考點(diǎn)11 冪函數(shù)與二次函數(shù)6種常見考法歸類（解析版）

考點(diǎn)11冪函數(shù)與二次函數(shù)6種常見考法歸類考點(diǎn)一冪函數(shù)的定義及其應(yīng)用考點(diǎn)二冪函數(shù)的定義域和值域考點(diǎn)三冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用（一）依據(jù)圖象高低判定冪指數(shù)大小（二）圖象的識別（三）冪函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題考點(diǎn)四冪函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用（一）由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)（二）由冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式（三）由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大?。ㄋ模﹥绾瘮?shù)奇偶性的應(yīng)用（五）冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用（六）冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用考點(diǎn)五冪函數(shù)的綜合問題考點(diǎn)六二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）二次函數(shù)的圖象（二）二次函數(shù)的單調(diào)性（三）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值（四）二次方程根的分布（五）二次函數(shù)中的恒成立問題1、冪函數(shù)的判斷及應(yīng)用判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為（是常數(shù)）的形式，即滿足：（1）指數(shù)為常數(shù)；（2）底數(shù)為自變量；（3）系數(shù)為1．只有同時滿足這三個條件的函數(shù)才是冪函數(shù)，對于形如等函數(shù)都不是冪函數(shù)。2、常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點(diǎn)3、冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用（1）冪函數(shù)圖象的畫法①確定冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象：先根據(jù)α的取值，確定冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象．②確定冪函數(shù)在其他象限內(nèi)的圖象：根據(jù)冪函數(shù)的定義域及奇偶性確定冪函數(shù)f(x)在其他象限內(nèi)的圖象．對于冪函數(shù)圖象的掌握，需記住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區(qū)域．根據(jù)α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定．（2）要牢記冪函數(shù)的圖象，并能靈活運(yùn)用．由冪函數(shù)的圖象，我們知道：①所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)．②任何冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸最多只有一個交點(diǎn)（原點(diǎn)）；任何冪函數(shù)的圖象都不經(jīng)過第四象限．③當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)α>1時，冪函數(shù)的圖象上拋；當(dāng)0<α<1時，冪函數(shù)的圖象右拋．當(dāng)α<0時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．注：冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：①當(dāng)時，其圖象可類似畫出；②當(dāng)時，其圖象可類似畫出；③當(dāng)時，其圖象可類似畫出．④冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．⑤在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列．在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸．4、形如y＝xeq\s\up6(\f(m,n))或y＝x－eq\s\up6(\f(m,n))(m，n為互質(zhì)的正整數(shù))類型函數(shù)的奇偶性判斷形如y＝xeq\s\up6(\f(m,n))或y＝x－eq\s\up6(\f(m,n))(m，n為互質(zhì)的正整數(shù))類型函數(shù)的奇偶性判斷：當(dāng)m，n都為奇數(shù)時，冪函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)；當(dāng)m為奇數(shù)，n為偶數(shù)時，冪函數(shù)在定義域上為非奇非偶函數(shù)；當(dāng)m為偶數(shù)，n為奇數(shù)時，冪函數(shù)在定義域上為偶函數(shù).5、解決與冪函數(shù)有關(guān)的綜合性問題的方法首先要考慮冪函數(shù)的概念，對于冪函數(shù)(α∈R)，由于α的取值不同，所以相應(yīng)冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性也不同．同時，注意分類討論思想的應(yīng)用．在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較．6、二次函數(shù)及其應(yīng)用(1)二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式：；②頂點(diǎn)式：；其中，為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，為對稱軸方程.③零點(diǎn)式：，其中，是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象是一條拋物線，它的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向、值域、單調(diào)性分別是：①對稱軸：x＝－eq\f(b,2a).②頂點(diǎn)坐標(biāo)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a))).③開口方向：a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下.④值域：a＞0時，y∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，－∞))；a＜0時，y∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).⑤單調(diào)性：=1\*GB3①當(dāng)時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，；=2\*GB3②當(dāng)時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時，；.⑥與軸相交的弦長當(dāng)時，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個交點(diǎn)和，.7、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值：二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值.它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)處取得，可分別求值再比較大小，最后確定最值.閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處.對二次函數(shù)，當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動.不論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論.要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)，事半功倍.8、有關(guān)二次函數(shù)的問題，關(guān)鍵是利用圖像.（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題——動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：=1\*GB3①軸處在區(qū)間的左側(cè)；=2\*GB3②軸處在區(qū)間的右側(cè)；=3\*GB3③軸穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.（2）對于二次方程實根分布問題，要抓住四點(diǎn)，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù).9、一元二次方程根的分布設(shè)x1，x2是實系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的兩實根，則x1，x2的分布范圍與系數(shù)之間的關(guān)系如表所示.根的分布(m＜n＜p且m，n，p均為常數(shù))圖象滿足的條件x1＜x2＜meq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<m，,f（m）>0))m＜x1＜x2eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>m，,f（m）>0))x1＜m＜x2f(m)<0.m＜x1＜x2＜neq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,m<－\f(b,2a)<n，,f（m）>0，,f（n）>0))m＜x1＜n＜x2＜peq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）>0，,f（n）<0，,f（p）>0))m<x1＝x2<neq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝0，,m<－\f(b,2a)<n))只有一根在區(qū)間(m，n)內(nèi)f(m)f(n)<0考點(diǎn)一冪函數(shù)的定義及其應(yīng)用1．（2023春·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則的值為___________．【答案】【分析】設(shè)冪函數(shù)為，代入點(diǎn)計算，從而得函數(shù)解析式，再代入計算即可.【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，由題意，，解得，所以冪函數(shù)解析式為，所以.故答案為：2．【多選】（2023秋·高三單元測試）已知函數(shù)為冪函數(shù)，則實數(shù)的可能性取值為（

）A．1 B．-2 C．3 D．-4【答案】AD【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義得到方程，求出實數(shù)，檢驗后得到答案.【詳解】由題意得，解得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，均滿足要求.故選：AD3．（2023秋·河北邯鄲·高三統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)滿足，則的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出冪函數(shù)的解析式，根據(jù)已知，求出參數(shù)的關(guān)系式，即可計算作答.【詳解】依題意，設(shè)，則，所以.故選：B考點(diǎn)二冪函數(shù)的定義域和值域4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)定義域為的是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為根式，分別求出四個選項中函數(shù)的定義域得答案．【解答】，定義域為，，定義域為，，定義域為，，定義域為．故選：C．5．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）函數(shù)的定義域為_______．【答案】【解析】將函數(shù)解析式變形為，即可求得原函數(shù)的定義域.【詳解】，所以，.因此，函數(shù)的定義域為.故答案為：.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值域為____________．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)條件求出，然后可得答案.【詳解】設(shè)，因為冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，所以所以，所以故答案為：7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則函數(shù)值域是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性來求得的值域.【詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞增，值域為；當(dāng)時，單調(diào)遞增，值域為，故函數(shù)值域為.故選：B8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)中a的取值集合C是的子集，當(dāng)冪函數(shù)的值域與定義域相同時，集合C為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出各冪函數(shù)的定義域和值域，得到答案.【詳解】當(dāng)時，定義域和值域均為，符合題意；時，定義域為，值域為，故不合題意；時，定義域為，值域為，符合題意；時，定義域與值域均為R，符合題意；時，定義域為R，值域為，不符合題意；時，定義域與值域均為R，符合題意.故選：C9．（2023秋·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)的定義域為R.(1)求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)在上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由冪函數(shù)定義求得參數(shù)值；（2）由二次函數(shù)的單調(diào)性知對稱軸在開區(qū)間上，再由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，對數(shù)的定義得結(jié)論．【詳解】（1）由題意且，解得；（2）由（1），的對稱軸，因為在上不單調(diào)，所以，解得．10．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）若函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，都有成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由題意得在上恒成立，可得，代入數(shù)據(jù)，化簡整理，即可得答案.（2）根據(jù)題意可得，即時恒成立，整理可得，設(shè)，只需即可，求導(dǎo)，可得的單調(diào)性，即可求得的最小值，即可得答案.【詳解】（1）由題意可知在上恒成立，故可得，解得（2）由題意可得，，即時恒成立可化為，設(shè)，，只要即可，又，所以在為增函數(shù)，所以，所以【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，可得恒成立，即即可，若處理存在性問題時，只需即可，考查分析計算的能力，屬中檔題.11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【分析】判斷單調(diào)遞增，討論或，根據(jù)分段函數(shù)的值域可得且，解不等式即可求解.【詳解】由函數(shù)單調(diào)遞增，①當(dāng)時，若，有，而，此時函數(shù)的值域不是；②當(dāng)時，若，有，而，若函數(shù)的值域為，必有，可得．則實數(shù)的取值范圍為．故答案為：考點(diǎn)三冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用（一）依據(jù)圖象高低判定冪指數(shù)大小12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，的右側(cè)部分的圖像，圖像由下至上，冪指數(shù)增大，即可判斷；【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，的右側(cè)部分的圖像，圖像由下至上，冪指數(shù)增大，所以由圖像得：，故選：D13．（2023秋·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示是函數(shù)（均為正整數(shù)且互質(zhì)）的圖象，則（

）A．是奇數(shù)且B．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且C．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且D．是奇數(shù)，且【答案】B【分析】由冪函數(shù)性質(zhì)及時兩圖象的位置關(guān)系可知；由圖象可知為偶函數(shù)，進(jìn)而確定的特征.【詳解】由冪函數(shù)性質(zhì)可知：與恒過點(diǎn)，即在第一象限的交點(diǎn)為，當(dāng)時，，則；又圖象關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)，，又互質(zhì)，為偶數(shù)，為奇數(shù).故選：B.14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出；根據(jù)函數(shù)的奇偶性及，互質(zhì)可判斷出為偶數(shù)，為奇數(shù).【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞減，所以0，因為函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，又p、q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，所以選項D正確，故選：D.（二）圖象的識別15．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的冪函數(shù)的值域排除兩個選項，再利用函數(shù)圖象在第一象限的特征判斷作答.【詳解】由得，函數(shù)的圖象在x軸及上方，B、D都不正確，函數(shù)的圖象是曲線，在時，該曲線在直線的下方，且增長速度逐漸變慢，C不正確，A滿足條件.故選：A16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由奇偶性可排除D；由冪函數(shù)性質(zhì)可排除AC，由此可得結(jié)果.【詳解】的定義域為，且，為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，可排除；，由冪函數(shù)性質(zhì)知：在上單調(diào)遞增，但增長速度越來越慢，可排除AC.故選：B.17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)的奇偶性及冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行排除可得答案.【詳解】因為，所以為偶函數(shù)，排除A,B選項；易知當(dāng)時，為增函數(shù)，且增加幅度較為緩和，所以D不正確.故選：C.18．（2023秋·四川遂寧·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用時排除選項D，利用時排除選項C，利用時排除選項B，所以選項A正確.【詳解】函數(shù)的定義域為當(dāng)時，，可知選項D錯誤；當(dāng)時，，可知選項C錯誤；當(dāng)時，，可知選項B錯誤，選項A正確.故選：A19．【多選】（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考期中）函數(shù)的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】先根據(jù)當(dāng)時，，時，，排除C，再舉出適當(dāng)?shù)牡闹?，分別得到ABD三個圖象.【詳解】由題意知，則，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，，所以的大致圖象不可能為C，而當(dāng)為其他值時，A，B，D均有可能出現(xiàn)，不妨設(shè)，定義域為，此時A選項符合要求；當(dāng)時，定義域為，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，所以B選項符合要求，當(dāng)時，定義域為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，所以D選項符合要求.故選：ABD（三）冪函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題20．（2023秋·河南開封·高三校考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在冪函數(shù)的圖象上，則＝________.【答案】27【分析】由對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)求解，【詳解】令，得，此時，故定點(diǎn)，設(shè)，則，得，故，故答案為：2721．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)（，且）的圖象恒過定點(diǎn)，在冪函數(shù)的圖象上，則=_______；【答案】27【分析】先求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入冪函數(shù)中，即可求出冪函數(shù)的方程，進(jìn)而可以求出.【詳解】解：因為函數(shù)（，且）的圖象恒過定點(diǎn)，所以由指數(shù)型函數(shù)性質(zhì)得，因為在冪函數(shù)的圖象上所以，解得，所以，.故答案為：22．（2023秋·福建漳州·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為____________【答案】【分析】由恒成立可得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】當(dāng)時，，.故答案為：.考點(diǎn)四冪函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用（一）由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)23．（2023秋·高三課時練習(xí)）冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的值為_______【答案】2【分析】根據(jù)冪函數(shù)建立等式，解出，將代入函數(shù)檢驗，看是否在上單調(diào)遞減即可確定答案.【詳解】解：因為是冪函數(shù)，所以，解得或，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)化為，符合題意，當(dāng)時，，不符合題意，綜上.故答案為：224．（2023春·四川廣安·高三?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增．(1)求m的值及函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上的最大值為3，求實數(shù)a的值．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)及其區(qū)間單調(diào)性列方程、不等式求參數(shù)，進(jìn)而寫出解析式；（2）由（1）及已知得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)及其區(qū)間最值，討論對稱軸與區(qū)間位置關(guān)系求參數(shù)值.【詳解】（1）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，解得，故；（2）由（1）知：，所以，所以函數(shù)的圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為直線；由于在上的最大值為3，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，故，解得；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，故，解得；③當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，解得（舍去）或（舍去）．綜上所述，．25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的圖象過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題知，進(jìn)而得，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】解：因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以，故令得，所以所以的圖象過定點(diǎn)故選：D（二）由冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，試求的取值范圍.【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義域，將分成：同時大于零、同時小于零、三種情況，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】∵，∴或或解得或.故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查冪函數(shù)的定義域和單調(diào)性的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查不等式組的解法，屬于中檔題.27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：因為是定義在上的增函數(shù)，又，所以，解得，因為由可推出，而由無法推出，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）滿足的實數(shù)m的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)值的正負(fù)，將所求不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一次不等式組，求解即可.【詳解】冪函數(shù)在為減函數(shù)，且函數(shù)值為正，在為減函數(shù)，且函數(shù)值為負(fù)，等價于，或或，解得或或，所以不等式的解集為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的求解，利用冪函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查分類討論思想和計算求解能力，屬于中檔題.29．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考二模）已知，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出的范圍.【詳解】，根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減得，，根據(jù)冪函數(shù)在上單調(diào)遞增知，則，，根據(jù)對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減得，綜上.故選：D.（三）由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小30．（2023·天津·一模）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷，，再對，進(jìn)行取對數(shù)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】由，，，則，，又，，則，即，所以．故選：D．31．（2023·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指，對，冪函數(shù)的單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】函數(shù)單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，單調(diào)遞減，，所以，即.故選：C32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)冪函數(shù)，依次將點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得到答案.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，因為點(diǎn)在的圖象上，所以，，即，又點(diǎn)在的圖象上，所以，則，所以，，，所以，故選：B33．（2023春·陜西西安·高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出函數(shù)解析式，再利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小而得解.【詳解】因冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則，且，于是得，，函數(shù)，函數(shù)是R上的增函數(shù)，而，則有，所以.故選：D34．【多選】（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合特殊值法及構(gòu)造函數(shù)法即可求解.【詳解】由冪函數(shù)的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增.因為,所以，即，，所以．故A正確；令，則，故B錯誤；令，則由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，于是有，故C正確；令，則，所以因為，故D錯誤．故選：AC.（四）冪函數(shù)奇偶性的應(yīng)用35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，值域是且為偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和值域確定正確選項.【詳解】的值域為，不符合題意，A選項錯誤.，當(dāng)時等號成立，不符合題意，B選項錯誤.的定義域為，是非奇非偶函數(shù)，不符合題意，C選項錯誤.令，其定義域為，，所以是偶函數(shù)，且，即的值域為，符合題意，D選項正確.故選：D36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若冪函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，則實數(shù)______．【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念和性質(zhì)計算即可【詳解】由冪函數(shù)可得，解得或，又因為函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，則a為偶數(shù)，所以．故答案為：37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A．3 B．2 C．1 D．1或2【答案】C【分析】由題意利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，得出結(jié)論．【詳解】冪函數(shù)為偶函數(shù)，，且為偶數(shù)，則實數(shù)，故選：C38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則使函數(shù)的定義域為，且該函數(shù)為奇函數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．、或【答案】A【分析】由冪函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)依次驗證得解.【詳解】因為定義域為，所以，，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，則滿足條件的或.故選:A39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè))，則“函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1，-1）”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由圖象過點(diǎn)解得a的值的集合，再由奇函數(shù)解得a的值的集合，由兩個集合相等確定充要條件關(guān)系.【詳解】∵的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，∴又∵∴∵為奇函數(shù)，∴∴“的圖象經(jīng)過點(diǎn)”是“為奇函數(shù)”的充要條件.故選：C.（五）冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)y＝（m∈Z）的圖象如圖所示，則實數(shù)m的值為________.【答案】1【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可判斷單調(diào)性，進(jìn)而可得，為整數(shù)，由驗證是否是偶函數(shù)即可求解.【詳解】有圖象可知：該冪函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，解得，,故可取，又因為該函數(shù)為偶函數(shù)，所以為偶數(shù)，故故答案為：41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，若冪函數(shù)奇函數(shù)，且在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則__________.【答案】-1【分析】根據(jù)冪函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，可得，再由冪函數(shù)奇函數(shù)即可得答案.【詳解】解：因為冪函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，所以，所以，又因為冪函數(shù)奇函數(shù)，且，所以，故答案為：-142．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“冪函數(shù)在上為增函數(shù)”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】要使函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，求出，可得函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；函數(shù)為奇函數(shù)，求出，故必要性不成立，可得答案.【詳解】要使函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則，解得：，當(dāng)時，，，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；“函數(shù)為奇函數(shù)”，則，即，解得：，故必要性不成立，故選：A．43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且，則a的取值范圍是______．【答案】【分析】先求得冪函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性來求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，所以，在上遞增，且為奇函數(shù)，所以.故答案為：44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則滿足的實數(shù)的范圍為（

）A． B．C．D．【答案】D【分析】由冪函數(shù)的定義求得的可能取值，再由單調(diào)性確定的值，得函數(shù)解析式，結(jié)合奇偶性求解.【詳解】由題意，解得或，又在上單調(diào)遞增，所以，，所以，，易知是偶函數(shù)，所以由得，解得或.故選：D.45．（2023秋·山東德州·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)同時滿足①對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，都有；②在上是減函數(shù)，則的值為（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】B【分析】由的值依次求出的值，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定，得函數(shù)解析式，計算函數(shù)值．【詳解】，，，代入分別是，在定義域內(nèi)，即是偶函數(shù)，因此取值或0，時，在上不是減函數(shù)，只有滿足，此時，，．故選：B．46．（2023·高三課時練習(xí)）已知冪函數(shù)（m為正整數(shù)）的圖像關(guān)于y軸對稱，且在上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足的實數(shù)a的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)以及函數(shù)的性質(zhì)，可確定參數(shù)m的取值，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性，分類討論求解不等式，可得答案.【詳解】因為函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以，解得．由m為正整數(shù)，則或,又函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，得是偶函數(shù)，而當(dāng)時，，為奇函數(shù)，不符題意，當(dāng)時，，為偶函數(shù)，于是．因為為奇函數(shù)，在與上均為嚴(yán)格減函數(shù)，所以等價于或或，解得或，即.（六）冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用47．【多選】（2023秋·廣東梅州·高三豐順縣豐順中學(xué)校考期末）若冪函數(shù)的圖象過，下列說法正確的有（

）A．且 B．是偶函數(shù)C．在定義域上是減函數(shù) D．的值域為【答案】AB【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，由經(jīng)過可得，進(jìn)而得，結(jié)合選項即可根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)逐一求解.【詳解】對于A;由冪函數(shù)定義知，將代入解析式得，A項正確；對于B;函數(shù)的定義域為，且對定義域內(nèi)的任意x滿足，故是偶函數(shù)，B項正確；對于C;在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，C錯誤；對于D;的值域不可能取到0，D項錯誤.故選：AB48．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】ACD【分析】設(shè)冪函數(shù)的解析式，代入點(diǎn)，求得函數(shù)的解析式，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷A、C項，根據(jù)函數(shù)的定義域可判斷B項，結(jié)合函數(shù)的解析式，利用平方差證明不等式可判斷D項.【詳解】解：設(shè)冪函數(shù)，則，解得，所以，所以的定義域為，在上單調(diào)遞增，故A正確，因為的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故B錯誤，當(dāng)時，，故C正確，當(dāng)時，，又，所以，D正確．故選：ACD.49．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)討論函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；(3)求函數(shù)的值域．【答案】(1)或或(2)答案見解析(3)答案見解析【分析】（1）依題意可得，求出的取值范圍，再根據(jù)，即可得到，再代入求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)（1）中的解析式及冪函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論；（3）根據(jù)（1）中的解析式及冪函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論；【詳解】（1）解：依題意，即，解得，因為，所以或或，所以或或（2）解：若定義域為，則為奇函數(shù)，且在和上單調(diào)遞減；若定義域為，則為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若定義域為，則為奇函數(shù)，且在和上單調(diào)遞減；（3）若，則為奇函數(shù)，當(dāng)時，所以時，所以函數(shù)的值域為；若，則為偶函數(shù)，當(dāng)時，所以時，所以函數(shù)的值域為；若，則為奇函數(shù)，當(dāng)時，所以時，所以函數(shù)的值域為；考點(diǎn)五冪函數(shù)的綜合問題50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)，對任意，總存在使得，則的取值范圍為__________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)及其單調(diào)性可求得的值，求出函數(shù)在上的值域，以及函數(shù)在上的值域，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)是冪函數(shù)，則，，在上單調(diào)遞減，則，可得，，在上的值域為，在上的值域為，根據(jù)題意有，的范圍為.故答案為：.51．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)，，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)得到，分別求出函數(shù)和在區(qū)間的值域，再結(jié)合題意即可得到答案.【詳解】因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.，則的值域為，又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，的值域為，因為，，使得成立，所以，解得.故選：A52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是冪函數(shù)，且其圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為___________.【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及所過的點(diǎn)求出，再根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：因為函數(shù)是冪函數(shù)，所以，解得，又其圖象過點(diǎn)，所以，所以，則，則，解得或，令，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，又因函數(shù)為減函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.53．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，，且，滿足.若，，且的值為負(fù)值，則下列結(jié)論可能成立的有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】BC【解析】首先根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)，求得的兩個值，然后根據(jù)題意判斷函數(shù)在上是增函數(shù)，確定的具體值，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性可判斷得正確選項.【詳解】由于函數(shù)為冪函數(shù)，故，即，解得.當(dāng)時，，當(dāng)時，.由于“對任意，且，滿足”知，函數(shù)在上為增函數(shù)，故.易見，故函數(shù)是單調(diào)遞增的奇函數(shù).由于，即，得，所以，此時，若當(dāng)時，，故；當(dāng)時，，故，故；當(dāng)時，由知，，故或或，即或或.綜上可知，，且或或.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟知冪函數(shù)定義和性質(zhì)突破參數(shù)m，再綜合應(yīng)用奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)確定和的符號情況.54．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是冪函數(shù)，直線過點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)a、b，根據(jù)點(diǎn)在直線上得，有且，進(jìn)而可求的取值范圍.【詳解】由是冪函數(shù)，知：，又在上，∴，即，則且，∴.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)，再由點(diǎn)在線上確定m、n的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而結(jié)合目標(biāo)式，應(yīng)用分式型函數(shù)的性質(zhì)求范圍.55．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，（1）當(dāng)時，求的值域；（2）若對，成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若對，，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）[0,9]；（2）；（3）.【分析】（1）由二次函數(shù)的性質(zhì)得出值域；（2）將問題轉(zhuǎn)化為求在的最小值大于或等于1，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出實數(shù)的取值范圍；（3）將問題轉(zhuǎn)化為在的最大值小于或等于在上的最大值9，從而得出實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)，的值域（2）對，成立，等價于在的最小值大于或等于1．而在上單調(diào)遞減，所以，即（3）對，，使得成立，等價于在的最大值小于或等于在上的最大值9由，考點(diǎn)六二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）二次函數(shù)的圖象56．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？家荒＃┖瘮?shù)，且與函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象不可能的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用對數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)逐項分析即得.【詳解】對于A，由對數(shù)函數(shù)圖象可知，又函數(shù)，對稱軸為<1，對應(yīng)方程的兩個根為0，，由圖知，從而，選項A可能；對于B，由對數(shù)函數(shù)圖象可知，又函數(shù)，對稱軸為<1，對應(yīng)方程的兩個根為0，，由圖知，從而，選項B可能；對于C，由對數(shù)函數(shù)圖象可知，又函數(shù)，對稱軸為>1，對應(yīng)方程的兩個根為0，，由圖知，從而，選項B可能；對于D，由對數(shù)函數(shù)圖象可知，又函數(shù)，對稱軸為<1，對應(yīng)方程的兩個根為0，，由圖知，從而，選項D不可能.故選：D.57．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在下列四個圖形中，二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)的關(guān)系與各圖形一個個檢驗即可判斷．【詳解】當(dāng)時，A正確；當(dāng)時，B正確；當(dāng)時，D正確；當(dāng)時，無此選項．故選：ABD．58．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖像是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由二次函數(shù)圖象可得，然后利用排除法結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析判斷即可【詳解】由函數(shù)（其中）的圖象可得，所以，所以排除BC，因為，所以為增函數(shù)，所以排除A，故選：D59．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，如果且，則它的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)且，得到，，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合排除法，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，因為，令，可得，即函數(shù)圖象過點(diǎn)，又由，可得，所以拋物線的開口向上，可排除D項，令，可得，可排除B、C項；故選：A.（二）二次函數(shù)的單調(diào)性60．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分且必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性以及充分且必要條件的概念可得答案.【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，可得，即；由，得，得函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以“函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)”是“”的充分且必要條件.故選：C61．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合冪函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】由題意，得，解得或，所以函數(shù)的定義域為，令，則開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：D.62．（2023秋·山東菏澤·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及定義域可求解.【詳解】由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律和函數(shù)定義域可知：函數(shù)在上單調(diào)遞增且在上恒成立，則有，解得，則a的取值范圍為.故選：D63．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間的是（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)的取值去絕對值符號，畫出的圖象即可求解.【詳解】由解得，所以，函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和，故選：AC64．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）＝在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【分析】要使f（x）在R上單調(diào)遞增，必須滿足：f（x）在(－∞，1)上單調(diào)遞增，f（x）在(1，＋∞)上單調(diào)遞增；又x=1時，(x2－2ax)≥(x＋1)．【詳解】要使f（x）在R上單調(diào)遞增，必須滿足三條：第一條：f（x）在(－∞，1)上單調(diào)遞增；第二條：f（x）在(1，＋∞)上單調(diào)遞增；第三條：x=1時，(x2－2ax)≥(x＋1)．故有解得．故實數(shù)a的取值范圍為．故答案為：.65．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍________.【答案】【分析】求出函數(shù)的對稱軸，根據(jù)對稱軸在區(qū)間內(nèi)得到不等式組，解得即可.【詳解】解：因為，所以函數(shù)的對稱軸為，因為函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：66．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系求得的取值范圍.【詳解】由于函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，所以的對稱軸或，解得或，所以的取值范圍是.故選：A（三）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值67．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．求的解析式；【答案】【分析】首先求函數(shù)的對稱軸，再討論對稱軸和定義域端點(diǎn)的關(guān)系，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值，即可求解.【詳解】當(dāng)，即時，在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)，即時，；當(dāng)時，在區(qū)間上為減函數(shù)，綜上所述，.68．（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)時，求的最大值（a為常數(shù)，結(jié)果可用a來表示）．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分情況討論即可求解.【詳解】為開口向上的二次函數(shù)，且對稱軸為，當(dāng)時，，此時二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，當(dāng)時，且，此時二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，當(dāng)時，且，此時二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，當(dāng)時，此時二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，綜上可知：設(shè)的最大值為，則.69．（2023·高三課時練習(xí)）求函數(shù)，的最小值.【答案】【分析】由函數(shù)解析式知函數(shù)開口方向向下，對稱軸為的二次函數(shù)，討論對稱軸的位置從而確定最小值取得的點(diǎn)，進(jìn)而求解.【詳解】由題意知：函數(shù)開口方向向下，對稱軸為，因為，令，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以函數(shù)，的最小值.70．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若為整數(shù)，且關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】(1)(2)最小值為2【分析】（1）討論m的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，即可求得答案；（2）將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，分類討論，即可求得答案.【詳解】（1）若時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以.若，則二次函數(shù)圖象對稱軸，當(dāng)，即時，1離對稱軸近，2離對稱軸遠(yuǎn)，所以.當(dāng)，即時，1離對稱軸遠(yuǎn)，2離對稱軸近，.若，對稱軸在區(qū)間上單調(diào)遞減，綜上，.（2）因為恒成立，即恒成立，令,所以,當(dāng)時，因為，所以，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù).又因為，所以關(guān)于的不等式不能恒成立.當(dāng)時，,令得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.因此函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).故函數(shù)的最大值為.令，因為.又因為在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時，,即關(guān)于的不等式恒成立，所以整數(shù)的最小值為2.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答關(guān)于的不等式恒成立問題，需將問題轉(zhuǎn)化求函數(shù)最值，因此利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類討論，求解函數(shù)最值即可解決.71．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足，且．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出解析式，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解；（2）在第一問基礎(chǔ)上，分與兩種情況進(jìn)行求解最大值.【詳解】（1）設(shè)，則，因為，所以，故，解得：又所以，所以；（2）由（1）得，圖象開口向上，對稱軸為．當(dāng)時，，所以此時函數(shù)的最大值為；當(dāng)時，，所以此時函數(shù)的最大值為；綜上：．72．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求的最大值；(2)若的最大值為，求的最小值．【答案】(1)4(2)4【分析】（1）由是偶函數(shù)，求時的最大值，即函數(shù)的最大值；（2）寫出分段函數(shù)的解析式，分類討論a取不同值時函數(shù)分別在兩段上的最大值，比較大小得函數(shù)的最大值，再求的最小值.【詳解】（1）由題意得，當(dāng)時，，因為，所以是偶函數(shù)，故的最大值為4．（2）由題意得，①若，則當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時