2023屆新高考開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷20

2023屆新高考開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷20

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|2x2-7x-4＜。},8={x料＜3},則AB=()

A.(—2,3)B.(—2,3]C.-,2^jD.--,3j

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(6-i)=(l+i)2,則[z|=()

A.—B.—C.也D.1

222

3.關(guān)于命題，下列判斷正確的是()

A.命題“每個(gè)正方形都是矩形”是存在量詞命題

B.命題“有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)”是全稱量詞命題

C.命題“VxGR,/eR"的否定為'勺/eR,片eR”

D.命題“每個(gè)整數(shù)都是有理數(shù)”的否定為“每個(gè)整數(shù)都不是有理數(shù)”

4.已知函數(shù)/(x)=,-°/八、，滿足對(duì)任意內(nèi)聲/，都有‘W-WvO成立,

[a-2)x+3a,(.x＞0)x^-x2

則。的取值范圍是()

A.ae(O,i)B.?ejl)C.D.ae|-,2^

5.函數(shù)/(x)=，2sinx-l的奇偶性為()

A.奇函數(shù)B.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)

C.偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)

_..UUUliuuu

6.已知點(diǎn)P是八43。所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且PA+P8+PC=0，貝I()

21

A.PA=--BA+-BCB.PA=-BA+-BC

3333

1221

C.PA=——BA——BCD.PA=-BA——BC

3333

x-y＜0

7.已知實(shí)數(shù)X、y滿足約束條件,如一yWO,其中機(jī)＜一1,若目標(biāo)函數(shù)＞=」一的最大值為2,

,x-m

[x+yW1

則m=（）

313

A.-2B.-2或一一C.一2或一D.一-

222

8.2021年是鞏固脫貧攻堅(jiān)成果的重要一年，某縣為響應(yīng)國(guó)家政策，選派了6名工作人員到A、B、

。三個(gè)村調(diào)研脫貧后的產(chǎn)業(yè)規(guī)劃，每個(gè)村至少去1人，不同的安排方式共有（）

A.630種B.600種C.540種D.480種

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.對(duì)兩個(gè)變量y和x進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：（王，必），（%,為），…，（乙,練），

則下列說法中正確的是（）

A.由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程$=屏+含必過樣本中心G刃

B.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好

C.用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，肥越小，說明模型的擬合效果越好

D.若變量），和x之間的相關(guān)系數(shù)為「=-0.9362,則變量y和x之間具有線性相關(guān)關(guān)系

10.截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個(gè)頂點(diǎn)所產(chǎn)生

的多面體.如圖所示，將棱長(zhǎng)為3a的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到所有棱長(zhǎng)

均為。的截角四面體，則下列說法正確的是（）

A.該截角四面體的表面積為7獨(dú)？

B.該截角四面體的體積為生叵“3

12

11,

C.該截角四面體的外接球表面積為一兀/

2

D.該截角四面體中，二面角A-BC-O的余弦值為工

3

2

11.已知等比數(shù)列｛為｝的公比q=—等差數(shù)列｛〃｝的首項(xiàng)4=12,若%>%且40>%，

則以下結(jié)論正確的有()

A.a9-6Z10<0B.a9>tz10C.Z?10>0D.b9>bl0

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過拋物線/=2)，的焦點(diǎn)的直線/與該拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為

B(x2,y2),則()

1

A.y,y2=-

B.以AB為直徑的圓與直線y=-；相切

c.|OA|+|OB|的最小值W5

D.經(jīng)過點(diǎn)B與x軸垂直的直線與直線OA交點(diǎn)一定在定直線上

第n卷

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為

14.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若/+。2=2〃，則cosA的最小值為

15.過圓0:%2+丫2=，&>0)外一點(diǎn)(2,0)引直線/與圓。相交于A，兩點(diǎn)，當(dāng)八4。3的面

積取最大值時(shí)，直線/的斜率等于土立，則，的值為.

3

16.設(shè)函數(shù)f(x)=^LL,8(外=令，則函數(shù)8(幻=-7(%>0)的最大值為_____；若對(duì)任意否,

xeex

x,e(0,+8),不等式巨⑴4/GJ恒成立，則正數(shù)人的取值范圍是

kk+1

四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在八48。中，角A，B，。所對(duì)的邊分別為c,滿足Gc=MsinA+GcosA).

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若。+。=2,求力的取值范圍.

18.(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛%｝滿足q=l,a；l+l=a；+2(an+l+a?).

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式;

1

(2)記"I—/---求數(shù)列物,｝的前”項(xiàng)和S.

19.(12分)某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)疫情過后恢復(fù)生產(chǎn)的中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了

120個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第二季度相對(duì)于前一年第二季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率y的頻數(shù)分布表.

y的分組[-0.4,-0.2)[-0.2,0)[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)

企業(yè)數(shù)3024401610

(1)估計(jì)這些企業(yè)中產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例(用百分?jǐn)?shù)表示)；

(2)估計(jì)這120個(gè)企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；

(3)以表中y的分組中各組的頻率為概率，某記者要從當(dāng)?shù)乇拘袠I(yè)所有企業(yè)中任意選取兩個(gè)企業(yè)

做采訪調(diào)查.若采訪的企業(yè)的增長(zhǎng)率ye[-0.4,-0.2),則采訪價(jià)值為1；采訪的企業(yè)的增長(zhǎng)率

ye[-0.2,0),則采訪價(jià)值為2；采訪的企業(yè)的增長(zhǎng)率ye[0,0.6),則采訪價(jià)值為3.設(shè)選取的兩

個(gè)企業(yè)的采訪價(jià)值之和為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

20.（12分）如圖所示，四棱錐S—ABCD的底面為梯形，平面SCO_L平面ABC。,

/BAD=ZADC=NSCD=90°,AB=AD=-CD=1.

2

(1)求證：平面SBDJ_平面SBC；

(2)若二面角A-SB-C的余弦值為一哀10,求SC的長(zhǎng)度.

20

21.（12分）已知圓耳：（x+iy+y2=產(chǎn)與圓入：（x—］）2+y2=（4—的公共點(diǎn)的軌

跡為曲線E.

（1）求E的方程；

12

（2）設(shè)點(diǎn)A為圓O：i+y2=亍上任意點(diǎn)，且圓。在點(diǎn)A處的切線與E交于P，Q兩點(diǎn).試問:

AP-AQ是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

InX

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=——.

x

(1)若直線y=近-1是曲線y=/(x)的切線，求實(shí)數(shù)&的值；

(2)若對(duì)任意xe((),+8),不等式/?(x)<ax—1—生0成立，求實(shí)數(shù)a的取值集合.

X

2023屆新高考開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷20

答案

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.【答案】D

【解析】由2/—7x—4W0,即(2x+l)(x—4)40,得—集合A=-1,4,

2L2J

由兇<3,得/<9,即一3<x<3,集合B=(-3,3),

由數(shù)軸表示可得AB=故選D.

2.【答案】D

【解析】z(73-i)=(l+i)2=l+2i+i2=2i,

.2i_2i(N+i)「(6+丁/

■'Z_73^i-(V3-i)(^3+i)--2--~2+^

3.【答案】C

【解析】A選項(xiàng)，命題“每個(gè)正方形都是矩形”含有全稱量詞“每個(gè)”，是全稱量詞命題，故A錯(cuò);

B選項(xiàng)，命題“有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)”含有存在量詞“有一個(gè)“，是存在量詞命題，故B錯(cuò)；

C選項(xiàng)，命題“VxeR,x4eR”的否定為“mXowR,x：eR"，故C正確；

D選項(xiàng)，命題“每個(gè)整數(shù)都是有理數(shù)”的否定為“存在一個(gè)整數(shù)不是有理數(shù)”，故D錯(cuò),

故選C.

4.【答案】C

(八

【解析】由題意，函數(shù)/“(%)\對(duì)任意的辦「看都有/X.)——/(x2)〈。成立，

%一％2

(x<0)

即函數(shù)y(x)=<為R上的減函數(shù),

(a-2)x+3a,(x>0)

0<a<l

3

可得」a-2<0,解得0<。"一，故選C.

_4

12a—2+3。

5.【答案】D

兀5

【解析】由2sinx—120,即sinxN，，得函數(shù)定義域?yàn)?E+三，2E+二兀(ZwZ),

266

此定義域在x軸上表示的區(qū)間不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

所以該函數(shù)不具有奇偶性，為非奇非偶函數(shù)，故選D.

6.【答案】D

一UUUUIUUMl

【解析】由題意，PA-BA=PB，PA+AC=PC<而PA+PB+PC=0，

：,3PA—8A+AC=0,

21

又AC=BC—54，即3PA—2BA+8C=0，=故選D.

7.【答案】A

x-y<Q

【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)x、y滿足約束條件《nu-y<0f

x+y<l

所以可根據(jù)約束條件繪出可行域，如圖所示,

1m

其中A

m+1'機(jī)+1

因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)zy的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）與P（私0）所連直線的斜率,

x-m

m

所以目標(biāo)函數(shù)z=q—的最大值為2,即即A=f+1=2,

1e

x-m--------m

m+1

整理得2加2+3m—2=0,解得加=一2或!（舍去），

2

故選A.

8.【答案】C

【解析】把6名工作人員分成1,1,4三組，

再安排到三個(gè)村有寫4A；=X3X2X1=90種;

NX]

把6名工作人員分成2,2,2三組，再安排到三個(gè)村有A：；=90種;

把6名工作人員分成1,2,3三組,

6x5x4

再安排到三個(gè)村有C；C；C；A；=——x3x2x1=360種,

2x1

所以共有90+90+360=540利故選C.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.【答案】ABD

【解析】A.由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程§=鼠+務(wù)必過樣本中心（工?。收_；

B.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，故正確；

C.用相關(guān)指數(shù)收來刻畫回歸效果，？越大，說明模型的擬合效果越好，故錯(cuò)誤；

D.若變量），和x之間的相關(guān)系數(shù)為r=T）.9362,r的絕對(duì)值接近于1,則變量y和x之間具有線

性相關(guān)關(guān)系，故正確，

故選ABD.

10.【答案】ABC

【解析】如圖所示：

s

由正四面體S—NP。中,

題中截角四面體由4個(gè)邊長(zhǎng)為。的正三角形，4個(gè)邊長(zhǎng)為。的正六邊形構(gòu)成,

故S=+4x6x且a?=76。2,A正確；

44

；棱長(zhǎng)為a的正四面體的高力=逅“，

3

.?\6…瓜c、,1G2指23723Dp論

??V——?—(3〃)(3Q)—4,一?—a--------ci，B」E確；

34334312

設(shè)外接球的球心為o，AA5C的中心為O',的中心為。〃，

?.?截角四面體上下底面距離為幾-邁a=友。，

33

222

yj^-O'C+y]R-O"H=a，=J/??一3+=^-a，

’火2_/手"_而不.?./?2_[=|/+★_/_乎。.^7^,

R2=—a2,S=4nR~=—7ta2,C正確；

82

易知二面角S—BC—A為銳角，所以二面角A—5。一。的余弦值為負(fù)值，D錯(cuò)誤，

故選ABC.

11.【答案】AD

2

【解析】數(shù)列｛為｝是公比q為的等比數(shù)列；｛4｝是首項(xiàng)為12,公差設(shè)為"的等差數(shù)列,

則49="1(-§)8,"10=6(―§)9，，偈，。10=?！?―§)”<0，故A正確；

正負(fù)不確定，故B錯(cuò)誤;

正負(fù)不確定，，由4o>%),不能求得"o的符號(hào)，故C錯(cuò)誤;

由佝>4且40>4o,則4(—)8>12+8〃,4(—)9>12+9d,

可得等差數(shù)列{2}一定是遞減數(shù)列，即d<0,即有為>狐，故D正確,

故選AD.

12.【答案】ABD

【解析】拋物線的焦點(diǎn)為(0,；］,設(shè)直線AB的方程為丁=丘+；，

,1

y=kx+—「….

聯(lián)立2,可得/一2日一1=0，所以％+/=2&,XjX2=-1,

X2-2y

%+%=左(％+/)+1=2后?+1,%>2=H+4=k"X[X2+22(玉+/)+[=W

故A正確;

X+%必+%、,即I加+萬卜

以AB為直徑的圓的圓心為

22)

半徑為用二千=皿,

1,11

所以圓心到直線y=--的距離為k2+-+-=k2+l,等于半徑,

所以以A3為直徑的圓與直線y=-；相切，即B正確;

當(dāng)直線4?與1軸平行時(shí)，|。4|=|08|=等，］。4|+|。叫=6<2C,

所以|。4|+|。目的最小值不是2a,故C錯(cuò)誤;

直線辦的方程為>=}=A與x=4的交點(diǎn)坐標(biāo)為

因?yàn)槠r=一；，所以經(jīng)過點(diǎn)B與x軸垂直的直線與直線。4交點(diǎn)在定直線y=--±.,

故D正確,

故選ABD.

第n卷

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.【答案】60

［解析］二項(xiàng)式(六一目的展開式通項(xiàng)為加=晨［｛一=(-l)r-26-2r

3

令］―3=0,解得廠=2，

則常數(shù)項(xiàng)為(一1?22.或=60,故答案為60.

14.【答案】!

2

N22c2221

【解析】cosA=C~~C，~>'=-^=->當(dāng)且僅當(dāng)。=c=a時(shí)等號(hào)成立,

故答案為萬.

15.【答案】6

［解析】SAAOB=5|OA||。即sinZAOB=-r2sinNAOB,

當(dāng)NAO3=90°時(shí)，AAO3的面積最大，此時(shí)圓心。到直線AB的距離d，

2

性一交

設(shè)直線AB方程為y=%(x—2),k2=-,則dL

廬TTT

所以孚二=_1,，再將％2=_1代入，求得r=&.

k2+l23、

故答案為6.

16.【答案】一，kN---

e2e-l

【解析】g(x)=W(x>0)，.?.g'(x)=^-^~=

由g'(x)>0,可得0<x<l,此時(shí)函數(shù)g(x)為增函數(shù);

由g'(x)<0,可得x>l,此時(shí)函數(shù)g(x)為減函數(shù),

.?.g(x)的最大值為g⑴=L

e

若對(duì)任意匹，々e(0,+8),不等式他恒成立,

kk+\

k

則等價(jià)為<恒成立,

fM

/(尤)當(dāng)且僅當(dāng)％=,，

即x=1時(shí)等號(hào)成立,

XX\XX

即/(X)的最小值為2，且g(x)的最大值為g(l)=

e

則亞I的最大值為e=_L,

f(x2)22e

k1I

則由——>—,得乂20—1)Z1,即ZN------

Z+l2G''2e-\

故答案為」，ZN」一

e2e-l

四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.【答案】(1)B=~(2)/?G[1,2).

【解析】(1)由后二人卜inA+百cosA),得QsinC=sinBsinA+百sinBcosA，

/.sin(A+B)=sinBsinA+V3sinBcosA,

>/3sinAcosB+A/3COSAsinB=sinfisinA+GsinBcosA，

所以gsinAcos8=sinAsin8，tan5=V3，

,:Be(0,7t),8=W?

兀

(2)?.?Q+C=2,B=一

3

b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac

2

a+c

二(q+-3QC=4-3ac>4-3I=1（當(dāng)且僅。二。時(shí)取等號(hào)）,

又b<a+c=2,?,?人￡[1,2).

18.【答案】(1)《,=2〃-1；(2)S=，2〃+1-1

"2

【解析】（1）由題意，得q*-q；=2（a,用+?！埃?/p>

即(4+i+%)&+「4)=2(4+]+%)，

又?jǐn)?shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，即an+l+a,產(chǎn)0,則an+l-an=2,

???｛〃〃｝的公差為2，而q=1,故?！?2〃-1.

1_1+

（2）由（1）知我

+Ja〃+]y/2n—l+12幾+12

S〃=b、+++"〃=—1）+++（,2〃+1—,2〃—1）]

J2J+1—1

----------.

2

23

19.【答案】（1）45%；（2）0.02；（3）分布列見解析，y.

30+24

【解析】（1）估計(jì)這些企業(yè)中產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例為二——x100%=45%.

120

（2）這120個(gè)企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)

一1

y=—(-0.3x30-0.1x24+0.1x40+0.3x16+0.5x10)=0.02.

(3)依題意可得ye[—0.4,0.2)的概率為二30匕=上1，

1204

ye[-0.2,0)的概率為2志4=21，

40+16+1011

ye[0,0.6）的概率為

12020

X的所有可能取值為2,3,4,5,6,

P(X=2)=-X1=—；P(X=3)=2X，XL-!-；

44164510

p(X=4)=2xlx—+lxl=—:P(X=5)=2xix—=—；

4205520052050

P(X=6)」第=以

2020400

則X的分布列為

X23456

116311121

P

161020050400

故￡(X)=2xL3J+4xg+5xll+6x巴)

\'1610200504005

20.【答案】(1)證明見解析；(2)3.

【解析】(1)由題意，在底面梯形ABC。中，

因?yàn)镹84Z>=NADC=90°且AB=4)=1，CD=2,可得BD=BC=6,

又由CO=2,所以8。2+8。2=。2,所以

又因?yàn)槠矫鍿CDJ?平面A3CO,平面SC。平面A」BCD=CD,

且SC_LCZ),SCu平面SCO,所以SC_L上平面ABC。，

又由BDu平面ABC。，所以8DLSC,

因?yàn)镾C8。=。且5。,5。€平面58。，所以B。，平面SBC,

又因?yàn)锽Du平面S3。，所以平面S8￡)_L平面SBC.

(2)由(1)知SCJ_平面4BC。，

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CO所在直線為x軸，在平面ABC。內(nèi)垂直于CO的直線為3軸，CS所在直線

為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(2,1,0),8(1,1,0),0(2,0,0),

設(shè)SC=〃優(yōu)>0),所以S(O,O,/z),可得BA=(1,0,0),8s=(-1,一1,〃)，30=(1,-1,0),

由(1)得80,平面S3C,所以平面S3C的一個(gè)法向量為3。=(1,一1,0),

設(shè)平面ABS的法向量為n=(x,y,z),

n-BA=0[x=0

則V,可得〈,八，令Z=l，可得〃=(0,/2,1),

n-BS=O[-x-y+hz=O

-h空°,解得SC=3,即SC=3.

則cos〈〃,BD}=—~.

V2-V1+A220

22

rvI?

21.【答案】(1)—+2_=1；(2)是，一一.

437

【解析】⑴設(shè)公共點(diǎn)為P，則歸耳|='，歸閭=4一r,|P￡|+|PR|=4>|耳閭,

即公共點(diǎn)P的軌跡為橢圓，且2a=4,...a=2,

22

又C=l,，〃=？，故曲線E:工+E=1.

43

(2)方法一:

當(dāng)直線PQ斜率不存在時(shí)，PQ:x=±A,

12

代入后得了=,故APAQ=——，易知OPLOQ；

7

當(dāng)直線尸。斜率存在，設(shè)PQ：y=^+/〃，P。與圓。相切，-Jd==r=>w2

y/k2+l

將PQ方程代入E，得(4公+3)d+8kmx+4w2-12=0,

.8km4m2-12

..%!+X—―，X,X=----

9一4公+312-4r+3

2

OPOQ-+X%=%為2+(依+〃?)(3+m)=(k+1)玉工2+krn(x]+x2^+m'

二伴+1乂4川-12）8/加?為=7上―12（公+1）

4^+34r+3m~4k2+3

12

將>=亍（尸+1）代入，得OPOQ=O,即"_LOQ,

綜上，恒有QP'QQ,AP-AQ=-\AP\-\AQ^=-\O^=-^.

法二：

當(dāng)直線P。斜率不存在時(shí)，PQ:x=土后,代入￡得、=土后

APAQ=—卜4|聞=—同=_J2.

當(dāng)直線尸。斜率存在，設(shè)PQ:y=^+機(jī)，

|7%|12

?「PQ與圓。相切，/.I■—r,KPITL~——（Ar+1）.

VF+17\>

將PQ方程代入E,得（4二+3）d+8kmx+4m2-12=0,

712k2

2

故恒尸||42|=1五，??X|X2+ZTM（演+々）+

出8km4