新型混合折紙超材料的設(shè)計(jì)與性能編程方法

一、引言

機(jī)械超材料是指一類具有天然材料罕見(jiàn)物理性能的新型人造材料，其奇特性質(zhì)源于微結(jié)構(gòu)（胞元）和基本材料，因此易實(shí)現(xiàn)可編程和可調(diào)控的力學(xué)性能。起初，一些學(xué)者通過(guò)特殊的胞元設(shè)計(jì)，使機(jī)械超材料實(shí)現(xiàn)了負(fù)泊松比效應(yīng)。近幾年，隨著設(shè)計(jì)方法和增材制造技術(shù)的進(jìn)步，出現(xiàn)了多種非常規(guī)力學(xué)性能的超材料，如雙穩(wěn)態(tài)和多穩(wěn)態(tài)、可調(diào)熱膨脹系數(shù)、五模式、高比剛度、剛度可編程和剛度可調(diào)控超材料。

折紙是一種將二維平面按照特定山線折痕和谷線折痕折疊從而形成三維藝術(shù)品的藝術(shù)活動(dòng)。由于優(yōu)越的形狀可轉(zhuǎn)換性、豐富的折疊模態(tài)、靈活可變的設(shè)計(jì)參數(shù)和易于制造的特點(diǎn)，使折紙成為一種用于高效構(gòu)建超材料微結(jié)構(gòu)的方法之一。根據(jù)變形特征，折紙可分為剛性和非剛性兩大類。其中，剛性折紙的折紙面在圍繞折痕轉(zhuǎn)動(dòng)的折疊過(guò)程中其內(nèi)部不產(chǎn)生任何變形，其力學(xué)響應(yīng)完全由折痕決定。如Miura和基于Miura設(shè)計(jì)的折紙胞元，是目前超材料設(shè)計(jì)和研究中最普遍的剛性折紙。剛性折紙構(gòu)造簡(jiǎn)單，但僅通過(guò)折痕旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的低應(yīng)變能，使整體結(jié)構(gòu)具有剛度較低的固有缺陷。在胞元中引入缺陷或幾何梯度等設(shè)計(jì)，一定程度上可改善這種缺陷。然而，改善后剛性折紙胞元失去了原有的普適性折疊模式、嚴(yán)格的運(yùn)動(dòng)學(xué)理論模型和可編程的性能。與剛性折紙相反，非剛性折紙?jiān)谡酆坌D(zhuǎn)時(shí)，折紙面與折痕處同時(shí)變形。Kresling和Resc胞元是兩種典型的非剛性折紙，其中折紙面的變形往往會(huì)較大程度地提高結(jié)構(gòu)的整體剛度，擴(kuò)大應(yīng)變能分布，從而增強(qiáng)超材料的力學(xué)性能。目前對(duì)于剛性折紙和非剛性折紙的研究已有許多，而已報(bào)道的折紙超材料通常由單一類型的剛性或非剛性折紙胞元周期性排布而成，無(wú)法實(shí)現(xiàn)剛性和非剛性結(jié)合的寬范圍力學(xué)性能調(diào)控。針對(duì)這一問(wèn)題，文章結(jié)合剛性和非剛性折紙胞元設(shè)計(jì)超材料微結(jié)構(gòu)，提出了一種超材料排布設(shè)計(jì)方法。通過(guò)改變不同胞元類型在超材料中的排布比例，對(duì)所設(shè)計(jì)的超材料的力學(xué)性能在傳統(tǒng)非剛性和剛性超材料作為上下區(qū)間的范圍內(nèi)進(jìn)行調(diào)控。而不同種類的折紙胞元通常有不同的折痕數(shù)量和山-谷線排布，當(dāng)構(gòu)成超材料時(shí)，相鄰胞元之間可能出現(xiàn)不匹配的情況。因此，目前的折紙超材料大都采用完全相同的折紙胞元，或者由折痕排布相同但幾何參數(shù)不同的胞元排布而成。作為目前研究較少的折紙類型之一，square-twist折紙胞元不僅折痕位置分布相同，而且具有多種折痕山-谷線分布類型。相同折痕位置的分布為不同胞元的陣列排布提供了可能性，同時(shí)保證了超材料在平面和折疊狀態(tài)的幾何匹配性。通過(guò)改變相鄰胞元的折痕山-谷線排布類型，可以調(diào)整折疊模式，還可實(shí)現(xiàn)不同的剛度。因此，由不同剛度基本胞元組成的混合折紙胞元有利于實(shí)現(xiàn)折紙超材料力學(xué)性能的可編程性。利用square-twist折紙胞元這種特性，提出了一種新的超材料。已有研究表明，square-twist折紙胞元有4種山-谷線折痕排布形式（圖1），其中包含兩種非剛性（type-1、type-2）和兩種剛性（type-3、type-4）胞元。每一種胞元都具有不同的變形模式和力學(xué)性能。相關(guān)研究表明，由圖1中type-3胞元排布設(shè)計(jì)的超材料實(shí)現(xiàn)了可調(diào)控的負(fù)泊松比效應(yīng)。文章將剛性和非剛性square-twist基本胞元結(jié)合，提出了一種新型混合排布的胞元，通過(guò)改變基本胞元的組合類型和排布比例，實(shí)現(xiàn)了折紙超材料一定范圍內(nèi)力學(xué)性能（如變形能、承載力、剛度）的可編程性。圖1

square-twist胞元的山-谷線折痕分布和折疊構(gòu)型。（a）type-1；（b）type-2；（c）type-3；（d）type-4（比例尺：5mm）。其中，山、谷線折痕分別用實(shí)線和虛線表示。二、空間排布規(guī)則為了得到square-twist超材料的空間排布規(guī)則，首先研究了相同胞元排布的設(shè)計(jì)，基本參數(shù)如圖1（a）所示，包括方面板邊長(zhǎng)l、長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)a、角度α。這里僅考慮了圖1（a）~（c）中非剛性的type-1和type-2，及剛性的type-3三種胞元設(shè)計(jì)，圖1（d）中剛性的type-4與type-3具有相似的力學(xué)響應(yīng)，因此沒(méi)有考慮在內(nèi)。上述的三種胞元本身及其翻轉(zhuǎn)胞元（即山-谷線折痕反向排布）都可以作為排布超材料的基本胞元。值得注意的是，type-2和type-3胞元的翻轉(zhuǎn)胞元分別與type-2、type-3本身旋轉(zhuǎn)90°和180°后形成的胞元相同，而type-1胞元不具備這種特點(diǎn)。因此，type-1胞元的翻轉(zhuǎn)胞元在超材料排布設(shè)計(jì)中作為一個(gè)單獨(dú)的胞元構(gòu)型，采用type1R表示。4種胞元如圖2所示，根據(jù)胞元構(gòu)型的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，圖2（a）上部框中的4個(gè)胞元定義為左手性胞元，下部框中的定義為右手性胞元。此外，同一個(gè)胞元構(gòu)型的左（右）手性胞元并不相同，不能通過(guò)右（左）手性胞元旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)得到。綜上，由三種square-twist構(gòu)型可得到圖2所示的8種胞元：分別表示為type-1、type-2和type-3胞元的左手性和右手性構(gòu)型Li、Ri

(i

=1,2,3)，及type-1翻轉(zhuǎn)胞元的左手性和右手性構(gòu)型L?1、R?1。

圖2

相同幾何參數(shù)square-twist胞元的空間排布規(guī)則。（a）4種基本胞元的左手性和右手性構(gòu)型的山-谷線折痕分布和空間排布簡(jiǎn)圖；（b）左手性和右手性胞元排布的2×2超材料。根據(jù)8種胞元的折痕構(gòu)造，建立了平面狀態(tài)下相鄰胞元排布的匹配性條件。由圖2可知，每個(gè)胞元的邊線都與一條長(zhǎng)折痕和短折痕垂直相交。因此，當(dāng)兩個(gè)相鄰胞元由一條共邊線排布時(shí)，與共邊線垂直相交的兩條長(zhǎng)折痕和短折痕必須共線且具有相同的山-谷線排布，以構(gòu)成連續(xù)的折痕。為了便于超材料的排布設(shè)計(jì)，首次采用了不同顏色和鋸齒邊線構(gòu)成的拼圖胞元（圖2），研究四階頂點(diǎn)胞元的折紙超材料。每個(gè)拼圖胞元的邊線都由對(duì)應(yīng)的彩色鋸齒線表示。其中，凸形和凹形三角分別表示左手性胞元和右手性胞元的長(zhǎng)短折痕位置排布。當(dāng)短（長(zhǎng)）折痕分別為山（谷）線折痕時(shí)，拼圖胞元邊線用黃色表示，反之用綠色表示。采用上述空間排布規(guī)則有利于快速判斷相鄰胞元的可連接性。超材料可通過(guò)8個(gè)基本拼圖胞元的空間排布規(guī)則設(shè)計(jì)，由圖2（b）中2×2的正方形超材料可知，4個(gè)基本胞元并不一定是完全相同的，但左手性拼圖胞元周圍一定為右手性胞元。在2×2超材料排布中，有4條相鄰重合邊，可分別選擇黃色或綠色邊，形成16（24）種可能的組合。此外，在每一個(gè)基本胞元中，都有左手性和右手性胞元兩種類型可選擇，從而再產(chǎn)生16（24）種可能的排布方式。因此，所有可能的拼圖形成的2×2超材料組合共有256種（24

×24）。去掉其中能夠通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到的重復(fù)組合后，基于type-1胞元（L1,R1,L?1,R?1）和type-2胞元（L2,R2），可得到圖3所示的136種不同排布組合。值得注意的是，基于type-3胞元（L3,R3）排布的2×2超材料數(shù)量能通過(guò)數(shù)量4減去另外兩種類型的胞元數(shù)目之和得到。如圖2（b）所示，當(dāng)采用單一胞元拼接時(shí)，排布后超材料的相鄰胞元間具有鏡像對(duì)稱，且拼接處折痕布局相同的特點(diǎn)，唯一的不同之處在于山-谷線折痕的分布相反。這種現(xiàn)象表明，在任意m

×

m的超材料設(shè)計(jì)中，采用相同預(yù)折痕的胞元即可得到所有超材料設(shè)計(jì)，甚至僅通過(guò)展開(kāi)和重新折疊就能實(shí)現(xiàn)從一種拼接設(shè)計(jì)到另一種拼接設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)化。圖3

基于type-1和type-2胞元排列的136種2×2超材料?；谝陨?×2的排布，更大超材料可通過(guò)以下兩種方式建立：第一種是直接法，根據(jù)所建立的排布規(guī)則依次拼接每一個(gè)胞元，或以136種2×2的超材料為二階胞元?jiǎng)?chuàng)建更大的超材料。理論上，排布的超材料數(shù)量將隨著胞元數(shù)量的增加而呈指數(shù)級(jí)增加，m

×

m

個(gè)胞元能夠拼接出2(+2)種方形超材料（見(jiàn)附錄A中的S1部分）。雖然這種方法能夠拼出所有的超材料設(shè)計(jì)，使排布的超材料數(shù)量和種類極具多樣性，但設(shè)計(jì)過(guò)程復(fù)雜。從力學(xué)的角度來(lái)看，將一個(gè)胞元翻轉(zhuǎn)或鏡像，并不會(huì)影響其折疊變形，且經(jīng)過(guò)翻轉(zhuǎn)或鏡像的不同胞元可以相同，沒(méi)有必要確定出所有可能的排布設(shè)計(jì)。在研究超材料力學(xué)性能時(shí)，可以將8種胞元分為第一組（L1,R1,L?1,R?1）、第二組（L2和R2）和第三組（L3和R3），且只需考慮每一組中的排布數(shù)量。因此，大量具有不同胞元組合的排布設(shè)計(jì)中只有小部分需要進(jìn)行性能的編程設(shè)計(jì)。例如，僅設(shè)計(jì)15個(gè)二階超材料胞元即可排布出9種四階超材料，其中type-1胞元數(shù)量比例可從0%變化到100%，間隔為25%（圖4）。在圖4所有二階排布的超材料中，盡管折痕位置相同，但可設(shè)置不同的山-谷線折痕，即在某特定位置處，一種二階排布的超材料中是山線折痕，而另一種中可表現(xiàn)為相反的谷線折痕。圖4

9組不同type-1胞元數(shù)量的4×4超材料排布。（a）16個(gè)type-1胞元；（b）12個(gè)type-1和4個(gè)type-3胞元；（c）8個(gè)type-1和8個(gè)type-2胞元；（d）8個(gè)type-1和8個(gè)type-3胞元；（e）4個(gè)type-1、8個(gè)type-2和4個(gè)type-3胞元；（f）4個(gè)type-1和12個(gè)type-3胞元；（g）16個(gè)type-2胞元；（h）4個(gè)type-2和12個(gè)type-3胞元；（i）16個(gè)type-3胞元。采用這種排布規(guī)則，不僅可采用相同幾何參數(shù)的基本胞元，還可引入幾何梯度設(shè)計(jì)。仍以2×2超材料排布為例，通常情況下，4個(gè)胞元可以具有不同的邊長(zhǎng)i和扭轉(zhuǎn)角度i（i

=1,2,3,4）。然而，為了確保相鄰胞元公共邊的匹配條件，圖5中所示的胞元幾何參數(shù)應(yīng)滿足如下方程：圖5

具有幾何梯度的2×2的超材料排布。值得注意的是，當(dāng)梯度超材料排布時(shí)，胞元的4條邊長(zhǎng)i1、i2、i3、i4不相等，需要單獨(dú)計(jì)算。根據(jù)相同胞元的超材料排布規(guī)則，即能設(shè)計(jì)更多種類的梯度超材料。三、制造和實(shí)驗(yàn)為了研究超材料的力學(xué)性能，制備并測(cè)試了9組不同排布的4×4超材料試件（圖4）。胞元的幾何參數(shù)：l

=

a

=16.3mm,

α

=30°；未折疊狀態(tài)的4×4超材料尺寸為218.8mm×218.8mm。如圖6所示，試件采用0.4mm厚的PET制備，折痕處采用TrotecSpeedy300激光切割機(jī)（Speedy300,Trotec,Austria）穿孔，間隔為1.5mm，孔洞大小為0.8mm×3.0mm。通過(guò)手工折疊，使折痕轉(zhuǎn)變?yōu)橥耆郫B狀態(tài)，并采用實(shí)驗(yàn)室研制的水平準(zhǔn)靜態(tài)拉伸實(shí)驗(yàn)機(jī)（加載位移為800mm，力傳感器量程為300N）開(kāi)展拉伸實(shí)驗(yàn)。為了使拉伸試樣均勻變形，圖6（b）設(shè)計(jì)了由4個(gè)線性導(dǎo)軌和8個(gè)滑動(dòng)夾具組成的方形機(jī)構(gòu)，并在方形試件的4個(gè)角和邊長(zhǎng)中心點(diǎn)進(jìn)行加載。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，以0.2mm·s-1的拉伸速率加載，直至試件對(duì)角線長(zhǎng)度達(dá)到306mm，此時(shí)超材料完全展開(kāi)，反力值迅速增加。采用數(shù)碼相機(jī)（Canon70D,Japan）以25幀每秒記錄整個(gè)拉伸變形過(guò)程，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)機(jī)采集力-位移曲線。此外，由力-位移曲線計(jì)算了胞元的變形能U、初始峰值力Fmax和最大剛度Kmax三個(gè)關(guān)鍵力學(xué)性能指標(biāo)。其中，變形能為展開(kāi)過(guò)程中拉伸力做的功；最大剛度為力-位移曲線中，初始峰值達(dá)到前的最大切線斜率。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中對(duì)每個(gè)試樣類型重復(fù)測(cè)試三次，以減小實(shí)驗(yàn)偶然性誤差。圖6

超材料的拉伸實(shí)驗(yàn)。（a）試件折痕和方形加載機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)；（b）實(shí)驗(yàn)設(shè)置。除了對(duì)超材料拉伸外，根據(jù)文獻(xiàn)方法，對(duì)type-1、type-2、type-3胞元也開(kāi)展了實(shí)驗(yàn)研究，單個(gè)胞元試樣與超材料中胞元的幾何參數(shù)和制備過(guò)程相同。其中，胞元面板的彎曲剛度和折痕的旋轉(zhuǎn)剛度分別為kf

=0.70N?rad-1和kc

=0.44N?rad-1，屈服旋轉(zhuǎn)角度為Δφy

=22.92°。圖7（a）為三個(gè)胞元實(shí)驗(yàn)的無(wú)量綱化荷載位移曲線，圖7（b）~（d）為三種胞元的無(wú)量綱化變形能U/(kfl)、初始峰值荷載Fmax/kf和最大剛度Kmaxl/kf。不難發(fā)現(xiàn)，type-1胞元的三種力學(xué)性能均高于其他兩種。此外，采用文獻(xiàn)的理論公式，分別對(duì)type-1、type-2和type-3胞元的三種性能進(jìn)行了預(yù)測(cè)。如圖7（b）~（d）所示，理論預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好，此結(jié)果可在超材料的性能編程中使用。圖7

三種胞元的力學(xué)性能。（a）無(wú)量綱化反力（F/kf）-位移（Δx/Δxmax）曲線。在每一條曲線中，實(shí)線表示三組實(shí)驗(yàn)的平均值，陰影區(qū)域表示實(shí)驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)誤差；（b）~（d）實(shí)驗(yàn)和預(yù)測(cè)的無(wú)量綱化變形能U/(kfl)、初始峰值荷載Fmax/kf、最大剛度Kmaxl/kf。通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得，type-1、type-2、type-3胞元中方形和梯形面的二面角分別為19.6°、25.2°、28.3°。四、結(jié)果和討論（一）均勻超材料的力學(xué)性能圖8為相同胞元均勻排布構(gòu)成的三種超材料的無(wú)量綱化反力（F/kf）-位移（Δx/Δxmax）曲線和變形過(guò)程。其中，圖8（a）為type-3胞元排布的超材料，在拉伸過(guò)程中，內(nèi)部所有胞元逐漸展開(kāi)，首先使反力值緩慢上升，然后出現(xiàn)較長(zhǎng)的平臺(tái)。同樣，圖8（b）為type-2胞元排布的超材料，胞元隨拉伸位移的增大同步展開(kāi)，表現(xiàn)出了光滑的力-位移曲線。圖8

超材料的變形過(guò)程和力學(xué)性能。（a）~（c）由type-3、type-2、type-1胞元均勻排布的超材料的無(wú)量綱化反力-位移曲線和關(guān)鍵模態(tài)；（d）~（f）分別由12個(gè)、8個(gè)、4個(gè)type-1胞元和type-3胞元構(gòu)成的超材料的無(wú)量綱化反力-位移曲線和關(guān)鍵模態(tài)；（g）實(shí)驗(yàn)和理論預(yù)測(cè)的變形能、初始峰值力、最大剛度。通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定，理論預(yù)測(cè)的type-1、type-2、type-3胞元中梯形和矩形面的初始二面角分別采用19.6°、20.5°、24.3°。圖8（c）為16個(gè)type-1胞元排布的超材料實(shí)驗(yàn)結(jié)果，其力學(xué)響應(yīng)與圖7（a）單個(gè)胞元相似。首先表現(xiàn)出了較高的初始峰值力；隨后，由于胞元的突然解鎖展開(kāi)，反力值快速下降；最后，由于折痕逐漸旋轉(zhuǎn)展開(kāi)，出現(xiàn)了一個(gè)短的反力平臺(tái)。與type-2和type-3胞元均勻排布的超材料變形相比，此超材料表現(xiàn)出了明顯的依次變形。為了解釋這種現(xiàn)象，根據(jù)胞元在超材料中的排布位置，將其內(nèi)部不同類型的胞元?jiǎng)澐譃橐韵滤牟糠郑篢1?i部分位于圖8中所示4個(gè)角處的紫色框，每個(gè)胞元有兩條邊與周圍胞元相連接，另外兩條為自由邊；T1?ii部分排布在超材料頂部和底部的黃色框中，其中胞元的三條邊分別與相鄰胞元連接，并位于長(zhǎng)方形面的長(zhǎng)邊處；如圖8中超材料左右兩側(cè)藍(lán)色框所示，T1?iii部分中的胞元也有三條邊線與相鄰胞元連接，但這些胞元位于長(zhǎng)方形面的短邊；T1?iv部分位于正中的紅色框內(nèi)，內(nèi)部胞元的4條邊都與相鄰胞元連接。16個(gè)type-1胞元排布的超材料變形過(guò)程可分為5個(gè)階段（圖8）。第一個(gè)階段為開(kāi)始加載到模態(tài)I，所有的胞元同時(shí)開(kāi)始受拉至初始反力峰值出現(xiàn)。第二個(gè)階段為模態(tài)I到模態(tài)III的變形過(guò)程，超材料左側(cè)和右側(cè)相鄰的T1?i和T1?iii胞元形成的長(zhǎng)矩形面板開(kāi)始向內(nèi)彎曲（模態(tài)II和模態(tài)III），使反力略微下降，此時(shí)所有的胞元依然處于折疊的鎖定狀態(tài)。值得注意的是，右側(cè)的矩形面板彎曲比左側(cè)早，產(chǎn)生的原因是由于制造過(guò)程中的幾何缺陷導(dǎo)致的。第三個(gè)階段處于模態(tài)III和模態(tài)IV之間，8個(gè)T1?ii和T1?iv胞元都開(kāi)始展開(kāi)（模態(tài)IV），此時(shí)反力在產(chǎn)生一個(gè)小峰值后急劇降低。第四個(gè)階段處于模態(tài)IV和模態(tài)V之間，模態(tài)V中的8個(gè)T1?i和T1?iii胞元快速展開(kāi)，反力進(jìn)一步減小。最后，第五個(gè)階段（模態(tài)V至模態(tài)VI）中所有胞元完全展開(kāi)，逐漸拉伸為平面，反力再次上升。為了預(yù)測(cè)此超材料的變形能、初始峰值力和最大剛度，以非線性彈簧表示排布的胞元，利用串聯(lián)和并聯(lián)的裝配彈簧表示超材料。根據(jù)圖7（b）~（d）中胞元的理論預(yù)測(cè)，超材料的變形能可由胞元的簡(jiǎn)單疊加得到。由于超材料由4×4胞元排布形成，因此理論預(yù)測(cè)的超材料初始峰值力和最大剛度可由各個(gè)胞元的峰值力和最大剛度相加，并分別除以4和42得到。圖8（g）對(duì)比了相同胞元排布的三個(gè)超材料的實(shí)驗(yàn)和理論預(yù)測(cè)，結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)和理論預(yù)測(cè)總體上吻合較好。對(duì)于由type-1胞元排布的超材料，預(yù)測(cè)的應(yīng)變能普遍低于實(shí)驗(yàn)，主要原因?yàn)閷?shí)驗(yàn)中左右側(cè)矩形板發(fā)生額外彎曲，這在水平方向上是觀察不到的。（二）混合超材料的力學(xué)性能上一節(jié)討論了相同胞元均勻排布的超材料的力學(xué)性能，本節(jié)詳細(xì)分析了由不同胞元混合排布的超材料。首先，分析了圖4（b）中由12個(gè)type-1胞元和四角處的4個(gè)type-3胞元排布設(shè)計(jì)的超材料。如圖8（d）所示，此混合超材料與type-1胞元均勻排布的超材料有相似的變形過(guò)程。在拉伸初期均勻變形，隨后左右兩側(cè)的矩形面向內(nèi)彎曲，8個(gè)T1?ii和T1?iv胞元先展開(kāi)，最后4個(gè)T1?iii胞元展開(kāi)。此外，混合超材料中的type-1胞元與均勻超材料type-1胞元變形過(guò)程也相似，type-3胞元的展開(kāi)過(guò)程基本連續(xù)，表明type-1胞元的變形行為主要由胞元在超材料中的位置決定。由于此混合超材料與對(duì)應(yīng)均勻超材料變形過(guò)程相似，因此力學(xué)響應(yīng)曲線形狀也基本相同。唯一的不同之處在于，4個(gè)type-3胞元的存在降低了混合超材料的反力值。圖4（d）中的混合超材料由8個(gè)type-1的胞元和8個(gè)type-3的胞元排布而成，其變形過(guò)程如圖8（e）所示。四角處的T1?i胞元具有較小的邊緣約束，因此比中間的4個(gè)T1?iv胞元提前展開(kāi)，使力-位移曲線中出現(xiàn)兩個(gè)明顯的局部反力峰值。值得注意的是，由于4個(gè)T1?i胞元不同時(shí)展開(kāi)，使模態(tài)I和模態(tài)II之間也存在一個(gè)反力峰值，且隨著加載位移的增大，此混合超材料沒(méi)有出現(xiàn)上述向內(nèi)彎曲的長(zhǎng)矩形面。對(duì)中心由4個(gè)type-1胞元、周圍12個(gè)type-3胞元排布的混合超材料[圖4（f）]，中心處type-1胞元同時(shí)展開(kāi)，使力-位移曲線與單個(gè)type-1胞元相似[圖8（f）]。采用相同的方法，圖8（g）對(duì)比并計(jì)算了6種混合超材料的變形能、初始峰值力和最大剛度。結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)與理論吻合較好，胞元的預(yù)測(cè)結(jié)果能夠準(zhǔn)確反映超材料的性能。（三）性能編程上述研究已表明，超材料的應(yīng)變能、初始峰值力、最大剛度可通過(guò)相應(yīng)的胞元性能疊加得到。而胞元的性能在理論上是可預(yù)測(cè)的，因此，設(shè)計(jì)超材料中不同胞元的比例，可實(shí)現(xiàn)超材料性能的初步編程，進(jìn)一步調(diào)整胞元的幾何參數(shù)和材料參數(shù)可對(duì)超材料性能進(jìn)行精細(xì)化調(diào)控。文章對(duì)一系列具有相同幾何參數(shù)和材料參數(shù)、不同type-1和type-3胞元數(shù)量排布的4×4超材料進(jìn)行了驗(yàn)證。其中，圖9（a）~（c）為type-1胞元數(shù)量為0~16的超材料應(yīng)變能、峰值力和最大剛度的變化。值得注意的是，隨著type-1胞元數(shù)量的增加，三個(gè)力學(xué)性能指標(biāo)呈階梯式線性增加。此外，由于這種4×4的超材料可以采用相同的折痕布局制備，因此采用不同的折疊方式，可對(duì)相同的超材料重新編程，實(shí)現(xiàn)特定的需求。例如，可以先將超材料折疊為type-3胞元均勻排布的設(shè)計(jì)，以獲得較低的力，然后展開(kāi)再次折疊為僅含有type-1胞元排布的設(shè)計(jì)，增大其初始峰值力。這種重構(gòu)（重編程）策略可應(yīng)用于設(shè)計(jì)頻率重構(gòu)的天線，采用此種排布設(shè)計(jì)，可擴(kuò)大天線的調(diào)控范圍和重構(gòu)類型。圖9

4×4超材料的力學(xué)性能可編程性。（a）~（c）由1~16個(gè)type-1胞元排布的超材料的無(wú)量綱化應(yīng)變能、初始峰值力和最大剛度。（d）~（l）具有不同幾何參數(shù)和材料參數(shù)超材料的無(wú)量綱化應(yīng)變能、初始峰值力、最大剛度：（d）~（f）α

=30o、kc/kf

=0.63、a/l為0.5~4；（g）~（i）a/l

=1、kc/kf

=0.63、α為20°~45°；（j）~（l）a/l

=1、α

=30o、kc/kf為0.25~0.75。通過(guò)調(diào)整超材料的幾何參數(shù)和材料參數(shù)，可實(shí)現(xiàn)天線在寬頻帶上的連續(xù)微調(diào)。圖9（d）~（f）為4×4排布超材料中胞元邊長(zhǎng)比例a/l、type-1胞元數(shù)量與三種關(guān)鍵力學(xué)性能指標(biāo)的變化關(guān)系。結(jié)果表明，當(dāng)a/l在0.5~4范圍內(nèi)增加時(shí)，無(wú)論type-1胞元數(shù)量如何變化，三種力學(xué)性能指標(biāo)均增大。圖9（a）~（c）中的任意值都可通過(guò)選擇合適的a/l參數(shù)得到，如圖9（a）所示，當(dāng)type-1胞元數(shù)量為8和9時(shí)，無(wú)量綱化應(yīng)變能U/(kfl)分別為223.6和234.4。此時(shí)，只需設(shè)計(jì)8個(gè)type-1胞元，將a/l由1增加為1.06，或者設(shè)計(jì)9個(gè)type-1胞元，將a/l由1減少為0.94，可得到二者應(yīng)變能之間的平均值，即U/(kfl)=229.0。圖9（g）~（i）為幾何參數(shù)α的影響。與胞元邊長(zhǎng)比例a/l相似，隨著α從20°增加為45°，三種性能均增加。然而，僅在α大于30°時(shí)，增加type-1胞元數(shù)量才對(duì)初始峰值力和最大剛度有較大影響。主要原因?yàn)榻嵌容^小時(shí)，折疊胞元的扭曲變形較少，使type-1胞元的初始峰值力和最大剛度減小。最后，折痕旋轉(zhuǎn)剛度kc/kf在0.25~0.75之間變化時(shí)，對(duì)超材料彎曲剛度的影響如圖9（j）~（l）所示。kc/kf的變化對(duì)超材料的總變形能有較大的影響，對(duì)初始峰值力和最大剛度的影響較小。通過(guò)調(diào)整折痕旋轉(zhuǎn)剛度，同樣可得到圖9（a）~（c）中相鄰階梯力學(xué)性能指標(biāo)變化間的任