線性方程組4(新生)

線性方程組4(新生)2023REPORTING線性方程組基本概念高斯消元法求解線性方程組克拉默法則求解線性方程組矩陣方法求解線性方程組數(shù)值計(jì)算方法求解線性方程組總結(jié)回顧與拓展延伸目錄CATALOGUE2023PART01線性方程組基本概念2023REPORTING只含有一階導(dǎo)數(shù)的常微分方程，形如y'+P(x)y=Q(x)。線性方程定義當(dāng)Q(x)=0時(shí)，稱為齊次線性方程；當(dāng)Q(x)≠0時(shí)，稱為非齊次線性方程。齊次與非齊次方程若y1,y2分別是線性方程的解，則它們的線性組合c1y1+c2y2（c1,c2為任意常數(shù)）也是該方程的解。疊加原理線性方程定義與性質(zhì)

線性方程組表示方法一般形式Ax=b，其中A為系數(shù)矩陣，x為未知數(shù)列向量，b為常數(shù)列向量。增廣矩陣將系數(shù)矩陣A與常數(shù)列向量b合并為一個(gè)矩陣，即增廣矩陣[A|b]。初等變換對(duì)增廣矩陣進(jìn)行三種基本行變換（交換兩行、以非零數(shù)乘某一行、將某一行加到另一行上），不改變方程組的解。唯一性定理當(dāng)系數(shù)矩陣A的行列式|A|≠0時(shí)，線性方程組有唯一解；當(dāng)|A|=0時(shí)，方程組可能無(wú)解、有唯一解或有無(wú)窮多解。存在性定理當(dāng)系數(shù)矩陣A的秩等于增廣矩陣[A|b]的秩時(shí)，線性方程組有解。無(wú)窮多解情況當(dāng)系數(shù)矩陣A的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解。此時(shí)，可以通過(guò)選取自由變量并求解基礎(chǔ)解系來(lái)表示通解。解的存在性與唯一性定理PART02高斯消元法求解線性方程組2023REPORTING通過(guò)行最簡(jiǎn)形矩陣回代求解未知數(shù)。將行階梯形矩陣?yán)^續(xù)通過(guò)初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣；將增廣矩陣通過(guò)初等行變換化為行階梯形矩陣；原理：高斯消元法是一種直接法，通過(guò)對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，將其化為行階梯形矩陣，然后回代求解未知數(shù)。步驟高斯消元法原理及步驟舉例：解線性方程組$$left{begin{array}{l}舉例分析高斯消元法應(yīng)用2x+y-z=1x-y+2z=43x+2y-3z=1舉例分析高斯消元法應(yīng)用end{array}right.$$應(yīng)用高斯消元法求解舉例分析高斯消元法應(yīng)用將增廣矩陣通過(guò)初等行變換化為行階梯形矩陣；將行階梯形矩陣?yán)^續(xù)通過(guò)初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣；通過(guò)行最簡(jiǎn)形矩陣回代求解未知數(shù)，得到方程組的解為舉例分析高斯消元法應(yīng)用$$left{begin{array}{l}x=frac{11}{7}舉例分析高斯消元法應(yīng)用y=frac{1}{7}z=frac{8}{7}end{array}right.$$01020304舉例分析高斯消元法應(yīng)用局限性當(dāng)系數(shù)矩陣的行列式為零時(shí)，高斯消元法可能失效，無(wú)法求出唯一解。此外，對(duì)于大型稀疏線性方程組，高斯消元法的計(jì)算量和存儲(chǔ)量較大。針對(duì)高斯消元法的局限性，可以采取以下改進(jìn)措施在消元過(guò)程中，選擇絕對(duì)值最大的元素作為主元，以避免出現(xiàn)小主元導(dǎo)致的誤差放大問(wèn)題；僅對(duì)部分列進(jìn)行選主元操作，以減小計(jì)算量；對(duì)于大型稀疏線性方程組，可以采用迭代法進(jìn)行求解，如雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法等。改進(jìn)措施部分選主元策略迭代法選主元策略高斯消元法局限性及改進(jìn)措施PART03克拉默法則求解線性方程組2023REPORTING對(duì)于n元線性方程組，如果系數(shù)行列式D不等于0，則方程組有唯一解，且解可以通過(guò)系數(shù)行列式與常數(shù)項(xiàng)行列式的比值求得。克拉默法則原理通過(guò)拉普拉斯定理和數(shù)學(xué)歸納法可以證明克拉默法則的正確性，并得到解的具體表達(dá)式。公式推導(dǎo)克拉默法則原理及公式推導(dǎo)二元一次方程組，通過(guò)克拉默法則求解，可以得到方程組的唯一解。三元一次方程組，同樣可以應(yīng)用克拉默法則進(jìn)行求解，得到方程組的唯一解。舉例分析克拉默法則應(yīng)用舉例2舉例1適用范圍克拉默法則適用于系數(shù)行列式D不等于0的n元線性方程組。注意事項(xiàng)在應(yīng)用克拉默法則時(shí)，需要注意計(jì)算行列式的正確性，以及避免分母為0的情況。同時(shí)，對(duì)于大型方程組，克拉默法則的計(jì)算量較大，可能不是最優(yōu)的求解方法。克拉默法則適用范圍及注意事項(xiàng)PART04矩陣方法求解線性方程組2023REPORTING矩陣定義由$mtimesn$個(gè)數(shù)排成的$m$行$n$列的數(shù)表稱為$m$行$n$列的矩陣，簡(jiǎn)稱$mtimesn$矩陣。矩陣的加法兩個(gè)矩陣的加法是對(duì)應(yīng)元素相加。數(shù)與矩陣相乘用數(shù)$k$乘以矩陣A，就是將A中的每一個(gè)元素都乘以$k$。矩陣的乘法設(shè)A是一個(gè)$mtimess$矩陣，B是一個(gè)$stimesn$矩陣，那么矩陣C是一個(gè)$mtimesn$矩陣，其中C的第$i$行第$j$列元素是A的第$i$行元素與B的第$j$列對(duì)應(yīng)元素乘積之和。01020304矩陣基本概念及運(yùn)算規(guī)則010204利用矩陣方法求解線性方程組步驟1.將線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)按照它們?cè)诜匠探M中的位置構(gòu)成一個(gè)增廣矩陣。2.對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，化為行階梯形矩陣。3.繼續(xù)對(duì)行階梯形矩陣進(jìn)行初等行變換，化為行最簡(jiǎn)形矩陣。4.根據(jù)行最簡(jiǎn)形矩陣寫出方程組的解。0303begin{array}{l}01【例】解線性方程組02$$left{舉例分析矩陣方法應(yīng)用1232x_1-x_2+x_3=1,x_1+x_2-2x_3=2,x_1-x_2+x_3=3.舉例分析矩陣方法應(yīng)用01end{array}02right.$$03【解】首先，將方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)按照它們?cè)诜匠探M中的位置構(gòu)成一個(gè)增廣矩陣舉例分析矩陣方法應(yīng)用$$left(begin{array}{ccc|c}2&-1&1&1舉例分析矩陣方法應(yīng)用1&-1&1&3end{array}1&1&-2&2舉例分析矩陣方法應(yīng)用right)$$然后，對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，化為行階梯形矩陣舉例分析矩陣方法應(yīng)用$$left(begin{array}{ccc|c}1&1&-2&2舉例分析矩陣方法應(yīng)用0&-2&3&-3\舉例分析矩陣方法應(yīng)用0&0&0&0end{array}right)$$舉例分析矩陣方法應(yīng)用繼續(xù)對(duì)行階梯形矩陣進(jìn)行初等行變換，化為行最簡(jiǎn)形矩陣舉例分析矩陣方法應(yīng)用舉例分析矩陣方法應(yīng)用010203begin{array}{ccc|c}1&0&frac{1}{2}&frac{1}{2}$$left(0&1&-\frac{3}{2}&\frac{3}{2}\舉例分析矩陣方法應(yīng)用0&0&0&0right)$$end{array}舉例分析矩陣方法應(yīng)用最后，根據(jù)行最簡(jiǎn)形矩陣寫出方程組的解舉例分析矩陣方法應(yīng)用舉例分析矩陣方法應(yīng)用01$$left{02begin{array}{l}x_1=frac{1}{2},03x_2=frac{3}{2},x_3=tquad(tinmathbb{R}).舉例分析矩陣方法應(yīng)用end{array}right.$$舉例分析矩陣方法應(yīng)用PART05數(shù)值計(jì)算方法求解線性方程組2023REPORTING通過(guò)構(gòu)造一個(gè)無(wú)限序列來(lái)逼近線性方程組的解，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的重復(fù)求解。迭代法原理判斷迭代法是否收斂，通常采用殘差向量范數(shù)或誤差向量范數(shù)來(lái)判斷。當(dāng)殘差向量范數(shù)或誤差向量范數(shù)隨著迭代次數(shù)的增加而逐漸減小時(shí)，認(rèn)為迭代法收斂。收斂性判斷迭代法原理及收斂性判斷在迭代過(guò)程中，利用系數(shù)矩陣的元素構(gòu)造迭代格式，每次迭代都需要計(jì)算一次矩陣與向量的乘法，內(nèi)存開銷較大。在雅可比迭代法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，每次迭代時(shí)利用已經(jīng)計(jì)算出的新值進(jìn)行替換，從而減少了計(jì)算量，提高了收斂速度。雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法都是求解線性方程組的經(jīng)典方法，具有簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)。但在實(shí)際應(yīng)用中，由于系數(shù)矩陣的性質(zhì)和方程組規(guī)模的不同，兩種方法的收斂速度和穩(wěn)定性也會(huì)有所不同。通常情況下，高斯-賽德爾迭代法的收斂速度要快于雅可比迭代法。雅可比迭代法高斯-賽德爾迭代法比較雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法比較0102舉例分析數(shù)值計(jì)算方法應(yīng)用$$left{begin{array}{l}舉例：考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的二元一次線性方程組0102032x+y=4x-y=1end{array}right.$$舉例分析數(shù)值計(jì)算方法應(yīng)用舉例分析數(shù)值計(jì)算方法應(yīng)用采用雅可比迭代法進(jìn)行求解，首先構(gòu)造迭代格式$$left{begin{array}{l}x^{k+1}=frac{1}{2}(4-y^k)y^{k+1}=x^k-1\\end{array}\right.$$給定初始值$x^0=0,y^0=0$，經(jīng)過(guò)多次迭代后，可以得到方程組的近似解。分析：通過(guò)舉例可以看出，數(shù)值計(jì)算方法在求解線性方程組時(shí)具有廣泛的應(yīng)用。對(duì)于不同規(guī)模和性質(zhì)的線性方程組，可以選擇合適的數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行求解。同時(shí)，為了保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，需要對(duì)算法進(jìn)行適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)和優(yōu)化。舉例分析數(shù)值計(jì)算方法應(yīng)用PART06總結(jié)回顧與拓展延伸2023REPORTING線性方程組的解法包括消元法、代入法、克拉默法則等。線性方程組的應(yīng)用在幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中，線性方程組都有廣泛的應(yīng)用。線性方程組的基本概念線性方程組是由一個(gè)或多個(gè)包含未知數(shù)的線性方程組成的方程組?？偨Y(jié)回顧本次課程重點(diǎn)內(nèi)容幾何應(yīng)用01在解析幾何中，線性方程組可用于求解兩條直線的交點(diǎn)、平面與直線的交點(diǎn)等問(wèn)題。物理應(yīng)用02在物理學(xué)中，線性方程組可用于解決電路問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題等。例如，基爾霍夫定律就是一組線性方程，用于解決電路中的電流和電壓?jiǎn)栴}。經(jīng)濟(jì)應(yīng)用03在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，線性方程組可用于解決市場(chǎng)均衡問(wèn)題、投入產(chǎn)出問(wèn)題等。例如，列昂惕夫投入產(chǎn)出模型就是一組線性方程，用于描述國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門之間的投入產(chǎn)出關(guān)系。探討線性方程組在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用非線性方程組是由一個(gè)或多個(gè)包含