甘肅省武威市涼州區(qū)2024屆高三第三次診斷考試數(shù)學試題（解析版）

甘肅省武威市涼州區(qū)2024屆高三第三次診斷考試數(shù)學試題

第I卷(選擇題)

一、單選題

1.已知集合［7={尤"|工2—尤―12V0},A={—2,—1,3},3={0,1,3,4},則B

()

A,{0,2,4}B.{0,1,4}C.{0,4}D,{1,3}

【答案】B

【解析】由爐―%—12<0解得：-3<x<4,得集合U={—3,—2,—1,0,1,2,3,4},

又?A={-2,-l,3},B={0,l,3,4},

.?.&$={-3,0,1,2,4},

從而@A)c6={0,1,4}.

故選:B.

2.復數(shù)Z滿足l+?i+zi2=|l—6i|，貝Uz=()

11.11.11.

A.1+iB.—+—1C.------1D.---F—1

222222

【答案】c

【解析】由已知1+zi+zi2=|1—|,可得(i—l)z=1,z=---=------i.

i-122

故選：C.

3.ABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若c=》cosA,則二ABC一定是()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】由余弦定理有C=bx2二——,整理得52=々2+,2,故JWC一定是直角三

2bc

角形.

故選：C

4.函數(shù)/(x)=f—cosx在區(qū)間［—|,曰內(nèi)的圖象大致為()

【解析】?/(%)=%2一COS%,XG[-p^],則

/(-X)=(-X)2-cos(-x)=%2_cosx=/(x)

jr

故/(%)=%—cosx為偶函數(shù)，排除C、D；又％時,

2[

cos-=--->0.排除A

392

故選：B.

5.已知lgx+Igy=l,則％+y的最小值是()

A.1B.MC.2MD.10

【答案】C

【解析】lgx+lgy=l

.,.坨(孫)=1,即⑵=10且兀>0,y>0

.?.x+yN2歷=2抗6，當且僅當x=y=而時取等號,

故選：C.

71|,則COS年+23等于(

6.若sin~~a

717

A.——BC.1D.-

9-439

【答案】A

/

71.兀711

【解析】因為sina=sin——+6Z

~~12

73

1

所以cos

3

((兀_271)1/

所以cos=cos2—+ay=2cos—+a-l=——

I(3))(3J9

故選：A.

3

7.點A是曲線丁=萬必9—Inx上任意一點，則點A到直線y=2x—l的最小距離為(

A.且B.好C.氈D.6

1055

【答案】A

3

【解析】不妨設/(大卜]/—Inx,定義域為：(0,+“)

對/(力求導可得：f\x)=3x--

令/'("=2

解得：x=l(其中x=-二舍去)

3

當x=l時，y=|,則此時該點(i,1j到直線y=2x—I的距離為最小

2-3」

根據(jù)點到直線的距離公式可得：,2

a=----產(chǎn)——

A/5

解得：d^—

10

故選：A.

8.定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足：對任意的石，/6[0,+8),都有;_；<0，

則滿足了(2]—1)</。)的x的取值范圍是()

A.(-1,0)B,(l,+oo)U(^o,0)

C.(-00,0)D.(0,1)

【答案】B

【解析】因為/(X)是偶函數(shù)，且/(x)在xe[0,+8)上單調(diào)遞減,

所以不等式/(2x—等價于/(|2x—

即|2x-1|>1,

解得xv0或%>1,

所以滿足〃2x—1)</⑴的尤的取值范圍是(1,口)(7,0).

故選：B.

二、多選題

9.下列命題是真命題的是()

A.VXGR,X+—>2B.3X>0,lnx=x

x

2

C.VXGR,X+X>-1D.方程%2=2%的實根有三個

【答案】CD

【解析】對于A,當xvO時，%+—=-(-%+—),

X-X

因為一%>0,所以—％+」-22j(—x)?」-=2,

-xV-x

所以％H—=—(―XH--)V—2,故A錯誤；

X-X

對于B,由反函數(shù)的性質(zhì)可知，

由于y=e"與y=ln九的圖象關(guān)于y=x對稱，

且y=ln九的圖象恒在>二犬圖象的下方，所以%>lnx恒成立，故B錯誤；

對于C,VxeR,X2+x+l=fx+—+—>0，即/+%2一1恒成立，故C正確;

I2)4

對于D,y=Y與'=？1有且僅有三個交點，故D正確.故選:CD.

10.下列等式中正確的是()

A.sinl5°cosl5°=—

4

B.2sin222.5°-l=—

2

-tan710-tan26°.

C.---------------=]

1+tan71°tan26°

D.sin26°cos340+cos26°sin34°二—

2

【答案】ABC

【解析】A選項，sin15°cos15°=-sin30°=-,A正確;

24

后

B選項，2sin222.5°-1=cos45°=—，B正確；

2

tan71°-tan26°(…門”c\"c一?

C選項,---------------=tan(71°—26°)=tan45°=l,C正確；

l+tan71°tan260----'7

sin26°cos34°+cos26°sin34°=sin(26°+34°)=sin60°=岑，D錯誤.

D選項，

故選：ABC.

11.若函數(shù)/(x)=xlnx—ox+1恰有兩個零點，則實數(shù)。的取值可能是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】BCD

【解析】函數(shù)/(x)=xlnx—ox+1有2個零點等價于在x>0時,

直線丁=。與g(x)=lnx+，有2個交點，

s(x)=~r,顯然當尤>1時，g(%)>0,當。<%<1時，g(%)<0

X

即在X=1處，g(x)取得最小值=1,圖像如下：

若y=a與g(x)有2個交點，則；

故選：BCD.

12.若函數(shù)/（%）=&5由（2》+。）［4〉0,0＜。＜］］的部分圖像如圖所示，則下列敘述正

確的是（）

A.［一即J是函數(shù)A"）圖象的一個對稱中心

B.函數(shù)“X）的圖象關(guān)于直線x=1對稱

C.函數(shù)/（X）在區(qū)間-找上單調(diào)遞增

D.函數(shù)八力的圖像可由y=Asin2x的圖象向左平移聯(lián)個單位得到

【答案】AD

【解析】根據(jù)函數(shù)〃尤）=Asin（2x+@（A＞。，0＜夕＜巴）的部分圖像，

2

S1E7L

可得A=2,結(jié)合五點法作圖可得2乂一+夕=兀，.?.夕=—,

126

71

故函數(shù)/（x）=2sin（2%+—）.

6

令了=—二，求得/'（刈=。，可得（-刀，0）是函數(shù)“X）圖象的一個對稱中心，故A正確；

1212

TTTT

令X=§,求得/（關(guān)）=1,不是最值，可得x=§不是函數(shù)/⑺圖象的一條對稱軸，故B錯

誤；

在區(qū)間［」，曰上，2%+卜［-「言］，函數(shù)"X）沒有單調(diào)性，故C錯誤;

33666

由y=2sin2x的圖象向左平移三TT個單位，可得y=2sin（2x+T》T=/（x）的圖象，故D正確,

126

故選：AD.

第II卷（非選擇題）

三、填空題

13.若直線y=—2x+'|與曲線y=-初相切，則。=.

【答案】3

【解析】設直線y=—2x+g與曲線y=gd-以相切于點,

2

由丁二氐^一取得：y'=X-a,XQ-cz=-2,a=+2,

]212

X—%o-UXQ——2x0+—,.，.§￥—%。（考+2）=-2%0+§,解得：%=―]，

Q=1+2=3.

故答案為：3.

14.若tana=2,貝U——sin2>_=.

cosa—sina

4

【答案】—彳

3

【解析】因為tana=2,

sin2a2sinacosq2tana4

所以2?~2—2?~2―i-2——￡,

coscif-sinacosa-sma1-tana3

4

故答案為：—

3

3（a2+b2-c2）

15.AABC內(nèi)角A、5、C的對邊分別為a、b、c,若△ABC的面積為二--------L,貝！JC二

4V3

【答案】=jr

3

【解析】由題意可得」absinC=3（a二,）=3（2"<^sC）,則可得

24V34V3

tanC=百，Ce（0,兀）

?c」

,3

TT

故答案為：—.

3

16.已知〃力是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，靖（％）</（x）,若/⑴=0,則不

等式ZW>o的解集為.

X

【答案】(-1,O)U(O,1)

【解析】由題意，令g(句=以立，則g，(「)N叫,

XX

因為x>0時，靖(%)</(%),則g，(x)=X'(")一f(x)<0，

故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

又“X)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/■(—￡)=—/(x),

所以g(—x)=/tW=1^Gl=/H=ga),即g(x)是(f,0)5。，”)上的偶函

—X—XX

數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，可知g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，

且g(T=g(D=4^=o，

所以xe(-l,o)u(o,l)時,g(%)>0.

故答案為：(―i,o)u(o,i).

四、解答題

17.己知函數(shù)/(%)=cos尤(23sinx+cos-sin2x.

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；

(II)若當XC0,-時，關(guān)于X的不等式,求實數(shù)加的取值范圍.

請選擇①和②中的一個條件，補全問題(II),并求解.其中，①有解；②恒成立.

(I)解:因為/(x)=cosx(2氐inx+cosx)-sin2x=26sinxcosx+cos2x-sin2x

=A/3sin2x+cos2%=2sinI2x+—\.

所以函數(shù)〃尤)的最小正周期T=7l;

兀71

因為函數(shù)丁=sinx的單調(diào)增區(qū)間為—5+2E，5+2E,keZ,

'}IJIJIJIJI

所以----^2左?！?九+—?—+2左兀，kGZ,解得----\-kn<x<—+kii,keZ,

26236

JT7t

所以函數(shù)/（%）的單調(diào)增區(qū)間為一3+加%+而，％eZ；

（II）解：若選擇①

由題意可知，不等式有解，即帆W/（4）.；

因為xe0,￡,所以四＜2x+巴＜辦，

L2J666

故當2x+9=W，即x=9時，/⑺取得最大值，且最大值為/倍］=2,

626voj

所以加工2；

若選擇②

由題意可知，不等式/（X）2機恒成立，即加血

因為xe0,g,所以巴W2x+巴44.

_2J666

故當2x+g=?,即x=g時，〃尤）取得最小值，且最小值為/信］=—1.

66212J

所以加（一1.

18.如圖，在AABC中，ZA=30°,。是邊AB上的點，CD=5,CB=7,DB=3

（1）求△C3D的面積;

（2）求邊AC的長.

324-72-5211

解：（1）在△CB。中，由余弦定理可得cos3=3二——=—

2x3x714

則sinB=Vl-cos2B-

14

,3x7』2

Q,CBD

2144

BC_AC

(2)在工ABC中,由正弦定理得

sinAsinB

7_AC

即j_—上叵，解得AC=5』.

2IT

19.已知公差不為零的等差數(shù)列｛4｝的前”項和為s“，若Ho=110,且6,外,%成等比數(shù)

列.

(I)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

]1

(ID設數(shù)列｛2｝滿足2,，若數(shù)列也,｝前n項和(，證明數(shù)<-.

（4-1）（%+1）2

aI=aa^（q+d）~=%（卬+3d）

解：(I)由題意知:x

工0=110[10^+45^=110

解q=d=2,故數(shù)列an=2n；

,11（11）

H）由（1）可知?-^2?-i）（2n+l）~2[2n-l~2n+l）'

1

2n-l

20.己知等比數(shù)列｛4｝中，2%+4=。3，且a〉/，。3T成等差數(shù)列?

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式4；

(2)當數(shù)列｛4｝為正項數(shù)列時，若數(shù)列｛〃｝滿足包=2〃—1+4(〃GN*),記數(shù)列｛2｝的

前〃項和為s“，試比較S"與"2+2"的大小.

解：(1)記｛4｝的公比為4，

由2q+a2=%可得2+q=/，解得〃=-1或2,

z-o…1

又由q+(%—1)=2a2,可得/+—1=2%q,即6一,

當q=-1時，可解得卬=；,此時有aRu/xGiyT

當q=2時，可解得q=1,此時有%=2"T

綜上，數(shù)列｛4｝的通項公式為％,=；><(—I)""或4=2"一.

1

(2)由⑴知：an=2"-,則”=2〃—1+2"，

從而S,,=4+2+…+優(yōu)=[1+3+…+(2〃—1)]+(1+2+22+…+2"T),

“1+2〃—1)1-2"2,

=—----------+--------=n-+2"-i,

21-2

由S〃—(”2+2〃)=-1<0,

故S〃<“2+2「

,?4

21.若函數(shù)/(x)=-bx+4,當x=2時，函數(shù)f(x)有極值一§.

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)判斷函數(shù)的極值點并求出函數(shù)的極值.

/⑵=12a—b=01

CL——

解：(1)因為/'(x)=3ax2—8，由題意知＜4，解得<3,

/(2)=8a—2b+4=——b=4

13

所以所求的解析式為/(X)=-X3-4X+4；

(2)由(1)可得/'(x)=Y—4=(x—2)(x+2),令/'(x)=0,得x=2或1=—2,

則當尤<—2或尤>2時,/(x)>0,在(一8,—2]和[2,轉(zhuǎn))單