三角形四心的向量表示(學(xué)生練習(xí))

三角形四心的向量表示(學(xué)生練習(xí))REPORTING目錄三角形四心的定義向量表示的基本概念三角形四心的向量表示向量表示的應(yīng)用練習(xí)題與答案PART01三角形四心的定義REPORTINGWENKUDESIGN內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。向量表示：設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)為$A,B,C$，內(nèi)心為$I$，則$overrightarrow{AI}=frac{aoverrightarrow{AB}+boverrightarrow{AC}}{a+b}$，其中$a,b$分別為三角形$ABC$的半周長(zhǎng)。內(nèi)心0102外心向量表示：設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)為$A,B,C$，外心為$O$，則$overrightarrow{OA}=frac{overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}}{2}$。外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)。重心是三角形三條中線的交點(diǎn)。向量表示：設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)為$A,B,C$，重心為$G$，則$overrightarrow{AG}=frac{2}{3}overrightarrow{AE}$，其中$E$為$BC$中點(diǎn)。重心垂心是三角形三條高線的交點(diǎn)。向量表示：設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)為$A,B,C$，垂心為$H$，則$overrightarrow{AH}cdotoverrightarrow{BC}=0$。垂心PART02向量表示的基本概念REPORTINGWENKUDESIGN向量定義向量是既有大小又有方向的量，通常用有向線段表示。向量的模：表示向量的大小，記作|a|，計(jì)算公式為$sqrt{x^2+y^2}$。向量加法滿足平行四邊形法則或三角形法則。設(shè)向量$overset{longrightarrow}{a}=(x_1,y_1)$，$overset{longrightarrow}=(x_2,y_2)$，則$overset{longrightarrow}{a}+overset{longrightarrow}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$。向量加法向量數(shù)乘數(shù)乘是標(biāo)量與向量的乘積，結(jié)果仍為向量。設(shè)k為標(biāo)量，$overset{longrightarrow}{a}=(x,y)$，則$koverset{longrightarrow}{a}=(kx,ky)$。向量的模表示向量的大小。設(shè)$overset{longrightarrow}{a}=(x,y)$，則$|overset{longrightarrow}{a}|=sqrt{x^2+y^2}$。向量模PART03三角形四心的向量表示REPORTINGWENKUDESIGN設(shè)三角形ABC的內(nèi)心為I，則向量AI、BI、CI分別與三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的正弦值成正比。向量表示利用向量的加法、數(shù)乘和向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)，結(jié)合三角形的內(nèi)心性質(zhì)，推導(dǎo)出上述向量關(guān)系式。證明過(guò)程內(nèi)心向量表示VS設(shè)三角形ABC的外心為O，則向量AO、BO、CO分別與三角形ABC的三個(gè)外角A、B、C的正弦值成正比。證明過(guò)程利用向量的加法、數(shù)乘和向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)，結(jié)合三角形的外心性質(zhì)，推導(dǎo)出上述向量關(guān)系式。向量表示外心向量表示設(shè)三角形ABC的重心為G，則向量AG、BG、CG分別與三角形ABC的三邊AB、BC、CA的長(zhǎng)度成正比，且與對(duì)應(yīng)的邊所對(duì)的角的余弦值成正比。利用向量的加法、數(shù)乘和向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)，結(jié)合三角形的重心性質(zhì)，推導(dǎo)出上述向量關(guān)系式。向量表示證明過(guò)程重心向量表示垂心向量表示設(shè)三角形ABC的垂心為H，則向量AH、BH、CH分別與三角形ABC的三邊AB、BC、CA的長(zhǎng)度成正比，且與對(duì)應(yīng)的邊所對(duì)的角的正弦值成正比。向量表示利用向量的加法、數(shù)乘和向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)，結(jié)合三角形的垂心性質(zhì)，推導(dǎo)出上述向量關(guān)系式。證明過(guò)程PART04向量表示的應(yīng)用REPORTINGWENKUDESIGN通過(guò)向量的數(shù)量積或向量的模長(zhǎng)，可以方便地計(jì)算三角形的面積。三角形面積計(jì)算角度計(jì)算三角形邊長(zhǎng)計(jì)算利用向量的點(diǎn)積或叉積，可以計(jì)算兩向量之間的夾角，從而得到三角形內(nèi)角的大小。通過(guò)向量的模長(zhǎng)和夾角，可以計(jì)算三角形的邊長(zhǎng)。030201在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用在物理中，力可以視為向量，通過(guò)向量的加法、數(shù)乘和向量積，可以方便地表示力的合成與分解。力的合成與分解速度和加速度作為矢量，可以用向量表示，從而方便地描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。速度和加速度通過(guò)向量的叉積，可以表示力矩，從而方便地分析力對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)的影響。力的矩在物理問(wèn)題中的應(yīng)用

在解析幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用向量可以表示點(diǎn)、線、面等幾何元素，通過(guò)向量的運(yùn)算可以方便地解決平面幾何問(wèn)題。向量在空間幾何中的應(yīng)用在三維空間中，向量可以表示點(diǎn)、線、面等幾何元素，通過(guò)向量的運(yùn)算可以方便地解決空間幾何問(wèn)題。向量在解析幾何中的應(yīng)用在解析幾何中，向量可以表示點(diǎn)、線、面等幾何元素，通過(guò)向量的運(yùn)算可以方便地解決解析幾何問(wèn)題。PART05練習(xí)題與答案REPORTINGWENKUDESIGN1.題目01證明向量$vec{OA}+vec{OB}+vec{OC}=vec{0}$的充要條件是A是$triangleABC$的內(nèi)心。充分性02若$vec{OA}+vec{OB}+vec{OC}=vec{0}$，則$vec{CA}=-vec{AB}$，即$CA$平分$AB$，所以A是$triangleABC$的內(nèi)心。必要性03若A是$triangleABC$的內(nèi)心，則$angleOAC=angleOCA$，從而$vec{OA}=-vec{OC}$。同理，$vec{OB}=-vec{OC}$，所以$vec{OA}+vec{OB}+vec{OC}=vec{0}$。練習(xí)題一：內(nèi)心向量表示的證明證明向量$vec{OA}=vec{OB}$的充要條件是B是$triangleABC$的外心。1.題目若$vec{OA}=vec{OB}$，則$|vec{OA}|=|vec{OB}|$，即$AB$是外接圓的直徑，所以B是$triangleABC$的外心。充分性若B是$triangleABC$的外心，則$AB$是外接圓的直徑，所以$vec{OA}=vec{OB}$。必要性練習(xí)題二：外心向量表示的證明1.題目證明向量$frac{vec{OA}}{3}+frac{vec{OB}}{3}+frac{vec{OC}}{3}=vec{0}$的充要條件是G是$triangleABC$的重心。充分性若$frac{vec{OA}}{3}+frac{vec{OB}}{3}+frac{vec{OC}}{3}=vec{0}$，則$frac{vec{CA}}{3}=-frac{vec{AB}}{3}$，即線段AG平分線段BC，所以G是$triangleABC$的重心。必要性若G是$triangleABC$的重心，則AG平分BC，從而$frac{vec{CA}}{3}=-frac{vec{AB}}{3}$，所以$frac{vec{OA}}{3}+frac{vec{OB}}{3}+frac{vec{OC}}{3}=vec{0}$。練習(xí)題三：重心向量表示的證明證明向量$vec{OA}cdotvec{OB}=vec{OB}cdotvec{OC}$的充要條件是H是$triangleABC$的垂心。1.題目若$vec{OA}cdotvec{OB}=vec{OB}cdotvec{OC}$，則$angleOAH=90^circ$且$angleOBH=90^circ$，所以H是$tria