備考2024年中考數(shù)學(xué)專題突破（全國(guó)通用）專題2-5 最值模型之阿氏圓與胡不歸（原卷版）

專題2-5最值模型之阿氏圓與胡不歸TOC\o"1-3"\n\h\z\u知識(shí)點(diǎn)梳理模塊一胡不歸模型【題型1】胡不歸模型·已有相關(guān)角直接作垂線【題型2】胡不歸模型·構(gòu)造相關(guān)角再作垂線【題型3】胡不歸模型·取最值時(shí)對(duì)其它量進(jìn)行計(jì)算模塊二阿氏圓模型【題型4】點(diǎn)在圓外：向內(nèi)取點(diǎn)（系數(shù)小于1）【題型5】點(diǎn)在圓內(nèi)：向外取點(diǎn)（系數(shù)大于1）【題型6】一內(nèi)一外提系數(shù)【題型7】隱圓型阿氏圓知識(shí)點(diǎn)梳理一、胡不歸模型講解如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1＜V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。? ，記，即求BC＋kAC的最小值．構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC＋CH最小值，過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC＋CH取到最小值，即BC＋kAC最?。?、阿氏圓模型講解【模型來源】所謂阿圓，就是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為定值，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是圓，這個(gè)圓，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱為阿圓．其本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動(dòng)將軍飲馬型求最值，難點(diǎn)在于如何構(gòu)造母子相似．【模型建立】如圖1所示，⊙O的半徑為R，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，已知R＝OB，連接PA、PB，則當(dāng)“PA＋PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？解決辦法：如圖2，在線段OB上截取OC使OC＝R，則可說明△BPO與△PCO相似，則有PB＝PC。故本題求“PA＋PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA＋PC”的最小值，其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA＋PC”值最小。模塊一胡不歸模型【題型1】胡不歸模型·已有相關(guān)角直接作垂線2023·西安·二模如圖，在菱形中，，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．2023·保定·一模如圖，在矩形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，，點(diǎn)M在線段上，且．點(diǎn)P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）°；（2）的最小值為．2023·湘西·中考真題如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，E重合），則的最小值為．

如圖，，，C（1，0），D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為，在AD上的速度為4個(gè)單位/秒，在CD上的速度為1個(gè)單位/秒，則整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少時(shí)，D的坐標(biāo)為．2023·江蘇宿遷中考模擬如圖，二次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)A，B，對(duì)稱軸為直線l，頂點(diǎn)C到x軸的距離為．點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，另一點(diǎn)從C出發(fā)，先以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，再以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止，則時(shí)間最短為秒．2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，連接．當(dāng)取最小值時(shí)，的最小值是．

2023·成都市七中?？既鐖D，在矩形中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，且，沿直線翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【題型2】胡不歸模型·構(gòu)造相關(guān)角再作垂線如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)在上，連接，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，的最小值為．

2023·廣西二模如圖所示，在中，，M為線段上一定點(diǎn)，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中，滿足的值最小時(shí)，則．如圖，，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，則的最小值為3．如圖，是圓的直徑，，弧，點(diǎn)是弦上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值為A． B． C． D．如圖，在中，，，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連接，則的最小值是A． B． C． D．8如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，點(diǎn)D、F分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥CD交BC于點(diǎn)E，垂足為G，連接GF，則GF＋FB的最小值是如圖，在中，，，，點(diǎn)是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.

【題型3】胡不歸模型·取最值時(shí)對(duì)其它量進(jìn)行計(jì)算2023·廣東深圳·統(tǒng)考三模如圖，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，且圓的直徑AB在線段AE上．（1）試說明CE是⊙O的切線；（2）若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB；（3）設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OD，當(dāng)CD+OD的最小值為6時(shí)，求⊙O的直徑AB的長(zhǎng)．如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱圖形為．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接，若，．①求的值；②若點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，到達(dá)點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需要的時(shí)間最短時(shí)，求的長(zhǎng)和點(diǎn)走完全程所需的時(shí)間．拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線沿方向平移，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，且，點(diǎn)是平移后所得拋物線上位于左側(cè)的一點(diǎn)，軸交直線于點(diǎn)，連結(jié)．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求的長(zhǎng)．模塊二阿氏圓模型【題型4】點(diǎn)在圓外：向內(nèi)取點(diǎn)（系數(shù)小于1）如圖，已知正方ABCD的邊長(zhǎng)為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_______．如圖，在中，，，，圓的半徑為2，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．求①；②；③；④的最小值．如圖，為的直徑，，點(diǎn)C與點(diǎn)D在的同側(cè)，且，，，，點(diǎn)P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2eq\r(2)，內(nèi)切圓O上一動(dòng)點(diǎn)P，連接AP、DP，則AP+eq\f(eq\r(2),2)PD的最小值為______．如圖，等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為4eq\r(3)，圓O是△ABC的內(nèi)切圓，P是圓O上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC，則BP＋eq\f(1,2)CP的最小值為______________．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M(6，3)，N(10，0)，A(5，0)，點(diǎn)P為以O(shè)A為半徑的圓O上一動(dòng)點(diǎn)，則PM＋eq\f(1,2)PN的最小值為_______________2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出的最小值．

如圖1，拋物線y＝ax2＋(a＋3)x＋3與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)E是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)EQ\F(MN,NE)＝EQ\F(6,5)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，連接E′A、E′B，求E′A＋EQ\F(2,3)E′B的最小值．yyBOAEPMN圖1yBOAEPMN圖2E′【題型5】點(diǎn)在圓內(nèi)：向外取點(diǎn)（系數(shù)大于1）如圖，在中，點(diǎn)A、點(diǎn)在上，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．如圖，∠AOB=90°，OA=OB=1，圓O的半徑為eq\r(2)，P是圓O上一動(dòng)點(diǎn)，PA+eq\r(2)PB的最小值為________．已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，點(diǎn)P是弧CD上一點(diǎn)，2PA+PB的最小值為________．【題型6】一內(nèi)一外提系數(shù)如圖，在中，，，，在以為圓心3為半徑的圓上，則的最小值為．【解答】解：在上取點(diǎn)，使，，，，，，，在延長(zhǎng)線上取，，則，又，，，，，當(dāng)為和圓的交點(diǎn)時(shí)最小，即最小，且值為，，的最小值為，故答案為：．如圖，正方形邊長(zhǎng)為4，是的中點(diǎn)，在上，的最大值是，的最小值是【題型7】隱圓型阿氏圓2023·咸陽(yáng)·三模如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，P是的中點(diǎn)，連接，若，則的最小值為．

2023·宿遷·三模如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、、、，點(diǎn)