2024年中考數(shù)學復習（全國版）第22講 多邊形與平行四邊形（講義）（解析版）

第22講多邊形與平行四邊形目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點一多邊形的相關概念題型01多邊形的概念及分類題型02計算網(wǎng)格中不規(guī)則多邊形面積題型03計算多邊形對角線條數(shù)題型04對角線分三角形個數(shù)問題題型05多邊形內(nèi)角和問題題型06已知多邊形內(nèi)角和求邊數(shù)題型07多邊形的割角問題題型08多邊形的外角問題題型09多邊形內(nèi)角和、外角和與平行線的合運用題型10多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線的綜合運用題型11多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合應用題型12多邊形外角和的實際應用題型13平面鑲嵌考點二平行四邊形的性質(zhì)與判定題型01利用平行四邊形的性質(zhì)求解題型02利用平行四邊形的性質(zhì)證明題型03判斷已知條件能否構(gòu)成平行四邊形題型04添加一個條件使四邊形成為平行四邊形題型05數(shù)平行四邊形個數(shù)題型06求與已知三點組成平行四邊形的點的個數(shù)題型07證明四邊形是平行四邊形題型08與平行四邊形有關的新定義問題題型09利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解題型10利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明題型11平行四邊形性質(zhì)與判定的應用考點三三角形中位線題型01三角形中位線有關的計算題型02三角形中位線與三角形面積計算問題題型03與三角形中位線有關的證明題型04三角形中位線的實際應用題型05與三角形中位線有關的規(guī)律探究題型06與三角形中位線有關的格點作圖題型07構(gòu)造三角形中位線的常用方法類型一連接兩點構(gòu)造三角形中位線類型二已知中點，取另一條線段的中點構(gòu)造中位線類型三利用角平分線垂直構(gòu)造三角形的中位線

考點要求新課標要求命題預測多邊形的相關概念了解多邊形的概念及多邊形的頂點、邊、內(nèi)角、外角與對角線.探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式.本考點內(nèi)容是考查重點，年年都會考查，分值為10分左右，預計2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查多邊形的內(nèi)角和、平行四邊形性質(zhì)和判定、與三角形中位線有關計算的可能性比較大．中考數(shù)學中，對平行四邊形的單獨考察難度一般不大，一般和三角形全等、解直角三角形綜合應用的可能性比較大，對于本考點內(nèi)容，要注重基礎，反復練習，靈活運用．平行四邊形的性質(zhì)與判定探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理.探索并證明平行四邊形的判定定理.三角形中位線探索并證明三角形中位線定理.考點一多邊形的相關概念多邊形的定義：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.

多邊形對角線條數(shù)：從n邊形的一個頂點可以引（n－3）條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了(n–2)個三角形，n邊形的對角線條數(shù)為n(n?3)2多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n?2)?180°（n≥3）.【解題技巧】1）n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加，邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和增加180°.2）任意多邊形的內(nèi)角和均為180°的整數(shù)倍.3）利用多邊形內(nèi)角和定理可解決三類問題：①已知多邊形的邊數(shù)求內(nèi)角和；②已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)；③已知足夠的角度條件下求某一個內(nèi)角的度數(shù)．多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無關.正多邊形的定義：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形.【解題技巧】1）正n邊形的每個內(nèi)角為（n?2）2）正n邊形有n條對稱軸．3）對于正n邊形，當n為奇數(shù)時，是軸對稱圖形；當n為偶數(shù)時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．多邊形的有關計算公式有很多，一定要牢記，代錯公式容易導致錯誤多邊形的有關計算公式有很多，一定要牢記，代錯公式容易導致錯誤：①n邊形內(nèi)角和＝（n－2）×180°（n≥3）.②從n邊形的一個頂點可以引出（n-3）條對角線，n個頂點可以引出n（n-3）條對角線，但是每條對角線計算了兩次，因此n邊形共有n(n?3)2

條對角線③n邊形的邊數(shù)＝（內(nèi)角和÷180°）＋2.④n邊形的外角和是360°.⑤n邊形的外角和加內(nèi)角和＝n×180°.⑥在n邊形內(nèi)任取一點O，連接O與各個頂點，把n邊形分成n個三角形；在n邊形的任意一邊上任取一點O，連接O點與其不相鄰的其它各頂點的線段可以把n邊形分成（n－1）個三角形；連接n邊形的任一頂點A與其不相鄰的各個頂點的線段，把n邊形分成（n－2）個三角形．題型01多邊形的概念及分類【例1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）在等邊三角形、正五邊形、正六邊形、正七邊形中，既是軸對稱又是中心對稱的圖形是（）A．等邊三角形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正七邊形【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)和軸對稱圖形、中心對稱的圖形的識別進行判斷即可．【詳解】解：由正多邊形的性質(zhì)知，偶數(shù)邊的正多邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；奇數(shù)邊的正多邊形只是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，所以正六邊形既是軸對稱又是中心對稱的圖形，故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)、軸對稱圖形、中心對稱的圖形的識別，熟知偶數(shù)邊的正多邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；奇數(shù)邊的正多邊形只是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形是解題的關鍵．【變式1-1】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）下列長度的三條線段與長度為5的線段能組成四邊形的是（

）A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2【答案】D【分析】若四條線段能組成四邊形，則三條較短邊的和必大于最長邊，由此即可完成．【詳解】A、1+1+1<5，即這三條線段的和小于5，根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項錯誤；B、1+1+5<8，即這三條線段的和小于8，根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項錯誤；C、1+2+2=5，即這三條線段的和等于5，根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項錯誤；D、2+2+2>5，即這三條線段的和大于5，根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項正確；故選：D．【點睛】本題考查了兩點間線段最短，類比三條線段能組成三角形的條件，任兩邊的和大于第三邊，因而較短的兩邊的和大于最長邊即可，四條線段能組成四邊形，作三條線段的和大于第四條邊，因而較短的三條線段的和大于最長的線段即可．【變式1-2】（2022·遼寧盤錦·校考一模）下列命題正確的是（

）A．每個內(nèi)角都相等的多邊形是正多邊形B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形C．過線段中點的直線是線段的垂直平分線D．三角形的中位線將三角形的面積分成1∶2兩部分【答案】B【分析】分別根據(jù)正多邊形的判定、平行四邊形的判定、線段垂直平分線的判定以及三角形中線的性質(zhì)逐項進行判斷即可得到結(jié)論．【詳解】解：A.每個內(nèi)角都相等，各邊都相等的多邊形是正多邊形，故選項A的說法錯誤，不符合題意；B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,說法正確，故選項B符合題意；C.過線段中點且垂直這條線段的直線是線段的垂直平分線，故選項C的說法錯誤，不符合題意；D.三角形的中位線將三角形的面積分成1∶3兩部分，故選項D的說法錯誤，不符合題意．故選：B．【點睛】此題主要考查了對正多邊形、平行四邊形、線段垂直平分線的判斷以及三角形中線性質(zhì)的認識，熟練掌握正多邊形、平行四邊形、線段垂直平分線的判斷是解答此題的關鍵．題型02計算網(wǎng)格中不規(guī)則多邊形面積【例2】（2022·北京海淀·統(tǒng)考二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點．若AB=1，則四邊形ABCD的面積為．【答案】9【分析】由圖可得S四邊形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用網(wǎng)格來計算兩個三角形的面積相加即可．【詳解】解：S四邊形ABCD=S△ACD+S△ABC=1故答案為：9【點睛】本題是求三角形的面積問題，解題關鍵是熟練對不規(guī)則三角形進行分割．【變式2-1】（2021·北京昌平·統(tǒng)考二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，則△ABC的面積與△ADB的面積大小關系為：S△ABCS【答案】=【分析】分別求出△ABC的面積和△ABD的面積，即可求解．【詳解】解：∵SΔABDSΔABC∴SΔABC故答案為：=．【點睛】本題考查了三角形的面積，掌握三角形的面積公式是本題的關鍵．【變式2-2】（2021·湖南婁底·統(tǒng)考一模）各頂點都在方格紙的格點（橫豎格子線的交錯點）上的多邊形稱為格點多邊形，它的面積S可用公式S=a+12b?1（a是多邊形內(nèi)的格點數(shù)，b是多邊形邊界上的格點數(shù)）計算，這個公式稱為“皮克（Pick）定理”．如圖給出了一個格點五邊形，則該五邊形的面積【答案】6【分析】根據(jù)題目要求，數(shù)出五邊形內(nèi)部格點的數(shù)量，五邊形邊上格點的數(shù)量，代入S=a+1【詳解】由圖可知：五邊形內(nèi)部格點有4個，故a=4五邊形邊上格點有6個，故b=6∴S=a+12故答案為：6．【點睛】本題考查了網(wǎng)格中不規(guī)則多邊形的計算，按題目要求盡心計算即可．【變式2-3】（2021·山西臨汾·統(tǒng)考三模）閱讀下列材料，并按要求完成相應的任務．你知道“皮克定理”嗎？“皮克定理”是奧地利數(shù)學家皮克（如圖1）發(fā)現(xiàn)的一個計算點陣中多邊形的面積公式．在一張方格紙上，上面畫著縱橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這樣兩組平行線的交點，就是所謂格點．一個多邊形的頂點如果全是格點，這個多邊形就叫做格點多邊形．有趣的是，這種格點多邊形的面積計算起來很方便，只要數(shù)一下圖形邊線上的點的數(shù)目及圖內(nèi)的點的數(shù)目，就可用公式算出．即S=a+12b?1，其中a表示多邊形內(nèi)部的點數(shù)，b任務：（1）如圖2，是6×6的正方形網(wǎng)格，且小正方形的邊長為1，利用“皮克定理”可以求出圖中格點多邊形的面積是_______．（2）已知：一個格點多邊形的面積S為19，且邊界上的點數(shù)b是內(nèi)部點數(shù)a的3倍，則a+b=______．（3）請你在圖3中設計一個格點多邊形．要求：①格點多邊形的面積為8；②格點多邊形是一個軸對稱圖形．【答案】（1）21；（2）32；（3）見解析【分析】（1）觀察圖形，得到a=16，b=12，再代入計算即可得到答案；（2）由題意b=3a，然后列出關于a的方程，求出a=8，再求出答案即可；（3）由格點多邊形的面積為8，然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可畫出圖形．【詳解】解：（1）由題意，如圖：多邊形內(nèi)部的點數(shù)為：a=16，多邊形邊界的點數(shù)為：b=12，∴S=a+1故答案為：21；（2）設內(nèi)部點數(shù)是a，則b=3a，∴S=a+1∴a=8，∴b=8×3=24，∴a+b=8+24=32；故答案為：32．（3）答案不唯一，只要符合題意要求即可．例如：【點睛】本題考查了多邊形，解一元一次方程，軸對稱的性質(zhì)等知識，理解正方形網(wǎng)格紙中多邊形面積的公式S=a+1題型03計算多邊形對角線條數(shù)【例3】（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）已知一個多邊形內(nèi)角和為1080°，則這個多邊形可連對角線的條數(shù)是（

）A．10 B．16 C．20 D．40【答案】C【分析】先根據(jù)多邊形內(nèi)角和計算公式求出這個多邊形是八邊形，再根據(jù)多邊形對角線計算公式求解即可．【詳解】解：設這個多邊形為n邊形，由題意得，180×n?2∴n=8，∴這個多邊形為八邊形，∴這個多邊形可連對角線的條數(shù)是8×8?3故選C．【點睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，多邊形對角線計算公式，熟知n邊形的對角線條數(shù)是nn?3【變式3-1】（2022·河北保定·統(tǒng)考一模）如果一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，那么從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)是（

）A．3 B．6 C．9 D．18【答案】A【分析】先由多邊形的內(nèi)角和公式與外角和的關系可得n?2?180°=2×360°【詳解】解：設這個多邊形為n邊形，則n?2?180°=2×360°∴n?2=4，解得：n=6，所以從這個多邊形的一個頂點出發(fā)共有n?3=6?3=3條對角線，故選A．【點睛】本題考查的是多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理，多邊形的對角線問題，掌握“利用多邊形的內(nèi)角和為n?2?180°,外角和為360°【變式3-2】（2021·云南普洱·統(tǒng)考一模）如圖，從一個四邊形的同一個頂點出發(fā)可以引出1條對角線，從五邊形的同一個頂點出發(fā)，可以引出2條對角線，從六邊形的同一個頂點出發(fā)，可以引出3條對角線，……，依此規(guī)律，從n邊形的同一個頂點出發(fā)，可以引出的對角線數(shù)量為（

）A．n B．n?2 C．n?3 D．2n?3【答案】C【分析】根據(jù)題意可得從n邊型的同一個頂點出發(fā)，可以引n?3條對角線．【詳解】解：∵從一個四邊形的同一個頂點出發(fā)可以引出4?3=1條對角線；從五邊形的同一個頂點出發(fā)，可以引出5?3=2條對角線，從六邊形的同一個頂點出發(fā)，可以引出6?3=3條對角線，∴從n邊型的同一個頂點出發(fā)，可以引n?3條對角線，故選：C．【點睛】本題主要考查了圖形類的規(guī)律題，解題的關鍵在于能夠根據(jù)題意得到規(guī)律求解．【變式3-3】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預測）一個正多邊形的中心角是72°，則過它的一個頂點有條對角線．【答案】2【分析】根據(jù)正多邊形的中心角是72°，可得該正多邊形是正五邊形，然后利用過n邊形的一個頂點有n?3對角線計算即可解答．【詳解】解：∵設正多邊形的邊數(shù)為n,且正多邊形的中心角是72°，∴72°n=360°，∴n=5，∴過n邊形的一個頂點有n?3條對角線，即5?3=2條，故答案為：2．【點睛】本題考查的是多邊形的對角線、正多邊形的中心角等知識點，要掌握過n多邊形的一個頂點有n?3條對角線、正多邊形的中心角都相等是解答本題的關鍵．【變式3-4】（2022·陜西西安·?？既＃┮粋€正多邊形的每個外角為45°，則這個正多邊形的對角線共有條．【答案】20【分析】根據(jù)正多邊形的每一個外角都相等，多邊形的邊數(shù)=360°÷45°，進而求得多邊形的對角線條數(shù)．【詳解】解：這個正多邊形的邊數(shù)：360°÷45°=8，則對角線的條數(shù)是：12故答案是：20．【點睛】本題考查多邊形內(nèi)角與外角．解題的關鍵在于掌握正多邊形的外角和為360°，并且正多邊形的每一個外角都相等．題型04對角線分三角形個數(shù)問題【例4】（2019·廣東深圳·校聯(lián)考一模）如圖，從多邊形一個頂點出發(fā)作多邊形的對角線，試根據(jù)下面幾種多邊形的頂點數(shù)、線段數(shù)及三角形個數(shù)統(tǒng)計結(jié)果，推斷f,e,v三個量之間的數(shù)量關系是:多邊形：

頂點個數(shù)f1:

4

5

6

…線段條數(shù)e:

5

7

9

…三角形個數(shù)v1:

2

3

4

…【答案】f+v-e=1【分析】三角形個數(shù)等于頂點數(shù)減2，線段條數(shù)等于對角線條數(shù)加邊數(shù)，即可求解；【詳解】解：三角形個數(shù)v＝f?2，線段條數(shù)e＝f?3＋f＝2f?3，∴f+v-e=1，故答案為f+v-e=1；【點睛】本題考查多邊形的邊，頂點，三角形個數(shù)，熟練掌握多邊形對角線的求法，多邊形分割三角形的方法是解題的關鍵．題型05多邊形內(nèi)角和問題【例5】（2021·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E相互外離，它們的半徑都是2，順次連接五個圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個扇形（陰影部分）的面積之和是（

）A．6π B．5π C．4π D．3π【答案】A【分析】求出五個扇形的圓心角之和，利用扇形面積公式求解即可．【詳解】∵(5?2)×180°=540°∴S=故選A．【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和，扇形面積公式，理解題意是解題的關鍵．【變式5-1】（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）下列多邊形中，內(nèi)角和最大的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可直接進行排除選項．【詳解】解：A、是一個三角形，其內(nèi)角和為180°；B、是一個四邊形，其內(nèi)角和為360°；C、是一個五邊形，其內(nèi)角和為540°；D、是一個六邊形，其內(nèi)角和為720°；∴內(nèi)角和最大的是六邊形；故選D．【點睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題的關鍵．【變式5-2】（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD中，∠1=93°，∠2=107°，∠3=110°，則∠D的度數(shù)為（

）A．125° B．130° C．135° D．140°【答案】B【分析】先根據(jù)平角的定義求出∠BAD=87°,∠ABC=73°,∠BCD=70°，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可得到答案．【詳解】∵∠1=93°，∠2=107°，∠3=110°，∠1+∠BAD=180°，∠2∴∠BAD=87°,∠ABC=73°,∠BCD=70°在四邊形ABCD中，∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠D=360°∴∠D=130°故選：B．【點睛】本題考查了平角的定義及四邊形的內(nèi)角和定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【變式5-3】（2020·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考三模）如圖，多邊形ABCDEFG中，∠E=∠F=∠G=108°,∠C=∠D=72°，則∠A+∠B的值為（

）A．108° B．72° C．54° D．36°【答案】B【分析】連接CD，設AD與BC交于點O，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可求出∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD，根據(jù)各角的關系即可求出∠ODC＋∠OCD，然后根據(jù)對頂角的相等和三角形的內(nèi)角和定義即可求出結(jié)論．【詳解】解：連接CD，設AD與BC交于點O∵∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD=180°×（5－2）=540°，∠E=∠F=∠G=108°，∠GCB=∠EDA=72°，∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠ODC＋72°＋∠OCD=540°∴∠ODC＋∠OCD=72°∵∠AOB=∠COD∴∠A＋∠B=180°－∠AOB=180°－∠COD=∠ODC＋∠OCD=72°故選B．【點睛】此題考查的是多邊形的內(nèi)角和公式和對頂角的性質(zhì)，掌握多邊形的內(nèi)角和公式和對頂角相等是解決此題的關鍵．【變式5-4】（2022·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，正方形AMNP的邊AM在正五邊形ABCDE的邊AB上，則∠PAE=°．【答案】18【分析】由正方形的性質(zhì)及正五邊形的內(nèi)角可直接進行求解．【詳解】解：∵四邊形AMNP是正方形，五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠EAB=5?2∴∠PAE=∠EAB?∠PAB=18°；故答案為18．【點睛】本題主要考查正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握正多邊形的定義是解題的關鍵．【變式5-5】（2021·陜西·三模）如圖所示的六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成的，則∠ABC等于度．【答案】30【分析】先證出內(nèi)部的圖形是正六邊形，求出內(nèi)部小正六邊形的內(nèi)角，即可得到∠ACB的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解．【詳解】解：由題意六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成，可得BD=AC，BC=AF，∴CD=CF，同理可證小六邊形其他的邊也相等，即里面的小六邊形也是正六邊形，∴∠1=16∴∠2=180°-120°=60°，∴∠ABC=30°，故答案為：30．【點睛】本題考查正多邊形的證明、多邊形的內(nèi)角和以及三角形的內(nèi)角和，熟練掌握多邊形內(nèi)角和的計算是解題的關鍵．題型06已知多邊形內(nèi)角和求邊數(shù)【例6】（2022·湖南懷化·統(tǒng)考模擬預測）一個多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個多邊形是（）A．七邊形 B．八邊形 C．九邊形 D．十邊形【答案】A【分析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，列出方程即可求解．【詳解】解：根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式，得（n﹣2）?180°=900°，解得n=7，∴這個多邊形的邊數(shù)是7，故選：A．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關鍵是熟記內(nèi)角和公式并列出方程．【變式6-1】（2022·北京房山·統(tǒng)考一模）下列多邊形中，內(nèi)角和為720°的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用n邊形內(nèi)角和公式為(n-2)×180°，構(gòu)造方程確定n即可．【詳解】∵n邊形內(nèi)角和公式為(n-2)×180°，∴(n-2)×180°=720°，解得n=6，故選D．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟練掌握公式，準確解方程，準確識圖是解題的關鍵．題型07多邊形的割角問題【例7】（2020·浙江杭州·模擬預測）一個多邊形截去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和是1440°．則原來多邊形的邊數(shù)是．【答案】9或10或11【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式n?2?180°【詳解】解：設多邊形截去一個角的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得：n?2∴n=10又∵截去一個角后的多邊形的邊可以增加1、不變、減少1，∴原多邊形的邊數(shù)為9或10或11．【點睛】本題考查的是多邊形的內(nèi)角和公式，本題的易錯點在于忽略考慮截去一個角后多邊形的邊數(shù)可以不變、增加或者減少．【變式7-1】（2018·山東聊城·統(tǒng)考模擬預測）如果一個正方形被截掉一個角后，得到一個多邊形，那么這個多邊形的內(nèi)角和是．【答案】180°或360°或540°【詳解】分析:剪掉一個多邊形的一個角，則所得新的多邊形的角可能增加一個，也可能不變，也可能減少一個，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求解.詳解:n邊形的內(nèi)角和是（n-2）?180°，邊數(shù)增加1，則新的多邊形的內(nèi)角和是（4+1-2）×180°=540°，所得新的多邊形的角不變，則新的多邊形的內(nèi)角和是（4-2）×180°=360°，所得新的多邊形的邊數(shù)減少1，則新的多邊形的內(nèi)角和是（4-1-2）×180°=180°，因而所成的新多邊形的內(nèi)角和是540°或360°或180°．故答案為540°或360°或180°.點睛：本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和的計算公式，理解：剪掉一個多邊形的一個角，則所得新的多邊形的角可能增加一個，也可能不變，也可能減少一個，是解決本題的關鍵.【變式7-2】（2021·河北唐山·統(tǒng)考一模）如圖，一張內(nèi)角和為1800°的多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個內(nèi)角后，得到的新多邊形的邊數(shù)為．【答案】13【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式，可得原多邊形的邊數(shù)，根據(jù)新多邊形比原多邊形多1條邊，可得答案．【詳解】解：設原多邊形是n邊形，由多邊形內(nèi)角和公式得：（n-2）180°=1800°，解得n=12，新多邊形是12+1=13，故答案為：13．【點睛】本題考查了剪紙問題，多邊形內(nèi)角與外角，掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題關鍵．一個n變形剪去一個角后，若剪去的一個角只經(jīng)過一個頂點和一邊，則剩下的形狀是n邊形，若剪去的一個角經(jīng)過兩條鄰邊，則剩下的形狀是（n＋1）邊形，若剪去的一個角經(jīng)過兩個相鄰點，則剩下的形狀是（n－1）邊形．所以遇到相關題目時，要分類討論．題型08多邊形的外角問題【例8】（2022·湖南長沙·模擬預測）若一個正多邊形的一個外角是60°，則這個正多邊形的邊數(shù)是（

）A．10 B．9 C．8 D．6【答案】D【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360°計算即可．【詳解】解：360°÷60°＝6，即正多邊形的邊數(shù)是6．故選：D．【點睛】本題考查了多邊形的外角和定理，掌握多邊形的外角和等于360°，正多邊形的每個外角都相等是解題的關鍵．【變式8-1】（2020·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，小明從點A出發(fā)沿直線前進10米到達點B，向左轉(zhuǎn)45°后又沿直線前進10米到達點C，再向左轉(zhuǎn)45°后沿直線前進10米到達點D……照這樣走下去，小明第一次回到出發(fā)點A時所走的路程為（）A．100米 B．80米 C．60米 D．40米【答案】B【分析】根據(jù)題意，小明走過的路程是正多邊形，先用360°除以45°求出邊數(shù)，然后再乘以10米即可．【詳解】解：∵小明每次都是沿直線前進10米后再向左轉(zhuǎn)45°，∴他走過的圖形是正多邊形，邊數(shù)n=360°÷45°=8，∴小明第一次回到出發(fā)點A時所走的路程=8×10=80米．故選：B．【點睛】本題考查了正多邊形外角問題的實際應用，根據(jù)題意判斷小明走過的圖形是正多邊形是解題的關鍵．【變式8-2】（2020·山東濟寧·濟寧學院附屬中學?？级＃┱呅蔚耐饨呛蜑椋?/p>

）A．180° B．360° C．720° D．1440°【答案】B【分析】根據(jù)多邊的外角和定理進行選擇．【詳解】解：因為任意多邊形的外角和都等于360°，所以正十邊形的外角和等于360°，．故選B．【點睛】本題考查了多邊形外角和定理，關鍵是熟記：多邊形的外角和等于360度．題型09多邊形內(nèi)角和、外角和與平行線的綜合運用【例9】（2022·河南·統(tǒng)考模擬預測）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1=19°，則∠2的度數(shù)為（）A．41° B．51° C．42° D．49°【答案】A【分析】先求出正六邊形的內(nèi)角和外角，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵正六邊形的每個內(nèi)角等于120°，每個外角等于60°，∴∠FAD=120°-∠1=101°，∠ADB=60°，∴∠ABD=101°-60°=41°∵光線是平行的，∴∠2=∠ABD=41°，故選A【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)以及正六邊形的性質(zhì)，掌握三角形的外角性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式9-1】（2019·四川宜賓·校聯(lián)考一模）如圖，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分線與∠CDE的平分線交于點F，則∠DFB=（）A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°【答案】B【分析】過點E作EG∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得“∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°”，根據(jù)角的計算以及角平分線的定義可得“∠FBE+∠EDF=12【詳解】如圖，過點E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GE，∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；又∵∠BED=61°，∴∠ABE+∠CDE=299°．∵∠ABE和∠CDE的平分線相交于F，∴∠FBE+∠EDF=12∵四邊形的BFDE的內(nèi)角和為360°，∴∠BFD=360°-149.5°-61°=149.5°．故選B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及四邊形內(nèi)角和為360°，解決該題型題目時，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等（或互補）的角是關鍵．【變式9-2】（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中學?？寄M預測）如圖，五邊形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3是外角，則∠1+∠2+∠3等于（A．100° B．180° C．210° D．270°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B+∠C=180°，再利用多邊形的內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：∵∠1+∠BAE=180°，∠2+∠AED=180°，∠3+∠EDC=180°，∴∠1+∠BAE+∠2+∠AED+∠3+∠EDC=180°×3=540°，∴∠1+∠2+∠3=540°?∠BAE+∠AED+∠EDC∵AB∥∴∠B+∠C=180°，∵∠B+∠C+∠BAE+∠AED+∠EDC=540°，∵∠BAE+∠AED+∠EDC=540°?∠B+∠C∴∠1+∠2+∠3=540°?360°=180°，故選：B．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和和平行線的性質(zhì)，熟記多邊形的內(nèi)角公式為n?2?180°【變式9-3】（2023·江蘇宿遷·模擬預測）如圖，一束太陽光平行照射在正n邊形A1A2A3……

【答案】6【分析】過A2作A2B∥A1An，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠4=∠3，∠CA2B=∠1，求得∠【詳解】解：過A2作A

則∠4=∠3，∠C∵∠1?∠2=60°∴∠設正多邊形的內(nèi)角為x，則∠4=180°?x∴x=60°+∠3∴∠3=x?60°∵180°?x=x?60°，解得x=120°∴∠4=60°∴這個正多邊形的邊數(shù)為360°÷60°=6故答案為：6．【點睛】本題考查了根據(jù)正多邊形外角求正多邊形的邊數(shù)，平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握正多邊形的外角性質(zhì)是解題的關鍵．【變式9-4】（2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）如圖，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，∠DCE=150°.(1)求∠BAD的度數(shù)：(2)若∠F=40°，求∠E的度數(shù).【答案】(1)30°(2)110°【分析】（1）根據(jù)∠DCE=150°和CE∥AD可求得∠ADC=30°，然后根據(jù)AB∥CD，可求得∠BAD=∠ADC=30°；（2）由AD平分∠BDC，可得∠CDF=2∠ADC=60°，然后由四邊形的內(nèi)角和是360°即可求得∠E的度數(shù).【詳解】（1）解：∵CE∥AD，∴∠ADC+∠DCE=180°，∴∠ADC=180°?∠DCE=30°，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠ADC=30°；（2）解：∵AD平分∠BDC，∴∠CDF=2∠ADC=60°，∵∠E+∠F+∠CDF+∠DCE=360°，∴∠E=360°?∠F?∠CDF?∠DCE=360°?40°?60°?150°=110°.【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、多邊形內(nèi)角和定理、角平分線的的定義，熟記相關定理是解題的關鍵.題型10多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線的綜合運用【例10】（2022·貴州黔東南·模擬預測）如圖，AB∥CD，∠BED=100°，BF、DF分別為∠ABE、∠CDE的角平分線，則∠BFD=（

）A．100° B．120° C．130° D．135°【答案】C【分析】先過E作EG//AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，再根據(jù)DE⊥BE，BF，DF分別為∠ABE，∠CDE的角平分線，即可得出∠FBE+∠FDE=130°，最后根據(jù)四邊形內(nèi)角和進行計算即可．【詳解】解：如圖所示，過E作EG//AB，∵AB//CD，∴EG//CD，∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，又∵DE⊥BE，BF，DF分別為∠ABE，∠CDE的角平分線，∴∠FBE+∠FDE=1∴四邊形BEDF中，∠BFD=360°?∠FBE?∠FDE?∠BED=360°?130°?100°=130°．故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義的運用，四邊形內(nèi)角和定理，解題時注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．解決問題的關鍵是作平行線．【變式10-1】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝150°，∠C＝60°，∠ABC與∠ADC的平分線交于點O，則∠BOD的度數(shù)為（

）A．120° B．125° C．130° D．135°【答案】D【分析】由題意易得∠ABO=12∠ABC,∠ADO=12【詳解】解：∵∠ABC與∠ADC的平分線交于點O，∴∠ABO=1∵∠A＝150°，∠C＝60°，∴∠ABC+∠ADC=360°?∠A?∠C=150°，∴∠ABO+∠ADO=75°，∴∠BOD=360°?∠A?∠ABO?∠ADO=135°；故選D．【點睛】本題主要考查四邊形內(nèi)角和及角平分線的定義，熟練掌握四邊形內(nèi)角和及角平分線的定義是解題的關鍵．【變式10-2】（2022·山東濟南·統(tǒng)考一模）如圖，正五邊形ABCDE中，內(nèi)角∠EAB的角平分線與其內(nèi)角∠ABC的角平分線相交于點P，則∠APB＝度．【答案】72【分析】首先根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到∠EAB=∠ABC=108度，然后根據(jù)角平分線的定義得到∠PAB=∠PBA=54度，再利用三角形內(nèi)角和定理得到∠APB的度數(shù)．【詳解】解：∵五邊形ABCDE為正五邊形，∴∠EAB=∠ABC=（5?2∵AP是∠EAB的角平分線，∴∠PAB=54度，∵BP是∠ABC的角平分線，∴∠ABP=54°．∴∠APB=180°-54°-54°=72°，故答案為：72．【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和，題目中還用到了角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理．【變式10-3】（2021·江蘇蘇州·蘇州市振華中學校?？级＃┤鐖D，在四邊形ABCD中，∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點P，且∠D+∠C=210°，則∠P=．【答案】15°【分析】先根據(jù)角平分線的定義可得∠PAB=12∠DAB,∠PBE=90°?【詳解】解：∵∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點P，∴∠PAB=1∵在四邊形ABCD中，∠D+∠C=210°，∴∠DAB+∠ABC=360°?210°=150°，由三角形的外角性質(zhì)得：∠P=∠PBE?∠PAB，=90°?1=90°?1=90°?1=15°，故答案為：15°．【點睛】本題考查了四邊形的內(nèi)角和、角平分線的定義等知識點，熟練掌握四邊形的內(nèi)角和是解題關鍵．【變式10-4】（2020·河北·模擬預測）如圖所示，過正五邊形ABCDE的頂點B作一條射線與其內(nèi)角∠EAB的角平分線相交于點P，且∠ABP=60°，則∠APB=度．【答案】66【分析】首先根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到∠EAB=108度，然后根據(jù)角平分線的定義得到∠PAB=54度，再利用三角形內(nèi)角和定理得到∠APB的度數(shù)．【詳解】解：∵五邊形ABCDE為正五邊形，∴∠EAB=108度，∵AP是∠EAB的角平分線，∴∠PAB=54度，∵∠ABP=60°，∴∠APB=180°?60°?54°=66°．故答案為66．【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，題目中還用到了角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理．題型11多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合應用【例11】（2022·河北唐山·統(tǒng)考一模）如圖，由一個正六邊形和正五邊形組成的圖形中，∠1的度數(shù)應是（

）A．72° B．84° C．82° D．94°【答案】B【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出正六邊形和正五邊形的內(nèi)角和內(nèi)角的補角，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；【詳解】解：正六邊形的內(nèi)角為：180°×6?2正五邊形的內(nèi)角為：180°×5?2∴∠1=360°?故選：B【點睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和公式，三角形的內(nèi)角和定理，掌握相關知識并正確求解是解題的關鍵．【變式11-1】（2022·廣西梧州·統(tǒng)考一模）一個正多邊形的內(nèi)角和是1260°，則這個正多邊形的一個外角等于（

）A．60° B．45° C．72° D．40°【答案】D【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理求得多邊形的邊數(shù)，然后求得內(nèi)角即可，進而得出其外角度數(shù)．【詳解】解：設正多邊形的邊數(shù)為n，∵正多邊形的內(nèi)角和為1260°，∴（n-2）×180°=1260°，解得：n=9，∵360°÷9=40°，∴正九邊形的每個外角40°，故選：D．【點睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和及外角和定理，任何多邊形的外角和是360°．【變式11-2】（2022·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，AF∥DG，若∠2=20°，則∠1=（A．60° B．56° C．52° D．40°【答案】B【分析】延長DE，F(xiàn)A交于點H，由正五邊形的性質(zhì)，解得∠3=360°5【詳解】解：延長DE，F(xiàn)A交于點H，如圖，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠3∵AF∴DG∴∠1=∠H∵∠H+∠3=∠2+∠BAE∴∠H=20°+108°?72°=56°∴∠1=∠H=56°故選：B．【點睛】本題考查正五邊形的性質(zhì)、兩直線平行，內(nèi)錯角相等、三角形的外角性質(zhì)等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．【變式11-3】（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預測）正八邊形中，每個內(nèi)角與每個外角的度數(shù)之比為（

）A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1【答案】D【分析】根據(jù)正八邊形的外角和等于360°，求出每個外角的度數(shù)，再求出每個內(nèi)角的度數(shù)，進而即可求解．【詳解】解：正八邊形中，每個外角=360°÷8=45°，每個內(nèi)角=180°-45°=135°，∴每個內(nèi)角與每個外角的度數(shù)之比=135°：45°=3：1，故選D．【點睛】本題主要考查正多邊形的內(nèi)角和外角，熟練掌握正多邊形的外角和等于360°，是解題的關鍵．【變式11-4】．（2023·山西大同·大同一中校聯(lián)考模擬預測）等邊三角形、正方形及正五邊形各一個，按下圖放在同一平面內(nèi)，則∠1+∠2+∠3=（

）

A．102° B．104° C．106° D．108°【答案】A【分析】根據(jù)正方形，正三角形和正五邊形的內(nèi)角以及正多邊形的外角和即可即可求解．【詳解】正三角形的每個內(nèi)角為180°÷3=60°，正五邊形的每個內(nèi)角5?2×180°÷5=108°正方形的每一個內(nèi)角為360°÷4=90°，∴∠1+∠2+∠3=360°?90°?60°?108°=102°，故選：A．【點睛】本題考查了正多邊形的外角和與內(nèi)角和的關系，熟練掌握多邊形的外角和為360°是解題的關鍵．【變式11-5】（2019·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）發(fā)現(xiàn)：如圖1，在有一個“凹角∠A1A2A3”n邊形A1驗證：（1）如圖2，在有一個“凹角∠ABC”的四邊形ABCD中，證明：∠ABC=∠A+∠C+∠D．（2）如圖3，有一個“凹角∠ABC”的六邊形ABCDEF中，證明；∠ABC=∠A+∠C+∠D+∠E+∠F?360°．延伸：（3）如圖4，在有兩個連續(xù)“凹角A1A2A3和∠A2A3【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）6．【分析】（1）如圖2，延長AB交CD于E，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）如圖3，延長AB交CD于G，則∠ABC=∠BGC+∠C，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和和外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖4，延長A2A3交A5A4于C，延長A3A2【詳解】解：（1）如圖2，延長AB交CD于E，則∠ABC=∠BEC+∠C，∠BEC=∠A+∠D，∴∠ABC=∠A+∠C+∠D；（2）如圖3，延長AB交CD于G，則∠ABC=∠BGC+∠C，∵∠BGC=180°?∠BGD，∠BGD=3×180°?(∠A+∠D+∠E+∠F)，∴∠ABC=∠A+∠C+∠D+∠E+∠F?360°；（3）如圖4，延長A2A3交A5A4于C，延長則∠A∵∠1+∠3=(n?2?2)×180°?(∠A而∠2+∠4=360°?(∠1+∠3)=360°?[(n?2?2)×180°?(∠A∴∠A故答案為：6．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角和等知識，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式11-6】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預測）定義：由n條線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做n邊形．相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角，一邊和它鄰邊的延長線組成的角叫做它的外角．為了探究n邊形的外角和與內(nèi)角和的度數(shù)，小華做了以下實驗：取若干張紙片，分別在紙片上畫出三角形、四邊形、五邊形等，順次延長各邊得到各個外角，然后沿著多邊形的邊和延長線將它剪開，將外角拼在一起，觀察圖形，并進行推理．（1）實驗操作．

（2）歸納猜想．多邊形三角形四邊形五邊形…n邊形外角和_________________________________…___________內(nèi)角和_________________________________…___________（3）理解應用．一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的1008倍，它是多少邊形？【答案】（2）見解析；（3）這個多邊形是二零一八邊形【分析】（2）利用實驗操作探究規(guī)律后即可解決問題；（3）構(gòu)建方程，解方程即可解決問題；【詳解】（2）解：由實驗操作可知，多邊形三角形四邊形五邊形…n邊形外角和360°360°360°…360°內(nèi)角和180°360°540°…n?2（3）設這個多邊形的邊數(shù)為n．由題意（n?2解得n=2018答：這個多邊形是二零一八邊形．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．題型12多邊形外角和的實際應用【例12】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為α，β，則正確的是（

）A．α?β=0 B．α?β<0C．α?β>0 D．無法比較α與β的大小【答案】A【分析】多邊形的外角和為360°，△ABC與四邊形BCDE的外角和均為360°，作出選擇即可．【詳解】解：∵多邊形的外角和為360°，∴△ABC與四邊形BCDE的外角和α與β均為360°，∴α?β=0，故選：A．【點睛】本題考查多邊形的外角和定理，注意多邊形的外角和為360°是解答本題的關鍵．【變式12-1】（2022·北京順義·統(tǒng)考一模）如圖，小明從A點出發(fā)，沿直線前進20米后左轉(zhuǎn)30°，再沿直線前進20米，又向左轉(zhuǎn)30°，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點時，一共走了（

）A．120米 B．200米 C．160米 D．240米【答案】D【分析】由題意可知小華走出了一個正多邊形，根據(jù)正多邊形的外角和公式可求解.【詳解】已知多邊形的外角和為360°，而每一個外角為30°，可得多邊形的邊數(shù)為360°÷30°=12，所以小明一共走了：12×20=240米．故答案選：D．【點睛】本題考查多邊形內(nèi)角與外角，熟記公式是關鍵.【變式12-2】（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，琪琪沿著一個四邊形公園小路跑步鍛煉，從A處出發(fā)，當她跑完一圈時，她身體轉(zhuǎn)過的角度之和為．【答案】360°/360度【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360度即可求解．【詳解】解：∵多邊形的外角和等于360度，∴琪琪跑完一圈時，身體轉(zhuǎn)過的角度之和是360度．故答案為：360度．【點睛】此題考查的是多邊形的內(nèi)角與外角，解題的關鍵是掌握多邊形的外角和等于360度．題型13平面鑲嵌【例13】（2022·山西太原·一模）如圖，若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是前3個正五邊形，要完成這一圓環(huán)還需正五邊形的個數(shù)為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】D【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n?2)·180°求出正五邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)，再延長五邊形的兩邊相交于一點，并根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出這個角的度數(shù)，然后根據(jù)周角等于360°【詳解】解：∵五邊形的內(nèi)角和為5?2∴正五邊形的每一個內(nèi)角為540°÷5=108°,∴正五邊形的每一個外角為180°?108°=72°,如圖，延長正五邊形的兩邊相交于點O，則∠1=180°?2×72°=36°,360°÷36°=10,∵已經(jīng)有3個五邊形，∴10?3=7,即完成這一圓環(huán)還需7個五邊形．故選：D．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，延長正五邊形的兩邊相交于一點，并求出這個角的度數(shù)是解題的關鍵，注意需要減去已有的3個正五邊形．【變式13-1】（2023·北京平谷·統(tǒng)考二模）如圖所示的地面由正六邊形和四邊形兩種地磚鑲嵌而成，則∠BAD的度數(shù)為（

）A．50° B．60° C．100° D．120°【答案】B【分析】先計算出正六邊形的內(nèi)角，根據(jù)平面鑲嵌的條件計算求解．【詳解】解：正六邊形的一個內(nèi)角度數(shù)為180°?360°∴∠BAD的度數(shù)為360°?120°×22故選：B．【點睛】本題考查了平面鑲嵌，也考查了正多邊形內(nèi)角的計算方法，掌握正多邊形的概念，理解幾何圖形鑲嵌成平面是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角是解題關鍵．【變式13-2】（2023·吉林長春·長春市第八十七中學校考三模）如圖①是15世紀藝術(shù)家阿爾布雷希特·丟勒利用正五邊形和菱形創(chuàng)作的鑲嵌圖案設計，圖②是鑲嵌圖案中的某一片段的放大圖，其中菱形的最小內(nèi)角為度．

【答案】36【分析】根據(jù)平面鑲嵌的定義，結(jié)合正五邊形的內(nèi)角，即可求解．【詳解】解：正五邊形的每一個內(nèi)角為5?2設菱形的最小內(nèi)角為x，根據(jù)題意得，x+3×108=360解得：x=36故答案為：36．【點睛】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和公式，平面鑲嵌，熟練掌握平面鑲嵌的定義以及多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關鍵．【變式13-3】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預測）“動感數(shù)學”社團教室重新裝修，如圖是用邊長相等的正方形和正n邊形兩種地磚鋪滿地面后的部分示意圖，則n的值為．【答案】8【分析】根據(jù)正方形的內(nèi)角為90°，正n邊形的每個內(nèi)角為n?2×180°n，再結(jié)合題意可列出關于n的方程，解出【詳解】解：正方形的每個內(nèi)角為90°，正n邊形的每個內(nèi)角為n?2×180°則根據(jù)題意有90°+2×n?2解得：n=8．故答案為：8．【點睛】本題考查平面鑲嵌，正多邊形的內(nèi)角問題．掌握正n邊形的每個內(nèi)角為n?2×180°【變式13-4】（2021·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，要設計一個裝彩鉛的圓柱體紙盒，已知每支鉛筆大小相同，底面均為正六邊形，邊長記作2a．下面我們來探究紙盒底面半徑的最小值：（1）如果要裝10支鉛筆，小藍畫了圖①、圖②兩種排列方式，請你通過計算，判斷哪種方式更節(jié)省空間：．（填①或②）（2）如果要裝24支鉛筆，請你模仿以上兩種方式，算出紙盒底面最小半徑是．（用含a的代數(shù)式表示）【答案】圖①109【分析】(1)圖①由10個正六邊形構(gòu)成，圖②由10個正六邊形和4個正三角形構(gòu)成，分別計算出其面積比較大小即可，(2)要裝24支鉛筆，要使紙盒底面最小，按圖①方式排每個正六邊形相鄰的空間最小計算出半徑即可；【詳解】（1）∵一個正六邊形可以分為6個全等的等邊三角形，且邊長為2a∴小三角形的高=(2a)2∴S正六邊形圖①由10個正六邊形構(gòu)成S=10×63圖②由10個正六邊形和4個正三角形構(gòu)成S=10∵60∴圖①更節(jié)省空間故答案為：①（2）由（1）可知，每個正六邊形相鄰空間最小，此時的盒地面半徑最小，如圖以中點O為圓心，OA長為半徑紙盒底面半徑最小,過O點作OB⊥AB，由（1）可知，OB=3×23在Rt△AOB中，AB=a，OB=6OA=AB紙盒底面最小半徑是109故答案為：109【點睛】此題主要考查了平面鑲嵌，正多邊形的面積，勾股定理，以及圓的知識，解題的關鍵要讀懂題意畫出示意圖．解決幾何圖形鑲嵌成平面的關鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角．考點二平行四邊形的性質(zhì)與判定平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形的表示：用符號“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.平行四邊形的性質(zhì)：1)對邊平行且相等；2)對角相等、鄰角互補；3)對角線互相平分；

4)平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，平行四邊形的對角線的交點是平行四邊形的對稱中心.【解題技巧】1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長的一半．2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關系，所以經(jīng)常需結(jié)合三角形全等來解題．3）過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長．4）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE．5）如圖②，已知點E為AD上一點，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE．6）如圖③，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD．平行四邊形的判定定理：①定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【解題技巧】一般地，要判定一個四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：1）當已知條件中有關于所證四邊形的角時，可用“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”來證明；2）當已知條件中有關于所證四邊形的邊時，可選擇“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”或“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”或“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來證明；3）當已知條件中有關于所證四邊形的對角線時，可選擇“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來證明．題型01利用平行四邊形的性質(zhì)求解【例1】（2022·福建·統(tǒng)考模擬預測）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，點A對應直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動到△A'B'C'，點A．96 B．963 C．192 D．【答案】B【分析】根據(jù)直尺與三角尺的夾角為60°，根據(jù)四邊形ACC'A【詳解】解：依題意ACC∵∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，AA∴AC=2AB∴平行四邊形ACC'A'故選B【點睛】本題考查了解直角三角形，平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式1-1】（2023·遼寧沈陽·模擬預測）將一個三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，則∠EGC的度數(shù)為（）A．100° B．80° C．70° D．60°【答案】B【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥DC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠GEF的度數(shù)，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠EGC的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∴∠AEG=∠EGC，∵∠EFG=90°，∠EGF=60°，∴∠GEF=30°，∴∠GEA=80°，∴∠EGC=80°．故選：B．【點睛】此題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關鍵．【變式1-2】（2023·陜西西安·西北大學附中?？寄M預測）如圖，在?ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分線BM交CD邊于點M，則DM的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可得∠CBM＝∠CMB，利用等邊對等角即可得MC＝BC＝8，進而可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，∴∠ABM＝∠CMB，∵BM是∠ABC的平分線，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠CBM＝∠CMB，∴MC＝BC＝8，∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，掌握其相關性質(zhì)是解題的關鍵．【變式1-3】（2022·甘肅平?jīng)觥つM預測）如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在點B'處，若∠1=∠2=36°，∠B為（

A．36° B．144° C．108° D．126°【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和折疊性質(zhì)得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=12【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折疊的性質(zhì)得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=12∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-36°-18°=126°；故選D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，求出∠BAC的度數(shù)是解決問題的關鍵．【變式1-4】（2023·吉林松原·校聯(lián)考一模）如圖，在?ABCD中，AD=10，對角線AC與BD相交于點O，AC+BD=22，則△BOC的周長為【答案】21【分析】根據(jù)平行四邊形對角線互相平分，求出OC+OB的長，即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=OC=12AC，BO=OD=12BD，BC=∵AC+BD=22，∴OC+BO=11，∵BC=10，∴△BOC的周長=OC+OB+BC=11+10=21．故答案為：21．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)以及三角形周長等知識，解題的關鍵是記住平行四邊形的對角線互相平分，屬于中考基礎題．【變式1-5】（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考模擬預測）如圖四邊形ABCD是平行四邊形，CD在x軸上，點B在y軸上，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過第一象限點A，且平行四邊形ABCD的面積為6，則【答案】6【分析】過點A作AE⊥CD于點E，然后平行四邊形的性質(zhì)可知△AED≌△BOC，進而可得矩形ABOE的面積與平行四邊形ABCD的面積相等，最后根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可求解．【詳解】解：過點A作AE⊥CD于點E，如圖所示：∴∠AED=∠BOC=90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC=AD,BC//∴∠ADE=∠BCO，∴△AED≌△BOC（AAS），∵平行四邊形ABCD的面積為6，∴S?ABCD∴k=6；故答案為6．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及反比例函數(shù)k的幾何意義，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及反比例函數(shù)k的幾何意義是解題的關鍵．【變式1-6】（2023·湖南衡陽·?？家荒＃┤鐖D，平行四邊形ABCD中，AB=5,BC=10,BC邊上的高AM=4，點E為BC邊上的動點（不與B、C重合，過點E作直線AB的垂線，垂足為F，連接DE、DF．(1)求證：△ABM∽△EBF；(2)當點E為BC的中點時，求DE的長；(3)設BE=x,△DEF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關系式，并求當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？【答案】(1)證明見解析(2)DE=4(3)解析式為y=?625x?5562【分析】（1）利用AA證明△ABM∽△EBF，即可；（2）過點E作EN⊥AD于點N，可得四邊形AMEN為矩形，從而得到NE=AM=4,AN=ME，再由勾股定理求出BM=3，從而得到ME=AN=2，進而得到DN=8，再由勾股定理，即可求解；（3）延長FE交DC的延長線于點G．根據(jù)sin∠B=AMAB=EFBE，可得EF=4【詳解】（1）證明：∵EF⊥AB,AM是BC邊上的高，∴∠AMB=∠EFB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABM∽△EBF；（2）解：過點E作EN⊥AD于點N，在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，又∵AM是BC邊上的高，∴AM⊥AD，∴∠AME=∠MAN=∠ANE=90°，∴四邊形AMEN為矩形，∴NE=AM=4,AN=ME，在Rt△ABM中，BM=A又∵E為BC的中點，∴BE=1∴ME=AN=2，∴DN=8，在Rt△DNE中，DE=D；（3）解：延長FE交DC的延長線于點G．∵sin∠B=∴45∴EF=4∵AB∥CD，∴∠B=∠ECG，∠EGC=∠BFE=90°，又∵∠AMB=∠EGC=90°，∴△ABM∽△ECG，∴CGBM∴CG3∴GC=3∴DG=DC+CG=3∴y=12EF?DG=∴當x=556時，y有最大值為【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是解題的關鍵．題型02利用平行四邊形的性質(zhì)證明【例2】（2022·山東濟南·統(tǒng)考一模）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BE⊥AC，DF⊥AC，求證：AE＝CF．【答案】見解析【分析】可證明△ABE≌△CDF，即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，AB∥CD∴∠BAC=∠DCA∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F∴∠AEB=∠DFC=90°在△ABE和△CDF中，∠BAE=∠DCF∠AEB=∠CFD∴△ABE≌△CDF（AAS）∴AE=CF【點睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定是解決問題的關鍵．【變式2-1】（2023·廣西貴港·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E,點F在CD邊上，CF=AE,連接AF,BF.(1)求證：四邊形BFDE是矩形；(2)若AF平分∠DAB,CF=3,DF=5,求四邊形BFDE的面積．【答案】(1)見解析(2)20【分析】（1）由在平行四邊形ABCD中，得到DF∥EB,AB=CD,由CF=AE,可得DF=BE,根據(jù)矩形的判定即可求證．（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得AD=FD=5,由勾股定理可求出DE=4,即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DF∥EB,AB=CD,又∵CF=AE,∴DF=BE,∴四邊形BFDE是平行四邊形，∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴四邊形BFDE是矩形．（2）∵AF平分∠DAB,DC∥AB,∴∠DAF=∠FAB,∠DFA=∠FAB,∴∠DAF=∠DFA,∵DF=5,∴AD=FD=5,∵AE=CF=3,DE⊥AB,∴DE=∴矩形BFDE的面積是：DF·DE=5×4=20.【點睛】本題主要考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握這些判定和性質(zhì)是解此題的關鍵．【變式2-2】（2021·河南駐馬店·統(tǒng)考一模）如圖，平面直角坐標系xOy中，?OABC的邊OC在x軸上，對角線AC，OB交于點M，函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過點A

（1）求k的值和點M的坐標；（2）求?OABC的周長．【答案】（1）k=12，M（6,2）；（2）28【分析】（1）將點A（3,4）代入y=kx中求出k的值，作AD⊥x軸于點D，ME⊥x軸于點E，證明△MEC∽△ADC，得到MEAD（2）根據(jù)勾股定理求出OA=5，根據(jù)點A、M的坐標求出DE，即可得到OC的長度，由此求出答案.【詳解】（1）將點A（3,4）代入y=kx中，得k=∵四邊形OABC是平行四邊形，∴MA=MC，作AD⊥x軸于點D，ME⊥x軸于點E，∴ME∥AD，∴△MEC∽△ADC，∴MEAD∴ME=2，將y=2代入y=12∴點M的坐標為（6,2）；

（2）∵A（3,4），∴OD=3，AD=4，∴OA=O∵A（3,4），M（6,2），∴DE=6-3=3，∴CD=2DE=6，∴OC=3+6=9，∴?OABC的周長=2(OA+OC)=28.【點睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，求函數(shù)圖象上點的坐標，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì).【變式2-3】（2022·重慶·重慶八中?？级＃┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交對角線BD于點E．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：作∠BCD的平分線，交對角線BD于點F；（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）(2)在（1）所作的圖形中，求證：BE=DF．（請補全下面的證明過程，除題目給的字母外，不添加其它字母或者符號）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，①__________，∴∠ABE=∠CDF∵AE、CF分別平分∠BAD和∠DCB∴∠BAE=12∠BAD，②∵四邊形ABCD是平行四邊形∴③_______________∴∠BAE=∠DCF在△ABE與△CDF中∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF（ASA）∴BE=DF【答案】(1)見解析(2)AB//CD，∠DCF=12【分析】（1）在CB，CD上，分別截取CM，CN，使CM=CN，分別以點M，點N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，在∠BCD內(nèi)，兩弧交于點P，作射線CP交BD于點F，（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB//CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABE=∠CDF，根據(jù)角平分線得∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠BCD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得∠BAD=∠BCD，即∠BAE=∠DCF，根據(jù)ASA即可得△【詳解】（1）解：如圖，在CB，CD上，分別截取CM，CN，使CM=CN，分別以點M，點N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，在∠BCD內(nèi)，兩弧交于點P，作射線CP交BD于點F，（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB//∴∠ABE=∠CDF，∵AE、CF分別平分∠BAD和∠DCB，∴∠BAE=12∠BAD∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD=∠BCD，∴∠BAE=∠DCF，在△ABE與△CDF中，∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE=DF，故答案為：AB//CD，∠DCF=12∠BCD【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是掌握這些知識點．【變式2-4】（2022·山西臨汾·統(tǒng)考一模）如圖，在?ABCD中，AB>AD．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分線交AB于點F．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖形中，連接DE交CF于點P，猜想△CDP按角分類的類型，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）見解析；（2）直角三角形，理由見解析【分析】（1）直接利用角平分線的作法得出符合題意的答案；（2）先證明∠ADE=∠CDE，再利用平行線的性質(zhì)“同旁內(nèi)角互補”，得出∠CPD=90°即可得出答案．【詳解】解：（1）解：如圖所示：E，F(xiàn)即為所求；（2）△CDP是直角三角形．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴∠CDE=∠AED，∠ADC+∠BCD=180°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED．∴∠CED=∠ADE=12∠ADC∵CP平分∠BCD，∴∠DCP=12∠BCD∴∠CDE+∠DCP=90°．∴∠CPD=90°．∴△CDP是直角三角形．【點睛】本題主要考查了基本作圖以及平行四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．題型03判斷已知條件能否構(gòu)成平行四邊形【例3】（2022·河南鄭州·一模）如圖1，?ABCD中，AD>AB，∠ABC為銳角．要在對角線BD上找點N，M，使四邊形ANCM為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案（

）A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是【答案】A【分析】甲方案：利用對角線互相平分得證；乙方案：由△ABN≌△CDM，可得BN=DM,即可得ON=OM，再利用對角線互相平分得證；丙方案:方法同乙方案．【詳解】連接AC,BD交于點O甲方案：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AO=CO,BO=DO∵BN=NO,OM=MD∴ON=OM∴四邊形ANCM為平行四邊形．乙方案：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，AB//CD∴∠ABN=∠CDM又∵AN⊥BD,CM⊥BD∴∠ANB=∠CMD∴△ABN≌△CDM(AAS)∴BN=DM∵BO=DO∴ON=OM∴四邊形ANCM為平行四邊形．丙方案:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，AB//CD，AO=CO,BO=DO∴∠ABN=∠CDM又∵AN,CM分別平分∠BAD,∠BCD∴12∠BAD=∴△ABN≌△CDM（ASA）∴BN=DM∵BO=DO∴ON=OM∴四邊形ANCM為平行四邊形．所以甲、乙、丙三種方案都可以．故選A．【點睛】本題考查了平行四邊的性質(zhì)與判定，三角形全等的性質(zhì)和判定，角平分線的概念等知識，能正確的利用全等三角的證明得到線段相等，結(jié)合平行四邊形的判定是解題關鍵．【變式3-1】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考二模）在下列條件中，不能判定四邊形為平行四邊形的是（）A．對角線互相平分 B．一組對邊平行且相等C．兩組對邊分別平行 D．一組對邊平行，另一組對邊相等【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理分別分析各選項，即可求得答案．【詳解】解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；故本選項能判定；B、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；故本選項能判定；C、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；故本選項能判定；D、一組對邊平行，另一組對邊相等不一定是平行四邊形；故本選項不能判定．故選：D．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定．熟記平行四邊形的判定方法是解此題的關鍵．【變式3-2】（2023·湖南婁底·婁底市第三中學統(tǒng)考二模）在下列條件中，不能判定一個四邊形是平行四邊形的是（）A．一組對邊平行另一組對邊相等 B．一組對邊平行且相等C．兩組對角相等 D．對角線互相平分【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理逐一判斷即可：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．【詳解】解：A、一組對邊平行另一組對邊相等不能判定一個四邊形是平行四邊形，符合題意；B、一組對邊平行且相等能判定一個四邊形是平行四邊形，不符合題意；C、兩組對角相等能判定一個四邊形是平行四邊形，不符合題意；D、對角線互相平分能判定一個四邊形是平行四邊形，不符合題意；故選A．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定方法，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵，在解題過程中要靈活運用所學知識．題型04添加一個條件使四邊形成為平行四邊形【例4】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預測）在四邊形ABCD中，∠A+∠B=180°，添加下列條件，能使四邊形ABCD成為平行四邊形的是（A．AB=CD B．AD∥C．AD=BC D．∠C+∠D=【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的判定：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行