2023年高中數(shù)學(xué)向量法求空間角學(xué)案

高中數(shù)學(xué)向量法求空間角

【考試要求】能用向量法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問(wèn)題，并能描述解決這一類(lèi)問(wèn)題

的程序，體會(huì)向量法在研究空間角問(wèn)題中的作用.

?落實(shí)主干知識(shí)

佚口識(shí)梳理】

1.異面直線所成的角

若異面直線八，，2所成的角為仇其方向向量分別是“，V,則cos6>=|cos〈"，v>|=.

2.直線與平面所成的角

如圖，直線48與平面a相交于點(diǎn)8,設(shè)直線N8與平面a所成的角為仇直線N8的方向向量為“，平面a的

法向量為"，貝sin(9=|cos(u,n)|=l|w||n|l=_________.

A

3.平面與平面的夾角

如圖，平面a與平酈相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90。的二面角稱(chēng)為平面a與平面

￡的夾角.

若平面a,4的法向量分別是和〃2,則平面a與平面￡的夾角即為向量小和小的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面a

與平面口的夾角為仇則COS(9=|COS〈"1,〃2〉|=.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“義”)

(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.()

(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.()

(3)兩異面直線所成角的范圍是(°，zJ,直線與平面所成角的范圍是一仇d.()

(4)直線的方向向量為〃，平面的法向量為〃，則線面南。滿(mǎn)足sin8=cos〈〃，〃〉.()

【教材改編題】

1.已知向量"，，"分別是直線/和平面a的方向向量和法向量，若cos{m,">=—L則直線/與平面a

2

所成的角為()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

2.已知直線/i的方向向量si=(l,0,l)與直線子的方向向量$2=(-1,2,-2),則直線/i和上所成角的余弦

值為()

3.平面a的一個(gè)法向量為旭=(1,2,-2),平面0的一個(gè)法向量為"=(2,2,1),則平面a與平面少夾角的正切

值為()

A4R9「4圾場(chǎng)

A—B—C.--------D.------

94654

■探究核心題型

題型一異面直線所成的角

例1(1)若正四棱柱/8CO—的體積為S，/8=1,則直線與CG所成的角為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

(2)(2022?杭州模擬)如圖，已知圓錐CO的截面△/BC是正三角形，AB是底面圓O的直徑，點(diǎn)。在筋上,

且NAOD=2/BOD,則異面直線與8c所成角的余弦值為()

C

AB

3

113

-C-D-

一B

A.

聽(tīng)4244

激-S:

思維升華用向量法求異面直線所成的角的一般步驟

(1)建立空間直角坐標(biāo)系.

(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量.

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.

(0-

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是I2,即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)

值.

跟蹤訓(xùn)練1(1)有公共邊的△NBC和△BCD均為等邊三角形，且所在平面互相垂直，則異面直線N5和

CD所成角的余弦值為.

(2)如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E是棱CG的中點(diǎn)，AF=L4D(O<A<1),若異面直

線。E和4廠所成角的余弦值為需，則力的值為.

題型二直線與平面所成的角

例2(12分)(2022?全國(guó)甲卷)在四棱錐P-48CQ中，PD_L底面/BCD,CD//AB,4D=DC=CB=1,AB

=2,DP=E

(1)證明：8力，〃；［切入點(diǎn)：由等腰梯形的性質(zhì)求8。長(zhǎng)］

(2)求尸。與平面R15所成的角的正弦值.［關(guān)鍵點(diǎn)：建立空間直角坐標(biāo)系求法向量］

2

思路分析

(1)由等腰梯形的性質(zhì)求

8。一勾股定理證明8O1AO

—BD1平面PDA.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系~

點(diǎn)坐標(biāo)一平面PAB的法向量

一由向量法求解.

-<D處求8。長(zhǎng)

-所以432+BD2=AE2,所以8DJ_AD2［3分］*—②處證明BD4.4。

因?yàn)镻。J.平^ABCD.BDC平面4BCD,所以PD1,BD,

又「。04。=。,尸。,4。匚平面/14。，

所以BDJ.平面PAD儂［5分］<……③處證明±平面PA。

又因?yàn)镻AU平面戶(hù)所以BO1PA.［6分］

(2)解由(1)知D4,DB,DP兩兩垂直，

如圖,以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.④［7分］?④處建立空間直角坐標(biāo)系

則仙(0,0,0)，(1,0,0)/(0,伍0),尸(0,0兩F［8分1*■■⑤處求點(diǎn)坐標(biāo)

則祚(-1,0,周，喬=(0,-值⑶，訴=(0,0,73).

設(shè)平面戶(hù)AB的一個(gè)法向量為n=(x,.y,z),

思維升華

3

跟蹤訓(xùn)練2如圖，在六面體刃C8D中，△以8是等邊三角形，平面R18與平面所成角為30。，PC

=AB=：4D=@BD=^AC=~\fiBC=4.

(1)證明：ABLPD；

(2)若點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CE與平面PAB所成角的正切值的最大值.

題型三平面與平面的夾角

例3(2023?泰安模擬)如圖，在五面體Z8CDE中，已知4CJ_平面BC。，ED//AC,且力C=8C=2EZ)=2,

DC=DB=S.

(1)求證：平面/8￡_L平面/8C；

(2)求平面/8E與平面BEC夾角的余弦值.

思維升華利用空間向量計(jì)算平面與平面夾角大小的常用方法

(1)找法向量：分別求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到平面與平面夾角的大小.

(2)我與棱垂直的方向向量：分