠罟‘則空=若’故AB的中

(4招尿1則AB的垂直平分線為：y+?粵=Fl

點(diǎn)坐標(biāo)為2

I+4*An+4jI"得:X禹

且無(wú)論加為何值,X=0,,點(diǎn)D在線段。5上，滿足題意.

考點(diǎn)二：矩形

［、■!例1?從拋物線C：Y=2py(p>0)外一點(diǎn)作該拋物線的兩條切線PA、PB(切點(diǎn)分別為A、B),

分別與X軸相交于C、I),若AB與y軸相交于點(diǎn)Q,點(diǎn)M(Λ0,2)在拋物線C上，且IMFl=3(F為拋物線的焦

點(diǎn)).

(1)求拋物線C的方程;

(2)①求證：四邊形PCQ。是平行四邊形.

②四邊形PCQO能否為矩形？若能，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴x2=4y;(2)①證明見(jiàn)解析；②能，(0,1).

【詳解】(1)因?yàn)楱OMF∣=2+?^=3,所以。=2,即拋物線C的方程是χ2=4y.

(2)①證明：由Y=4y得y=寧，y=去設(shè)A不千)，

則直線PA的方程為y-￥=^(Xf)(i),

則直線PB的方程為y-立=強(qiáng)(x-z)F)，

由(i)和(ii)解得：犬=與三，y=竽，所以PEL芥,竽).

設(shè)點(diǎn)Q(0"),則直線AB的方程為y=履+f.

X2=4y

由<得d—4心:一4r=0,則九|+%=4%,4花=-4*

y=κIx+t

所以P(2匕T),所以線段PQ被X軸平分，即被線段CD平分.

在①中，令N=O解得x=5,所以c[5,θ],同理得θ[5,θ),所以線段CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為(三芳?,θ),即

(?,0),又因?yàn)橹本€PQ的方程為y=-1x+f,所以線段CD的中點(diǎn)(我,0)在直線PQ上，即線段CD被線段PQ

平分.

因此，四邊形PCQO是平行四邊形.

②由①知，四邊形PCQO是平行四邊形.

若四邊形PC。。是矩形，則IPQl=I3，即

222

y∣4k+4t=Ja；)I=?J(Xl+X2Y-4x∣T=?Λ∕16?+16Z，

解得f=l,故當(dāng)點(diǎn)Q為(0,1),即為拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，四邊形PC。。是矩形.

變式訓(xùn)練1.已知拋物線UV=4x,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)廠的直線/與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A,B.

⑴記V4F0和VBFO的面積分別為L(zhǎng)S?,若邑=2R，求直線/的方程；

(2)判斷在X軸上是否存在點(diǎn)M,使得四邊形OAMB為矩形，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴4x±√Σy-4=0;

(2)不存在，理由見(jiàn)詳解.

【詳解】(1)設(shè)直線/方程為x="+l,A(Λ1,yl),B(Λ2,y2)

y2_Ay

聯(lián)立.一',消去X得y2-4(y-4=0,

IX="+1

得y+%=4r①，Xy2=~4②，

又因?yàn)?2=21，貝∣J%=-2χ③

由①@③解得f=±變，

4

即直線/的方程為x=±也y+l,BP4x±√2y-4=0

(2)假設(shè)存在點(diǎn)M,使得四邊形OAMB為矩形，

則。W,AB互相平分

所以線段AB的中點(diǎn)在X上，則AB上X軸，

此時(shí)4(1,2),3(1,-2)

Woe=-4≠~1

則OA_LOB不成立.

故在X軸上不存在點(diǎn)M,使得四邊形OAMB為矩形

變式訓(xùn)練2.已知拋物線U∕=4y,過(guò)點(diǎn)P(0,,")(w>0)的動(dòng)直線/與C相交于AB兩點(diǎn)，拋物線C在點(diǎn)A

和點(diǎn)B處的切線相交于點(diǎn)。，直線AQ，BQ與X軸分別相交于點(diǎn)E,F.小,o?

(1)寫(xiě)出拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

(2)求證：點(diǎn)。在直線了=一他上；^^^AT^

(3)判斷是否存在點(diǎn)P,使得四邊形PEQ尸為矩形？若存在，求出點(diǎn)P的坐'

標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.'y

【答案】(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，準(zhǔn)線方程為y=T?(2)證明見(jiàn)解析(3)P(OJ)

【詳解】⑴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-l；

(2)由題意，知直線/的斜率存在，故設(shè)/的方程為y="+"],

y=kx+m

由方程組得x?-4kx-4m-0由題意,得4=16/+16,">0,

X2=4y

設(shè)A(χ,y∣),B{X2,%)，則xi+x2=4k,xlx2=-4m,

由導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率

2

所以拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為y-→l=→1(?-?,),

化簡(jiǎn)，得y=g中-%:…①

同理，拋物線在點(diǎn)3處的切線方程丫=3々％-;考…②

聯(lián)立方程①②，得]χ∣χ-w*∣2=,?r2X-Z

即；(再-j?)x="芭一々)(芭+%)，-?i≠??-?x=∣(^ι+?)>

代入①，得y=%R=τ",所以點(diǎn)QyL產(chǎn),τj,即。(2%,-加)，

所以點(diǎn)。在直線y=-m上；

(3)假設(shè)存在點(diǎn)尸，使得四邊形PEQ尸為矩形，

由四邊形尸EQ尸為矩形，得EQMQ,即AQLBQ,

所以“AQ=-L即萬(wàn)%，萬(wàn)工2=一1,由(2)得ZXIX2=Z(—4m)=一1，

解得機(jī)=1,所以P(0,l);

以下只要驗(yàn)證此時(shí)的四邊形PEQF為平行四邊形即可,

在①中，令y=o,得E(gx“o

1-0

同理得p(gx2,θ),所以直線EP的斜率為原戶

_0-(-1)_-2

直線FQ的斜率為KFQ~1玉+X,-%

一X)---------二'

2-2

所以%，=跖2,EPHFQ,

同理尸F(xiàn)//EQ,

所以四邊形尸EQF為平行四邊形.

，存在點(diǎn)尸(0,1),使得四邊形PEO尸為矩形.

變式訓(xùn)練3.已知橢圓C：*?+∕=l("＞人＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A-B,點(diǎn)M是橢圓C的上頂點(diǎn)，且

MA?MB+3=0,∣M4∣=√5?

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知08=200,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D的直線/與橢圓C交于E,G兩點(diǎn)，點(diǎn)H在橢圓C上，探究:

是否存在直線/,使得四邊形OEHG為矩形，若存在，求出直線/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴《+y2=l

4

⑵不存在，理由見(jiàn)解析

【詳解】(1)由于AH,"分別為橢圓的左右頂點(diǎn)以及上頂點(diǎn)，所以A(TZ,θ),8(0θ),M(O/)，

M4=(-6Z,-?),Λ∕β==(^-?),.?.M4?MB+3=-fZ2+?2+3=0,

X∣Λ∕A∣=yja2+h2=5/5，

解得:cr=4,Z?2=1,

所以橢圓方程為：—+/=1

4-

(2)由08=200得θ(g,θ),即D(1,O),

當(dāng)直線/無(wú)斜率時(shí)，即直線方程為：x=l,

若四邊形OEHG為矩形，由橢圓的對(duì)稱性可知：3=∣OG∣,則四邊形OEHG為正方形，則4釜J,即E(l,l)

此時(shí)將點(diǎn)E(Ll)代入橢圓方程中得;+1*1,故四邊形OEIlG不能構(gòu)成矩

形，不滿足題意，

當(dāng)直線/有斜率時(shí)，則設(shè)/方程為：y=Z(xT),

y=?(x-l)

2222

聯(lián)立＜χ2=＞(l+4?)x-8?x+4?-4=0,

14,

設(shè)EaMMM'所以%+X?=τ?f=去?

設(shè)EG的中點(diǎn)為。,則。(詈'巖),即Q[7?'1?]

I

(XI(-Ok、

若四邊形OEHG為矩形，則。也是QH的中點(diǎn)，因此+x,,%+%),即〃--v,7-τ,

v,11+4公1+4A:J

/0122k?(8々)

故HTF,三不在橢圓上，故11140(-2kY,化簡(jiǎn)得：4V+l=0,顯然方程無(wú)解，故四

11+4《l+4?-?---------^-+--------=I

、74U+4?2J

邊形OEHG不能構(gòu)成矩形，

綜上可知：不存在直線/,使得四邊形OEHG構(gòu)成矩形，

考點(diǎn)三：正方形

IYl例L已知點(diǎn)(Ol)是橢圓邑5+.=l(α">°)一點(diǎn)，且橢圓的離心率為半?

(1)求此楠圓E方程；

(2)設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為Λ,過(guò)點(diǎn)A向上作一射線交橢圓E于點(diǎn)B,以AB為邊

作矩形ABCD,使得對(duì)邊CD經(jīng)過(guò)橢圓中心0.

(i)求矩形ABCD面積的最大值；

(ii)問(wèn)：矩形ABCD能否為正方形？若能，求出直線AB的方程；若不能，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴二+《=1;

62

(2)(i)2√3；(ii)y=x+√6.

2c2.b22

e=—=1--7=-

a

【詳解】(1)令橢圓半焦距為c,依題意，廠，解得層=6,/=2,

(√3)?1,,

所以橢圓E的方程為：—+^=1.

62

(2)⑴由⑴知,A(-√6,0),設(shè)直線AB的斜率為>0,則直線AB的方程為：y=fc(x+√6),

由消去y并整理得：(3公+11+6向以+18公-6=0,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)XA=

則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)XB有：XES=喀心，解得_(3f-∣),

3k+13k+1

則有IABl=JiTFlXA-/∣=旭如已，因矩形ABCD的邊CD過(guò)原點(diǎn)0,則|8Cl=-^τ,

λB3?2+l√l+fc2

S=IABIIBCI=^^-=-^~?！??==2√5?

因此，矩形ABCD的面積3Λ2+1,?C「二丁，當(dāng)且僅當(dāng)弘=丁，即Z=W?時(shí)

%2Flk3

取“=”,

所以矩形ABCD面積的最大值是2√L

(ii)假定矩形ABCD能成為正方形，貝"ABI=IBC由(i)知：述事”二善^,

3?2+l√i7F

整理得：3∕-2^+k-2=0,即伏一1)(3公+&+2)=0,而3?+k+2?0,解得/:=1,

所以矩形ABCD能成為正方形，此時(shí)，直線AB的方程為y=x+√K.

變式訓(xùn)練1.已知橢圓尸：4+4=1(a>Z?>0)的左頂點(diǎn)為M,上頂點(diǎn)為N,直線MN的斜率為走,

a2b22

坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線MN的距離為酒.

7

(1)求橢圓戶的方程；

(2)已知正方形ABC。的頂點(diǎn)A、C在橢圓P上，頂點(diǎn)8、O在直線7x-7y+l=0上，求該正方形ABC。的

面積.

【答案】(1)《+亡=1

43

⑵巡

49

a2

【詳解】(1)由題意，得

ab_2Λ∕21'

√?+y二k

4=2γ-y2

解得b=E即橢圓戶的方程為M=L

(2)因?yàn)锳BCD是正方形，所以對(duì)角線AClBD

y=-x+m

設(shè)直線AC為y=-χ+”?,聯(lián)立

3√+4√-12=0'

得7X2—Smx+4W2-12=0?

由A>0得-J7<m<J7,.設(shè)A(Λ1,y),C(x2,y2),

,∣864/W2-12

則mX+?x2=^y，χ]'x2=-----------

X+%=一(％+xz)+2∕%=寧.

4m3m

所以的中點(diǎn)的坐標(biāo)為

ACM^7~,T^

由于正方形的對(duì)角線平分，所以點(diǎn)M在直線上,

變式訓(xùn)練2.已知橢圓6:，3=1(。＞。＞0)過(guò)點(diǎn)(0,1),且離心率為弓.

(1)求橢圓E的方程;

(2)設(shè)直線/:y=gx+〃?與橢圓E交于A、C兩點(diǎn)，以Ae為對(duì)角線作正方形A8C。，記直線/與X軸的交點(diǎn)

為N,問(wèn)8、N兩點(diǎn)間距離是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴二+丫2=1；

4'

⑵迎.

2

【詳解】(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,顯然點(diǎn)(0,1)在橢圓E上，即6=1,

橢圓E的離心率e=￡="，一"=??H=",解得α=2,

aaNCr2

所以橢圓E的方程為：E+y2=ι.

4

1

y=—χ-?-m

(2)設(shè)A(XI,y∣),C(χ2,y2),由；2消去y并整理得：V+2〃比+2/一2=0,

X2+4y2=4

由A=(2m)2-4(2"∕-2)=8-4"∕＞0,可得-夜＜,〃＜也，

2

則有為+%2=-2m，X1X2=Im-2,弦AC中點(diǎn)為Λ∕(-m,Q∕π),

2222

有IACI=Jl+(∣)?λ∕(xl+x2)-4x1x2=?■√(-2W)-4(2W-2)=JlO-5療,

又直線/與X軸的交點(diǎn)N(―2肛0),貝IJlMNI=J(-m+2m)2+(^∕n)2=,

當(dāng)mwθ時(shí)，正方形ABCD中，NBMN=90,則有I8N『=|8M『+∣MNI?=JACi2+|MN『=∣,∣BN|=半,

當(dāng)Tn=O時(shí)，點(diǎn)M,N重合于原點(diǎn)O,IBN?=,

所以8、N兩點(diǎn)間距離為定值叵.

2

變式訓(xùn)練3.已知A,B,C是拋物線W：丁=?上的三個(gè)點(diǎn)，D是X軸上一點(diǎn).

(1)當(dāng)點(diǎn)B是N的頂點(diǎn)，且四邊形ABCD為正方形時(shí)，求此正方形的面積;

(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形ABCD是否可能為正方形，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)32；(2)不可能，理由見(jiàn)解析.

【詳解】(1)當(dāng)點(diǎn)B是W的頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)4C與80相交于點(diǎn)。，則OC=O3,

假設(shè)點(diǎn)C在X軸上方，則C的坐標(biāo)為(x(?,x,),

代入拋物線方程得毛=4,此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為βC=4√2,

所以正方形的面積為(4√Σ)2=32.

(2)四邊形ABCD不可能為正方形.

當(dāng)點(diǎn)8不是W的頂點(diǎn)時(shí)，直線AC的斜率一定存在，設(shè)其方程為)，=丘+〃?,

A、C坐標(biāo)分別為(占，北)，(工＞y2),

)4*,則22f+(2km-4)x÷AΠ2=O,

聯(lián)立

y=kxΛ-m

4-2km

?!+%)=一萬(wàn)一

2k24

所以)，y↑+y=K×↑+χ)+2m=-,

m22k

3=Ir

因此，AC的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(營(yíng),j,

IACl=加兩…I=叵亞Ξ巫

若四邊形ABCO為正方形，則的中點(diǎn)也是M,

,cACK

因?yàn)辄c(diǎn)。在X軸上，所以%=0,所以%=2χ提=。，

KK

代入y2=4x,得XB=1，即3("),

4_2

所以?=τ?=?f

落k

化簡(jiǎn)得2公+5ι+2=0,①

MTM=2符!叼ψ=產(chǎn)聲遐、2,

因?yàn)镮ACI=IBD\,所以(1+公)(16-16攵帆)=4(4+4/勿+攵262+4Λ2),

化簡(jiǎn)得8+4〃+k〃=0,②

由①@得，二+3=0,k無(wú)解,

故四邊形ABCo不可能為正方形.

O【當(dāng)堂小結(jié)】

1、知識(shí)清單:

(I)橢圓，雙曲線，拋物線簡(jiǎn)單性質(zhì)；

(2)圓錐曲線中，特殊四邊形翻譯，即菱形，矩形和正方形的向量，斜率表示:

2、易錯(cuò)點(diǎn)：簡(jiǎn)單性質(zhì)的計(jì)算，特殊圖形的向量的應(yīng)用：

3、考查方法：數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；

4、核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象.

O【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

γ2Q

1.已知?jiǎng)狱c(diǎn)C是橢圓C：一+>2=l(α>l)上的任意一點(diǎn)，AB是圓G：/+(y-2)2=:的一條直徑(A,B

a4

31

是端點(diǎn))，C4C8的最大值是一.

4

(1)求橢圓。的方程;

(2)已知橢圓Ω的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)耳,鳥(niǎo)，過(guò)點(diǎn)心且與X軸不垂直的直線1交橢圓Ω于P,Q兩點(diǎn).在

線段。入上是否存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP,M。為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求實(shí)數(shù)m的取值范

圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴(→y2=];⑵存在,(θ,?∣).

【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(χ,y),則￡+丁=1,

a

由C4=CG+GA,C8=CG+GB=CG-GA,又G(0,2),

2、2Q

可得CAlCBCG-GA=x2+(y-2)2--

4

a7

=”(l-y2)+(y-2)2--=-(α-l)y2-4y+a+-,其中ye[T,l].

4

因?yàn)椤?gt;1,故當(dāng)y=?^~-?1,即1<°?3時(shí)，

2(1-a)

727

取y=-l,得C4?CB有最大值-(αT)+4+α+τ=-,與條件矛盾；

44r

44(1—ɑ)liz+-|—16

當(dāng)~7>-1,即4>3時(shí)，CA?C8的最大值是I4),

2(1-a)----------------------

4(1-a)

4(1—62)1tz÷?I—16

由條件得I4J=31,即4-7α+10=0,解得。=5或〃=2(舍去).

4(1-a)-4

綜上所述，橢圓。的方程是q+y2=ι.

(2)設(shè)點(diǎn)Pa,M),Q(%,必)，PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(X0，%)，

則滿足鳥(niǎo)+犬=1,g+只=1,兩式相減，整理得*5F=-ττE?τ=一言，從而直線尸。的方程為

ψ3

55A2-X1?V72Zl/ZO

?-?o?-?(?-?o),又右焦點(diǎn)尸2的坐標(biāo)是(2,0),

將點(diǎn)尸2的坐標(biāo)代入PQ的方程得一%=-U(2-X。)，

因?yàn)橹本€1與X軸不垂直，故2x0-x；=5y：=0,從而0<x0<2.

假設(shè)在線段。工上存在點(diǎn)M(∕∏,0)(0<m<2),使得以MP,M0為鄰邊的平行四邊形是菱形，則線段PQ的垂

直平分線必過(guò)點(diǎn)M,而線段P0的垂直平分線方程是y-%=9(χ-χ°),將點(diǎn)M("2,O)代入得

一%=”(加一/),得w=*??,從而me(°,?∣].

2.已知橢圓C：5+4=1(〃>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)片，F(xiàn)2,其離心率為:，短軸長(zhǎng)為2后.

ab^Z

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程:

(II)過(guò)點(diǎn)K的直線L與桶圓C交于〃，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸2的直線(與橢圓C交于尸，Q兩點(diǎn)，且“〃2,證

明：四邊形MNP。不可能是菱形.

?2

【答案】⑴—+?-?l:(2)見(jiàn)解析.

43

【詳解】(1)由已知，得￡=!，。=石,

a2

Xc2=α2-?2,

故解得a?=4,/=3,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+片=1.

43

(2)由(1),知6(-1,0),如圖，

易知直線MN不能平行于X軸.

所以令直線MN的方程為χ=∕nyT,

例(大，X)，N(X2,y2).

[3X2+4√-12=0,

聯(lián)立方程，，

x=my-l,

得(3〃/+4)，_6沖_9=0,

rrιu6"?-9

所以y%=a2〉.

3加+43m+4

此時(shí)IMNl=J(]+M)[(y+yj-y%]>

同理，令直線PQ的方程為χ=my+ι,

/玉,%)，Q(X4，”),

,-6m-9

此時(shí)為+為=丁771，%%=22”，

3777+4+4

22

此時(shí)IP@=^(l+∕ra)[(y3+y4)-4y3γ4].

故IMNl=IP。.

所以四邊形MNPQ是平行四邊形.

若.MNPQ是菱形，則QM_LON,即OMQN=O，

于是有XIX2+NM=°?

又平2=(/?>'-l)(wzy2-l),

=加2乂必一帆(弘+)‘2)+1，

所以有(M+ι)χ%-m(y+%)+ι=0,

整理得到二?竺二?=O,

3w^+4

即12/+5=0,上述關(guān)于"，的方程顯然沒(méi)有實(shí)數(shù)解,

故四邊形MNPQ不可能是菱形.

3.已知橢圓uW+W=l(">8>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，4,上、下頂點(diǎn)分別為四，B,,四邊形4百4B?

Crb-

的面積為46,坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線Aa的距離為5日.

(I)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)橢圓C上一點(diǎn)尸作兩條直線分別與橢圓C相交于點(diǎn)A,B(異于點(diǎn)尸)，試判斷以。尸和AB為對(duì)角

線的四邊形是否為菱形?若是，求出直線AB的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)—+^=1；(2)四邊形OAPB能為菱形，此時(shí)直線A3的方程為x=±l,或、=±且.

432

【詳解】解：(1)直線ABl的方程為-2+g=l.

ab

2a?=4√3,

12/—1〃=2,

由題意可得I=4√ΣT,解得,r-

∏I7[b=y∣3.

,√?Γ+?I

所以橢圓C的方程為工+《=1.

43

(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，若平行四邊形OAPB為菱形，則尸為左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)，

此時(shí)直線AB的方程為x=±L

當(dāng)直線A3的斜率為O時(shí)，若四邊形加石為菱形，則點(diǎn)P為上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，此時(shí)A8的方程為y=±*?

當(dāng)直線A3的斜率存在時(shí)，設(shè)A8:y=Ax+n?(AWO),A(Λ,,J∣),β(j?,y2),

￡12_

聯(lián)立｛43^=1'可得(4標(biāo)+3)/+8切吠+4w?-12=0,

y=kx-?-m,

貝JIA=48(4公-∕√+3)>0,

所以%+W=-^r^,x∕2=4/+3，乂+%=人(4+々)+2〃?=^7^.

若四邊形。APB為菱形，

所以O(shè)4+O8=OP,所以點(diǎn)P-,,)”，，

I4%-+3Ak-+3J

所以直線OP的斜率后.=-三3.

4k

所以h(-J?]=-,W-l,這與匕W?2OP=7矛盾.

I4AJ4

所以四邊形。4必不能是菱形.

綜上，四邊形04PB能為菱形，此時(shí)直線A8的方程為x=±l,或y=±乎.

4.已知過(guò)橢圓方程1+V=I右焦點(diǎn)F、斜率為&的直線/交橢圓于「、。兩點(diǎn).

(1)求橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積；

(2)當(dāng)直線/的斜率為1時(shí)，求APOQ的面積；

(3)在線段。尸上是否存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊

形是菱形？若存在，求出用的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

71

【答案】(1)2；(2)-；(3)存在，Q<m<-.

【詳解】(1)由橢圓方程]+V=l得/=24=1,貝Ue?="-/=1,

所以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積

S=-×2b×2c=-×2×2=2;

22

(2)右焦點(diǎn)尸(1,0),直線/的方程為y=χ-ι,

設(shè)P(XI,y∣),Q(x2,y2),

y=x-l

由,W得3V+2y-l=0,

—+y-=1

12

解得y=-1,必=g，

2

所以S△/w=g∣?∣?∣y-

'43

(3)假設(shè)在線段QF上是否存在點(diǎn)"(m,0)(0<%<D,

使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形,

因?yàn)橹本€與X軸不垂直,

所以設(shè)直線/的方程為y=Mχ-i)(Xwθ),

y=&(X-I)

由,*2，可得(1+2^)/-4尸X+2%2-2=0,

——+y=1

12J

4/2k1-2

所以∣

x+x2=\+2k2'X'X2~↑+2k2

設(shè)PQ中點(diǎn)為D(X0,>'0),則MDlPQ,

2k2

，一

2^?+2k2%=%(XoT)=1+2*2

2k2

即D(

l+2k2,~?+2k2)，

1+2公?

且一一2/(1-2

l+2?2

整理得公(1-2⑼=利，關(guān)于k的方程有解,

所以(1-2加)機(jī)>0,0<m<-.

2

所以滿足條件的點(diǎn)M存在，且用的取值范圍是O<，〃<g

5.己知拋物線C:/=4)，的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為1.設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與X軸平行的直線m與拋物線C交于A,B兩

點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M,過(guò)M作直線垂直于1,垂足為N,直線MN與拋物線C交于點(diǎn)P.

(1)求證：點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn).

(2)若拋物線C在點(diǎn)P處的切線與y軸交于點(diǎn)Q,問(wèn)是否存在直線m,使得四邊形MPQF是有一個(gè)內(nèi)角為60。

的菱形？若存在，請(qǐng)求出直線m的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，X-石y+√5=0或x+√5y-G=0.

【詳解】(1)證明：由題意知直線m的斜率存在且不為0,故設(shè)直線m的方程為y=履+1(4H0),

代入尤2=4y,并整理得x2-4for-4=0.

所以4=16公+16>0，設(shè)A(Xl,y∣),β(x2,y2),則x∣+%=4k,xlx2=-4.

設(shè)材(不，幾)，貝=%=A?+I=23+I,即M(2k,2^+1).

由MNjJ,得N(2MT),

所以MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為(2七公).

將x=2Z代入f=4y,解得y=&2,則PR%,/),

所以點(diǎn)P是MN的中點(diǎn).

(2)由f=4y,得y=—,貝∣Jy'=土，

42

所以拋物線C在點(diǎn)P(2A,%2)的切線PQ的斜率為k,

又由直線m的斜率為k,可得利〃P。；

又“v〃y軸，所以四邊形MPQF為平行四邊形.