2023年四川省眉山市中考數(shù)學(xué)真題試卷(解析版)

2023年四川省眉山市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案第I卷（選擇題共48分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題4分，共48分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把答題卡上相應(yīng)題目的正確選項涂黑．1.的倒數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)倒數(shù)的概念，乘積為的兩個數(shù)互為倒數(shù)，由此即可求解．解：的倒數(shù)是，故選：．【點撥】本題主要考查求一個數(shù)的倒數(shù)，掌握倒數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．2.生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)了某種花粉的直徑約為毫米，數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)用科學(xué)記數(shù)法可以把一個絕對值小于1的非零數(shù)表示成，其中，n是一個負(fù)整數(shù)，n的絕對值等于原數(shù)中的第一個非零數(shù)字前面所有零的個數(shù)（包括小數(shù)點前面的那個零），即可解答．解：，故選：A．【點撥】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)，熟知概念是解題的關(guān)鍵．3.下列運算中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)合并同類項可判斷A，根據(jù)完全平方公式可判斷B，根據(jù)單項式除以單項式可判斷C，根據(jù)積的乘方與冪的乘方運算可判斷D，從而可得答案．解：，不是同類項，不能合并，故A不符合題意；，故B不符合題意；，故C不符合題意；，故D符合題意；故選D【點撥】本題考查的是合并同類項，完全平方公式的應(yīng)用，單項式除以單項式，積的乘方與冪的乘方運算的含義，熟記基礎(chǔ)運算法則是解本題的關(guān)鍵．4.如圖，中，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)等腰三角形的等邊對等角和三角形的內(nèi)角和定理，即可解答．解：，，，故選：C．【點撥】本題考查了等腰三角形的等邊對等角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知上述概念是解題的關(guān)鍵．5.已知一組數(shù)據(jù)為2，3，4，5，6，則該組數(shù)據(jù)的方差為（）A.2 B.4 C.6 D.10【答案】A【解析】先計算這組平均數(shù)的平均數(shù)，再根據(jù)方差公式計算即可．解：∵，∴．故選A．【點撥】本題主要考查了方差公式，熟記方差公式是解題的關(guān)鍵．6.關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，∴，故選D．【點撥】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若，則方程有兩個相等的實數(shù)根，若，則方程沒有實數(shù)根．7.已知關(guān)于的二元一次方程組的解滿足，則m的值為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】將方程組的兩個方程相減，可得到，代入，即可解答．解：，得，，代入，可得，解得，故選：B．【點撥】本題考查了根據(jù)解的情況求參數(shù)，熟練利用加減法整理代入是解題的關(guān)鍵．8.由相同的小正方體搭成的立體圖形的部分視圖如圖所示，則搭成該立體圖形的小正方體的最少個數(shù)為（）A.6 B.9 C.10 D.14【答案】B【解析】根據(jù)俯視圖可得底層最少有6個，再結(jié)合左視圖可得第二層最少有2個，即可解答．解：根據(jù)俯視圖可得搭成該立體圖形的小正方體第三層最少為6個，根據(jù)左視圖第二層有2個，可得搭成該立體圖形的小正方體第二層最少為2個，根據(jù)左視圖第二層有1個，可得搭成該立體圖形的小正方體第二層最少為1個，故搭成該立體圖形的小正方體第二層最少為個，故選：B．【點撥】本題考查了由三視圖判斷小立方體的個數(shù)，準(zhǔn)確地得出每層最少的小正方體個數(shù)是解題的關(guān)鍵．9.關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅有4個，則m的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】A【解析】不等式組整理后，表示出不等式組解集，根據(jù)整數(shù)解共有4個，確定出m的范圍即可．解：，由②得：，解集為，由不等式組的整數(shù)解只有4個，得到整數(shù)解為2，1，0，，∴，∴；故選：A．【點撥】本題主要考查解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解等知識點的理解和掌握，能根據(jù)不等式組的解集得到是解此題的關(guān)鍵．10.如圖，切于點B，連接交于點C，交于點D，連接，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，連接，證明，，可得，從而可得．解：如圖，連接，∵切于點B，∴，∵，，∴，∴，∴；故選C【點撥】本題考查的是切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握基本圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．11.如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點坐標(biāo)為，對稱軸為直線，下列四個結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時，；其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】根據(jù)二次函數(shù)開口向上，與y軸交于y軸負(fù)半軸，，根據(jù)對稱軸為直線可得，由此即可判斷①；求出二次函數(shù)與x軸的另一個交點坐標(biāo)為，進(jìn)而得到當(dāng)時，，由此即可判斷②；根據(jù)時，，即可判斷③；利用圖象法即可判斷④．解：∵二次函數(shù)開口向上，與y軸交于y軸負(fù)半軸，∴，∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，∴，∴，∴，故①正確；∵二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點坐標(biāo)為，∴二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點坐標(biāo)為，∴當(dāng)時，，∴，故②正確；∵時，，∴，∴，即，故③正確；由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，，故④正確；綜上所述，其中正確的結(jié)論有①②③④共4個，故選D．【點撥】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．12.如圖，在正方形中，點E是上一點，延長至點F，使，連結(jié)，交于點K，過點A作，垂足為點H，交于點G，連結(jié)．下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可由定理證，即可判定是等腰直角三角形，進(jìn)而可得，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得；由此即可判斷①正確；再根據(jù)，可判斷③正確，進(jìn)而證明，可得，結(jié)合，即可得出結(jié)論④正確，由隨著長度變化而變化，不固定，可判斷②不一定成立．解：∵正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，，∵，∴，∵，∴，∴，故①正確；又∵,,∴,∴，∵，即：，∴，∴，故③正確，又∵，∴，∴，又∵，∴，故④正確，∵若，則，又∵，∴，而點E是上一動點，隨著長度變化而變化，不固定，而，則故不一定成立，故②錯誤；綜上，正確的有①③④共3個，故選：C．【點撥】本題考查三角形綜合，涉及了正方形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形＂三線合一＂的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．第Ⅱ卷（非選擇題共102分）二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分，請將正確答案直接寫在答題卡相應(yīng)位置上．13.分解因式：______．【答案】【解析】首先提取公因式，然后利用完全平方式進(jìn)行因式分解即可．解：，故答案為．【點撥】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底．14.已知方程的根為，則的值為____________．【答案】6【解析】解方程，將解得的代入即可解答．解：，對左邊式子因式分解，可得解得，，將，代入，可得原式，故答案為：6．【點撥】本題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握計算方法是解題的關(guān)鍵．15.如圖，中，是中線，分別以點A，點B為圓心，大于長為半徑作弧，兩孤交于點M，N．直線交于點E．連接交于點F．過點D作，交于點G．若，則的長為____________．【答案】【解析】由作圖方法可知是線段的垂直平分線，則是的中線，進(jìn)而得到點F是的重心，則，證明，利用相似三角形的性質(zhì)得到，則．解：由作圖方法可知是線段的垂直平分線，∴點E是的中點，∴是的中線，又∵是的中線，且與交于點F，∴點F是的重心，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點撥】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，推出點F是的重心是解題的關(guān)鍵．16.關(guān)于x的方程的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是____________．【答案】且【解析】解分式方程，可用表示，再根據(jù)題意得到關(guān)于一元一次不等式即可解答．解：解，可得，的方程的解為非負(fù)數(shù)，，解得，，，即，的取值范圍是且，故答案為：且．【點撥】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求值，注意分式方程無解的情況是解題的關(guān)鍵．17.一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達(dá)點B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是____________海里．【答案】##【解析】過點作交于點，利用特殊角的三角函數(shù)值，列方程即可解答．解：如圖，過點作交于點，由題意可知,，設(shè)為x，，，根據(jù)，可得方程，解得，漁船與燈塔C的最短距離是海里，故答案為：．【點撥】本題考查了解解直角三角形-方位角問題，熟知特殊角度的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點B的坐標(biāo)為，過點B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點C.點A，直線與交于點D．與y軸交于點E．動點M在線段上，動點N在直線上，若是以點N為直角頂點的等腰直角三角形，則點M的坐標(biāo)為________【答案】或．【解析】如圖，由是以點N為直角頂點的等腰直角三角形，可得在以為直徑的圓上，，可得是圓與直線的交點，當(dāng)重合時，符合題意，可得，當(dāng)N在的上方時，如圖，過作軸于，延長交于，則，，證明，設(shè)，可得，，而，則，再解方程可得答案．解：如圖，∵是以點N為直角頂點的等腰直角三角形，∴在以為直徑的圓上，，∴是圓與直線的交點，當(dāng)重合時，∵，則，∴，符合題意，∴，當(dāng)N在的上方時，如圖，過作軸于，延長交于，則，，∴，∵，，∴，∴，∴，設(shè)，∴，，而，∴，解得：，則，∴，∴；綜上：或．故答案為：或．【點撥】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，本題屬于填空題里面的壓軸題，難度較大，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共8個小題，共78分．請把解答過程寫在答題卡相應(yīng)的位置上．19.計算：【答案】6【解析】先計算零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和特殊角三角函數(shù)值，再根據(jù)實數(shù)的混合計算法則求解即可．解：原式．【點撥】本題主要考查了實數(shù)的混合計算，特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．20.先化簡：，再從選擇中一個合適的數(shù)作為x的值代入求值．【答案】；1【解析】先根據(jù)分式混合運算法則進(jìn)行計算，然后再代入數(shù)據(jù)求值即可．解：，∵，，∴把代入得：原式．【點撥】本題主要考查了分式化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運算法則，準(zhǔn)確計算．21.某校為落實“雙減”工作，推行“五育并舉”，計劃成立五個興趣活動小組（每個學(xué)生只能參加一個活動小組）：A．音樂，B．美術(shù)，C．體育，D．閱讀，E．人工智能，為了解學(xué)生對以上興趣活動的參與情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，并根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，繪制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖：根據(jù)圖中信息，完成下列問題：（1）①補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；②扇形統(tǒng)計圖中的圓心角的度數(shù)為____________．（2）若該校有3600名學(xué)生，估計該校參加E組（人工智能）的學(xué)生人數(shù)；（3）該學(xué)校從E組中挑選出了表現(xiàn)最好的兩名男生和兩名女生，計劃從這四位同學(xué)中隨機(jī)抽取兩人參加市青少年人工智能競賽，請用畫樹狀圖或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．【答案】（1）①補(bǔ)全圖形見解析；②；（2）人；（3）；【解析】（1）①先求解總?cè)藬?shù)，再求解D組人數(shù)，再補(bǔ)全統(tǒng)計圖即可；②由乘以D組的占比即可得到圓心角的大?。唬?）由3600乘以E組人數(shù)的占比即可；（3）畫出樹狀圖，數(shù)出所有的情況數(shù)和符合題意的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式，即可求解．【小問1詳解】解：①由題意可得：總?cè)藬?shù)為：（人），∴D組人數(shù)為：（人），補(bǔ)全圖形如下：②由題意可得：；【小問2詳解】該校有3600名學(xué)生，估計該校參加E組（人工智能）的學(xué)生人數(shù)有：（人）；【小問3詳解】記A，B表示男生，C，D表示女生，畫樹狀圖如圖：共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到一名男生一名女生的有8種結(jié)果，．【點撥】本題考查了從統(tǒng)計圖與扇形圖中獲取信息，利用樣本估計總體，利用畫樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．22.如圖，中，點E是的中點，連接并延長交的延長線于點F．（1）求證：；（2）點G是線段上一點，滿足，交于點H，若，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，證明，推出，即可解答；（2）通過平行四邊形的性質(zhì)證明，再通過（1）中的結(jié)論得到，最后證明，利用對應(yīng)線段比相等，列方程即可解答．【小問1詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，，是的中點，，，，∴，；【小問2詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，設(shè),則，可得方程，解得，即的長為．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用上述性質(zhì)證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．23.習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣．”某校為提高學(xué)生的閱讀品味，現(xiàn)決定購買獲得矛盾文學(xué)獎的甲、乙兩種書共100本，已知購買2本甲種書和1本乙種書共需100元，購買3本甲種書和2本乙種書共需165元．（1）求甲，乙兩種書的單價分別為多少元：（2）若學(xué)校決定購買以上兩種書的總費用不超過3200元，那么該校最多可以購買甲種書多少本？【答案】（1）甲種書的單價為35元，乙種書的單價為30元（2）該校最多可以購買甲種書40本【解析】（1）設(shè)甲種書的單價為x元，乙種書的單價為y元，利用2本甲種書的價格1本乙種書的價格；3本甲種書的價格2本乙種書的價格，列方程解答即可；（2）設(shè)購買甲種書本，則購買乙種書本，根據(jù)購買甲種書的總價購買乙種書的總價，列不等式解答即可．【小問1詳解】解：設(shè)甲種書的單價為x元，乙種書的單價為y元，可得方程，解得，原方程的解為，答：甲種書的單價為35元，乙種書的單價為30元．【小問2詳解】解：設(shè)購買甲種書本，則購買乙種書本，根據(jù)題意可得，解得，故該校最多可以購買甲種書40本，答：該校最多可以購買甲種書40本．【點撥】本題考查了二元一次方程實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際應(yīng)用，列出正確的等量關(guān)系和不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點，與y軸交于點，與反比例函數(shù)在第四象限內(nèi)的圖象交于點．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式：（2）當(dāng)時，直接寫出x的取值范圍；（3）在雙曲線上是否存在點P，使是以點A為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）或（3）或【解析】【小問1詳解】解：把，代入中得：，∴，∴直線的解析式為，在中，當(dāng)時，，∴，把代入中得：，∴，∴反比例函數(shù)表達(dá)式；【小問2詳解】解：聯(lián)立，解得或，∴一次函數(shù)與反比例函數(shù)的兩個交點坐標(biāo)分別為，∴由函數(shù)圖象可知，當(dāng)或時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，∴當(dāng)時，或；【小問3詳解】解：如圖所示，設(shè)直線交y軸于點，∵，，∴，，，∵是以點A為直角頂點的直角三角形，∴，∴，∴，解得，∴，同理可得直線的解析式為，聯(lián)立，解得或，∴點P的坐標(biāo)為或．【點撥】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，勾股定理，正確利用待定系數(shù)法求出對應(yīng)的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．25.如圖，中，以為直徑的交于點E．平分，過點E作于點D，延長交的延長線于點P．（1）求證：是的切線；（2）若，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】（1）連接，利用角平分線的性質(zhì)和等邊對等角，證明，即可解答；（2）根據(jù)，可得，求出的長，再利用勾股定理得的長，即可得到的長，最后證明，即可解答．【小問1詳解】證明：如圖，連接，，，平分，，，，,,是的切線；【小問2詳解】解：設(shè)，則，，解得，，，根據(jù)勾股定理可得，,