2023年高考數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案第10章10-3二項(xiàng)式定理

10.3二項(xiàng)式定理

【考試要求】

能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的

簡單問題.

【知識梳理】

?.二項(xiàng)式定理

二項(xiàng)式定理(α+6)"=C?f+C?"E+…+C?f如---I-C叔S∈N*)

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)7i+∣=?"-?Λ它表示展開式的第k+1項(xiàng).

二項(xiàng)式系數(shù)戰(zhàn)(&=0,1,…，〃)

2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等.

n

(2)增減性與最大值：當(dāng)”是偶數(shù)時，中間的一項(xiàng)Cl取得最大值；當(dāng)”是奇數(shù)時，中間的兩

1"+1

項(xiàng)c；y與相等，且同時取得最大值.

(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：m+勿”的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于21.

【常用結(jié)論】

?.兩個常用公式

⑴C9+C!+C計(jì)…+Q=2".

⑵c9+α+c+???=α+α+ca+…=2"-ι.

2.二項(xiàng)展開式的三個重要特征

(1)字母”的指數(shù)按降基排列由n到0.

(2)字母b的指數(shù)按升基排列由0到n.

(3)每一項(xiàng)字母a的指數(shù)與字母b的指數(shù)的和等于

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”)

(I)CML?/是(α+Z?)"的展開式的第k項(xiàng).(X)

(2)(α+b)”的展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與凡。無關(guān).(√)

(3)二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng).(×)

(4)(a+8)”的展開式中，某項(xiàng)的系數(shù)與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)不同.(X)

【教材題改編】

1.(χ-l)∣°的展開式的第6項(xiàng)的系數(shù)是()

A.CtoB.-Cfo

C.CfoD.—C?

答案D

解析76=0?r5(-1)5,

所以第6項(xiàng)的系數(shù)是一CM.

2.已知(α+b)"的展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則”的值為()

A.7B.7或8或9

C.9D.7或8

答案B

解析??(α+b)"的展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C為最大，，〃=7或"=8或"=9.

3.在(1一法嚴(yán)的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和是.

答案1

解析令x=l可得各項(xiàng)系數(shù)的和為(1-2嚴(yán)=1.

題型一通項(xiàng)公式的應(yīng)用

命題點(diǎn)1形如m+∕o"("GN*)的展開式的特定項(xiàng)

例1(1)(2022?煙臺模擬)(1-2也)8展開式中X項(xiàng)的系數(shù)為()

A.28B.-28

C.112D.-112

答案C

解析(1—25)8展開式的通項(xiàng)公式為

￡

7i?+ι≈Cs(-2√Λ∕==(-2)AC*X2.

要求X項(xiàng)的系數(shù)，只需專=I,解得k=2,

所以X項(xiàng)系數(shù)為(-2)23=4X巖=112.

Z?1

⑵(2022?德州模擬)若"∈Z,且3W"W6,則G+y”的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

答案4

解析(χ+2)"的通項(xiàng)公式為

.+I=CWrRb=CWF,

因?yàn)?≤"W6,令〃-4%=0,

解得〃=4,k=l,

所以(x+%)"的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為4.

命題點(diǎn)2形如(α+份嗎c+√)"(機(jī)，"∈N*)的展開式問題

例2(1)(2022?安陽模擬)C√—2)。+左)的展開式中√＞的系數(shù)為()

A.6B.10C.13D.15

答案C

解析由于(x+j；)6的展開式的通項(xiàng)為

6-把

/+]=&?X2,

令6—乎=3,求得％=2；

令6一芋=6,求得&=0,

故(_?-2)/+田6的展開式中χ6的系數(shù)為cg-2Cg=15-2=13.

(2)(2022?晉城模擬)二項(xiàng)式-2x)4的展開式中％3項(xiàng)的系數(shù)是一70,則實(shí)數(shù)a的值為

()

A.-2B.2

C.-4D.4

答案D

解析因?yàn)?2—?(1-2X)4

Y

=2X(1-2x)4-ZX(I—2x)4,

(1-2Λ)4的展開式的通項(xiàng)公式為

7*+,=C?(-2x)*=(-2)W,%=0,l,2,3,4,

所以2X(1—2x)4展開式中R項(xiàng)的系數(shù)是

2×(-2)3C3=-64,

9(1-2x)4展開式中R項(xiàng)的系數(shù)是

124

-X(-2)^=-)

24

所以一64—丁=—70,解得α=4.

【備選】

1.(2022?荷澤模擬)已知正整數(shù)〃》7,若(X—：)(1—x)"的展開式中不含％5的項(xiàng)，則”的值為

A.7B.8

C.9D.10

答案D

解析(l-χ)n的二項(xiàng)展開式中第斤+1項(xiàng)為

7*+ι=C?-l)V,

又因?yàn)?X-S(I-χ)"=x(l-x)"-%l*~x)"的展開式不含χ5的項(xiàng)，

所以?ɑ(一1)4/一±9(—1)6/=0,

Cix5-Ctv5=O,即Ci=C9,

所以n=10.

2.(2022?煙臺模擬)在(x2+2r+y)5的展開式中，Λ5y2的系數(shù)為()

A.60B.30

C.15D.12

答案A

解析由(x2+2x+y)5=[(χ2+2x)+y∣5,

由通項(xiàng)公式可得7i?+∣=C?(x2+2x)5^y,

;要求Xy的系數(shù),

故％=2,此時(χ2+2x)3=χ3.(χ+2)3,

其對應(yīng)％5的系數(shù)為CJ21≈6.

.?.x5y2的系數(shù)為c?X6=60.

思維升華(1)求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡通項(xiàng)后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)

項(xiàng)時，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k+l,代回通項(xiàng)即可.

(2)對于幾個多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合

思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2021?北京)G3—。的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.

答案一4

解析卜一:下的展開式的通項(xiàng)

7Uι=αɑ3)4r?(—IyC32-4?,令々=3得常數(shù)項(xiàng)為北=(-1)3?=-4.

(2)(2022.攀枝花模擬)(1一g(1+2x)5的展開式中，含3的項(xiàng)的系數(shù)是()

A.-112B.-48

C.48D.112

答案C

解析由(I-￡)(1+2x)5

-(1+2X)5-Λ(1+2X)5,

(1+2x)5展開式的通項(xiàng)公式為

7I?+ι=C?(2x∕=2W,其中無=0,1,2,3,4,5,

(l+2r)5展開式中含爐項(xiàng)的系數(shù)為23C?=80,

9(1+2Λ)5展開式中含V項(xiàng)的系數(shù)為25口=32,所以(I-E)(I+2x)5的展開式中，含??的項(xiàng)

的系數(shù)為80-32=48.

題型二二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的問題

命題點(diǎn)1二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和

例3(1)(2022?十堰調(diào)研)在(3彳一七〉的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之和為128,

給出下列命題：

①二項(xiàng)式系數(shù)和為64；②各項(xiàng)系數(shù)和為64；③常數(shù)項(xiàng)為一135；④常數(shù)項(xiàng)為135.

其中正確的命題是()

A.①②③B.①②④

C.①@@D.②③④

答案B

解析在卜X一七)"的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之和為128,令x=l,得各項(xiàng)系

數(shù)和為2",二項(xiàng)式系數(shù)和為2",

則2X2"=128,得〃=6,即二項(xiàng)式系數(shù)和為64,各項(xiàng)系數(shù)和也為64,故①0正確；

(3x—京｝展開式的通項(xiàng)為

7?=CU3力6-《_5)

=C??(-l∕36^^?Λ^i,

3

令6—#=0,得&=4,

因此展開式中的常數(shù)項(xiàng)為A=C2?(-l)4?32=135.故④正確.

(2)已知多項(xiàng)式(1—2x)+(l+x+χ2)3=αo+q]χ+α2χ2+…+q6∕,則⑶=,s+s+cz+

“5+%=.

答案123

解析根據(jù)題意，令X=1,

則(1—2)+(1+1+l)3=4o+4ι+α2+…+々6=26,令x=0,ao=1+1=2,

由于(1—2￥)+(1+冗+/)3=〃0+〃m+〃2/+—+〃6/,為展開式中X項(xiàng)的系數(shù)，

考慮一次項(xiàng)系數(shù)。1=-2+QC3X12=i,

所以02+43+04+05+06=26—1—2—23.

命題點(diǎn)2系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題

例4Q一市6的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)，系數(shù)最大的項(xiàng)為.

答案4240x8J2

解析因?yàn)镼—36的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為Cg,所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4

項(xiàng).因?yàn)?y-∣)6的展開式的通項(xiàng)為

7；+I=CQ6-{-∣>=α?(-2)Y2%*,

所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng).

展開式中第1,3,5,7項(xiàng)的系數(shù)分別為α?(-2)°,CM—2)2,CR-2尸，CE-2)6,即1,60,240,64,

所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為240x^y.

【備選】

2

1.已知(l-2x)2°22="o+0χ+α2χ2+~+α2O2K°22,下列命題中不正確的是()

A.展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為22。22

□2022—1

B.展開式中所有奇次項(xiàng)系數(shù)的和為一2一

32022+1

C.展開式中所有偶次項(xiàng)系數(shù)的和為一―

?1?2.?3..?2022,

D.y+^+^H------∏52022=-1

答案B

解析選項(xiàng)A,由二項(xiàng)式知，C%2+C32+…+◎速=(1+1)2。22=22。22,A正確;

當(dāng)X=I時，有M)+α∣+α2+…+。2022=1,

當(dāng)X=-I時，

有0o-?1+?2-<73∏----------?2O21+?2O22—32022.

選項(xiàng)B,由上可得

]—32022

ai+s+asH---------021=3,

B錯誤；

選項(xiàng)C,由上可得

32022+l

々0+02+44+…+。2022=?，

C正確;

選項(xiàng)D,令X=I可得

[I。2I。3I〃2022八

。。十2'2?'2}'卜l22022—。,

又Cio=1，

所以多+ft+fk…+舞=τ,D正確.

2.已知(X—3)8=〃o+〃l(x—2)+〃2(X—2)2∏-----l~〃8(X—2)8,給出的下列命題中:

①〃O=1；

②。6=—28；

④。。+公+如+改+倘=128.

其中正確的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析對于①，取x=2,得QO=1,①正確；

對于②，(x—3)8=[—1+。-2)F展開式中第7項(xiàng)為或(一1)2。-2)6=28(x—2)6,

即46=28,②不正確；

對于③，取X=|,得

^o+f+f+?→f=fl-3)=?,

.￡8___1____255

h25=256-ao=-256,

③正確；

對于④，取x=3,得

4θ+α]+02+43+…+s+θ8=0,

取X—1,得

的—a↑+?2—?+**—。7+。8=(—2)8=256,

兩式相加得2(〃()+〃2+〃4+〃6+。8)=256,

即。0+62+。4+46+。8=128,④正確.

思維升華賦值法的應(yīng)用

ftn

一般地，對于多項(xiàng)式3+?x)"=αo+αιx+α2χ2H------?~anxf令g(x)=(a+bx)f則(α+bx)”的展

開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為g(l),(α+bx)"的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為;[g(l)+g(-l)],(a+bx)"

的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為;[g(l)-g(-l)]?

跟蹤訓(xùn)練2⑴已知（2x—?）5=a5x5++a3x3+a2x2+aιx+ao,則Iaol+1〃IlH---H〃5|等于

（）

A.1B.243

C.121D.122

答案B

解析令X=1,

得α5+α4+α3+α2+0+αo=l,①

令χ=f

得一恁+出一力+詼―+的=-243,②

①+②，得2（。4+。2+。0）=—242,

即8+=+的=—121.

①一②，得2（〃5+。3+。1）=244,

即/+6+。］=122.

所以Hol+3|+???+|的|=122+121=243.

（2）（2022-濟(jì)南模擬）在停一X）6的展開式中，給出下列命題：

①常數(shù)項(xiàng)為160；

②第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；

③第3項(xiàng)的系數(shù)最大；

④所有項(xiàng)的系數(shù)和為64.

其中真命題有（）

A.①②B.①④C.②③D.②④

答案C

解析展開式的通項(xiàng)為％+ι=C痣）6=（一》）*=26/一及*廣6,由2L6=0,得％=3,所

以常數(shù)項(xiàng)為23（-1）3&=-160,①錯誤；展開式共有7項(xiàng)，所以第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，

②正確；第3項(xiàng)的系數(shù)最大，③正確；令x=l,得6―x>=l,所有項(xiàng)的系數(shù)和為1,④錯

誤.

題型三二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用

例5⑴設(shè)α∈Z,且OWaWl3,若5po2∣+α能被於整除，則。等于（）

A.0B.1C.11D.12

答案B

解析因?yàn)閍∈Z,且OWaWI3,

所以5口⑼+a=(52-l)202∣+α,

=C9θ21522O2∣-Qθ2∣522O2O+0O2∣522O19-…+◎臍52-C班|+〃，

因?yàn)?1202∣+”能被13整除，結(jié)合選項(xiàng)，

所以一◎幽+〃=-1+。能被13整除，

所以α=l.

(2)利用二項(xiàng)式定理計(jì)算1.056,則其結(jié)果精確到0.01的近似值是()

A.1.23B.1.24

C.1.33D.1.34

答案D

解析1.056=(1+o.O5)6=Cg+CAX0.05+Cδ×0.052+C^×O.O53H-----FCgXO.056=1+0.3+

0.0375+0.0025H------1-0.056≈1.34.

思維升華二項(xiàng)式定理應(yīng)用的題型及解法

(1)在證明整除問題或求余數(shù)問題時要進(jìn)行合理的變形，使被除式(數(shù))展開后的每一項(xiàng)都含有

除式的因式.

(2)二項(xiàng)式定理的一個重要用途是做近似計(jì)算：當(dāng)〃不很大，國比較小時，(l+x)"Ql+nx.

跟蹤訓(xùn)練3⑴設(shè)n為奇數(shù)，那么11"+CQ"∣+CQl"-2+…+c0.ii—1除以I3的余數(shù)

是()

A.-3B.2

C.10D.11

答案C

解析ιιn+ci?π,,^1+c^ιιπ^2+???+c^lιι-ι=cg-ιι,,+cMiπ^'+c^ιιπ^2+???+α-l?ιι

+G:-2=(ll+l)n-2

=12"—2=(13—1)“一2

=C2?13"-CA?13π^'+???+(-l)n-1?C-1?13+(-l)π?CS-2,

因?yàn)椤槠鏀?shù)，則上式=

CS?13n-CA?13n^l4----CT)LI?CΓ?13—3=[C9?13"—CE3"-7-----CT)Ly-I?13—13]+

10,

所以lln+α?ll,,"'+Cs?lΓ,^2+???+CΓ1?ll-l除以13的余數(shù)是10.

(2)0.996的計(jì)算結(jié)果精確到0.001的近似值是()

A.0.940B.0.941

C.0.942D.0.943

答案B

解析(0.99)6=(l-0?01)6=Cg×l-α×0.01+Cg×0.0l2-Cg×0.0l3H-----FaXO.OK

=1-0.06+0.0015-0.00002H-----F0.016

QO.941.

課時精練

1.（2022.濟(jì)南模擬）（x+￡）6的展開式中，含/項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.4B.6

C.IOD.15

答案B

解析Q+￡h展開式的通項(xiàng)為

7*+1=C??x6^*?（^）*=C??x6^2i,

令6—2Z=4,解得火=1,

因此，展開式中含K項(xiàng)的系數(shù)為Cg=6?

2.（2022?武漢部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考）在的展開式中，只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則

展開式常數(shù)項(xiàng)是（）

A.f55

B.'~2

C.-28D.28

答案B

解析展開式中，只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可得展開式有13項(xiàng)，所以〃=12,

展開式的通項(xiàng)為

4

若為常數(shù)項(xiàng)，則12—親=0,

所以上=9,得常數(shù)項(xiàng)為

TK）=C?2（-1）g>-9=一.=一系.

3.（2022?邯鄲模擬）（r一X）（I+x）6的展開式中X3項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.一9B.9

C.-21D.21

答案A

解析展開式中V項(xiàng)的系數(shù)為CA-CW=-9.

4.（2022?蕪湖質(zhì)檢）已知（1一m）α+2）5=αo+αιx+α2X2H----F%x6,其中加為常數(shù)，若。4=30,

則制等于()

A.-32B.32

C.64D.-64

答案A

解析由多項(xiàng)式乘法知，第一個因式中X乘以(x+2)5展開式中的X3項(xiàng)得一個d項(xiàng)，第一個因

式中的常數(shù)一相乘以(x+2)5展開式中的/項(xiàng)得另一個d項(xiàng)，兩項(xiàng)合并同類項(xiàng)得系數(shù)即為處,

所以44=CgX22一mXC?X2=30,

解得機(jī)=1,再令X=0,得αo=-25=-32.

5.(2022?南充模擬)(0r-y)(x+y)4的展開式中X3V的系數(shù)為一2,則實(shí)數(shù)”的值為()

A.—IB.-1C.1D.g

答案D

解析化簡得(Or—y)(x+y)4=αr?(x+y)4-y(x+y)4,

：(x+y)4的展開式的通項(xiàng)公式

7i+ι=CkrV,

當(dāng)k—2時，αr?(x+y)4的展開式中Jv3V的系數(shù)為C加=6α,

當(dāng)A=I時，-y(x+y)4的展開式中Xy的系數(shù)為一。=一4,

綜上，(ax—y)(x+y)4的展開式中x3y2的系數(shù)為6°—4=-2,...a=,

6.已知在(2%—1)"的二項(xiàng)展開式中，奇次項(xiàng)系數(shù)的和比偶次項(xiàng)系數(shù)的和小38,則CJ,+最+

G+…+C；的值為()

A.28B.28-l

C.27D.27-l

答案B

2

解析設(shè)(2x—l)"=ao+aιx+a2ΛH-----F",*',且奇次項(xiàng)的系數(shù)和為A,偶次項(xiàng)的系數(shù)和為8.

則A=a∣+a3+a5+…，

B=Oo+故+內(nèi)+恁+….

由已知得，B-A=3?

令x=-l,得

ao-a]+?2—?n-----∣-a,,(-l)n=(-3)M,

即(如+6+融+熊+…)―31+43+45+47+-)=(-3)”,

即B-Λ=(-3)rt,

n88

.?.(-3)=3=(-3)1

；?〃=8,

由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可得G+C-+◎+…+a=2"-C9=28-l.

7.(2022?邯鄲模擬汜知的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,下列說法不正確的是

()

A.2,”，10成等差數(shù)列B.各項(xiàng)系數(shù)之和為64

C.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)D.展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)

答案C

?君"的二項(xiàng)式系數(shù)之和為

解析?5χ-

2"=64,

得”=6,得2,6,10成等差數(shù)列，A正確;

=26=64,

則卜X—的各項(xiàng)系數(shù)之和為64'B正確;

5X一〒6的展開式共有7項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，C不正確;

的展開式中的第5項(xiàng)為CW(5x)2?(一南J4

=15X25X81為常數(shù)項(xiàng)，D正確.

8.(2022?秦皇島模擬)已知(2-小x)6=0o+αιχ+α2JC2H-----l^α?r6,給出下列命題:

2-2

(2)(a0+α2÷<?÷?6)(??÷ɑ?÷?5)≈1;

③αι+α2∏Fα6=(2一小)6；

④展開式中系數(shù)最大的為“2.

其中真命題有()

A.①②B.①③C.②③D.②④

答案D

解析(2-√lt)6展開式的通項(xiàng)為

Λ?÷I=C??26^?(-√3Λ/

=C??(-√3)*?26^*?√,

對于①，令/=3,

則673=C^×23×(-√3)3=-48(>√3,

①錯誤；

對于②，令X=1,

則4o+"ι+…+恁=(2一小)6；

令X=-1,

則的一切+他—…+。6=(2+"\/5)6,

?、（〃0+42++〃6）2-31+〃3+〃5）2

=（ao+a↑÷ɑ2∏------^。6）（。?！?々2-------H〃6）

=［（2-√3）×（2+√3）J6=l,②正確；

對于③，令X=0,得40=26,

.?.αι+0?+…+。6=（2一?。?—26,③錯誤；

對于④，

V<20,02,44,46為正數(shù)，a?,43,45為負(fù)數(shù)，

4

又αo=26=64,α2=Cs×2×3=720,

S=CZX22義32=540,

46=33=27,

展開式中系數(shù)最大的為。2,④正確.

9.（2021?天津）在,+號6的展開式中，/的系數(shù)是.

答案160

解析（"+U的展開式的通項(xiàng)為

7A.÷I=C?（2Λ3）6"<QA≈26^CU18~4*,

令18-4A=6,解得9=3,

所以下的系數(shù)是23Cg=160.

10.（2022.濟(jì)寧模擬）已知口一號”的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128,則這個展開式中

Λ3項(xiàng)的系數(shù)是.

答案84

解析依題意，2〃=128,解得〃=7,

（x-$7的展開式的通項(xiàng)為

7

7*+ι=C?-*?^-^）*

=（-2∕C?7-2AU∈N,kW7）,

由7—22=3得k=2,所以所求展開式中3項(xiàng)的系數(shù)是（-2）20=4X缺=84.

Z??

11.（2022?南昌模擬）若（x+君"的展開式中共有7項(xiàng)，則常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）.

答案240

解析因?yàn)椋▁+D”的展開式中共有7項(xiàng)，

所以〃+1=7,可得〃=6,

所以（x+后6

展開式的通項(xiàng)為

k

Tk+=C56T2Xj=C2%6芝

3

令6—/=0,可得攵=4,

所以常數(shù)項(xiàng)為C?24=15×16=240.

12.(2021?浙江)已知多項(xiàng)式(X—l)3+(χ+1)4=/+〃山+〃2工2+。3]+〃4，則41=，〃2

+〃3+.

答案510

解析(X—1)3展開式的通項(xiàng)。+I=CR3F(-l)lα+l)4展開式的通項(xiàng)Tki=Cyr,則0=

CS+C1=1+4=5；az-C?{-l)l÷Ci=3;S=C"-1)2+C1=7;4=Cl-I)3+C4=O.所以

s+g3+a4=3+7+θ=10.

13.已知〃為正整數(shù)，若1.15H）W[%〃+1）,則〃的值為（）

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析因?yàn)?.155=11+&5

=2+工+勤χ0>

z800^400k20；,

HCCl7,309U??7.27

而2<2+800+400Xl20j<2+l800+8000

<2+2+工=2+?1

‘十800十8000z十80"'

所以2<1.155<2.1,

因此4<1.15∣°<4.41,

又"為正整數(shù)，1.15∣t(e[”,"+1),所以w=4.

14.(2022?浙江Z20名校聯(lián)盟聯(lián)考)設(shè)(χ-l)(2+x)3="o+sχ+α2∕+αjχ3+at/,則fll=

>242+3α3+4α4=.

答案一431

解析因?yàn)閤?α?23?x0-Ci?22?√=-4x,

所以4|=-4,

對所給等式，兩邊對X求導(dǎo)，可得

-2

(2+x)3+3(x1)(2+x)=+2。加+3。獷2+4CMX3,

令X=1,得27=內(nèi)+2。2+3〃3+4〃4,

所以2〃2+3Q3+4Q4=31.

15.已知SJ是數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和，若(1-2^)2022=60+81/+62/+-+6202