隨機向量及其概率分布

關于隨機向量及其概率分布4.1隨機向量的聯(lián)合分布4.1.1二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)引例假設某商店一天內(nèi)的顧客人數(shù)X服從參數(shù)為1000的Poisson分布；購買某種商品的人數(shù)記為Y，若每個顧客購買這種商品的概率為0.25，且各個顧客是否購買這種商品是相互獨立的。求一天有m個顧客進入商店且有n個顧客購買這種商品的概率。第2頁,共41頁，2024年2月25日，星期天定義設隨機試驗的樣本空間為Ω，X、Y為定義在上Ω的隨機變量，則稱(X,Y)為一個二維隨機向量。若(X,Y)是一個二維隨機變量，則稱函數(shù)

F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)(等式右邊表示隨機事件X≤x、Y≤y的乘積的概率)為隨機變量(X,Y)的(聯(lián)合)分布函數(shù)。第3頁,共41頁，2024年2月25日，星期天二維隨機向量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)的性質(zhì)：0≤F(x,y)≤1且F(-∞,y)=F(x,-∞)=0，F(xiàn)(+∞,+∞)=1；當x固定時F(x,y)是y的單調(diào)不減函數(shù)，當y固定時F(x,y)是x的單調(diào)不減函數(shù)；F(x,y)最多有可列個間斷點，且在間斷點(x0,y0)處關于x和y都是右連續(xù)。第4頁,共41頁，2024年2月25日，星期天例已知(X,Y)的分布函數(shù)為求：A、B；概率P(0<X<1,0<Y<1)。第5頁,共41頁，2024年2月25日，星期天4.1.2二維離散型隨機向量定義若二維隨機變量(X,Y)只可能取有限個或可列個值，則稱(X,Y)為二維離散型隨機向量。設二維離散型隨機向量(X,Y)的一切可能取值為(xi,yi)，則稱

P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,3,…為X與Y的聯(lián)合分布律(列)或(X,Y)的概率分布。第6頁,共41頁，2024年2月25日，星期天離散型隨機向量的聯(lián)合分布律的表示方法：公式法：P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,3,…列表法：YX

y1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…………………xipi1pi2…pij…………………第7頁,共41頁，2024年2月25日，星期天例從分別標有1,2,2,3,3,4的6個球中任取3個球，用X、Y分別表示其中的最小號碼和最大號碼，求：X、Y的聯(lián)合概率分布；概率P(X+Y>5)。離散型隨機向量的聯(lián)合概率分布的性質(zhì)：pij≥0；p11+p12+…+p1n+p21+p22+…+p2n+…+pn1+pn2+…+pnn+…=1。第8頁,共41頁，2024年2月25日，星期天4.1.3二維連續(xù)型隨機向量定義對二維隨機向量(X,Y)，若存在非負可積函數(shù)f(x,y)，有則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量，f(x,y)為X與Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)或(X,Y)的密度函數(shù)，簡記為(X,Y)~f(x,y)。第9頁,共41頁，2024年2月25日，星期天連續(xù)型隨機向量的密度函數(shù)f(x,y)的性質(zhì)：f(x,y)≥0；

例設二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求：①A；②P(X+Y≤1)。第10頁,共41頁，2024年2月25日，星期天定理若二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)，聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)。則有例隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求：①A；②P(X≤Y)；③(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)。第11頁,共41頁，2024年2月25日，星期天例隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求：①A；②P(X≤Y)。定義若隨機向量(X,Y)的密度函數(shù)為則稱隨機向量(X,Y)服從D上的均勻分布。第12頁,共41頁，2024年2月25日，星期天定義若隨機向量(X,Y)的密度函數(shù)為則稱隨機向量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，記為(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ12,r)。第13頁,共41頁，2024年2月25日，星期天4.2邊緣分布4.2.1邊緣分布函數(shù)定義對二維隨機向量(X,Y)，隨機變量X、Y的分布函數(shù)稱為(X,Y)關于X、Y的邊緣分布函數(shù)。定理若(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，則(X,Y)關于X的邊緣分布函數(shù)為FX(x)=F(x,+∞)，(X,Y)關于X的邊緣分布函數(shù)為FY(y)=F(+∞,y)。第14頁,共41頁，2024年2月25日，星期天4.2.2二維離散型隨機向量的邊緣分布律定義若(X,Y)是二維離散型隨機向量，則隨機變量X、Y的概率分布稱為(X,Y)關于X、Y的邊緣概率分布。定理若二維離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布為P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,3,…，則(X,Y)關于X的邊緣概率分布為pi·=P(X=xi)=pi1+pi2+…+pij+…，i=1,2,3,…，(X,Y)關于Y的邊緣概率分布為p·j=P(Y=yj)=p1j+p2j+…+pij+…，j=1,2,3,…，第15頁,共41頁，2024年2月25日，星期天求邊緣概率分布時，可在表格上直接進行：YX

y1y2…yj…pi·x1p11p12…p1j…p1·x2p21p22…p2j…p2·…………………xipi1pi2…pij…pi·…………………p·jp·1p·2…p·j…第16頁,共41頁，2024年2月25日，星期天例若離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布如右求(X,Y)關于X、Y的邊緣概率分布。例若離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布如右求(X,Y)關于X、Y的邊緣概率分布。

YX23410.20.250.05200.250.053000.2

YX23410.10.250.1520.060.150.0930.040.10.06第17頁,共41頁，2024年2月25日，星期天4.2.3二維連續(xù)型隨機向量的邊緣密度

定義若(X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量，則稱隨機變量X、

Y的概率密度為(X,Y)關于X、Y的邊緣概率密度。定理若(X,Y)~f(x,y)，則(X,Y)關于X、Y的邊緣概率密度分別為：第18頁,共41頁，2024年2月25日，星期天例若二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：求：c的值；(X,Y)關于X、Y的邊緣概率密度。第19頁,共41頁，2024年2月25日，星期天4.3條件分布4.3.1條件分布函數(shù)定義

(X,Y)為二維隨機向量，若對固定的x，極限存在，則稱之為在X=x下Y的條件分布函數(shù)，記為FY|X(y|x)。第20頁,共41頁，2024年2月25日，星期天定義

(X,Y)為二維隨機向量，若對固定的y，極限存在，則稱之為在Y=y下X的條件分布函數(shù)，記為FX|Y(x|y)。第21頁,共41頁，2024年2月25日，星期天4.3.2二維離散型隨機向量的條件分布律定義設(X,Y)為二維離散型隨機向量，若對固定的xi，有P{X=xi}>0，則稱為在條件X=xi下Y的條件分布列。若對固定的yj，有P{Y=yj}>0，則稱為在條件Y=yj下X的條件分布列。第22頁,共41頁，2024年2月25日，星期天例若二維離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布如右，求：邊緣分布；在條件Y=2下X的條件分布；條件X=2下Y的條件分布。

YX12300.10.050.1510.050.150.0520.150.1030.100.1第23頁,共41頁，2024年2月25日，星期天4.3.3二維連續(xù)型隨機變量的條件分布密度定義設(X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量，若對固定的x，有fY(y)

>0，則稱為在條件X=x下Y的條件分布。若對固定的y，有fY(y)

>0，則稱為在條件Y=y下X的條件分布。第24頁,共41頁，2024年2月25日，星期天例若二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：求：(X,Y)關于X、Y的邊緣密度函數(shù)；在條件X=0下Y的條件密度函數(shù)；條件密度函數(shù)fX|Y(x|y)。第25頁,共41頁，2024年2月25日，星期天4.4隨機變量的獨立性定義設(X,Y)為二維隨機向量，若對任意x、y∈R，有F(x,y)=FX(x)·FY(y)則稱X與Y相互獨立。定理若X與Y相互獨立，則FX|Y(x|y)=FX(x)；FY|X(y|x)=FY(y)。第26頁,共41頁，2024年2月25日，星期天若離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布為

P{X=xi,Y=yj}=pij，i,j=1,2,3,…，則X與Y相互獨立的充要條件為：對任意i,j，

pij=pi·p·j例已知二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布如右圖：且X與Y相互獨立，求a、b的值。

YX01210.080.20.122a0.3b第27頁,共41頁，2024年2月25日，星期天若連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則X與Y相互獨立的充要條件為：f(x,y)=fX(x)fY(y)例已知隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為判斷X與Y是否相互獨立。例已知X~e(1)，Y~e(2)，且X與Y相互獨立，求P(X<Y)。第28頁,共41頁，2024年2月25日，星期天定義設隨機試驗的樣本空間為Ω，X1、X2、…、Xn為定義在上Ω的隨機變量，則稱(X1,X2,…,Xn)為一個n維隨機向量。若(X1,X2,…,Xn)是一個n維隨機向量，則稱函數(shù)F(x1,x2,…,xn)=P(X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn)為隨機向量(X1,X2,…,Xn)的(聯(lián)合)分布函數(shù)。函數(shù)FXi(x)=P(Xi≤x)為隨機向量(X1,X2,…,Xn)關于Xi的的邊緣分布函數(shù)。第29頁,共41頁，2024年2月25日，星期天定義若隨機向量(X1,X2,…,Xn)的(聯(lián)合)分布函數(shù)F(x1,x2,…,xn)及其邊緣分布函數(shù)FXi(x)滿足F(x1,x2,…,xn)=FX1(x1)FX2(x2)…FXn(xn)則稱X1、X2、…、Xn相互獨立。定理若X1、X2、…、Xn相互獨立，則其中任意k個隨機變量也相互獨立，2≤k≤n

。第30頁,共41頁，2024年2月25日，星期天定義若隨機向量(X1,X2,…,Xm)、(Y1,Y2,…,Yn)和(X1,X2,…,Xm,Y1,Y2,…,Yn)的(聯(lián)合)分布函數(shù)分別為F1(x1,x2,…,xm)、F2(y1,y2,…,yn)和F(x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn)，且F(x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn)=F1(x1,x2,…,xm)F2(y1,y2,…,yn)則稱(X1,X2,…,Xm)與(Y1,Y2,…,Yn)相互獨立。定理若(X1,X2,…,Xm)與(Y1,Y2,…,Yn)相互獨立，對任意函數(shù)g和h，則g(X1,X2,…,Xm)與h(Y1,Y2,…,Yn)相互獨立。第31頁,共41頁，2024年2月25日，星期天定理若(X1,X2,…,Xm)與(Y1,Y2,…,Yn)相互獨立，記則Ak與A'k、Ak與B'k、Bk與A'k、Bk與B'k相互獨立。第32頁,共41頁，2024年2月25日，星期天4.5隨機向量函數(shù)的分布定義設(X,Y)是二維隨機變量，Z是隨機變量。對連續(xù)函數(shù)g(x,y)，若X=x和Y=y描述的事件發(fā)生時，Z=g(x,y)描述的事件一定會發(fā)生，則稱隨機變量Z為(X,Y)的函數(shù)，記為Z=g(X,Y)。求二維隨機變量(X,Y)的函數(shù)Z的分布時，常把Z描述的事件轉(zhuǎn)化為用(X,Y)表示。第33頁,共41頁，2024年2月25日，星期天4.5.1二維離散型隨機變量函數(shù)的分布

例設二維離散型隨機變量(X,Y)的概率分布為求X+Y、X-Y、XY、X/Y的概率分布。

YX-11200.10.20.110.150.30.15第34頁,共41頁，2024年2月25日，星期天總結(jié)求離散型隨機向量(X,Y)的函數(shù)Z=g(X,Y)的概率分布的步驟為：把(X,Y)的取值代入z=g(x,y)中得到Z的所有取值；對Z的每一個取值z0，找出所有滿足g(x,y)=z0的(x,y)，把對應的概率P{X=x,Y=y}相加得到P(Z=z0)。例設X~g(p1)，Y~g(p2)，且X與Y相互獨立，求X+Y的概率分布。第35頁,共41頁，2024年2月25日，星期天定理對和的分布，重要的離散型分布的結(jié)果：設X~B(n1,p)，Y~B(n2,p)，且X與Y相互獨立，則X+Y~B(n1+n2,p)；

設X~P(λ1)，Y~P(λ2)，且X與Y相互獨立，則X+Y~P(λ1+λ2)。定義若兩個同種分布的隨機變量的和仍服從這種分布，并且和的參數(shù)等于參數(shù)的和，則稱這種分布具有可加性或再生性。第36頁