計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ) 第3版 課件 第3、4章 一元線性回歸模型的估計(jì)、一元線性回歸模型的推斷

第3章一元線性回歸模型的估計(jì)LEARNINGTARGET學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握普通最小二乘法（OLS）的基本原理能夠運(yùn)用OLS估計(jì)一元線性回歸模型的系數(shù)了解一元線性回歸線的代數(shù)性質(zhì)理解擬合優(yōu)度的度量方法第3章一元線性回歸模型的估計(jì)3.1普通最小二乘法估計(jì)一元線性回歸模型參數(shù)的最常用、最簡(jiǎn)潔的方法是普通最小二乘法(ordinaryleastsquares,OLS)。設(shè)總體一元線性回歸模型為：（3-1）樣本一元線性回歸模型為：

（3-2）式中，為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)式中，為殘差項(xiàng)樣本回歸方程為：

（3-3）我們的目的是通過(guò)估計(jì)樣本回歸方程（3-3）得到總體線性回歸模型的系數(shù)、的估計(jì)值3.1普通最小二乘法對(duì)于一個(gè)特定的樣本數(shù)據(jù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（

，）不一定在同一條直線上，所以這些散點(diǎn)會(huì)與樣本回歸直線有誤差，這些誤差就是殘差項(xiàng)。從理論上講，近似地表示這些樣本點(diǎn)的直線有無(wú)數(shù)條，我們想要求的樣本回歸直線，是一條與所有樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成的點(diǎn)（

，）誤差最小的直線（這種情形稱(chēng)為擬合）。假定樣本容量為n，每個(gè)點(diǎn)（，）與假設(shè)最佳的理論的樣本回歸直線都會(huì)有一個(gè)誤差，所以就會(huì)有n個(gè)誤差，這些誤差就是殘差，計(jì)算公式為：（3-4）圖3-1殘差的幾何意義3.1普通最小二乘法由于這樣的殘差有n個(gè)，直觀的看，要使樣本回歸直線與樣本的散點(diǎn)（，）之間的誤差為最小，則需要為最小

。但是，殘差的值可正可負(fù)（圖3-1只繪制了正離差的情形，負(fù)離差的情形請(qǐng)讀者自己繪制），求和時(shí)可以正負(fù)抵消，所以

的值會(huì)非常接近0，甚至為0。這樣，如果有兩條樣本回歸直線的殘差和都為0，我們就無(wú)法準(zhǔn)確的判斷哪一條樣本回歸直線與散點(diǎn)的誤差更小。為了克服這個(gè)問(wèn)題，我們可以用殘差的平方和來(lái)比較回歸直線與散點(diǎn)誤差的大小。由于殘差平方和為非負(fù)數(shù)，求和時(shí)不會(huì)正負(fù)抵消，所以，能夠使殘差平方和為最小的回歸直線，就是與散點(diǎn)誤差最小的直線。于是由式（3-2）、（3-3）和（3-4）得：（3-5）3.1普通最小二乘法由于樣本數(shù)據(jù)

、

都是已知的、確定的，所以，上式中殘差平方和的值取決于系數(shù)

、的取值。這是一個(gè)顯而易見(jiàn)的事實(shí)，由于

、是樣本回歸直線的截距和斜率，不同的

、對(duì)應(yīng)不同的直線，從而就有不同的殘差平方和。能夠使殘差平方和取得最小值的

、所決定的直線就是我們要求的最佳的直線。由上述分析可知，殘差平方和是關(guān)于

、的函數(shù)，即：

（3-6）3.1普通最小二乘法由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可知，函數(shù)

取得極值的必要條件是其偏導(dǎo)數(shù)為0，即：求上述兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)得：（3-7）（3-8）注意到

，式（3-7）、（3-8）也可以表示為：（3-9）（3-10）對(duì)式（3-9）、（3-10）進(jìn)行整理得：3.1普通最小二乘法式（3-11）和（3-12）稱(chēng)為正規(guī)方程，其中n是樣本容量

。由這兩個(gè)正規(guī)方程組成的方程組是關(guān)于、的二元一次方程組，解這個(gè)方程組得：

（3-11）（3-12）

（3-13）

（3-14）我們稱(chēng)用這種方法得到的為最小二乘估計(jì)量或OLS估計(jì)量，對(duì)應(yīng)的直線為OLS回歸直線。由式（3-13）和（3-14）可以看出，我們可以用樣本的觀測(cè)值計(jì)算出，由此得到的直線是最佳的直線。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們可以對(duì)上述兩個(gè)計(jì)算式進(jìn)行簡(jiǎn)化，得：和對(duì)于最小二乘估計(jì)量（OLS估計(jì)量）、，我們要做如下一些解釋?zhuān)?.1普通最小二乘法為的平均值，

（3-15）（3-16）式中，式（3-15）和式（3-16）稱(chēng)為最小二乘估計(jì)量的離差形式。第一，

OLS估計(jì)量和是由給定的樣本觀測(cè)值計(jì)算得到的。第二，

OLS估計(jì)量是總體參數(shù)和的點(diǎn)估計(jì)值。對(duì)于不同的樣本和是統(tǒng)計(jì)量，是隨機(jī)變量。用最小二乘法可以計(jì)算得到不同的值，所以我們計(jì)算得到的是由給定樣本觀測(cè)值的特定的一個(gè)值，它是成千上萬(wàn)個(gè)估計(jì)值中的一個(gè)。，便可以畫(huà)出樣本回歸直線的圖像。第三，根據(jù)給定樣本觀測(cè)值計(jì)算得到和雖然進(jìn)行了簡(jiǎn)化，但在實(shí)際的計(jì)算過(guò)程中得到這兩個(gè)最小二乘估計(jì)量的值還是非常繁瑣的。下面我們以一個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明最小二乘法估計(jì)值的計(jì)算方法。3.1普通最小二乘法【例3-1】我們以表2-2中的樣本1為例。假定我們從100個(gè)家庭中抽到一個(gè)由10個(gè)家庭組成的樣本，觀測(cè)得到他們的收入和消費(fèi)數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)見(jiàn)表3-1），計(jì)算OLS估計(jì)量解：用式（3-15）和（3-16）進(jìn)行計(jì)算。用excel計(jì)算我們需要的各項(xiàng)數(shù)值，如表3-1所示：的值。和3.1普通最小二乘法再代入公式得：則所求的樣本回歸直線為：其圖像如圖3-2所示。圖3-2樣本回歸直線在實(shí)際運(yùn)用中，我們可以用EViews軟件得到計(jì)算結(jié)果。EViews是EconometricsViews的縮寫(xiě)，直譯為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)觀察，通常稱(chēng)為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件包，是專(zhuān)門(mén)從事數(shù)據(jù)分析、回歸分析和預(yù)測(cè)的工具，在科學(xué)數(shù)據(jù)分析與評(píng)價(jià)、金融分析、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)、銷(xiāo)售預(yù)測(cè)和成本分析等領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛。3.1普通最小二乘法2.建立工作文件在主菜單上依次點(diǎn)擊File/New/Workfile，將彈出一個(gè)對(duì)話框（如圖3-4所示），即選擇新建對(duì)象的類(lèi)型為工作文件。在建立工作文件時(shí)，必需要設(shè)定數(shù)據(jù)性質(zhì)。由于本例數(shù)據(jù)是截面數(shù)據(jù)，所以在Workfilestructuretype窗口選擇Unstructured/undated（非時(shí)序數(shù)據(jù)），在Datarange中輸入數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)后，點(diǎn)擊“OK”。如果是時(shí)間序列數(shù)據(jù)，則要選擇Dated-regularfrequency,并在Dataspecification中選擇時(shí)間單位、起始期和終止期，點(diǎn)擊“OK”。其中時(shí)間單位有：Annual—年度、Monthly—月度、Semi-annual—半年度、Weekly—周、Quarterly—季度、Daily—日。工作文件窗口如圖3-5所示。3.1普通最小二乘法

圖3-4工作文件對(duì)話框

圖3-5工作文件窗口3.1普通最小二乘法工作文件窗口是EViews的子窗口，工作文件一建立就包含了兩個(gè)對(duì)象，一個(gè)是系數(shù)向量C（用來(lái)保存估計(jì)系數(shù)），另一個(gè)是殘差序列RESID（實(shí)際值與擬合值之差）。3.建立工作對(duì)象在工作文件窗口上選擇Objects/NewObject，彈出一個(gè)對(duì)象窗口，選擇組（Group）對(duì)象并命名，點(diǎn)擊“OK”，如圖3-6所示。圖3-6組對(duì)象窗口

圖3-7組文件和序列文件3.1普通最小二乘法4.輸入數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)可以用復(fù)制/粘貼來(lái)輸入，但對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)文件是與EViews兼容的文件。為了操作方便，輸入數(shù)據(jù)后可以對(duì)變量進(jìn)行重新命名，命名后可以直接關(guān)閉對(duì)象窗口，文件將自動(dòng)保存，同時(shí)生成組對(duì)象中對(duì)應(yīng)的變量序列，如圖3-7所示。5.作圖在命令窗口中輸入EViews：scatxy回車(chē)，即可得到散點(diǎn)圖（注意，命令中橫坐標(biāo)的變量在前，縱坐標(biāo)的變量在后）。在圖窗口中點(diǎn)擊Name,命名，點(diǎn)擊“OK”，結(jié)果如圖3-8所示。圖3-8散點(diǎn)圖3.1普通最小二乘法4.輸入數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)可以用復(fù)制/粘貼來(lái)輸入，但對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)文件是與EViews兼容的文件。為了操作方便，輸入數(shù)據(jù)后可以對(duì)變量進(jìn)行重新命名，命名后可以直接關(guān)閉對(duì)象窗口，文件將自動(dòng)保存，同時(shí)生成組對(duì)象中對(duì)應(yīng)的變量序列，如圖3-7所示。5.作圖在命令窗口中輸入EViews：scatxy回車(chē)，即可得到散點(diǎn)圖（注意，命令中橫坐標(biāo)的變量在前，縱坐標(biāo)的變量在后）。在圖窗口中點(diǎn)擊Name,命名，點(diǎn)擊“OK”，結(jié)果如圖3-8所示。圖3-8散點(diǎn)圖3.1普通最小二乘法6.估計(jì)在命令窗口中輸入EViews：lsycx回車(chē)，即可得到OLS估計(jì)值（注意命令中的順序，C表示截距項(xiàng)）。在方程窗口中點(diǎn)擊“Name”,命名，點(diǎn)擊“OK”，如果如表3-2所示：DependentVariable:Y

Method:LeastSquares

Date:11/22/17Time:20:48

Sample:110

Includedobservations:10

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C29.27273188.28240.1554720.8803X0.6624360.02936022.562510.0000R-squared0.984528

Meandependentvar4169.500AdjustedR-squared0.982594

S.D.dependentvar1010.662S.E.ofregression133.3380

Akaikeinfocriterion12.80051Sumsquaredresid142232.1

Schwarzcriterion12.86102Loglikelihood-62.00254

Hannan-Quinncriter.12.73412F-statistic509.0668

Durbin-Watsonstat2.629012Prob(F-statistic)0.000000

在這個(gè)結(jié)果中，C對(duì)應(yīng)的是截距項(xiàng)系數(shù)（29.27273），X對(duì)應(yīng)的是斜率項(xiàng)系數(shù)（0.662436），計(jì)算結(jié)果與前面手工計(jì)算的結(jié)果相同。7.保存用鼠標(biāo)單擊工作文件空白處，然后在主菜單中選擇File/Save，給文件命名,點(diǎn)擊“確定”。以上操作還可以用菜單命令來(lái)完成，讀者可以參閱相關(guān)文獻(xiàn)。3.2樣本回歸直線的代數(shù)性質(zhì)由OLS估計(jì)量所確定的樣本回歸直線是總體的回歸的估計(jì)結(jié)果，其具有以下代數(shù)性質(zhì)：1.樣本回歸直線經(jīng)過(guò)X和Y的樣本均值，即點(diǎn)（）在樣本回歸直線上。由式（3-16）整理得：

（3-17）即點(diǎn)（）在樣本回歸直線上。2.估計(jì)的Y值（）的均值等于實(shí)際觀測(cè)的Y的均值，即。由式（3-16）得：3.2樣本回歸直線的代數(shù)性質(zhì)由以上兩條性質(zhì)，我們可以得到樣本回歸模型和方程的離差形式。用式（3-2）減式（3-17）得：則有

（3-18）

（3-19）3.2樣本回歸直線的代數(shù)性質(zhì)3.4.5.3.3擬合優(yōu)度的度量在第一節(jié)中，我們講述了怎樣用最小二乘法求出最佳的樣本回歸直線，即OLS回歸直線。在實(shí)例中，我們也求出了一條具體的樣本回歸直線，并繪制了圖像。從圖3-2可以看出，樣本回歸直線實(shí)際上是對(duì)樣本數(shù)據(jù)所決定的散點(diǎn)的一種近似或者逼近。既然是近似或者逼近，我們自然就會(huì)想到一個(gè)問(wèn)題：怎樣度量近似的程度，或者說(shuō)怎樣度量擬合的程度。這個(gè)問(wèn)題就是擬合優(yōu)度的度量。3.3擬合優(yōu)度的度量在第一節(jié)中，我們講述了怎樣用最小二乘法求出最佳的樣本回歸直線，即OLS回歸直線。在實(shí)例中，我們也求出了一條具體的樣本回歸直線，并繪制了圖像。從圖3-2可以看出，樣本回歸直線實(shí)際上是對(duì)樣本數(shù)據(jù)所決定的散點(diǎn)的一種近似或者逼近。既然是近似或者逼近，我們自然就會(huì)想到一個(gè)問(wèn)題：怎樣度量近似的程度，或者說(shuō)怎樣度量擬合的程度。這個(gè)問(wèn)題就是擬合優(yōu)度的度量。3.3擬合優(yōu)度的度量3.3擬合優(yōu)度的度量3.3擬合優(yōu)度的度量3.3擬合優(yōu)度的度量3.3擬合優(yōu)度的度量【例3-2】【例3-2】GDP是一國(guó)總體經(jīng)濟(jì)活動(dòng)運(yùn)行表現(xiàn)的概括性衡量指標(biāo)，消費(fèi)需求是經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的助推器。我們選取了1978~2020年我國(guó)GDP和最終消費(fèi)的數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)見(jiàn)教學(xué)資源data3-2，數(shù)據(jù)來(lái)源：中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒2021），來(lái)分析消費(fèi)對(duì)GDP的影響程度。解：1.建立工作文件打開(kāi)EViews，選擇數(shù)據(jù)類(lèi)型以及起始日期和終止日期。如圖3-10所示。3.4案例分析2.輸入數(shù)據(jù)在命令窗口輸入：dataxy回車(chē)，即可快速建立Group。輸入對(duì)應(yīng)的解釋變量和被解釋變量，如圖3-11所示。3.作圖在命令窗口輸入：scatxy回車(chē)，即可得到散點(diǎn)圖。也可以在Group窗口中點(diǎn)擊View—Graph，選擇Graphtype為scatter，也可獲得散點(diǎn)圖，如圖3-12所示。3.4案例分析4.估計(jì)觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，樣本點(diǎn)近似于一條直線，于是可以考慮用一元線性回歸模型來(lái)近似表示兩個(gè)變量之間的規(guī)律性。在命令窗口中輸入命令：lsycx回車(chē)，得到樣本回歸方程如表3-3所示。3.4案例分析由回歸結(jié)果得到樣本回歸方程：這個(gè)結(jié)果說(shuō)明，當(dāng)消費(fèi)增加1個(gè)單位，GDP平均增加約2個(gè)單位。3.4案例分析DependentVariable:Y

Method:LeastSquares

Date:05/21/22Time:16:05

Sample:19782020

Includedobservations:43

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-961.98264267.030-0.2254450.8228X1.9134050.02093991.380880.0000

R-squared0.995114Meandependentvar243766.7AdjustedR-squared0.994995S.D.dependentvar307906.7S.E.ofregression21783.36Akaikeinfocriterion22.86108Sumsquaredresid1.95E+10Schwarzcriterion22.94299Loglikelihood-489.5131Hannan-Quinncriter.22.89128F-statistic8350.465Durbin-Watsonstat1.518336Prob(F-statistic)0.000000

5.做樣本回歸直線在Group窗口中，點(diǎn)擊View—Graph，選擇Graphtype為scatter，F(xiàn)itlines選擇RegressiongLine，點(diǎn)擊“OK”即可得到如圖3-13所示的樣本回歸線。3.4案例分析【本章小結(jié)】一元線性回歸模型是最簡(jiǎn)單的回歸模型，它是學(xué)習(xí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)性內(nèi)容，并且在很多情況下有非常廣泛的運(yùn)用。學(xué)習(xí)本章內(nèi)容要正確理解模型的設(shè)定以及系數(shù)的意義；掌握用普通最小二乘法進(jìn)行估計(jì)的方法，特別是要掌握EViews的基本操作方法；掌握樣本回歸方程的代數(shù)性質(zhì)；理解擬合優(yōu)度的度量。

【學(xué)習(xí)建議】本章是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，在學(xué)習(xí)時(shí)要正確理解相關(guān)的基本概念，掌握基本方法，并掌握EViews的基本操作方法。1.本章重點(diǎn)模型的設(shè)定以及系數(shù)的意義普通最小二乘法擬合優(yōu)度的度量2.本章難點(diǎn)模型的設(shè)定以及系數(shù)的意義

普通最小二乘法【核心概念】模型的設(shè)定隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)殘差

普通最小二乘3.4案例分析第4章一元線性回歸模型的推斷第4章一元線性回歸模型的推斷4.1古典假定4.1古典假定4.1古典假定4.1古典假定4.2OLS估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)4.2OLS估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)4.2OLS估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)4.2OLS估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)4.2OLS估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)4.2OLS估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)4.2OLS估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)4.3參數(shù)的檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)在滿足古典假定的條件下，用最小二乘法得到的估計(jì)量是最佳線性無(wú)偏估計(jì)量，這是一個(gè)非常好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，我們可以對(duì)參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)。1.經(jīng)濟(jì)意義檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)意義檢驗(yàn)是檢驗(yàn)OLS估計(jì)量是否符合經(jīng)濟(jì)學(xué)理論或是否與我們的預(yù)期相符，主要是檢驗(yàn)系數(shù)的符號(hào)和取值范圍。例如，在消費(fèi)模型中，斜率項(xiàng)系數(shù)表示邊際消費(fèi)傾向，根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論其取值應(yīng)該在0到1之間。如果OLS估計(jì)量的值不在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，則違背了經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，說(shuō)明模型的設(shè)定可能有問(wèn)題。4.3參數(shù)的檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)4.3參數(shù)的檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)4.3參數(shù)的檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)4.3參數(shù)的檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)4.4預(yù)測(cè)4.3參數(shù)的檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)4.3參數(shù)的檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)4.3參數(shù)的檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)4.3參數(shù)的檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)4.5案例分析【例4-1】凱恩斯邊際消費(fèi)傾向理論認(rèn)為，人們的消費(fèi)會(huì)隨著收入的增加而增加，但消費(fèi)的增加沒(méi)有收入增加的快。我們選取了湖北省統(tǒng)計(jì)局1980年至2020年的城鎮(zhèn)居民“可支配收入”和“消費(fèi)性支出”數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)見(jiàn)教學(xué)資源data4-1，數(shù)據(jù)來(lái)源：湖北省統(tǒng)計(jì)局），驗(yàn)證這個(gè)理論的正確性。2.參數(shù)估計(jì)用最小二乘法對(duì)參數(shù)做估計(jì)，得：表4-1參數(shù)OLS估計(jì)結(jié)果DependentVariable:Y

Method:LeastSquares

Date:05/21/22Time:16:22

Sample:19802020

Includedobservations:41

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C549.2779107.00435.1332350.0000X0.6636300.00692795.810220.0000

R-squared0.995769Meandependentvar7547.122AdjustedR-squared0.995661S.D.dependentvar7601.553S.E.ofregression500.7257Akaikeinfocriterion15.31754Sumsquaredresid9778323.Schwarzcriterion15.40113Loglikelihood