2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章：空間向量與立體幾何（附答案解析）

2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章：空間向量與立體幾

何

1.(2022?新高考全國(guó)I改編)如圖，直三棱柱ABC—481cl的體積為4,△A|BC的面積為2g.

(1)求A到平面A\BC的距離；

(2)設(shè)。為4c的中點(diǎn)，AA\=AB,平面ABUL平面A8B1A1，求平面A3。與平面BCO夾角

的正弦值.

解(1)設(shè)點(diǎn)A到平面4BC的距離為兒

因?yàn)橹比庵鵄BC—AiBiG的體積為4,

所以匕-ABC《SAABCAAI

_4

3ABC~AjH\C\3，

又△4BC的面積為2?

114

匕-ABC==3x2^=r3>

所以h=小,

即點(diǎn)A到平面MBC的距離為6.

⑵取4B的中點(diǎn)E,連接AE,

則AELAiB.

因?yàn)槠矫?BC_L平面ABB1A”平面4BCCI平面AEU平面

所以AE,平面A|8C,

又BCU平面4BC,所以AE_L8C.

又44」平面ABC,8CU平面ABC,

所以/Ui_LBC.

因?yàn)锳4iCAE=A,A4,AEU平面AB81A1,所以BC_L平面ABB14,

又4BU平面A88A,所以BCL4B.

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以病，BA,就的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間

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直角坐標(biāo)系,

由(1)知，AE=y[i,

所以44i=AB=2,AiB=2吸.

因?yàn)?A出C的面積為26，

所以所以BC=2,

所以A(0,2,0),仇0,0,0),C(2,0,0),Ai(0,2,2),0(1,1,1),￡(0,1,1),

則彷=(1,1,1),及=(0,2,0).

設(shè)平面A8。的法向量為〃=(x,y9z),

〃?防二0,x+y+z=0,

則_即

[“?84=0,2y=0,

令x=l,得〃=(1,0,-1).

又平面BOC的一個(gè)法向量為嬴=(0,-1,1),

AEn_____-1

所以cos(AEn)

9|AE|-|n|市義由-

設(shè)平面ABD與平面BCD的夾角為6,

貝!Isin1—cos2(,AE,n>=坐,

所以平面A3。與平面8c。夾角的正弦值為

2.如圖，四棱錐尸一ABC。的底面為正方形，平面ABC￡>,M是PC的中點(diǎn)，PA=AB.

⑴求證：AM_L平面PBD；

⑵設(shè)直線AM與平面PBO交于0,求證：A0=20M.

證明(1)由題意知，AB,AD,AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,4尸所在直線分別

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為X軸、y軸、Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

設(shè)必=AB=2,則尸(0,0,2),8(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),麗=(2,0,-2),PD=

(0,2,-2),俞=(1,1,1),

設(shè)平面的法向量為w=(x,y,z),

ti,PB—2X—2z=0,

則，取X=l,得”=(1,1,1),

nPD=2y-2z=0,

VAM=n,；.AM_L平面PSD

(2)如圖，連接4c交8。于點(diǎn)E,

則E是AC的中點(diǎn)，連接PE,

平面PBD=O,

...。七4加且。右平面PBD,

：4MU平面PAC,

平面PAC,

又平面PBOn平面PAC=PE,

：.OGPE,

：.AM,PE的交點(diǎn)就是O,連接ME,

是PC的中點(diǎn)，

：.PA//ME,PA^=2ME,

:Zk0s/\EM0,

.PA_AO_2

??應(yīng)―麗―7

.\AO=2OM.

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3.如圖，在四棱錐P—ABCQ中，H_L平面ABC。，AB//CD,PA=AB=2CD=2,ZADC=

90°,E,尸分別為P8,48的中點(diǎn).

(1)求證：CE〃平面PAD,

(2)求點(diǎn)B到平面PCF的距離.

(1)證明連接EF(圖略)，F(xiàn)分別為PB,AB的中點(diǎn)，

?；E網(wǎng)平面孝D,附u平面附￡),，￡：/3平面以。，

\'AB//CD,AB=2CD,：.AF//CD,且AF=C￡).

四邊形AOC尸為平行四邊形，EPCF//AD,

；CFQ平面PAD,AQU平面PAD,，CF〃平面PAD,

'：EFQCF=F,EF,C/u平面EFC,

，平面以?！ㄆ矫鍱FC,CEU平面EFC,則CE〃平面BAD

(2)解'：ZADC=90°,AB//CD,C.ABVAD,CF±AB,

又B4_L平面ABC。，：.PA±CF,又必CA8=A,...CF_L平面：.CF±PF.

設(shè)CF=x,則SAAFC=；X1Xx=5,SWFC=3義小Xx=^x,

設(shè)點(diǎn)A到平面PCT7的距離為h,由VP-AFC=VA-PFC,

#1X^X2=|X-^X/I,貝?。?/p>

?.?點(diǎn)F為48的中點(diǎn)，...點(diǎn)8到平面PCF的距離等于點(diǎn)A到平面PC尸的距離，為手.

4.(2022?全國(guó)乙卷)如圖，四面體A8CC中，AD±CD,AD=CD,NADB=NBDC,E為AC

的中點(diǎn).

⑴證明：平面BE。，平面ACD；

(2)設(shè)4B=BO=2,NACB=60。，點(diǎn)尸在8。上，當(dāng)△4FC的面積最小時(shí)，求C尸與平面A8O

所成的角的正弦值.

(1)證明因?yàn)锳O=C￡),E為AC的中點(diǎn)，所以ACJ_OE

在△AOB和△COB中，

因?yàn)锳C=C￡),NADB=NCDB,

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DB=DB,

所以AADBg△CDB,所以AB=BC.

因?yàn)椤隇锳C的中點(diǎn)，所以ACLBE

又BECDE=E,BE,OEU平面BEC,

所以ACJ_平面BED,

又ACU平面ACD,

所以平面BED上平面ACD.

⑵解由⑴可知A8=BC,

又NACB=60。，AB=2,

所以△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

則AC=2,BE=事,AE=1.

因?yàn)锳O=C￡),ADVCD,

所以△AQC為等腰直角三角形，

所以O(shè)E=1.

所以O(shè)E2+BE2=BD2,則DELBE.

由(1)可知，AC_L平面8ED

連接EF,因?yàn)镋FU平面BED,

所以ACLEF,

當(dāng)△人人；的面積最小時(shí)，點(diǎn)尸到直線AC的距離最小,

即EF的長(zhǎng)度最小.

在中，當(dāng)E尸的長(zhǎng)度最小時(shí)，

DEBEyf3

EFLBD,EF=—^-=\.

DUZ

方法一由(1)可知，DEYAC,BELAC,

所以EA,EB,E。兩兩垂直，

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA,EB,ED所在的直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，MA(1,0,0),8(0,小，0),D(0,0,1),C(-1,0,0),

施=（一1,小,0）,加=（0,小,-1）.

13

-

一-2

牙所以3DF=FB.

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設(shè)尸(0,y,z),則5>=(0,y,Z-1),

而=(0,小—y,-z),

所以3(0,y,z—1)=(0,小一y,—z),

2—亞_3

付y-4，z_4?

即電,中,如

所以次=(1,奉I(lǐng)).

設(shè)平面A3。的法向量為〃=a”yi,Z1),

n-AB=―汨+V3yi=0,

叫-

[n-DB=y[3yi~z\=0,

不妨取y=l,則xi=S，zi=小，

〃=(小，1,小).

記CF與平面A3。所成的角為a,

貝ijsina=|cos<CF,〃〉|=1。廣見(jiàn)=￥^.

\CF]\n\

所以CF與平面AB。所成角的正弦值為華.

方法二因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)C到平面A3。的距離等于點(diǎn)E到平面A3。的距離的

2倍.

因?yàn)镼E_LAC,DELBE,ACHBE=E,AC,BEU平面ABC,

所以O(shè)EJ_平面ABC.

因?yàn)閂D-AEB=VE-ADB9

所以/其中d為點(diǎn)。到平面ABD的距離.

在△A3。中，BA=BD=2,AD=?

所以SZM6￡>=^^,所以d=2/L

由(1)知ACJ_平面BED,EFU平面BED,

所以ACLEF,

所以FC=\FE2+EC2=*.

記C尸與平面48。所成的角為a,

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貝Isin。=今=半

所以CF與平面43。所成角的正弦值為半.

方法三如圖，過(guò)點(diǎn)E作EMLAB交A8于點(diǎn)M,連接。M,過(guò)點(diǎn)E作EGLOW交。M于點(diǎn)

G.

因?yàn)镈E_L4C,DELBE,ACC\BE=E,AC,BEU平面ABC,

所以。E_L平面ABC,又ABU平面ABC,所以O(shè)E_LAB,

又EMCDE=E,EM,￡>EU平面OEM,所以AB_L平面OEM,

又EGU平面力EM,所以48J_EG,

又AB,OMU平面ABO,

所以EG,平面A8D,則EG的長(zhǎng)度等于點(diǎn)E到平面A3。的距離.

因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以EG的長(zhǎng)度等于點(diǎn)C到平面A3。的距離的去

因?yàn)镋M=AEsin60。=勺，

6小DEEMDEEM①

所以EG-爐+*-7.

所以點(diǎn)C到平面ABD的距離d=2'g.

FC=、F序+EC?=*.

記CF與平面4BO所成的角為a,

則si…左半

所以CF與平面A8力所成角的正弦值為華.

5.（2023?青島模擬）如圖①，在梯形ABCD中，AB//DC,AD=BC=CD=2,AB=4,E為

AB的中點(diǎn)，以O(shè)E為折痕把折起，連接AB,AC,得到如圖②的幾何體，在圖②的兒

何體中解答下列問(wèn)題.

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AEB

圖①

⑴證明：ACLDE；

(2)請(qǐng)從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求平面D4E與平面4EC夾角的余弦值.

①四棱錐A-BCDE的體積為2；

②直線4c與EB所成角的余弦值為乎.

⑴證明在圖①中，連接CE(圖略)，

因?yàn)?。C〃4B,CD=^AB,E為AB的中點(diǎn)，

所以O(shè)C〃AE,S.DC=AE,

所以四邊形AQCE為平行四邊形，

所以AD=CE=CD=AE=2,

同理可證DE=2,

在圖②中，取OE的中點(diǎn)0,連接04,0C(圖略)，

貝ij。4=。。=小，

因?yàn)锳Z)=AE=CE=C。，所以。E_L0A,DE^OC,

因?yàn)?4A0C=0,OA,AOC,所以O(shè)EJL平面AOC,

因?yàn)锳CU平面AOC,所以QE_LAC.

(2)解若選擇①：由(1)知DELL平面AOC,OEU平面8CDE,

所以平面40CJ_平面BCOE,且交線為0C,

所以過(guò)點(diǎn)A作4HJ_0C交。C于點(diǎn)，(圖略)，則A，_L平面8CDE,因?yàn)?百邊彩BCOE=2小,

所以四棱錐A—8CCE的體積VA-BCDE^2=^X2y[3-AH,

所以AH=0A=，5,所以A。與AH重合，所以AO_L平面3C0E,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則0(0,0,0),C(f,0,0),E(0,l,0),A(0,0,小),

易知平面D4E的一個(gè)法向量為歷=(小，0,0),

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設(shè)平面AEC的法向量為w=（x,y,z）,

因?yàn)?=（小，1,0）,&=他,0,?。?

n-CE=y/3x+y-0,

所以_取?=（1,一小，—1）,

ln-CA=y/3x+y/3z=0,

設(shè)平面D4E與平面AEC的夾角為6,

\CO-n\_A/3_A/5

貝Ucos0—

\CO\\n\小X小5

所以平面D4E與平面AEC夾角的余弦值為坐.

若選擇②：因?yàn)?。C〃EB,所以NACO即為異面直線AC與EB所成的角,

2

AC+4-4

在△AOC中，cosZACD=--4AC-=4

所以AC=#,所以。42+OC2=AC2,gpOA1.OC,

因?yàn)镈E±平面AOC,DEU平面BCDE,

所以平面AOC_L平面BCDE,且交線為OC,又OAU平面AOC,

所以AO_L平面BCDE,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則。（0,0,0）,C（一6,0,0）,￡（0,1,0）,4（0,0,?。?

易知平面D4E的一個(gè)法向量為的=（小，0,0）,

設(shè)平面AEC的法向量為〃=（x,y,z）,

因?yàn)橥?（小，1,0）,CA=（yj3,0,?。?/p>

\n-CE=y[3x-\-y=O9.

所以，_取〃=（1,一小，—1）,

[n'CA=yl3x+y[3z=0,

設(shè)平面D4￡與平面AEC的夾角為仇

\COn\_V3_^5

則cos0=

\CO\\n\小*小5

所以平面。AE與平面AEC夾角的余弦值為坐.

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6.(2022?連云港模擬)如圖，在三棱錐A-BCZ)中，△A8C是正三角形，平面A8C，平面BCD,

BDLCD,點(diǎn)E,尸分別是BC,0c的中點(diǎn).

(1)證明：平面ACQ_L平面AEF；

(2)若NBCD=60。，點(diǎn)G是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，平面AEG與平面

ACD的夾角最小.

(1)證明因?yàn)椤鰽8C是正三角形，點(diǎn)E是8c的中點(diǎn)，所以AELBC,

又因?yàn)槠矫鍭8C_L平面BCD,平面4BCC平面BCD=BC,AEU平面ABC,

所以AE_L平面BCD,

又因?yàn)镃OU平面BCD,所以CDA.AE,

因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別是BC,C￡>的中點(diǎn)，所以EF〃BD,

又因?yàn)锽D_LC￡>,所以C￡>_LEF,又因?yàn)锳ECEF=E,

AEU平面AEF,EFU平面AEF,所以CQ_L平面A