從全等到相似類比探究-中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題練習(xí)（教師版）

專題33從全等到相似類比探究（解析版）

第一梆令黑例劇新

類型一從全等到相似——旋轉(zhuǎn)變換

典例11.（2021秋?槐蔭區(qū)期中）己知點(diǎn)E在AABC內(nèi)，NABC=NEBD=a,NACB=NEDB=60°,Z

AEB=I50°,ZBEC=90°.

（1）當(dāng)α=60°時(shí)（如圖1）,

①判斷AABC的形狀，并說明理由；

②求證：~BD=tan∕CEE）;

ΔP

（2）當(dāng)α=90°時(shí)（如圖2）,②的結(jié)論還成立嗎？若成立，說明理由；若不成立，求出工7的比值.

思路引領(lǐng)：（1）①由三角形ABC中有兩個(gè)60°而求得它為等邊三角形；

②由aEBO也是等邊三角形，連接。C,證得AABE注ACBD,在直角三角形中很容易證得結(jié)論；

（2）連接。C,證得設(shè)Bo=x,在RtAEBO中，DE=2x,由相似比即得到比值.

解：（1）①448C是等邊三角形，理由如下：

理由：?.?∕A8C=∕AC8=60°,

二/BAC=180°-ZABC-ZACB=60o=NABC=NACB,

...△ABC是等邊三角形，

②證明：同理AEBO也是等邊三角形，

如圖1,連接。C,

圖1

則AB=BC,BE=BD,ZABE=60o-NEBC=NCBD,

,△ABE烏XCBD(SAS),

：.AE=^CD,NAEB=NCZ)8=150°,

ΛZEDC=I50o-NBDE=90°,

rn?p

在Rt△￡?(7中，tanNCEO=炭=卷：

(2)結(jié)論不成立，理由如下：

如圖2,連接CQ,

VZABC=ZEBD=90°,ZACB=ZEDB=GOQ,

：.XABCsAEBD,

ABBCABBE

—=—,即—=--,

BEBDBCBD

又,.?ZABE=90°-ZEBC=ZCBD,

?XABES*CBD,

4EBE

ΛZΛEB=ZCDB=150°,—=—,

DCBD

ΛZEDC=150o-NBDE=90°,/CED=/BEC-NBED=90°-(90°?NBDE)=60°,

設(shè)BD=x,

在RlZXEBO中，DE=2χiBE=√3.r,CD=2√3x,

^AEBE

?DC~BD

?A匚∕3x×2√3xN

..AE=-------------=OX,

AE

-=6.

BD

總結(jié)提升：本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三

角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，證得AABEsACBD是解題的關(guān)鍵.

典例2(2022?泰山區(qū)一模)(1)如圖1,菱形AEC”的頂點(diǎn)E、”在菱形ABC。的邊上，且/540=60°,

請直接寫出4D：GC：EB的結(jié)果(不必寫計(jì)算過程)；

(2)將圖1中的菱形AEG”繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2,求HD：GC-.EB-,

(3)把圖2中的菱形都換成矩形，如圖3,且A。：AB=AH:A￡=1：3,此時(shí)"ZλGC：EB的結(jié)果與

(2)小題的結(jié)果相比有變化嗎？如果有變化，求出變化后的結(jié)果；若無變化，請說明理由.

思路引領(lǐng)：(1)連接AG,證得A、G、C共線，進(jìn)而得出結(jié)果；

(2)作DFHGH,DF=GH,連接CF,ZXAQH絲△ABE和AABE絲△OCR進(jìn)一步得出結(jié)果;

(3)作團(tuán)。HGF,連接CF,證明4AO∕∕s∕viBE和AABEgZsOCF,進(jìn)一步得出結(jié)果.

解：如圖1,

四邊形AEGH和ABCD是菱形,

11

o

ΛZAGH=^?EGH=30°,ZACD=^?BCD=30,AD=ABfAH=AE1

：.ZAGH=ZDCG,DH=BE,

???A、G、C共線，

?：GH〃CD,

wDHAH1

ΛCG二茄=后

：.HD：GC：EB=I:√3:1；

o

由(1)可得：AE=AH,ZHAE=ZDAB=60,AB=ADf

：.ZHAE-NHAB=NDAB-NHAB,

：?NEAB=/DAB,

：.∕?ADH^∕?ABE(SAS),

：.DH=EB,

同理可得：ΛABE^ΛDCFf

：.CF=BE=DH=FG,

u：ADFC=AAHD,ZDFG=ZDHG,

：.ZCFG=ZAHG=MOo,

??.NFCG=NFGC=30°,

/.FG：CG=1：√3,

：.HD：GC：EB=L√3:1；

圖3

HD：GC：EB=L√3:1,比值由變化，理由如下:

作團(tuán)O"GF,連接C凡

由（2）得，ZDAH=ZBAE,

..AHAD1

"AE~AB~3

：.XADHSXABE,

?----I

"BE~AE~3,

同理（2）可得：XABaXDCF,NCFG=∕AHG=90°,

.?.CG=√FG2+CF2=VlOFG=同DH,

：.HD：GC：￡B=1：√Tθ:3：

總結(jié)提升：本題考查了菱形和矩形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，

解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形和全等三角形.

典例3（2022?湘潭縣校級模擬）如圖1,Z?4BC中，ZABC=45o,AaJ_BC于點(diǎn)”，點(diǎn)。在A”上，且

DH=CH,連結(jié)BD

（1）求證：BD=AC↑

（2）將ABHD繞點(diǎn)H旋轉(zhuǎn),得到△￡：“尸（點(diǎn)8,。分別與點(diǎn)E,尸對應(yīng)），連接AE.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)（F不與C重合），若CF=I,tanC=3,求AE的長；

②如圖3,當(dāng)AEHF是由aBHD繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到時(shí)，設(shè)射線CF與AE相交于點(diǎn)G,連接

GH,試探究線段GH與E尸之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

思路引領(lǐng)：（1）先判斷出A∕∕=2H,再判斷出aBHD絲Z?AHC即可；

（2）①先根據(jù)tanC=3,求出Aa=3CH,然后根據(jù)aE∕Msι?"∕c,得到，AE=3CF,可得結(jié)論；

②方法1、先判斷出AAGQsacHQ,得到整=盥，然后判斷出4AQCs∕?GQH,用相似比即可.

GQHQ

1

方法2、取EF的中點(diǎn)K,連接GK,HK,先證明GK=HK=*EF,再證明AGKH是等邊三角形即可.

(1)證明：在RtZ?A"8中，ZABC=45o,

：.AH=BHf

在43∕∕O和AAHC中，

AH=BH

乙BHD=Z.AHC=90°,

DH=CH

.'.ΛBHD^∕?AHC(SAS),

：?BD=AC,

(2)解：①如圖，

在RtC中，

VtanC=3,

AH

.?.—=3,

CH

VZAHC=ZEHF=WO,

???ZAHE=ZCHFf

*：HA=HEfHC=HF,

IXEHAsRFHC,

AEAH

?,?_——_JQ9

CFCH

VCF=L

：.AE=3；

②結(jié)論：EF=2HG.

方法1、如圖1,

???△七”尸是由繞點(diǎn)”逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到,

：.HD=HF9NAHF=30°

：.ZCHF=90o+30°=120°,

由①有，ZXAE〃和a∕τ∕c都為等腰三角形，

：.ZGAH=ZHCG=30o，

/.CG-LAE9

???點(diǎn)C,H,G,A四點(diǎn)共圓，

：.ACGH=ACAH,

設(shè)CG與A”交于點(diǎn)Q,

???ZAQC=ZGQH9

AAQCSXGQH,

λACAQ]_

??HG_GQ_Sin30。-'

??.△EH/是由48"Q繞點(diǎn)”逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到,

：.EF=BDf

由（1）知，BD=AC,

：.EF=AC

9EFACAQ]_

??HG-GH-GQ-sin30o-,

即：EF=2HG.

方法2、如圖③，取取的中點(diǎn)K,連接GK,HK,

由旋轉(zhuǎn)知，NEHF=90°,

1

：.EK=HK=.EF,

由旋轉(zhuǎn)知，NCGE=NAGC=90°,

1

：?EK=GK=/尸,

：.HK=GK.

λ:EK=HK,

：?/FKG=2/AEF,

YEK=GK,

：./HKF=2/HEF,

由旋轉(zhuǎn)知,ZAHF=30°,

ZAHE=UOo,

由（1）知，BH=AHt

?：BH=EH,

：.AH=EH,

：.ZAEH=30°,

.,.NHKG=NFKG+NHKF=2NAEF+2NHEF=2NAEH=60°,

.?.△HKG是等邊三角形，

GH=GK,

：.EF=IGK=IGH,

即：EF=2GH.

A

總結(jié)提升：此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的

性質(zhì)和判定，勾股定理，銳角三角函數(shù)的意義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是相似三角形

性質(zhì)和判定的運(yùn)用.

典例4（2022?杭州模擬）已知，在等腰直角4A8C中，AB=AC,NBAC=90°,點(diǎn)。為直線BC上的一動(dòng)

點(diǎn)（點(diǎn)力不與點(diǎn)8、C重合），連接A。，以AO為邊向右作等腰直角AAOE,AD=AE,連接CE.

（1）填空：當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上如圖（一），可通過證明①△,得到Bo=,進(jìn)而

判斷②CE,CD,BC三條線段的數(shù)量關(guān)系為

(2)當(dāng)點(diǎn)。在線段BC的延長線上且其他條件不變?nèi)鐖D(二)，(1)中CE,CD,BC三條線段的數(shù)量關(guān)

系是否仍然成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請寫出你的結(jié)論，并證明.

(3)當(dāng)點(diǎn)O在線段CB的延長線上且其他條件不變，請你構(gòu)造出圖形，并寫出CE,CD,BC三條線段

的數(shù)量關(guān)系.

思路引領(lǐng)：(1)①證AABO四CE(SAS),得BD=CE;②由①可知，BD=CE,再由BC=BD+CD,

即可得出結(jié)論；

(2)證aABO絲Z^ACE(SAS),得BD=CE,再由BD=BC+CO,即可得出結(jié)論；

(3)證AABO絲ZsACE(SAS),得BD=CE,再由Cn=BC+8。，即可得出結(jié)論，

解：(I)①?.?∕8AC=NO4E=9(Γ,

：.ABAD=ACAE,

在AABD和aACE中，

AB=AC

匕BAD=?CAE,

AD=AE

Λ?ABD^?ΛCE(SAS),

：,BD=CEt

故答案為：ABDiACEfCE；

②?：BD=CE,

：.BC=BD+CD=CE+CD,

故答案為：BC=CE+CD;

(2)不成立，存在的數(shù)量關(guān)系為CE=BC+CQ,證明如下:

ZBAC=ZDAE=90o,

.?ZBAD=ZCAE1

在AABO和aACE中，

AB=4C

?BAD=?CAE?

√1D=AE

：.∕?ABD^ΛACE(SAS),

：.BD=CE9

TBD=BC+CD,

：.CE=BC+CD；

(3)當(dāng)點(diǎn)。在邊CB的延長線上時(shí)，如圖(三)所示：

CE,CD,BC三條線段的數(shù)量關(guān)系為：CD=BC+CE,理由如下:

VZBAC=ZDΛE=90o,

：.ADAE-ZBAE=ZBAC-NBAE,

即N3AD=NCAE

在AABO和4ACE中，

AB=AC

Z-BAD=Z.CAE，

AD=AE

：.?ABZ)^?ΛCE(SAS),

：,BD=CE,

：.CD=BC+BD=BC+CE.

總結(jié)提升：本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識,

本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

類型二從全等到相似——變式探究

典例5(2022?坪山區(qū)一模)已知四邊形ABCo中，E、F分別是48、AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G.

問題發(fā)現(xiàn)：

(1)①如圖1,若四邊形ABCO是正方形，且QELCF于G,則絲=；

CF-----

_DE

②如圖2,當(dāng)四邊形ABC。是矩形時(shí)，且。LCF于G,AB=mAO=〃，則一=；

fCF----

拓展研究：

DEAD

(2)如圖3,若四邊形ABCQ是平行四邊形，且N8+NEGC=180°時(shí)，求證：一=—；

CFCD

解決問題：

DE

(3)如圖4,若8A=8C=5,D4=DC=10,/540=90°,DEVCF^G,請直接寫出了的值.

思路引領(lǐng)：(I)①由,iASA"可證4AOEgZXOCR可得。E=CG可求解:

_DEADn

②通過證明AAEQs△。尸g可得了=-=-；

DEAD

⑵通過證明AADES△/≡,可得加=而，可得結(jié)論;

1

(3)設(shè)CN=x,?BAD^^BCD,推出NBCO=/4=90°，證48CMS∕?OCN,求出CM=k，在Rt

]

ACMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2,代入得出方程，(x-5)2+(-χ)2=52,求出CN=8,

證出^AEf)sZ?NPC,即可得出答案.

(1)解：①：四邊形ABCD是正方形,

.?AD=CD,ZBAD=ZADC=9Qa,

；DELCF,

/.ZDGF=90o=NAOC,

ZADE+ZEDC=90o=NEDe+NDCF,

,

..ZADE=ZDCFf

Λ?ADE^?DCF(ASA)9

：.DE=CF,

DE

，—=1,

CF

故答案為：1；

②解：?.?四邊形ABC。是矩形，

o

ΛZA=ZFDC=90，AB=CD=mf

VCFlDE,

,NOG尸=90°,

.?.NADE+NCFD=90°,ZADE+ZAED=90o,

：.NCFD=NAED,

?：NA=NCo尸，

：?XAEDSXDFC,

.DEADn

CF~CD~m

n

故答案為：一；

m

(2)證明：如圖所示，NB+/EGC=I80°,ZEGC+ZEGF=180°,

.?ZB=ZEGF9

在AO的延長線上取點(diǎn)M,使CM=CR則NCM產(chǎn)=NCFM,

圖3

?：AB//CD,

：.ZA=ZCDMf

YAD//BC,

.β.ZB+ZA=180°,

?：/B=NEGF,

ΛZEGF+ZA=180°，

"

..ZAED=ZCFM=ZCMFf

.DEAD

*CM~DC

DEAD

即一=

CFDC

(3)解：過C作。V_LA。于N,CM_LA8交AA延長線于M,連接8。，'設(shè)CN=x,

o

VZZJAD=90,BPABlADf

ΛZA=ZM=ZCNA=90o,

???四邊形AMCN是矩形，

,AM=CN,AN=CM,

在aZMO和aBCQ中，

AD=CD

AB=BC,

BD=BD

Λ?BAD^ΔBCD(SSS),

工NBCQ=NA=90°,

ΛZΛBC+ZADC=180°,

VZΛBC+ZCβM=180o,

ZMBC=ZADC,

Y/CND=/M=90°,

:?叢BCMSxDCN,

.CMBC

??''-—-,,

CNCD

,CM5

??二,

X10

?,CA/=［工，

在RtZ?GW8中，CM=?r,BM=AM-AB=X-5,由勾股定理得：BM2+CM2=BC2,

(x-5)2+(-χ)2=52,

2

解得：Xl=O(舍去)，Λ2=8,

.?.CN=8,

VZA=ZFGD=90o,

.?.∕4EQ+N4FG=I80°,

?.?∕4FG+/NFC=I80°,

NAED=NCFN,

ZA=NCNF=90°,

Λ?AED<×>?7√FC,

.DEAD105

``CF~CN~8-4'

總結(jié)提升：本題是相似形綜合題，考查了矩形性質(zhì)和判定，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等

三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決

問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題.

典例6(2022秋?連山區(qū)校級月考)如圖，Z?OAB和AOCO中，04=0B,OC=OO,∕AOB=NCOO=90°,

AC、BD交于點(diǎn)、M.

(1)如圖1,求證：AC與8。的數(shù)量與位置關(guān)系并說明理由；

(2)連接M。，求證：MO平分N8MC；

(3)如圖2,NAOB=NCOO=60°時(shí)，直接寫出的度數(shù).

思路引領(lǐng)：(1)證明AAOC四4BOQ(SAS).由全等三角形的性質(zhì)可得出答案；

(2)過點(diǎn)。作。GL8。，0”，Ae于點(diǎn)G,H,??iSΔAOC=SΛBOD,AC=BD,證明點(diǎn)。在/BMC的

平分線上，進(jìn)而可以解決問題；

(3)結(jié)合(1)得出NoAC=NOBD由三角形外角定義可得出答案.

(I)證明：AC=BD9AC-LBDf

理由：VZAOB=ZCODf

：.ZAOB+ZAOD=ZCOD+ZAOD,

：.ZAOC=ZBOD.

在aAOC和aBOD中，

(0A=OB

??A0C=乙BOD,

(OC=OD

：.ΛAOC^ΛBOD(SAS).

：.AC=BDx

Y?AOC^ΛBOD,

：?NOAC=NOBD,

?.?N0AC+NAME+NAEM=180°,ZOBD+ZOEB+ZBOE=180°,

,NAME=1800-ZOAC-ZAEM,ZBOE=180o-NOBD-NOEB,

,.?/AEM=NOEB,

：.ZAME=ZBOE=90o.

ΛAC±BD;

(2)證明：如圖，過點(diǎn)。作OGJ_8O,OH_LAC于點(diǎn)G,H,

.*.S?A0C=S?β0D,AC=BD.

11

???-×AC*OG=?xBD?OH,

22

：.OG=OHf

???點(diǎn)。在NBMC的平分線上,

JMO平分N5MG

(3)解：由(1)知：∕?AOC^?BODf

.'.NOAC=NOBD,

AOB=NCoQ=60°,

.?.NAMO=∕A8M+NB4W=∕A8M+N840+∕0AC=NA80+/ZMo=60°+60°=120°.

總結(jié)提升：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題.

類型三從全等到相似一一從特殊到一般

典例7(2019春?方城縣期中)問題：如圖1,在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，連接AE,點(diǎn)

F是線段AE上一點(diǎn)，連接B尸并延長，交射線CO于點(diǎn)G.若A尸：EF=4：1,求g的值.

(1)嘗試探究：

如圖1,過點(diǎn)E作EH//AB交BG于點(diǎn)、H,則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是.CG和EH的數(shù)量關(guān)系是，因此

CD_

CG~------->

(2)類比延伸：

在原題的條件下，若把“AF：EF=4：1”改為“AF：EF=n-.l),(n>0),求絲的值.(用含有n的式

CG

子表示)

(3)拓展遷移：

如圖2,在四邊形ABC。中，C￡>〃A8,點(diǎn)E是BC的延長線上的一點(diǎn)，AE與8。相交于點(diǎn)E若AB：

CD=at1(a>0),BC-BE=bz1(fc>0),則——=.(直接用含有a、6的式子表示，不寫解答過

EF----

程)

Ap

思路引領(lǐng)：(1)本問體現(xiàn)“特殊”的情形，二=4是一個(gè)確定的數(shù)值.如答圖1,過E點(diǎn)作平行線，構(gòu)

造相似三角形，利用相似三角形和中位線的性質(zhì)，分別將各相關(guān)線段均統(tǒng)一用EH來表示，最后求得比

值；

?p

（2）本問體現(xiàn)“一般”的情形，==〃不再是一個(gè)確定的數(shù)值，但（1）問中的解題方法依然適用，如

EF

答圖2所示.

⑶本問體現(xiàn)“類比”與“轉(zhuǎn)化”的情形，將（1）⑵問中的解題方法推廣轉(zhuǎn)化到梯形中，如答圖3

所示.

解：（1）依題意，過點(diǎn)E作E”〃48交BG于點(diǎn)”，如右圖1所示.

圖1

^?ABF^∕?EHF,

ABAF

=—=4,

EHEF

.u.AB=4EH.

VβABCD.EH//AB1

:?EH∕∕CD,

又TE為BC中點(diǎn),

JEH為ABCG的中位線,

CDABr

：.CG=IEH._________y

CG~CG~'

故答案為：2.

(2)如右圖2所示，作￡77〃48交BG于點(diǎn)“，則△￡>"/S∕?4FB.

.ABAF

—=—=n,

EFEF

.?AB=nEH.

VAB=CD,

:?CD=nEH.

ΛJEH//AB//CD.

：,ABEHs叢BCG.

CGBC

—=—=2,

EHBE

：.CG=IEH.

CDnEHn

CG~2EH~2

(3)如右圖3所示，過點(diǎn)E作E//〃A3交〃。的延長線于點(diǎn)“，則有CO.

uJEH//CD,

：./\BCDs4BEH,

.CDBC

：?—=—=b,

EHBE

J.CD=hEH,

^AB

又二7=d'

CD

J.ΛB=aCD=cιbEH.

YEH〃AB,

Λ?ΛBF<×>?E∕7F,

.AFABabEH

.,.—=—=-----=ab,

EFEHEH

故答案為：

圖2

總結(jié)提升：本題的設(shè)計(jì)獨(dú)具匠心：由平行四邊形中的一個(gè)特殊的例子出發(fā)（第1問），推廣到平行四邊形

中的一般情形（第2問），最后再通過類比、轉(zhuǎn)化到梯形中去（第3問）.各種圖形雖然形式不一，但運(yùn)

用的解題思想與解題方法卻是一以貫之：即通過構(gòu)造相似三角形，得到線段之間的比例關(guān)系，這個(gè)比例

關(guān)系均統(tǒng)一用同一條線段來表達(dá)，這樣就可以方便地求出線段的比值.本題體現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)的類比、轉(zhuǎn)

化、從特殊到一般等思想方法，有利于學(xué)生觸類旁通、舉一反三.

第二部分專題提優(yōu)訓(xùn)練

1.(2022春?金牛區(qū)校級月考)在銳角AABC中，AB=4,BC=5,NACB=45°,將AABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)

針方向旋轉(zhuǎn)，得到AAiBCi.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)Cl在線段CA的延長線上時(shí)，求NCCMl的度數(shù)；

(2)如圖2.連接Λ4ι,CCl若A4=4遮，求CCl的長：

(3)如圖3,點(diǎn)E為線段A8中點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在aABC繞點(diǎn)8按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程

中，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)Pl求線段EPx長度的最大值與最小值.

圖1圖2圖3

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答；

ABAA1

(2)通過證明4AB4sz?c8Cι,可得——=——1,進(jìn)而解決問題；

BCCC1

(3)過點(diǎn)B作BOLAC,。為垂足，因?yàn)閍ABC為銳角三角形，所以點(diǎn)。在線段AC上，在RtZXBCO

中，BD=專BC=零,然后進(jìn)行討論，求得線段EP長度的最大值與最小值.

解：(I)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ZAιCιB=ZACB=45o,BC=BCi,

ΛZCCiB=ZCιCB=45o,

ΛZCCιΛι=ZCCιθ+ZΛιCιB=45o+45°=90°.

(2)V?ABC^?AιBCι,

：.BA=BA\,BC=BCi,ZABC=ZAIBCI,

.AB__I

??BC一CCJ

???ZABC+ZABC?=ZΛιBCι+ZΛBCι,

.?NABAl=NCBCI,

?ABAι^?CBCι,

βABAA1

,

??BC一CC1

.5x4。＜rx

..CCi=-4—=5√3;

(3)如圖，過點(diǎn)8作8￡>_L4C,。為垂足,

圖1

：AABC為銳角三角形,

點(diǎn)Z)在線段AC上，

在RtZXBCQ中，BD=導(dǎo)BC=呼,

①當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至BP_LAC時(shí)，Z?A8C繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)Pi在線段A8上時(shí)?EP\最小，

C/?

最小值為：EPi=BPLBE=BD-BE=?-2：

②當(dāng)。在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C,Z?A8C繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)Pl在線段AB的延長線上時(shí)，EPl最

大，最大值為：EPI=BC+BE=2+5=7.

綜上所述：線段EPI長度的最大值為7,線段Ep長度的最小值為停-2.

總結(jié)提升：本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似

三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

2.(2022秋?清鎮(zhèn)市月考)如圖1,矩形ABCQ與矩形CEFG全等，點(diǎn)B,C,E和點(diǎn)C,D,G分別在同一

直線上，且AB=CE=2,BC=EF=4,連接AC,CF.

(2)如圖2,將圖1中的矩形CEFG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CG平分NACF時(shí)，求點(diǎn)G到AC的距離;

(3)如圖3,將圖1中的矩形CEPG繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接ARDE,兩線相交于點(diǎn)求證:

點(diǎn)例是AF的中點(diǎn).

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)矩形ABCD與矩形CEFG全等，可得矩形CEFG是由矩形ABCD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到的，所以NACF=90°.然后根據(jù)勾股定理即可解決問題；

⑵過點(diǎn)G作GHVCF,GQLAC于點(diǎn)H,Q,根據(jù)CG平分/ACF,可得GH=GQ,然后由SACGF=效矩

彩CEFG=4,進(jìn)而可以解決問題；

(3)延長CM交AO延長線于點(diǎn)H,設(shè)DE與CF交于點(diǎn)。，根據(jù)矩形的性質(zhì)證明AD^FQ,然后證明

△4?！魇琌M(AAS),可得AM=FM.進(jìn)而可以解決問題.

解：(1):矩形ABCQ與矩形CEFG全等，

二矩形CEFG是由矩形ABCD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，

NAC尸=90°.

"：AB=CE=2,BC=EF=4,

.,.AC=CF=>JAB2+BC2=2√5,

：.AF=√2AC=2√Tθ;

故答案為：2√IU;

(2)解：如圖2,過點(diǎn)G作GH_LCF,GQ_LAC于點(diǎn)H,Q,

YCG平分/ACR

JGH=GQ,

圖2

■：S&CGF=∣S?)fjCEIG=?∣x2X4=4,

1

xCF?GH=4,

2

1L

Λ-×2√5xGH=4,

2

?CH-4底

??0/7—-,

.”4√5

??CQ=-?-,

???點(diǎn)G到4C的距離為《一；

(3)證明：如圖，延長CM交4。延長線于點(diǎn)H,設(shè)。E與。尸交于點(diǎn)Q,

圖3

由旋轉(zhuǎn)可知：CD=CE1

：.ACDE=ΛCED,

TNCDH=NCEF=90°,

.'.ZQDH=90o-ZCDE,NFEQ=90°-ZCED,

：.AQDH=ΛFEQ.

?：AD〃BC,

：.ZQDH=ZDQC,

?：ZDQC=NFQE,

：.ZFEQ=ZFQE9

：.FE=FQ,

?；AD=FE,

：.AD=FQ,

*：AD//BCf

：.ADAM=ΛQFM,

在AAOM和△尸QM中，

?DAM=LQFM

乙AMD=?FMQf

AD=FQ

：.∕?ADM^∕?FQM(AAS),

,AM=FM.

???點(diǎn)例是4尸的中點(diǎn).

總結(jié)提升：本題是四邊形綜合題，綜合性強(qiáng)，屬于運(yùn)動(dòng)開放性題目，考查了矩形性質(zhì)、直角三角形的性

質(zhì)及勾股定理、旋轉(zhuǎn)等多個(gè)知識點(diǎn)，關(guān)鍵是根據(jù)題目的結(jié)論去分析所需要的條件，從而根據(jù)圖形特點(diǎn)及

題目條件進(jìn)行求解.

3.（錦江區(qū)模擬）已知：在aABC中，NDBC=NACB,BC=2AC,BD=BC,Cz）交線段AB于點(diǎn)E.

（1）如圖1,當(dāng)∕ACB=90°時(shí)，求證：DE=ICEi

(2)當(dāng)NACB=I20°時(shí),

①如圖2,猜想線段OE、CE之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想;

②如圖3,點(diǎn)F是BC邊的中點(diǎn)，連接DF,DF與AB交于G,求二7的

思路引領(lǐng)：（1）如圖1,易證△。砂SaCEA,然后只需運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題;

（2）①過點(diǎn)B作BHjLOC于”，如圖2.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得Nr>=∕88=30°,DH=CH,

從而可得BH=AC,NBHE=NACE,進(jìn)而可得aB"EgZ?ACE,則有HE=CE,即可證到OE=3EC；

②延長QF到點(diǎn)N,使得FN=QF,連接NB、NC,如圖3,易證四邊形QCNB是平行四邊形，從而可得

DE3EC3DGDE3

DC〃BN,DC=BN,即可得到^QGES^NG3,—=——=從而可得——=—=設(shè)DG=3k,

BN4EC4NGNB4

17%kDG

則有NG=4LDN=□k,DF="N=g,GF=。就可得到一的值.

222GF

解：(1)如圖1,

VZACB=90Q,ZDBC=ZACB,

.?ZDBC=90o,

：.ZDBC+ZACB=ISOo,

.?DB∕∕AC,

：?∕?DEBsXCEA,

.DEDB

?'EC-CA

YBD=BC=2AC,

：?DE=2EC↑

(2)猜想：DE=3CE.

證明：過點(diǎn)8作于H,如圖2.

又TBD=BC,ZDBC=ZACB=120°,

：.ZD=ZBCD=30Q,DH=CH,

LDB=2BH,NACE=90°,

：.BH=AC,/BHE=NACE.

在aBHE和aACE中，

ZBHE=4ACE

Z.BEH=LAEC,

BH=AC

:ABHEq∕?ACE,

：.HE=CE9

：.DH=HC=2EC,

：.DE=DH+HE=2EC+EC=3EC；

(3)延長。"到點(diǎn)M使得尸N=DF,連接N8、NC,如圖3,

:BF=CF,FN=DF,

??四邊形DCNB是平行四邊形,

?DC/∕BNfDC=BN9

DE3EC3

??△DGES/XNGB,

BN-4EC-4’

.DGDE3

,NG~NB~4

設(shè)OG=3A,則有NG=4A,DN=Ik,

17”

MDF=*N=片,

7"k

??GF=DF-DG=?Tk=全

DG3k

—GF=~i￡7~=6?

2

D、

G

總結(jié)提升：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與

性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、30。角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，倍長中

線構(gòu)造平行四邊形是解決（2）②小題的關(guān)鍵.

4.（岳陽中考）已知在RtZ?ABC中，ZBAC=90o,CO為NACB的平分線，將NACB沿CZ）所在的直線

對折，使點(diǎn)8落在點(diǎn)8'處，連接Ab,BB',延長CD交跖，于點(diǎn)E,設(shè)NA8C=2α（0°<a<45o）.

（1）如圖1,若AB=AC,求證：CD=2BE;

（2）如圖2,若ABWAC,試求CO與BE的數(shù)量關(guān)系（用含a的式子表示）；

（3）如圖3,將（2）中的線段BC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（α+45°）,得到線段尸C,連接E尸交BC于點(diǎn)

0,設(shè)aCOE的面積為Si,ZXCO尸的面積為52,求；?（用含α的式子表示）.

思路引領(lǐng)：（1）由翻折可知：BE=EB',再利用全等三角形的性質(zhì)證明CQ=B8'即可;

BBfAB1

⑵如圖2中'結(jié)論：CD=2?BE^a.只要證明△始B'SACQ可得下=就=W推出

2BE1

可得CD=2?8E?tan2a;

CDtan2a

EOBEBE

(3)首先證明NEb=90°,由∕BEC+NECF=180°,推出83'〃CF,推出——=——=Sin(45°