2024年高考數(shù)學一輪復習第7章：立體幾何（附答案解析）

2024年高考數(shù)學一輪復習第7章：立體幾何學生版

一、單項選擇題

1.如圖，用斜二測畫法作水平放置的正三角形4SG的直觀圖，則正確的圖形是（）

2.下列四個命題中，正確的是（）

A.各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱

B.對角面是全等矩形的六面體一定是長方體

C.有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱

D.長方體一定是直四棱柱

3.從平面外一點尸引與平面相交的直線，使尸點與交點的距離等于1,則滿足條件的直線可

能有（）

A.0條或1條B.0條或無數(shù)條

C.1條或2條D.0條或1條或無數(shù)條

4.已知心，”表示兩條不同的直線，a,夕表示兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）

A.若小〃a,〃丄夕，m//n,則a丄4

B.若機丄〃，機丄a,n//P，貝ija〃尸

C.若a丄￡,m丄a,m丄”,則〃〃￡

D.若a丄0,a（yp=tn,"丄機，則“丄萬

5.已知直線a,b,/和平面a,￡,a^a,bu‘,aCi/3—l,且a丄及對于以下命題，判斷正確

的是（）

①若a,6異面，則a,6至少有一個與/相交;

②若a,b垂直，則a,6至少有一個與/垂直.

A.①是真命題，②是假命題

B.①是假命題，②是真命題

C.①是假命題，②是假命題

D.①是真命題，②是真命題

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6.（2023?徐州模擬）圓柱形玻璃杯中盛有高度為10cm的水，若放入一個玻璃球（球的半徑與

圓柱形玻璃杯內(nèi)壁的底面半徑相同）后，水恰好淹沒了玻璃球，則玻璃球的半徑為（）

A.—cmB.15cmC.Kh/3cmD.20cm

3

7.蹴鞠，又名蹴球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的

球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球.2006年5月20日，

蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某鞠的

表面上有五個點P,A,B,C,。恰好構(gòu)成一正四棱錐尸一/8C。，若該棱錐的高為8,底面

邊長為4/，則該鞠的表面積為（）

A.64兀B.100兀C.132兀D.144兀

8.某同學畫“切面圓柱體”（用與圓柱底面不平行的平面切圓柱，底面與切面之間的部分叫

做切面圓柱體），發(fā)現(xiàn)切面與圓柱側(cè)面的交線是一個橢圓（如圖所示）.若該同學所畫的橢圓的

離心率為最則“切面”所在平面與底面所成的角為（）

A.—B.-C.-D.-

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9.（2023?安慶模擬）已知球。的半徑為R,A,B,C三點在球。的球面上，球心O到平面

N8C的距離為AB=AC=S，/A4C=120。，則球。的表面積為（）

A.48TIB.16兀C.3237tD.yTt

10.（2022?北京模擬）在通用技術(shù)教室里有一個三棱錐木塊如圖所示，VA,VB,-C兩兩垂直，

及1=%8=%?=1（單位：dm）,小明同學計劃通過側(cè)面以（C內(nèi)任意一點P將木塊鋸開，使截

面平行于直線K8和4C,則該截面面積（單位：dn?）的最大值是（）

A.-dm2

4

C.亜dm2

D.-dm2

44

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二、多項選擇題

II.如圖所示，在正方體/BCD—小SCQi中，￡是平面力的中心，M,N,尸分別是

BC，CG，的中點，則下列說法正確的是（）

A.MN^-EF

2

B.MN^-EF

2

C.MN與EF異面

D.MN與EF平行

12.（2023?忻州模擬）如圖，已知在邊長為6的菱形4BCD中,NBAD=6。。，點E,F分別是

線段8c上的點.且Z￡=8E=2.將四邊形Z8FE沿￡尸翻折，當折起后得到的幾何體

一8打。的體積最大時，給出下列說法，其中正確的說法有（）

A.ADA.EF

B.BC〃平面NDE

C.平面。EFC丄平面/8尸￡

D.平面/DE丄平面尸E

三、填空題

13.（2023?榆林模擬）在四棱錐P-/8C。中，底面/8C。是矩形，以丄底面Z8C。，且刈=

AB,4。=布”,貝iJtan//PC=.

14.（2022?安慶模擬）如圖，在三棱錐尸一N8C中，點。為N8的中點，點P在平面48c內(nèi)的

射影恰為08的中點E,已知NB=2PO=2,點C到。尸的距離為3，則當最大時，

直線PC與平面PAB所成角的大小為.

15.如圖所示，在長方體48。。一481GA中，/8=3,AD=4,4小=5,點E是棱CG上的

一個動點，若平面5EA交棱/小于點F,則四棱錐歷一BE。尸的體積為,截面四

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邊形BEGF的周長的最小值為.

16.（2023?北京模擬）如圖，正方體的棱長為2,點O為底面/BCD的中心,

點尸在側(cè)面5SCC的邊界及其內(nèi)部運動.給出下列四個結(jié)論：

A,

A

①丄4C；

②存在一點P,D\O〃B\P：

③若GO丄。尸，則△AGP面積的最大值為近；

④若P到直線AG的距離與到點B的距離相等，則P的軌跡為拋物線的一部分.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

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2024年高考數(shù)學一輪復習第7章：立體幾何教師版

一、單項選擇題

1.如圖，用斜二測畫法作水平放置的正三角形的直觀圖，則正確的圖形是（）

G

A

答案A

解析以0G所在直線為x軸，以SG邊上的高為y軸建立坐標系，畫對應(yīng)的『，），'軸,

使夾角為45。，畫直觀圖時與x軸平行的線段長度保持不變，與y軸平行的線段長度變?yōu)樵?/p>

來的一半，然后去掉輔助線即可得到正三角形的直觀圖，如圖.

A

2.下列四個命題中，正確的是（）

A.各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱

B.對角面是全等矩形的六面體一定是長方體

C.有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱

D.長方體一定是直四棱柱

答案D

解析對于A,底面是菱形的直平行六面體，滿足條件但不是正棱柱；對于B,底面是等腰

梯形的直棱柱，滿足條件但不是長方體；C顯然錯誤；長方體一定是直四棱柱，D正確.

3.從平面外一點P引與平面相交的直線，使尸點與交點的距離等于1,則滿足條件的直線可

能有（）

A.0條或1條B.0條或無數(shù)條

C.1條或2條D.0條或1條或無數(shù)條

答案D

解析當點尸到平面的距離大于1時，沒有滿足條件的直線；當點尸到平面的距離等于1時，

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滿足條件的直線只有1條；當點尸到平面的距離小于1時，滿足條件的直線有無數(shù)條.

4.已知機，〃表示兩條不同的直線，?,尸表示兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）

A.若加〃a,"丄夕，m//n,則。丄￡

B.若機丄〃，M丄a,n〃}則a〃￡

C.若a丄4，加丄a,丄〃，貝1]〃〃尸

D.若a丄￡,aC￡=m,〃丄〃?，貝!Jn邛

答案A

解析對于A,由加〃a,m//n,得到：

若〃〃a,過〃的平面＞0]=/,則〃〃/,

又〃丄人則/丄人IUQ,則a丄人

若〃Ug,又〃丄夕，則a丄及綜上，a丄人故A正確；

對于B,若加丄“，〃?丄a,n//p,則la與4相交或平行，故B錯誤；

對于C,若a丄夕，〃?丄a,加丄〃，則〃與在相交、平行或〃u.，故C錯誤;

對于D,若a丄4，〃丄〃7,則〃與￡相交或〃u夕，故D錯誤.

5.已知直線a,b,/和平面a,4，aUa,bu.,aC0=】,且a丄尸.對于以下命題，判斷正確

的是（）

①若6異面，則〃，b至少有一個與/相交;

②若a,6垂直，則a,b至少有一個與/垂直.

A.①是真命題，②是假命題

B.①是假命題，②是真命題

C.①是假命題，②是假命題

D.①是真命題，②是真命題

答案D

解析對于①，若a,6都不與/相交，

則只有一種可能，即〃，b均平行于/,則?！?,

?,.若訪b異面，則4,6至少有一個與/相交，故①正確；

對于②，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得：

若m6垂直，則〃丄.，或b丄a,故a,b至少有一個與/垂直，故②正確.

6.（2023?徐州模擬）圓柱形玻璃杯中盛有高度為10cm的水，若放入一個玻璃球（球的半徑與

圓柱形玻璃杯內(nèi)壁的底面半徑相同）后，水恰好淹沒了玻璃球，則玻璃球的半徑為（）

A.—cmB.15cmC.l（h/3cmD.20cm

3

答案B

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解析根據(jù)題意，玻璃球的體積等于放入玻璃球后水柱的體積減去原來水柱的體積；

設(shè)玻璃球的半徑為廣，即圓柱形玻璃杯的底面半徑為/?;

則玻璃球的體積為?戸，圓柱的底面面積為Q2,

放入一個玻璃球后，水恰好淹沒玻璃球，

、、4

此時水面的高度為2廠，所以,戸=兀/（2,,?—10）,解得/?=15（cm）.

7.蹴鞠，又名蹴球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的

球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球.2006年5月20日，

蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某鞠的

表面上有五個點P,A,B,C,。恰好構(gòu)成一正四棱錐P-Z8C。，若該棱錐的高為8,底面

邊長為4/，則該鞠的表面積為（）

A.64兀B.1007tC.132兀D.1447t

答案B

解析正四棱錐P-N8C。的底面是正方形，底面邊長為4啦，高為8,如圖所示，

P

所以正四棱錐P-ABCD的底面對角線的長為4/x/=8,

設(shè)正四棱錐外接球的半徑為心則催=（8-尺）2+42,解得R=5,

所以球的表面積為S=4TVR2=4兀X25=10（）兀，即該鞠的表面積為100兀.

8.某同學畫“切面圓柱體”（用與圓柱底面不平行的平面切圓柱，底面與切面之間的部分叫

做切面圓柱體），發(fā)現(xiàn)切面與圓柱側(cè)面的交線是一個橢圓（如圖所示）.若該同學所畫的橢圓的

離心率為;，則“切面”所在平面與底面所成的角為（）

A.-B.-C.-D.-

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答案B

解析設(shè)橢圓與圓柱的軸截面如圖所示，作DE丄BC交8c于點E,則NCDE為“切面”所

在平面與底面所成的角，設(shè)為4

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設(shè)底面圓的直徑為2廠，則C。為橢圓的長軸2a,短軸為26=OE=2r,

則橢圓的長軸長2a=|C0=g;,即

cos6cos0

所以橢圓的離心率為e=；=￡=y1-=sin。,所以吋

6

Vcos20

9.（2023?安慶模擬）已知球。的半徑為及，A,B,C三點在球。的球面上，球心O到平面

48c的距離為當我，AB=AC=S，ZBAC^\20°,則球。的表面積為（）

A.487tB.16兀C.32s兀D.與

3

答案A

解析在△/8C中，由余弦定理，得BC=W+3—2X，x3xcos1200=3,

設(shè)△Z8C外接圓半徑為r,

由正弦定理2廠=-----=2?得r=S，

sin120°

a

又&2=2&2+3,???火2=12,

4

???球。的表面積為4兀/?2=48兀.

10.（2022?北京模擬）在通用技術(shù)教室里有一個三棱錐木塊如圖所示，VA,■。兩兩垂直，

M=H8=MC=1（單位：dm）,小明同學計劃通過側(cè)面%IC內(nèi)任意一點P將木塊鋸開，使截

面平行于直線KB和NC,則該截面面積（單位：dn?）的最大值是（）

A.-dm2B.—dm2

44

C.—dm2D.-dm2

44

答案B

解析根據(jù)題意，在平面幺C內(nèi)，過點尸作EP〃/C分別交必，W于點F,E,

在平面K8C內(nèi)，過點￡作￡?！?交8c于點。，

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在平面勿8內(nèi)，過F作ED〃屮交N8于點3,連接。0,如圖所示,

因為EF//AC,

所以△PEFsA-CA,設(shè)其相似比為九

則導是嚟"

因為以=產(chǎn)8=灰7=1,所以/c=3,即E尸=価左,

因為ED〃VB,

即//=/〃=尸。

△SUB

所以4FDA4,VA~BA~VB'

AFVA-VF

因為\~k,

VAVA

所以￡2=W￡=i一隊即EC)=I一鼠

VBVA

同理△CEQS^CJ/B,即臆=*=瑞=1一%,

即EQ=1-k,

所以FD〃EQ,且FD=EQ,

所以四邊形FEQ9為平行四邊形，

因為K8丄-C,VBLVA,VAnVC^V,勿u平面%C,平面幺C,

所以KB丄平面VAC,

因為FD//VB,

所以ED丄平面VAC,

因為EFU平面VAC,

所以FD丄E凡

所以四邊形是矩形，即S%.FEQD=FD-EF=(1-k)?心k=一心

所以當左=；時，S也彩FE。。有最大值日.

故該截面面積的最大值是坐輸.

二、多項選擇題

11.如圖所示，在正方體力BCD-NIBCQI中，￡是平面的中心，M,N,尸分別是

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SG，CC\,48的中點，則下列說法正確的是（)

A.MN=、EF

2

B.MN^-EF

2

C.MN與EF異面

D.MN與E尸平行

答案BC

解析設(shè)正方體ABCD-AyB\C\D\的棱長為2a,

則MNZMG+C12

作點E在平面ABCD內(nèi)的射影點G,

連接EG,GF,

所以EF=

=Sa,

所以MN#丄￡尸，故選項B正確，A錯誤;

2

連接OE,因為E為平面/。。聞的中心,

所以?！?丄小￡）,

2

又因為W,N分別為&G,CG的中點，

所以MN〃B\C,

又因為BC〃4。，訴以MN〃ED,

且。

所以MN與EF異面,故選項C正確，D錯誤.

12.（2023?忻州模擬）如圖,已知在邊長為6的菱形/8C。中，NBAD=60°,煎E,尸分別是

線段8c上的點.且/E=3尸=2.將四邊形/8FE沿EF翻折，當折起后得到的幾何體

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NEO—8FC的體積最大時，給出下列說法,其中正確的說法有（）

A.ADLEF

B.8c〃平面NQE

C.DEFCmABFE

D.平面49E丄平面ZBFE

答案BC

解析將四邊形N8FE沿EF翻折，得到幾何體NEO—8FC,

在幾何體4ED—8FC中，DE//CF,CFU平面CF8,DE<Z平面CFB,

〃平面CF8,入AEHBF,BFU平面CFB,4EU平面CFB,〃平面CF8,

\'AEDDE=E,二平面C^8〃平面/OE,

：8CU平面CFB,〃平面ADE,故B正確；

如圖，過點D作DHLEF,交EF于H,過“作4G丄/8,交AB于點、G,

過點C作CN丄EE交E尸的延長線于N,過點N作丄交的延長線于點M,如

圖所示，

則四棱錐C—BFNM與。-ZE//G是全等的兩個四棱錐，

YNM丄AB,則丄EF,又CN丄EF,NMCCN=N,

：.EF丄平面CMN,：.EF丄平面DHG,

?；￡＞《平面。HG,力生平面。"G,則/。與EF不垂直，故A錯誤；

三棱柱CNM-DHG為直三棱柱，

幾何體4EO-8尸C的體積與三棱柱CM0-O”G體積相同，

三棱柱CNM—DHG的體積V=S?NM-NH,

在RtZ\OE”中，DE=4,NEDH=30。,:.EH=2,

又EF=6,NF=EH,：.NH=6,

當品CN”面積最大時，幾何體/E。-8FC的體積最大，

當MW丄CW時，SACNM面積取最大值，

,:NMLNE,NECCN=N,則AW丄平面DEFC,

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又NMU平面4BFE,...平面N8EEt丄平面。ETC,故C正確;

若平面丄平面4BFE,由平面/DEA平面

過。有兩條直線。，'，。，與平面ZB/E垂直，

這與過平面外一點有且只有一條直線與平面垂直相矛盾，故D錯誤.

三,填空題

13.（2023?榆林模擬）在四棱錐P-/8CZ）中，底面4BCZ）是矩形，必丄底面Z8CZ）,且以=

AB,AD=?B,則tan//PC=.

答案2

解析丄底面/BCD,NCU底面月BCD,.,.PALAC,

設(shè)/8=1,則以=1,4D=S,/。=W。2+°2=2,：.tanZAPC^—^2.

PA

14.（2022?安慶模擬）如圖，在三棱錐P-/8C中，點。為48的中點，點尸在平面48c內(nèi)的

射影恰為08的中點E,已知48=2尸0=2,點C到。尸的距離為他，則當N/CB最大時，

直線PC與平面PAB所成角的大小為.

答案;

3

解析,:點C到。尸的距離為他，

...點C是以O(shè)P為旋轉(zhuǎn)軸，/為底面半徑的圓柱與平面N8C的公共點,

即點C的軌跡是以48為焦距，以2s為短軸長的橢圓，

由橢圓的對稱性可知，

當/NC8最大時，AC=BC=2,COYAB,

:點P在平面ABC內(nèi)的射影恰為08的中點E,

...尸￡丄平面ABC,

平面PAB,

二平面以8丄平面ABC,

平面以8n平面月8c=Z8,OCU平面NBC,

；.CO丄平面PAB,

.?.NCPO是直線PC與平面218所成的角，

:C0=?OP=\,

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:.tan/CPO=叟=?：.ZCPO^~.

OP3

15.如圖所示，在長方體中，4B=3,ZO=4,441=5,點E是棱CG上的

一個動點，若平面5EA交棱/小于點F,則四棱錐S-8E。尸的體積為