圓錐曲線中的范圍與最值問題（解析版）-2023年高考數(shù)學三輪復習（解析幾何篇）

圓錐曲線中的范圍與最值問題

圓錐曲線中的范圍、最值問題的求解常用的三種方法：（1）不等關(guān)系法：根據(jù)題意

建立含參數(shù)的不等式，通過解不等式求參數(shù)范圍；（2）基本不等式法：根據(jù)題意將函數(shù)

變形為兩項和或積的形式，利用基本不等式求范圍；（3）函數(shù)法：用其他變量表示該參數(shù)，

建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)的單調(diào)性求解.

考法1利用不等關(guān)系求最值（范圍）

【例1】（2022?三明一中模擬預測）已知橢圓的一個頂點A（O,-1）,焦點在X軸上，離心

率螃.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線y=辰+皿%≠0）與橢圓交于不同的兩點M,N.當HM=HNl時，求m的取值范圍.

【解題指導】

儲V2

【解析】（1）設橢圓的標準方程為示+/=1m>〃>0）,

7=1,

。=2,

聯(lián)立解得＜b=1,

Ja2'

.c=√3.

222

^a=h+cf

故橢圓的標準方程為亍+9=1.

(2)設尸(Mbyo)為弦MN的中點，M(X1,??),MX2,”).

y=kx+m1

2

聯(lián)立＜√+得(4F+1)Λ+8%K+4(加2—1)=0.

—8km4(/層一1)

則Λj+X2-4^2,|_?,XIX2—4?2+]?

/=(8AM2—16(4A2+l)(^2-l)>0,

所以∕n2<1÷4Xr.①

“、，x↑+x24knι,,m

所以XO=W-=_/耳Pyo=H)+m=mγ?

所以以P=岑1m+1+4?2

?o4km

又IAMl=HNI,所以APJLMN,

2

lm÷1÷4Λ1?1

則一4km=一不，即3,"=4K+1?②

2

把②代人①得m<3ιnf解得0V∕∕zV3.

3/27-11

由②得必=1—>°，解得膽

綜上可知，成的取值范圍為d,3).

3

【解題技巧】尋找不等關(guān)系的突破口

(1)利用判別式來構(gòu)造不等式，從而確定所求范圍；

⑵利用已知參數(shù)的取值范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立相

等關(guān)系;(3)利用隱含的不等關(guān)系，從而求出所求范圍；

(4)利用已知不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出所求范圍;(5)利用函數(shù)值域的求法,確定所求范圍.

【跟蹤訓練】

(2022?石家莊二中模擬預測)已知雙曲線的焦點在X軸上，中心在原點，離心率為亞，

3

且過點(曲1)?

⑴求雙曲線的標準方程；

(2)雙曲線的左右頂點為A,B,且動點C(m,"),ZXnT)在雙曲線上，直線BC與直線A￡>

交于點尸，M(-√2,0),∕V(√2,O),求前,而的取值范圍.

2-)

［解析】⑴設雙曲線的標準方程為5-￡=1(a>0,b>0),

6?

/一”1

聯(lián)立C?="?+/,得02=3,i所以雙曲線的標準方程%干

c2√3

a~~Γ,

(2)已知C(m,"),D(∕n-n),λ(-√3,θ),s(√3,θ).

當加=土石時，動點尸與點A,3重合,

當機H±時,直線AD:y=H+G),直線BC:y=/后(X-⑹,

聯(lián)立兩直線方程得V=占('J3)?

又因為]一/=1,即一3"2=3-/，所以y2=-g(f-3),即1+y2=l.

→→

又PM-PN=PO+OM??PO-OMOM=PO-2,

且「。e(l,百],所以前.而e(-l,l].

考法2利用基本不等式求最值

【例2】(2022?全國甲(理)T)20.設拋物線Uy2=2PX(P>0)的焦點為F,點。(〃,0),

過尸的直線交C于M,N兩點.當直線MD垂直于X軸時，∣ME∣=3.

(I)求C的方程；

(2)設直線NO與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為

a,β.當取得最大值時，求直線A8的方程.

【解題指導】(1)由拋物線的定義—IM尸I=P+§—解方程求P；

(2)設點的坐標一直線MN：X=沖+1—韋達定理及斜率公式可得ZAW=2&加一*差角

的正切公式及基本不等式得心6=亭-設直線AB-.x=42y+n?→代入拋物線方程，韋

達定理可解.

【解析】(1)拋物線的準線為％=-§,當MD與X軸垂直時，點M的橫坐標為p,

此時∣Λ∕∕7∣=p+?^=3,所以〃=2,

2

所以拋物線C的方程為y=4χi

(2)設的3,y,N?,?,?,A，8￡?4,直線MN:X=my+1,

[4)14)?k4J4)

X=∕ny+1

由《9可得y2-4my-4=0,Δ>O,y1y,=-4,

y=4x

k「）L%=4,=4

由斜率公式可得MN*+%，λb貨_￡為+%，

4444

直線MO:X=上2,y+2t代入拋物線方程可得/-：玉--2）?y一8=O,

??X

△>°，弘為=一8，所以為=2%，同理可得”=2y.

44_."N

所以原8

%+為2(y+%)2

又因為直線MN、AB的傾斜角分別為，

_,,,Ck..tana

所以Ks=tan/=或&=下一,

若要使α-尸最大，則A∈(θ,'

設liMN=2陽8=2A>0,則

tan_tan?-tan￡

1+tanσtan/?

當且僅當工=2女即Z=也時，等號成立,

k2

所以當a一4最大時，］（AB=4,設直線A8:x=&y+〃,

代入拋物線方程可得y2-4√2y—4a=0，

△>0,%%=-4"=4y∣%=-16,所以〃=4,

所以直線ΛBιx=√2y+4.

（2022?河南焦作?三模）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為尸，直線y=8與拋物線C交

于點尸，且∣p∕rrgp.

⑴求拋物線C的方程；

⑵過點/作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB,DE,設弦A3,DE的中點分別為P,Q,

求IP。的最小值.

【解題指導】方程H與拋物線方程聯(lián)立IT根與系數(shù)的關(guān)系I-IP點坐標ITll'比Q點坐標I-

兩點間距離1∣?本不尊小求最閾^

【解析】1）依題意，設尸（如8）.

由拋物線的定義得IP尸I=XO+號=∣p,解得：Xo=2p,(2分)

【技巧】實現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化.根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線

的距離，因此，由拋物線定義可以實現(xiàn)點點距與點線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題.

因為尸(j?,8)在拋物線Uy?=2px(p>0)上，

所以82=2PX0,所以G=2p?2p,解得：p=4.

故拋物線C的方程為V=8x.(4分)

⑵由題意可知F(2,0),直線A8的斜率存在，且不為0.

設直線A3的方程為x=my+2("?H0),Aa,y∣),8(孫必)?(6分)

【技巧】直線過X軸上定點(”,0)),可巧設為X=陽+f(m≠0).

聯(lián)立｛；：工+2,整理得：/-8WJ>-16=0,

則X+%=8，"，從而與+毛=，Myl+%)+4=8〃?2+4.

因為尸是弦AB的中點,所以尸(4病+2,4〃7),(8分)

同理可得Q(3+2,-9].

?ma^m)

當且僅當/=」T且疝=」T，即機=±1時等號成立,

mtn~

故|/'。|的最小值為8.(12分)

【解題技巧】巧用基本不等式求最值問題

利用基本不等式求函數(shù)的最值時，關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項和或積的形式，然后用基本不

等式求出最值。

基本不等式求最值的五種典型情況分析

【跟蹤訓練】

(2022?江蘇淮安?模擬預測)橢圓C5+￡=1伍乂>0)的離心率為普，短軸一個端點到右

焦點的距離為√5.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設斜率存在的直線/與橢圓C交于A,B兩點,坐標原點。到直線/的距離為坐,^AOB

面積的最大值.

【解析】（1）設橢圓的半焦距為C,依題意知-3,

.α=√3,

Λc=√2,Q1,.?.所求橢圓方程為各）2=1.

(2)設Ag?l),β(X2,>2),

設直線AB的方程為y=?x+m.

由已知借=坐，得療=條2+i)?

把y=fcv+m代入橢圓方程，整理，得(3?2+l)x2+6hnx+3w2-3=0.

Δ=36必機2-火3F+1)(3W2-3)=36?2—IInv+12>0.

.~6km3(ffl2-1)

ΛX∣+X2=3Λ2+1,MX2=3必十].

Λ∣AB∣2=(1+?2)(Λ2-?i)2

36k2m212(m2-l)

=(l+?2)[

(3p^+l)3?2+l

12(?2+1)(3?2+1-^2)^3(?2+1)(9?2+1)

(3?2+l)2=~(3?2+l)2

i?P12

≤3÷————=4

2X3+6

當且僅當9標=表，即《=等時等號成立.

當Z=O時，HBl=√5,綜上所述IABlmax=2.

當|4陰最大時，AAOB的面積取得最大值

S=ZX?AB?ma>iy.^2~=^2^.

考點3利用函數(shù)性質(zhì)求最值（范圍）

【例3】（2022?湖北武漢?二模）已知拋物線E:y2=2px（p>0）,點機）為E上一點，且

Q到E的準線的距離等于其到坐標原點。的距離.

⑴求E的方程；

⑵設AB為圓*+2）2+V=4的一條不垂直于y軸的直徑，分別延長AO,8。交E于C,力兩

點，求四邊形AfiC。面積的最小值.

【解題指導】

IAC方程

【解析】(1)設拋物線焦點F多。,

由題意IQOl=I。尸I,

故f=2x!，解得：P=L

24

故拋物線的標準方程為∕=2x.

(2)由題意，直線AC斜率存在且不為0,

y=kx

設直線AC的方程為：y=kx,設點A(Xl,y),C(x2,%),'

(x+2)2+y2=4'

聯(lián)立得：,2+1)/+4^=0,由x∣≠0,得芭=I≤.

KI1

V=kχ2

∕=2x)聯(lián)立得：人Fx=°'??≠0.得W=記

MCI=爐TTH-XJ=∣?=7?

Ar√∕+1

2(公+3憫

因為AC犯用T弋替％,

√?2+l

【技巧】運用類比思想，代替3求得|比>|

K

926

2(3?2+l)(?2+3)6k+；+20

故四邊形ABDC面積S=5∣AC∣?∣BZ)∣=

k"+ι)l'l+?

?,1、小6r2+8N8

令陽ll+阿=f(zf≥2),Sc=1-=6/+：.

設函數(shù)f(∕)=6f+3(∕≥2),/?)=6_A=>0,故/(，)單調(diào)遞增.

故當/=2,即閡=1時，S取到最小值16,所以四邊形ABC。面積的最小值是16.

【技巧】利用換元,轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為

其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定最值.

【解題技巧】利用函數(shù)求最值、范圍的方法

根據(jù)己知條件設出自變量,構(gòu)造目標函數(shù),利用二次函數(shù)或函數(shù)求導等可分析函數(shù)的單調(diào)性,

從而確定的最值或范圍。

【跟蹤訓練】，，

(2022?紹興一中模擬預測)如圖所示，點A,8分別是橢圓旅+導=1長軸的左、右端點，

點尸是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于X軸上方，PALPF.

(1)求點P的坐標；

(2)設M是橢圓長軸AB上的一點，點M到直線AP的距離等于∣M8∣,求橢圓上的點到點M

的距離d的最小值.

【解析】(1)由已知可得點A(-6,0),F(4,0),

設點P的坐標是(X,y),

則Q=(X+6,y),FP=(χ-4,y),

,JPAVPF,：.APFP=O,

?+?=1?

則

.(x+6)(χ-4)+y2=0,

3

可得2x2÷9χ-18=0,得X=I或x=-6.

由于y>0,故x=∣,于是y=可&

?C/?

**?點P的坐標是(―9.

(2)由(1)可得直線AP的方程是x—/)，+6=0,

點8(6,0).

設點M的坐標是(肛0),則點M到直線AP的距離是吟包

_n?m+6?,

于是一2一=1加一6|,

又一6W"zW6,解得m—1.

由橢圓上的點(X,y)到點M的距離為"，

得J2=(χ-2)2+γ2=x2-4x+4+20-^x2

0

4^

-/

92

由于一6WxW6,

49

由y(x)=g(尤一/)-9+15的圖象可知，

當X=/時，d取最小值，且最小值為JB.

模擬訓練

22

1.(2023?河南?統(tǒng)考模擬預測)已知橢圓。:￡+今=13八0)的右焦點廠(1,0),點

M在橢圓C上.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過點尸(2,1)的直線/與橢圓C交于A,B兩點、.若PA=2PB，AQ=λQB(λ>0),求IOQl

的最小值(。是坐標原點).

【分析】(1)根據(jù)橢圓定義求出“，再由焦點得c,即可得解;

(2)設出點的坐標，利用向量得坐標間關(guān)系，代入點差法所得等式，可求出/+%=l,即

。是直線χ+y-i=0匕動點，再由點到直線距離求最小值即可.

【詳解】(1)由題意，橢圓的焦點為(±1,0),c=l,

由橢圓定義知2α=-I)2+(1-0)2+Jg+If+(g-O)?=2√2.

所以α=?∣2,h=c=l,

所以橢圓的標準方程為］+V=1.

(2)由題意知入Hl,設A(XQl),8(.馬,%),。(%,%).

x-Ax=2(1-Λ),Jx÷λx=(1+Λ)x,

由PA=λPB^AQ=λQB{λ>Q),得l2120

yl-∕ly2=1-Λ'lyl+∕ly2=(l+∕l)%.

5+4=1,

又A,8都在橢圓上，所以〈小….

)

兩式作差，得(XiX2學+〃2+(yτ%)(y+Λγ2)=l-r?(*)

xl-Ax7=2(1-λ)

把IJ10代入(*)式，得(％+川)+(凹+4%)=1+2

X+λx-.=(1+2)xn

又由廣,-1,°,得(χ∣+M)+(y+∕t%)=(l+㈤(%+%)?

[%+0=(1+㈤％

所以XO+%=L

所以。到直線x+y—1=0的距離"=/1=也.

√12+122

經(jīng)檢驗，此時垂足嗎3)在橢圓內(nèi)部.

所以|。。|的最小值為

?22

2?(2023?湖南?模擬預測)已知橢圓C：十→3v=l(α>h>0)的上頂點為8,。為坐標原點，

PW,0)為橢圓C的長軸上的一點，若N3PO=45。，且AOPB的面積為g

⑴求橢圓C的標準方程；

(2)橢圓C與X軸負半軸交于點A,過點A的直線AM,AN分別與橢圓C交于M,N兩點，

直線AM,AN的斜率分別為七M,kM,,且原K,=-5，求證：直線MN過定點，并求出

該定點坐標，求出aAMN面積的最大值.

【分析】(1)根據(jù)題意得到α=2?與而=2,從而求得由此得解：

(2)結(jié)合題意設直線MN的方程為X=陽+〃，聯(lián)立橢圓C的方程得到y(tǒng)+%X%,進而得

到％+x2,x,x2,結(jié)合L仆=-'即可得到關(guān)于〃的方程，從而證得直線MN過定點(LO),

再利用Sλmn=^?AD?-?yl-y2?,結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】⑴由已知B(0,b),P(g,0),N8PO=45。，得臺方，即α=2Z>,

又因為S=g,所以;χg岫=；,即M=2,

,(ab=2

解方程組“得α=2/=l,

[a=2b

所以橢圓。的方程為X+V=l.

4

(2)由題意可知,直線MN的斜率不為0,設M(AI,y),N(j?,%)，直線MN的方程為X=Sy+〃,

X=my÷n

聯(lián)立《X22_，消去X，得(>+4)V+2,咋+/-4=0,

,τ+?v=

2

所以△=4m2〃2一4("?2+4)(〃2—4)=i6m2-I6n2+64>O,χ+必=-2mnπ-4

〃r+4m~+4

則χ∣+%=My+必)+2"=舄，—=*M+MM+%)+"2=??1

..................Ii,M必?My2_?

因為&"%，=一透所以消.彳一工，π即rι:+2&+用+4一一透

H2-4

所以_—/￠+4----------=------------2f~z?—.—=__=

4n2-4∕n216〃.4H2-4∕π2+16/7+4∕zz2+164n2+167:+1612

——-------+——+4

加-+4"T+4

即〃2+〃_2=0,解得〃=1或〃=一2,

因為當W=-2時，直線MN的方程為X=陽-2,則直線MV經(jīng)過A(-2,0),不符合題意,

所以〃=1，滿足A〉。，此時直線MN的方程為x="V+l,所以直線MN過定點(1,0),

記直線MN與X軸的交點為O,則。點坐標為(LO),

當〃T時,"Y懸W2=/'

SAMN=；|40卜加一必|='>/()1+)'2)2_4>/，2=,曰"+^1^=6JI,

2

222L+4)m+4V(m+4)

令f=疝+3,r≥3,

令y=r+jt≥3),則y'=l-">0,故y=f+；在［3,+∞)上單調(diào)遞增,

當且僅當r=,∕+3=3,即加=0時，AAMN面積取得最大值更.

2

【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目，往往需要聯(lián)立兩者方程，利用韋達定

理解決相應關(guān)系，其中的計算量往往較大，需要反復練習，做到胸有成竹.

3.(2023?云南玉溪?統(tǒng)考一模)如圖，已知尸(1,0),直線/：x=-l,P為平面上的動點，過

點P作/的垂線，垂足為點Q,S.QPQF=FP-FQ.

⑴求動點尸的軌跡C的方程；

(2)過點尸的直線與軌跡C交于4,3兩點，與直線/交于點M,設M4=4AF,MB=λ1BF,

證明4+4定值，并求|44|的取值范圍.

【分析】(1)設出點的坐標，運用數(shù)量積運算可得結(jié)果.

(2)設直線A8的方程，求出點M的坐標，聯(lián)立直線AB與軌跡C的方程后由韋達定理得

22

X+%、％%,由已知向量關(guān)系式可得4=T-加?Λ=-ι--,進而求得4+4的值

與1441的范圍.

【詳解】(1)設點P(χ,y),則Q(Ty),且尸(1,0).

由0尸。尸=尸。尸。得(》+1,0>(2,一日=(》-1,丫>(-24),

即2(x÷l)=-2(x-l)÷√,化筒得/=4x.

故動點尸的軌跡C的方程為：V=4x.

(2)設直線AB的方程為：x=myr+l(m≠0),則M(T

V2=4χ

聯(lián)立直線AB與軌跡C的方程得,消去X得-4=0,

X=my+1

則A=(Tm)2+16>0.

j+y=477?

設AaM,β(?x2>?)-由韋達定理知,12

22

由M4=4A/7,MB=ABF得:X-I—=y?y—=一4%，

ml2m

22

整理得4=τ------，否=T-------.

^yl^y2

y+y2

βJ↑?^λ,+λ2=-2--[-+^-]=-2---'=-2----=0.

m4

>n?yly2)機y>y2-

故4+4為定值0.

0m≠O,

_2_--、上加%必+2%(弘+必)+4]

團pΛ∣=-12

m??yly2?

I∕n^×(-4)+2∕H?4∕M+4∣1

=-------------?-----------------=1■<-->1，

wr?∣T∣m^

創(chuàng)44|的取值范圍是(ι,+∞)?

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

(1)設直線方程，設交點坐標為(％,χ),(χ2,%);

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于X(或V)的一元二次方程，必要時計算△；

(3)列出韋達定理；

(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為王+々、占々(或X+%、y%)的形式；

(5)代入韋達定理求解.

22

4.(2023?遼寧沈陽?統(tǒng)考一模)已知雙曲線后東-方=1(4>0力>0)的離心率為2,右焦點

F到漸近線的距離為石，過右焦點F作斜率為正的直線/交雙曲線的右支于A,8兩點，交

兩條漸近線于C,。兩點，點A,C在第一象限，。為坐標原點.

⑴求雙曲線E的方程；

(2)設一Q4C,ΛOAD,OAB的面積分別是S(M「，5ΔOΛO,S0λk,若不等式

^ΔOAC?S^OAD'S4OAB恒成立，求2的取值范圍.

【分析】(1)根據(jù)離心率和焦點到漸近線的距離，列出”,6,c的方程組，解得結(jié)果即可.

S

(2)設出直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)題目條件，寫出—,根據(jù)，的范圍即

可求出結(jié)果.

2*>

【詳解】⑴設雙曲線?-?=l的右焦點F(c,0),漸近線方程為bx+Q=0,

a^b^

則右焦點尸到漸近線的距離

又￡=2,02=/+",則α=ι,c=2,

a

回雙曲線的方程為x2-^=l.

3

(2)設直線/的方程為X=ty+2,t>0,設A(Xl,y∣)BO?,y2)

聯(lián)立方程得，

?丫2_..2_0

?y=>(3產(chǎn)-1)/+12)+9=0

%=/>+2

129

3∕2-l≠0

=>,Δ>On/<?=o<r<立

33

漸近線方程為y=±Gx則A到兩條漸近線的距圈4,出滿足,

_I瓜「)[IIJirI+Xl_13x；-y：I3

2244,

2

y=6X:遍

聯(lián)立方程得

X=X+2

2

y=-y∕3x

聯(lián)立方程得;卻如扃+就=Γ?Γ

X=?+2

%二F

1114143

SOkS(W)=k"I4WIW=]χ匚石萬4%=匚獷

2

SOΛB^SOFA+SOFB=；|0Flly_%1=+必)—4乂必=61：；

ZL-Jl

——=2√1T?.

SAOa'SRODA

0<r<-^,.?e(2,?),

73%oCA2AODA3

4SziQAC，^?OAD—SZkOAB恒成立

即2≥7區(qū)簧一=2√1T?恒成立，

^ΔOCA,3AODA

團所求4的取值范圍為g石，+∞)

5.(2023?四川瀘州?統(tǒng)考二模)已知橢圓C：J+V=l(α>∕,>0)的焦點F(T,0),點

(1)求橢圓C的方程；

⑵若過點尸的直線/與C交于A,B兩點,過點尸與/垂直的直線與C交于M,N兩點，求

AM?BN的取值范圍.

【分析】（I）將點代入橢圓方程，結(jié)合c=l,//得出橢圓。的方程;

（2）討論直線/的斜率存在和為O的情況，聯(lián)立直線和橢圓方程，由韋達定理結(jié)合數(shù)量積

弘

運算得出AM?5N=-∣3+尉2再由基本不等式得出所求范圍.

【詳解】（1）由題意可知,

故橢圓C的方程為]+V=i;

(2)當直線/的斜率不存在時，A(-l,--),B(-1,-),M(-√2,0),7V(√2,0).

22

AM?βjv=(1-√2)(1+√2)+^×-?=_|,

當直線/的斜率為O時，N(-1,M(-1,—),A(-√2,0),B(√2,0),

22

當直線I的斜率存在且不為0時，設其方程為y=kx+k,則直線MN的方程為y=-??-?

κk

廠2_]

+y2222

??~2=,W(1+2k)x+4kx+2k-2=0,

y=kx+k

Ab22A?_2

設4和％），8。2，孫），Μ（“3，%），陽4以），則王+%=-

?+2k2?+2k'

同理可得三+匕=一i?4,Xg=7?—?'

因為AΛ∕=(X3一苔,，3_X)，BN=(X4-W,”_%)，

所以AM?BN=(玉4一々毛一中4+不9)+(%%-%%-乂％+yly2)

2

=(1+?)(Λ?X2+x1+x2+1)

2?2-24我24

=(l+?2)(+1)+(1++1)

↑+2k2l+2?22+V

22422

=---?-----k--+---?-----k--=---3--?---+--6--?----+--3--=----3--1---------3-k---------

l+2?22+k22/+5公+224k4+?0k2+4

0<―M—=―?——L3_一」

因為4/+收+44^÷∣÷10^2tΓT+106(當且僅當心1時，取等號)，

所以AMBN《一|,-g,

^34^

綜上，AMBNW.

【點睛】關(guān)鍵點睛：在解決問題二時，關(guān)鍵是將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為韋達定理的形式，再由

基本不等式得出范圍.

22

6.(2023?遼寧?校聯(lián)考模擬預測)已知雙曲線C:三一S=l(a>0,?>0)的右焦點為F(2,0),

過點廠的直線/與雙曲線C的右支相交于M,N兩點，點M關(guān)于y軸對稱的點為P.當

MN?MP=0時，IMM=半.

⑴求雙曲線C的方程；

IQFl

(2)若AMVP的外心為Q,求扁的取值范圍.

【分析】(1)設雙曲線的半焦距為c，由條件列關(guān)于。力，c的方程，解方程求Ac可得雙曲線

方程；

?QF?

(2)設直線/的方程為X="+2,利用設而不求法求點。的坐標，利用f表示鬧，再求其

范圍.

【詳解】(1)設雙曲線的半焦距為c,

因為雙曲線C的右焦點為F(2,0),所以c=2,

因為點M和點尸關(guān)于>軸對稱，

所以當MN?Λ∕P=O時，直線/的方程為X=c,

聯(lián)立//可得y=±?^,又IMNl=歿，

所以2匕逑，又。2=/+凡

a3

所以〃=y∕3,b=1,

故雙曲線方程為

(2)若直線/的斜率為0,則直線/與雙曲線右支只有一個交點，與已知矛盾,

所以可設直線/的方程為X=ty+2,

僅21

聯(lián)立3\一，消X,得(產(chǎn)―3)y2+4<y+i=0,

X=ty+2

方程(產(chǎn)一3)〉2+4)+1=0的判別式公=16/一4(/-3)=12*+12>0,

設Ma，X)，N(W,%),P(f,χ)，

4t1

則X+%=Xy2=?-7-

I—JL—J

]2—3t2—12

%+X?=r(X+y2)+4=-~7,XIX2=尸3%+2r(M+丫2)+4=-？-x，

7t—3I-Jττ

由已知-W->0,-3：T2>o,所以_后</<為，

r-3r-3

所以線段MN的中點坐標為F

V(-rJ-3,-?rΛ-37J),

所以線段MN的垂直平分線方程為y+J?=τ[+H

—

t—5?κt3/

又線段MP的垂直平分線方程為X=0，

所以點Q的坐標為(0,片)

所以IQFI=J(2-θf+(θ+急j=占S4+*9,

IMNl=√iT7∣y2-y,∣=7iT7?'y*=2*(/)

,,?QF?√f4+10∕2+9It2+9

所rr以麗=6(產(chǎn)+1)=7*7?’

所以圖j邛卜三，一百<r<5

因為-垂t<t<?/?,所以l≤∕+lv4,

Q

所以3<l+k≤9,

廠+1r

所以1<陶≤6

∣Λ∕7√∣

所以粽?的取值范圍為[百].

【點睛】直線與雙曲線的綜合問題，一般利用設而不求法解決；其中范圍或最值問題，?般

利用設而不求法求出變量的解析式，再結(jié)合函數(shù)方法求其范圍或最值.

7.(2023?河南?長葛市第一高級中學統(tǒng)考模擬預測)已知橢圓C：5■+￡=l(a>b>0)的長軸

長為4,F1,乙為C的左、右焦點，點P(不在X軸上)在C上運動，且CoSNKP行的最小

值為

⑴求楠圓C的方程；

(2)過用的直線/與橢圓C交于不同的兩點M,N,記的內(nèi)切圓的半徑為r,求r的

取值范圍.

2?21

【分析】(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得α=2,再由余弦定理和基本不等式得出W-I=上，

a22

即可求出橢圓C的方程；(2)易知aEMN的周長為定值44=8,利用等面積法可求得內(nèi)切

圓的半徑與面積的表達式，聯(lián)立直線/與橢圓C的方程寫出△式MN面積的表達式再通過構(gòu)

造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性即可求得內(nèi)切圓的半徑為，?的取值范圍.

【詳解】(1)由題意得。=2,

設|尸用，IP用的長分別為"?，n,m+n-2a-4,

則在心中，由余弦定理可得

∕LCLm2+n2-4c2(∕tt+n)2-4c2-2mn2b22b2,2b2,

cosZ.F,PF、=----------=-------------------------=--------1>----------τ-1=-T--1

2mnImninnm+n

2

當且僅當故="時取等號，從而等-1=!，

a22

A23

得勺=2,回廿=3,

a14

所以橢圓的標準方程為片+亡=1.

43

(2)設M(Xl,yj,N[x2,y2),

由題意，根據(jù)橢圓的定義可得的周長為44=8,

SAVM6=g(∣隼W+山N∣+∣MW∣)r=4r,所以r=；SAM,

設/的方程為x=)+l,聯(lián)立橢圓方程3∕+4y2=i2,

整理可得(4+3∕)y2+6(y-9=0,易知A>0

6r9

且π…=一向，》訪=-』，

+

SANMR=ΔFiF2M^?FiF2N=T*∣?W+g∣∕M聞=MKHy2fI

=今耳用J(%+%2)-4yM

2

I2λ∕r+1

4+3”

所以'=；SANMA；3√r2+1

4+3/

令用l=k，則發(fā)≥ι,

3k

3?2+l

令函數(shù)f(x)=3x+g,x∈[l,+∞),∣?J∕'(x)=3-9,

當XWl,+8)時，/'(x)=3-5>0恒成立，所以"x)=3x+J在XW[l,+s)上單調(diào)遞增，

33

則弘+:1≥4,所以OV<-..--1<--4，

k3k+-

K

3

即O<r≤工

4

3

故〃的取值范圍為O<r≤?

4

【點睛】方法點睛：求三角形內(nèi)切圓半徑可利用等面積法，把整個三角形看成三個以內(nèi)切圓

圓心為頂點的小三角形,根據(jù)三個小三角形面積之和與大三角形面積相等，建立三角形周長、

面積與內(nèi)切圓半徑之間的關(guān)系式即可求得結(jié)果.

，、,2

8.(2023?陜西安康,統(tǒng)考二模)設橢圓C：三+方=l(a>6>0)過點8(0,1),P為直線生

y=履(Z>0)上不同于原點。的任意一點，線段。P的垂直平分線為4,橢圓的兩焦點K,F2

關(guān)于人的對稱點都在以尸為圓心，G為半徑的圓上.

⑴求橢圓C的方程；

(2)若直線4與橢圓交于M,N兩點，A為橢圓的右頂點，求四邊形AAWW的面積的取值范

圍.

【分析】(1)根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知兩焦點”，B關(guān)于4的對稱點距離等于線段內(nèi)閭的

長度，艮對稱點所連線段為圓戶的直徑，由此可得焦距長，繼而求出橢圓C方程解析式；

(2)利用韋達定理，找出M,N兩點坐標關(guān)系，根據(jù)弦長公式求出IMM長度，根據(jù)點到

直線距離公式求出A,B兩點到IMNl的距離，列式即可得出四邊形AMBN的面積表達式,

根據(jù)直線斜率范圍即可得出面積范圍.

【詳解】(1)設"，8關(guān)于人的對稱點分別為短，K，。為線段KK的中點，

曬耳是圓的直徑,回|理用=恒耳|=2石,

13C=G

由已知b=l,所以橢圓C的方程為《+V=I

4

(2)設點Λ∕(x?,y),N(x2,y2),其中XIew

θ?l=

IMNl=?Jl+k2IXI-X2∣=I：；）

,2k,1

點A、B到直線人的距離分別為4=樂聲，4=為前

2

SAMBN=；IMM,(4+4)=B??4===24k+4?A+l1—21+4

2

1+4Z:-+4k

團工+4%》2、??軟=4當且僅當衣=:時取等號.

k?k2

0<!-≤?1<1+

團1÷4?八團2+4女

kk

回SAMBN€(2,2夜］

9.(2023?全國?模擬預測)在平面直角坐標系中，圓4(x-3)2+y2=iθθ,B(-3,0),C為圓

A上一點，線段BC的垂直平分線與線段AC交于點P,記點P的軌跡為曲線E.

⑴求曲線E的方程;

(2)若過點。(g,8)且斜率存在的直線/交曲線E于點M,N,線段MN上存在點S使得

犒=畏，求∣S4∣+∣S3∣的最小值.

【分析】⑴由條件證明∣PB∣+∣R4∣=10,根據(jù)橢圓的定義結(jié)合待定系數(shù)法求軌跡方程;

(2)聯(lián)立方程組，結(jié)合設而不求法表示己知關(guān)系，確定點S的軌跡，根據(jù)對稱求+∣SB∣的最

小值.

【詳解】(1)連接8P,回P在線段BC的垂直平分線上,

MPBI=IPq,回冏+∣∕?∣=∣PC∣+∣∕?∣=IAC∣=10,

乂10>∣A3∣=