貴州省貴陽市2022-2023學(xué)年高一年級下冊5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

貴州省貴陽市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

(含解析)

第I卷

一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一個選項是符合題目要求的.

Li為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=l+i,則目=(

A.1B.2C.√2D,2√2

【正確答案】C

【分析】由復(fù)數(shù)模計算公式可得答案.

【詳解】因z=l+i,則IZl=J幣=J5.

故選：C

2.已知α=(0,l),?=(1,2),c=(2,3)，則(

A.a-?rb=cB.a+c=2bC.2a+b=cD.

a+2b=C

【正確答案】B

【分析】用向量加法，數(shù)乘的坐標(biāo)表示驗證各選項正誤即可.

【詳解】A選項，a+6=(l,3)≠c,故A錯誤；

B選項，a+c=(2,4)=2b,故B正確；

C選項，2^+6=(1,4)≠c,故C錯誤；

D選項,Q+2石=(2,5)≠c,故D錯誤.

故選：B

3.〃棱柱(〃∈N*∕≥3)的頂點數(shù)為匕棱數(shù)為￡,面數(shù)為凡則P+尸—E=()

A.-1B.0C.1D.2

【正確答案】D

【分析】由〃棱柱的頂點數(shù)，棱數(shù)，面數(shù)可得答案.

【詳解】由題可得，〃棱柱的頂點數(shù)為2〃，棱數(shù)為3〃，面數(shù)為〃+2,則/+R—E=2.

故選：D

4.等腰直角三角形的斜邊為2，以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（）

π2πrV∑πD2在1

A.-B.—

333-3

【正確答案】B

【分析】作出圖形，分析可知，幾何體是由兩個同底面的圓錐拼接而成的組合體，確定兩個

圓錐的底面半徑和高，利用錐體的體積公式可求得該組合體的體積.

【詳解】在等腰直角AZBC中，設(shè)斜邊NC的中點為。，則801/C,且

BO=AO=CO=-AC=X,

2

以斜邊NC為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是以80為底面圓的半徑，高分別為Z。、CO的兩個

圓錐拼接而成的組合體，

ITr2兀

所以，該幾何體的體積為憶=—πχBθ2χ（zo+co）=-χfχ2=一.

3''33

故選：B.

5.在正方體ZBCr>-4MG2中，異面直線8。與與。所成角為（）

A.30oB.45oC.60oD.90°

【正確答案】C

【分析】

通過平移作出異面直線所成的角，解三角形求得所成角的大小.

【詳解】連接4。,48如圖所示，由于4z)∕∕4c,所以N是異面直線8。與鳥。所

成角，由于三角形48。是等邊三角形，所以/408=60°.

故選：C

Dl_____C1

本小題主要考查異面直線所成角的求法，屬于基礎(chǔ)題.

6.如圖，正三棱柱Z8C-44G的棱長都相等，則二面角4一BC-Z的余弦值為()

.√2b√21c√7d2√7

2777

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意分析可得二面角4-8C-Z的平面角為NZM運算求解即可.

【詳解】取BC的中點附，連接力",4M,

因為一BC為等邊三角形，則/MLBC,

又因為Z4，平面∕3C,AB,AC,AMInABC,則

AA,^AB,AAi^AC,AAx^AM,

可知△44田@Z?44∣C,可得46=4。，則4M_L6C,

所以二面角4-8C-4的平面角為乙4M4∣,

設(shè)Aδ=2,則N/=),=6”/=,/+]”=幣,

所以CoSNNM^='蛆=卓=

'AxM√77

故選：B.

7.ΔA8C中，/8=5,BC=6,CA=7,則-48。的面積為()

A.6√6B.6√3C.3√6D.3√3

【正確答案】A

【分析】利用余弦定理求出COSB的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出SinB的值，再

利用三角形的面積公式可求得^ABC的面積.

Afi-Rr2-AC125+36—491

【詳解】由余弦定理可得CoSB=+_&=CJO＞，,則B為銳角,

IABBC2×5×65

故sin8=??∕l-cos2B=ψ-(()=~~~，

因此，??IBC的面積為S=；Z8-8CsinC=；*5x6x孚=6指.

故選：A.

8.如圖，加是平行六面體ZBcD-44G〃的棱4〃的中點，經(jīng)過三點A、M.C的平

面將該平行六面體分成兩部分的體積分別為匕、匕（匕＜匕），則9的值為（）

【正確答案】D

【分析】取的中點N,連接/〃、AC.MN、CN、A1C1,分析可知經(jīng)過三點A、

M、。的平面截平行六面體力BCD-4片ClZ）I所得截面為梯形ZCNM,利用臺體和柱體

的體積公式可求得白的值.

“2

【詳解】取GA的中點N,連接ZM、AC,MN、CN、A1C1,

在平行六面體ZSCZ)—中，44"/CCl且44]=CC1,

所以，四邊形44]GC為平行四邊形，所以，zc〃4G且力。=4￡，

因為M、N分別為49、G4的中點，所以，MNHAC?且MN=；A\G，

所以，M、N、A、C四點共面,

故經(jīng)過三點A、M、C的平面截平行六面體ABCD-44GA所得截面為梯形ACNM,

設(shè)=S貝SS,

s?DM9IJSu∕∕cn=2SΔJGa=

設(shè)平行六面體ABCD-A1B1QD1的高為A,則匕+%=85〃,

1?*7]*7

匕=§(S+4S+JS.4S”=§S//,故匕=8Sh―匕=8Sh-qSh=]?Sh,

V.7

因止匕，——-——.

V217

故選：D

二、多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選

項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有

選錯得0分.

9.已知α,尸表示平面，m,〃表示直線，則()

A.若加Ha,n∣∣a,則加〃〃

B.若加〃α,mHβ,則α〃β

C若Znd.α,n?α,則，“〃〃

D.若加_La,加_L尸，則α〃/

【正確答案】CD

【分析】由線面，面面關(guān)系相關(guān)知識判斷各選項正誤即可.

【詳解】A選項，若mHa,n∣∣a,則加,〃可能平行，相交或異面，故A錯誤；

B選項，若InIla,mUβ,則α,/可能相交或平行，故B錯誤；

C選項，若〃z_La,〃_La,由線面垂直性質(zhì)可知〃〃，故C正確；

D選項，若加_La,機?L∕?,則夕互相平行，故D正確.

故選：CD

10.i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z=L匚，則()

1-i

_1

A.z?z-\B.z?i=0

z

C.z+z2d-----I-Z10=1+iD.—+—H------1-?

ZZZ

【正確答案】ABD

【分析】化簡Z,后利用共規(guī)復(fù)數(shù)定義，復(fù)數(shù)運算法則驗證各選項即可.

1+i(l+i)2

【詳解】Z-------------------------—=i.i2=-l,i3=-i,i4=l?

l-i(l-i)(l+i)2

A選項,z?z=i?(―i)=—i2=1,故A正確;

z+Li+Li-i=O,

B選項,故B正確;

zi

C選項,z+z2+z3+z4=i+i2+i3+i4=i-l-i+l=O>則

z+z2+■■■+Z10Z+Z2+Z3+Z4)(l+z4)+(z4)^(z+z2)=Z+Z?=i_1，故C錯

誤;

D選項，—+-^-+-y+-y=-i—l+i+l=O,則

ZZZZ

11+1IIlI11_.

-+—+???+?+++1+p^=7τ，故D

ZZ7777

正確.

故選：ABD

11.如圖，在邊為1的正方形ZBC。中，則（）

A.JBCD=?B.ABAC=X

C.困+呵=2D.∣^C+DC∣=2

【正確答案】BC

【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義和運算性質(zhì)可判斷AB選項；利用平面向量的加法、減

法法則以及向量的模長可判斷C選項；利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可判斷D選項.

【詳解】因為正方形/8C。的邊長為1，

對于A選項，^AB.^CD=^AB'=-bA錯;

'一''..一/E'-?\"2''S''■.

對于B選項，ABAC-AByAB+ADj=AB+AB?AD=1,B對;

對于C選項，AC+BD={^AB+AD^+(^AD-AB^=2AD,

所以，I就+而∣=∣2而∣=2,C對；

對于D選項，~AC+DC=JB+Jb+JB=IAB+7b

所以,

4ABAD+AD2

√?+0+l=后

,D錯.

故選：BC.

12.如圖4。與BC分別為圓臺上下底面直徑，ADHBC,若48=3,/0=2，BC=4,

則（）

A.圓臺的母線與底面所成的角的正切值為2企

B.圓臺的全面積為14兀

C.圓臺的外接球（上下底面圓周都在球面上）的半徑為J5

D.從點A經(jīng)過圓臺的表面到點C的最短距離為36

【正確答案】ABD

【分析】取圓臺的軸截面ZBCD,利用線面角的定義可判斷A選項；利用圓臺的表面積公

式可判斷B選項；利用正弦定理求出等腰梯形/8CO的外接圓半徑，即為圓臺的外接球半

徑，可判斷C選項；將圓臺沿著軸截面切開，將圓臺的側(cè)面的一半展開，結(jié)合余弦

定理可判斷D選項.

【詳解】取圓臺的軸截面ZBCO,設(shè)/0、BC的中點分別為0、O2,連接。。2,

分別過點A、。在平面/8CO內(nèi)作NE_LBC,DF1BC,垂足分別為點E、F，

Oin

由題意可知，GO2與圓臺的底面垂直，易知四邊形Z6C。為等腰梯形,

且/8=C￡>=3,AD=2,BC=A,

在A∕8E和ADcT7中，AB=DC,NABE=NDCF,NaEB=NDFC=90°，

所以，AABE出ADCF，所以，BE=CF,

因為ADHBC,AELBC,DFLBC,則四邊形ADFE為矩形，且EE=CD=2,

同理可證四邊形力為矩形，則。|。2=/￡，旦AEHoa,

所以，ZE與圓臺的底面垂直，則圓臺的母線與底面所成的角為NZBE，

AB-FF4-2/_____________

所以，BE=CF=——-——=--=↑,則4E=YAB=BE)=,3?-1=2啦，

?pr-

所以，tanNNBE=——=2√2,A對；

BE

對于B選項，圓臺的全面積為兀χf+πχ22+兀χ(l+2)χ3=14兀，B對；

對于C選項，易知圓臺的外接球球心在梯形ZBCZ)內(nèi)，且CE=BC-BE=4—1=3,

由勾股定理可得力C=JZE2+.2=J帝=J萬,且SinNABE=更=空，

圓臺的夕卜接球直徑為"=高普√17_3√34I—

Ξ7T=4，則H=雙巴，B錯;

所以,

--8

對于C選項，將圓臺沿著軸截面/8CD切開，將圓臺的側(cè)面的一半展開如下圖所示:

延長區(qū)4、DC交于點、M,在圓臺的軸截面等腰梯形/8C0中，AB//CD且AB=LCD,

2

易知A、。分別為、CW的中點，所以，AM=DM=AB=3,

設(shè)ZAMD=θ,則介=38=兀，則。=(，

TT

在AZCM中，AM=3,CM=6,NAMD=一,

3

XXX

由余弦定理可得ZC=JNM2+α12-2月Λ∕?CΛ∕CoSm=J32+62—236；=36,

因此，從點A經(jīng)過圓臺的表面到點C的最短距離為3百，D對.

故選：ABD.

三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.

13.復(fù)數(shù)z=4+3i與它的共扼復(fù)數(shù)三在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為4B,。為復(fù)平面原點，

則AO∕8的面積為.

【正確答案】12

【分析】根據(jù)共軌復(fù)數(shù)結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義運算求解.

【詳解】由題意可知：復(fù)數(shù)z=4+3i的共扼復(fù)數(shù)I=4-3i，

可得Z(4,3),8(4,-3),0(0,0),即外工實軸,

所以AO∕8的面積S.O*=Jx4χ6=12.

ZjkV-*ZiLJ2

故12.

14.已知加wR,三點4(-1,-1)、8(1,3)、C(m,2根+/)共線，則f=.

【正確答案】1

______umUUii

【分析】求出向量在、ZC的坐標(biāo)，分析可知N8〃ZC，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可

求得實數(shù)f的值.

【詳解】因為加GR,三點8(1,3)、C(m,2m+f)共線，則關(guān)〃泥，

ULU___

且/8=(2,4),/C=(m+l,2m+∕+l),

所以，2(2m+f+l)=4(m+l),解得/=1.

故答案為.1

15.如圖，平面0〃平面/，平面ZBCca=DE,平面45CC￡=3C,DGAB，

EeAC,/0=2，DB=3,DE=I，則BC=.

【分析】由題可得。E〃8C,即可得AD4E~A3∕C,即可得答案.

【詳解】因平面α〃平面夕，平面/8CCa=Z）E,平面ZBCcp=BC,則DE〃8C,

DFADΠF-AR5

因ZOZE=NB/C,則AQ∕E~A8∕C,則~=———nBC=匕勺=

BCAD+DBAD2

皿5

故_

2

16.SF6（六氟化硫）具有良好的絕緣性，在電子工業(yè)上有著廣泛的應(yīng)用，其分子結(jié)構(gòu)如圖

所示：六個元素口分別位于正方體六個面的中心，元素S位于正方體中心，若正方體的棱長

為。，記以六個b為頂點的正八面體為T，則T的體積為,T的內(nèi)切球表面積為

【分析】由題意可知正八面體T可視為兩個全等的正四棱錐拼接而成，確定正四棱錐的底面

邊長和高，可求得正八面體T的體積，計算出正八面體T的表面積，利用等體積法可求得正

八面體T的內(nèi)切球半徑，結(jié)合球體表面積公式可求得其內(nèi)切球的表面積.

【詳解】正八面體T可視為兩個全等的正四棱錐拼接而成,

且該正四棱錐的底面邊長為J[q]+f->∣=也a,高為巴,

VUJ⑵22

2

所以，正八面體的體積為％=2χLx√Σ]a11

—a×-=-a

32/26

由圖可知，正八面體T的每個面都是棱長為多的等邊三角形,

所以，正八面體T的表面積為S=8x*}χ—a=√3a2,

4I2J

3

lar

設(shè)正正八面體T的內(nèi)切球半徑為r,則P=LSr,所以，3K2√3,

3r

S√3α26

_πa2

因此，正八面體T的內(nèi)切球的表面積為4b2=4πχ—a

6?'

Z

3

故看，；πa

3

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.如圖所示,矩形ABCD的頂點A與坐標(biāo)原點重合,8,D分別在x,y軸正半軸上，28=4,

AD=2,點E為/8上一點

(1)若DEJ.AC,求/E的長；

(2)若E為48的中點，ZC與。E的交點為M,求CoSNCAlE.

【正確答案】(1)1(2)叵

10

【分析】(I)設(shè)E(x,0)(0≤X≤4),由。E人/C可得詼.X=O,即可得答案;

(2)由圖可知NCΛ∕E=(DE,AC^,由向量夾角公式可得答案.

【小問1詳解】

由題，可得Z(0,0),3(4,0),D(0,2),C(4,2).則X=(4,2).

設(shè)E(X,0)(0≤X≤4),則無=卜,一2).因0后1/0,則

瓦?就=4x-4=0=>x=1.則E(1,O),故/E的長為1；

【小問2詳解】

若E為48的中點，則￡(2,0),DE=(2,-2),又％=(4,2).

/______^ACΦE4

由圖可知c。SNCME=CoS?。,?上)=丁Λ∕ΓO.

18.如圖在棱長為2的正方體ZBC。-4AGA中，E是DDl上一點，且BDI〃平面4CE.

(1)求證：E為。。的中點；

(2)求點。到平面ZCE的距離.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵逅

3

【分析】(1)連接80交/C于點。，連接。E,利用線面平行的性質(zhì)可得出8Q//OE,

推導(dǎo)出。為80的中點，結(jié)合中位線的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；

(2)計算出三棱錐E-NCD的體積以及的面積，利用等體積法可求得點Z)到平面

ACE的距離.

【小問1詳解】

證明：連接8。交ZC于點0,連接。E,

因為BDJI平面/CE,BD?U平面BDDx,平面BDDiC平面ZCE=OE,

所以，BDJIOE,

因為四邊形ZBC。為正方形，AC{?BD=O,則。為BZ）的中點，

因此，E為。。的中點.

【小問2詳解】

11,

解：因為。人平面=-ADCD=-×2

EZBCD,S4,?A∕iCvZD√222=2,

112

21,

又因為DE=1,所以，VE-ACD-~××=y

因為/￡>_LDE,所以，AE=AD2+DE2=√22+12=√5>同理可得CE=逐，

AC^y∣AD2+CD2=√22+22=2√2-所以，AE=CE,

易知。為/C的中點，則OE上〃C,則OE=J4爐—初=后五=6,

所以，S“E=^AC?OE=QeX密=瓜

12

設(shè)點D到平面ACE的距離為h,由LACE=vE-ACD可得-SMCEI=M

即IX癡〃=2,解得。=巫，即點。到平面NCE的距離為四.

3333

19.如圖在“8C中，￡>為BC上一點，AB=5,BC=I,NBAD=NCAD=60。

A

BC

D

（I）求/C的長；

（2）若血=4萬+〃萬，求；L與〃的值.

【正確答案】（1）AC=3

（2）λ=—,/Z=—

88

【分析】（1）根據(jù)余弦定理，即可求/C；

（2）首先求得貯=幺?=3,再利用向量的線性運算，即可求解.

DCAC3

【小問1詳解】

由題意可知，N歷IC=I20°

AZBC中，根據(jù)余弦定理5余=/^2+/02-2力5?∕C?cos120°

即/C?+5/C—24=0,解得：NC=3或∕C=-8(舍)

所以∕C=3

【小問2詳解】

因為c沁-×--A--B-×--A--D--×-s-i-n-6--0-°-=喋ad,

AC

S.ADCLχ∕Z)x∕CXSin60"

2

OAABDBD即處=

而

C~DC

UΔJDCDCAC3

88、)

3-.5—?

=-AB+-AC,

88

―.―.-.35

因為/D=448+∕∕ZC,所以丸=G,4=g?

O8

20.如圖1,在矩形48。。中，AB=25BC=2,將它沿對角線ZC折起，使。到A

的位置，且平面。/C，平面45C,連接（如圖2）,在圖2中:

圖2

(1)求四面體∕3CZ)∣的外接球的體積;

(2)求SQ的長.

32

【正確答案】(1)—π

3

(2)√io

【分析】(1)設(shè)。為NC的中點，分析可得。4=。8=。。=。2=2,則A、B、C、Dl

在以點。為球心，半徑為2的球面上，利用球體的體積公式可求得球。的體積；

(2)過點A在平面ZCR內(nèi)作。E_LNC,垂足為點E，推導(dǎo)出平面/8C,計算

出RE、BE的長，利用勾股定理可求得8。的長.

【小問1詳解】

解：設(shè)。為ZC的中點，在矩形ZBCO中，由于∕8=2√J,BC=2,

則AC=NAB?+BC2=4

翻折后，則有。4=08=OC=OZ)I=2,

所以，A、B、C、A在以點。為球心，半徑為2的球面上,

432

因此，球。的體積為一τtx23=—π.

33

【小問2詳解】

解：過點。在平面/CR內(nèi)作OfLZC,垂足為點E,

因為平面4CAJ■平面ZBC,平面48IC平面/8C=∕C,OlEU平面力CR,

所以，AE，平面/8C,

因為BEu平面ZBC,所以，DyELBE,

在RtaZC0∣中，因為ZR=2,CD.=2√3.則tanN∕CA=也=-==且,

CDi2√33

所以，ZACDl=30°,

因為Z>∣E?L4C,則。|E=；CZ)I=√J,CE=Cn?cos30°=2√iχ￥=3,

在ABCE中，因為/8ZC=ZACD]=30°,則NBCE=90°-ZBAC=60°，

又因為BC=2,CE=3,

由余弦定理可得BE1=BC2+CE2-2BC?CEcos60°=4+9-2X2X3X2=7,

2

22

所以§2-y∣BE+DiE=√7+3=√10.

21.如圖，平面8。，BCLCD,BElAC,垂足為E,BFLAD,垂足為F.

(1)求證：平面ZBC人平面ZCD

(2)求證：AE-AC^AF-AD

【正確答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】（I）結(jié)合題目條件可得Coj_/8,結(jié)合8C_LC?？傻肅z），平面/BC,即可證

明結(jié)論；（2）分別說明zA4E~ΔCAB,ΔBAF即可證明結(jié)論.

【小問1詳解】

因/61平面8C。，CZ）U平面8C。，則Cz）J.43.

又BCLCD,ABCBC=B,/8,BCU平面/BC,則CDJ?平面N8C.

又COU平面/8,則平面ZBCI平面48；

【小問2詳解】

因/8上平面BCD,BD,BCu平面BCD,則/8，8C,Z8，8。.

因BEJ_/C,NBAE=NCAB,NBEA=ZCBA=90"，

AflΔΓ

則加E~?CAB=>—=—=>AB2=AE?AC.

ACAB

因BFlAD,NBAF=ZDAB,ZBFA=ZDBA=90"，

則4胡R~ΔDAB=>——=—=>AB2=AF■AD.

ADAB

則NE?∕C=/CZO.

22.材料1.類比是獲取數(shù)學(xué)知識的重要思想之一，很多優(yōu)美的數(shù)學(xué)結(jié)論就是利用類比思想

獲得的.例如：若α>0,b>0,則巴吆之而，當(dāng)且僅當(dāng)α=b時，取等號，我們稱為

2

二元均值不等式.類比二元均值不等式得到三元均值不等式：a>0,b>0,。>0,則

a+b+c^^良，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，取等號.我們經(jīng)常用它們求相關(guān)代數(shù)式或幾何問

3

題的最值，某同學(xué)做下面幾何問題就是用三元均值不等式圓滿完成解答的.

題：將邊長為12Cm的正方形硬紙片（如圖1）的四個角裁去四個相同的小正方形后，折成

如圖2的無蓋長方體小紙盒，求紙盒容積的最大值.

Sl圖2

解：設(shè)截去的