2023屆湖北省新高考高三年級下冊2月質量檢測數(shù)學試題

2023屆湖北省新高考高三下學期2月質量檢測數(shù)學試題

一、單選題

1.設集合厶y=Lx?_2x+3),8={y|y=|2sinx+l|},則()

A.[-3,2]B.[-1,1]C.[0,1]D.[0,2]

【答案】C

【分析】根據二次根式的性質，結合正弦函數(shù)的值域、集合交集的定義進行求解即可.

【詳解】由-x2—2x+3W0=-3Mx41,

因為-1VsinxVl,所以一142sinx+143=04|2sinx+l|43,

即4=[—3,l],8=[0,3],所以AI3=[0』].

故選：C

2.已知復數(shù)2=咎，則Z?5=()

1-1

35

A.1B.-C.2D.-

22

【答案】D

【分析】根據復數(shù)的乘除法則求出z的實部和虛部，再求出共鈍復數(shù).

2+i(2+i)(l+i)l+3i13.-13.

[i(■-(in-.]z=-----=------------7=------=-+—\,:.z=-------1,

1-i(l-i)(l+i)22222

-(13,Y13。195

(22丿(22丿442，

故選：D.

3.如圖是近十年來全國城鎮(zhèn)人口、鄉(xiāng)村人口隨年份變化的折線圖(數(shù)據來自國家統(tǒng)計局).根據該折

線圖判斷近十年的情況，下列說法錯誤的是()

A.城鎮(zhèn)人口與年份成正相關

B.鄉(xiāng)村人口與年份的樣本相關系數(shù)『接近1

C.城鎮(zhèn)人口逐年增長量大致相同

D.可預測鄉(xiāng)村人口仍呈下降趨勢

【答案】B

【分析】根據折線圖可分析城鎮(zhèn)人口與年份的關系可判斷A,根據相關系數(shù)的概念可判斷B,根據

折線圖趨勢可判斷C,D.

【詳解】對于A選項，由折線圖可知，城鎮(zhèn)人口與年份成正相關，A正確；

對于B選項，因為鄉(xiāng)村人口與年份成負線性相關關系，且線性相關性很強，

所以「接近-1，B錯誤；

對于c選項，城鎮(zhèn)人口y與年份x成正相關，且線性相關性很強,

設線性經驗回歸方程為亍=法+4(。>0)，

當x=《i=2012,2013,,2020)時，b(i+\)+a-(bi+a)=b,

故城鎮(zhèn)人口逐年增長量大致相同，C正確；

對于D選項，鄉(xiāng)村人口與年份成負線性相關關系，

可預測鄉(xiāng)村人口仍呈現(xiàn)下降趨勢，D正確.

故選:B.

4.已知e“2是單位向量，且與的夾角為不則何+闖(feR)的最小值為()

A.；B.立C.1D.亜

222

【答案】B

【分析】根據平面向量數(shù)量積的運算性質，結合配方法進行求解即可.

【詳解】k+聞2=e；+2g.02+=〃+/+1=。+丄］+-,

當f=時，卜+?「=^\e,+te2\=専

/.IImin4?1niin乙

故選：B.

5.已知/(可是偶函數(shù)且在［。,+8)上單調遞增，則滿足〃sinx)</(coM的一個“值的區(qū)間可以是

3九3兀3兀7兀

5'彳

【答案】B

【分析】根據偶函數(shù)的單調性的性質，結合余弦二倍角公式、余弦函數(shù)的性質進行求解即可.

【詳解】因為/(x)是偶函數(shù)，故F(x)=/(W),由/(sinx)</(co&x),得fQsirtr|)<川8閡)，由

函數(shù)在［0,卄)上單調遞增，得卜時<|cosx|,則sin,ccosZx,即cos2x>0,所以2履-］<2x<2E+］,

kwZ,

兀兀

即E——<x<lat+—,keZ,

44

當k=0時，-7<%<7?當左=一1時，，

4444

?-t37c57r、i,___?7兀9兀

當女=1時，一<x<一,當女=2時，一<x<一,

4444

所以ACD不合題意，選項B符合.

故選：B

6.已知點M(—2,0),N(l,0),若在圓C:(x-a)2+(y-l)2=(上存在點?滿足|PM|=2|PN|,則實數(shù)。

的取值范圍是()

B.1+"3+孚C.j+享2+等]D.[|4

A.[2,4]

【答案】C

【分析】設P(x,y)，由1PM=2|PN|,化簡可得E:(x-2)2+y2=4,點P既在圓C上，也在圓E上,

所以圓C與圓E有公共點，由圓與圓的位置關系求解即可.

【詳解】設P(x,y),由|PM|=2|PN|,得J(x+2)2+y2=2j(x—l)2+y2,

整理得f+戶4*=0,即理-2)2+9=4；

記圓E:(X-2)2+V=4,則點戶既在圓C上，也在圓E上，所以圓C與圓E有公共點,

所以白42同41,即沁5―2>+124：解得2+且4a42+亙.

222222

故選：C.

7.在正四面體ABC。中，M,N分別為AC,AO的中點，則異面直線8M,CN所成角的余弦值為()

111

AC

B.-45-D.6-

【答案】D

【分析】方法一：取4V中點E,連接歷E8E,利用余弦定理求虛，再利用余弦定理可得求

cosZBME,可求結果；

方法二：以｛CA,CB,C。｝為基底，利用向量法求cosBM,CN,可求結果.

【詳解】法一：取AN中點E,連接ME,BE,則ME//CN,

所以N3ME或其補角就是異面直線8M，CN所成的角.

則設AB=4,BM=CN=2x/3,ME=>/3,BE=ylAB2+AE2-2AB-A￡cos60=舊,

ME2^BM2-BE23+12-13_1

cos/BME=

2MEMB-2xV3x2V3-6

故選：D.

法二：不妨設正四面體ABC。的棱長為2,以｛C4,C8,C￡>｝為基底，則

BM=CM-CB=-CA-CB,CN=~(CA+CD),

則(丄CA2+J.CA.C￡>_CB.CA-CB.CO]=1X(1X22_3X22XCOS60]=--,

2122J2122J2

乂18MHOV|=6,所以c°s.，CM)=^g=[,

所以8M,CN所成角的余弦值為1.

o

故選：D.

8.已知a=>/^-l,b=',c=ln3,則()

82

A.a>b>cB.a>c>h

C.b>c>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】通過構造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調性的方法比較大小.

【詳解】a—b=\/e—1——=e—1————,

828

令/(x)=eA-l-x-:|-(x>0),貝!jr(x)=e*-l-x(x>0),

設/z(x)=e*-1-x(x>°)，有"(x)=e'-1>0,

所以/2（x）在（0,+8）上單調遞增，即尸（X）在（0,+8）上單調遞增，從而尸（司>/（0）=0,

所以/（X）在（0,+8）上單調遞增，于是/］）>/（0）=0,

即；

令g(x)=x-如(l+x)(x>0),則g(x)=l-4—=A^>0,

所以g(x)在(0,+8)上單調遞增，于是g(￡|>g(0)=0,即;>ln(l+g

所以6>c.

故選：A.

【點睛】方法點睛：構造函數(shù)比較大小主要方法有：

1.通過找中間值比較大小，要比較的兩個或者三個數(shù)之間沒有明顯的聯(lián)系，這個時候我們就可以通

過引入一個常數(shù)作為過渡變量，把要比較的數(shù)和中間變量比較大小，從而找到他們之間的大小關系。

2.通過構造函數(shù)比較大小，要比較大小的幾個數(shù)之間可以看成某個函數(shù)對應的函數(shù)值，我們只要構

造出函數(shù)，然后找到這個函數(shù)的單調性，就可以通過自變量的大小關系，進面找到要比較的數(shù)的大

小關系。有些時候構造的函數(shù)還需要通過放縮法進一步縮小范圍。

二、多選題

9.已知隨機變量XN（3,"），若尸（1WX<3）=04,則（）

A.P（X>5）=0.1B.P（l<X<5）=0.6

C.P（X<1）=O.ID.P（X21）=0.8

【答案】AC

【分析】根據正態(tài)分布概率曲線的對稱性，分別求出選項中的概率即可.

【詳解】解：由題意可知，P（X>5）=P（X>3）-P（3<X<5）

=0.5-P（l<X<3）=0.5-0.4=0.1,則選項A正確；

P（1<X<5）=2P（1<X<3）=（）.8,則選項B錯誤；

P（X<1）=P（X<3）-P（1<X<3）=0.5-0.4=0.1,則選項C正確；

P（X>l）=l-P（X<l）=0.9,則選項D錯誤.

故選：AC

10.已知4>0,。>0,且〃+丄=1,則（）

b

A.丄+人的最小值為4B.〃+上的最小值為!

ab~4

C.?的最大值為1D.的最小值為0-1

b42

【答案】ACD

【分析】結合己知等式，運用基本不等式、配方法逐一判斷即可.

丄

【詳解】—+/?=［—++丄］=1+1+而+丄N2+2、/"?丄=4,當且僅當必=1,即-2,時取

a（a八人丿abVab

b=2

等號，則A正確；

21（1V

aH—7/1\2111

一—切>-=丄，即當且僅當而=1,即y=5'時取等號，則B錯誤；

22（2丿4h22

b=2

\/

b—\,/\

色=上="1=_?_丄丫+丄,當3=5,即6=2時，國=

則C正確；

bbb2\b2）4b2，'丿疝

［一正

=—=-+--1>2.^i-l=V2-l,當且僅當一=

2時取等號，則D正確.

22b2b72b

故選：ACD

11.已知ABC。一為正四棱柱，底面邊長為2,高為4,E,尸分別為A4,88/的中點.則

下列說法正確的是()

A.直線AD/與平面QCC/O/所成角為B

6

B.平面AB/。/〃平面8。。

C.直線EF被正四棱柱的外接球截得的弦長為2石

D.以。為球心，2&為半徑的球與側面8CGB/的交線長為兀

【答案】BCD

【分析】對A選項找到NA。。即為線面夾角，即可判斷；對B選項證明與則得到與?！?/p>

平面2OC,同理得到ABt〃平面8DG，利用面面平行的判定定理則可證明；

對C選項得到外接球即為正四棱柱外接球,再利用垂徑定理得到EF的長;對D選項得到軌跡為。圓，

4

計算弧長即可.

【詳解】A.由正四棱柱的結構特征可知，則為直線4R與平面OCG2所成角，

1TT

tan/ARD=直線AR與平面。CG。所成角不等于J，故A錯誤；

26

B.由正四棱柱的結構特征可得，BB、〃DD、,BB,=DD,,

則四邊形BBI。。為平行四邊形，可得B,D\〃BD,

,：u平面BOG,BQ屋平面BDC1,

：.BQ、〃平面BDC、,

同理可證AM〃平面BOG，

又AB,c耳。=耳，且4用￡，u平面ABQ,

平面A&R〃平面8DG，故B正確；

C.三棱錐4用。的外接球的表面積，即正四柱的外接球的表面積，

外接球的半徑為R=g6壽彳=振，如下圖所示，顯然球心。距離直線EF的距離0G為1,弦

長MN=21局-1=2小

D.。到側面8CC円為2,易得交線軌跡與圓相關，設〃為球與側面交線軌跡的半徑，

『丿(2何—22=2,立體圖如下圖所示

球與側面8CG用的交線軌跡是以c為圓心，2為半徑的9圓，平面圖如下圖所示

4

故交線長為兀

故選：BCD.

【點睛】本題為立體幾何綜合題，考察了線面角，面面平行的判定，空間幾何體的表面積與體積等

知識，需要有一定的空間想象能力，對于一些常見的外接球模型要記住.

12.過橢圓C:￡+4=l外一點戶（乙,九）作橢圓C的兩條切線，切點分別為A,B,若直線PA,的

o4

斜率之積為“（加為常數(shù)），則點尸的軌跡可能是（）

A.兩條直線B.圓的一部分

C.橢圓的一部分D.雙曲線的一部分

【答案】BCD

【分析】設出切線方程且斜率為3聯(lián)立橢圓化筒使判別式等于零得到關于左等式，根據判別式及二

次方程和韋達定理可得%的范圍及即厶/心，根據加的不同取值分別判斷關于即“山網方程所對應的

軌跡即可.

【詳解】解：依題意可知直線小和直線尸8的斜率存在，

設過卩（品,幾）的橢圓的切線方程為=

（1+2&2+4k（yQ-kx0）x+2（y0-kxQ）'-8=0,

取A=16公（％-5）2-4（1+2用｛2（%_5）2_8卜0,

即（8*+2號城+4-女=0,

且有8-尺H0,改產±2>/2,且上式兩根分別為小,kPB,

則上式的判別式△1=4君y：-4（8-片）（4-y；）=128但+工一1]>0,

I84

整理得4?”符合題意，所以％/=曰=，〃,

①若根=0,則為=±2（玉產±2五）,

即尸點的軌跡是直線（兩條）的一部分;

②若根=(,則%=±等々卜。4±2&),即P點的軌跡是直線(兩條)的一部分；

1%.%—1

若〃2Ho且〃2W],整理可得8m-44-8777，

m

—4

③當m=-1時，-----=4-8/H=12,

m

軌跡方程可化為片+y；=12(與=±20),即P點的軌跡是圓的一部分；

—4Rill—4

④當〃2<—1或一1v〃7vO時，----->0,4-8w>0,且------。4一8團，

mm

由于%n±2啦，且細心=8-*>8,所以P點的軌跡是橢圓的一部分；

mm

?1Sm-4%?)i>-1

⑤當0<小<彳時，-----<0,4-8w>0,8m-44-8m表示焦點在V軸上的雙曲線，

2m

m

由于々產±2&,所以P點的軌跡是雙曲線的一部分.

故選：BCD

【點睛】思路點睛：該題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于難題，關于求軌跡方程的思路有：

(1)已知軌跡，建立合適的軌跡方程，用待定系數(shù)求解：

(2)未知軌跡，求哪點軌跡設哪點坐標為(x,y),根據題意建立關于x，y的等式即可；

(3)軌跡不好判斷，等式關系不好找時，找要求的軌跡點與題中的定點或定直線之間的定量關系，根

據轉化找出軌跡特點，建立軌跡方程，用待定系數(shù)求解.

三、填空題

13.A8，CRE五名同學站成一排合影，若3站在兩端，C和。相鄰，則不同的站隊方式共有

種.(用數(shù)字作答)

【答案】24

【分析】相鄰問題捆綁法，特殊元素優(yōu)先排，用分步計數(shù)完成.

【詳解】C,。相鄰，將C,。排在一起并看成一個整體，有2種方法，B站兩端，有2種方法，A,E

與CD,進行3個元素的全排列，有A；=6種方法，故不同的站隊方式共有2x2*A；=24種.

故答案為：24

14.若a為銳角，且cos(a+胃=|,則cos(：7t_2aj=.

【答案】一：逐##-撞

99

【分析】根據同角的三角函數(shù)關系式，結合誘導公式、二倍角的正弦公式進行求解即可.

【詳解】因為31+升|，又a為銳角，所以/a+?京

所以sin(a+《)=Jl-cos2(a+《

.A丄%）?（丄兀）丄兀145246

=-sin2a-\?一=-2、sina+—cos（a+—=-2x——x—=--------，

I6丿I6丿I6丿339

故答案為：-1君

15.已知直線點x-y+2=0和直線4：x=-l,P是拋物線C：V=4x上一點，則P到直線4和4的距離

之和的最小值是.

【答案】逑

2

【分析】由直線4-1是C的準線，得P到直線戶-1的距離等于歸打，過戶作尸。丄《于。，戶到直

線4和直線4的距離之和為|PF|+|R2|，當且僅當居尸,。三點共線時取得最小值.利用點到直線的距

離公式求解即可.

【詳解】設C的焦點為尸（1,0）,由直線戶-1是C的準線，得P到直線尸-1的距離等于|尸耳，過P

作PQ丄4于。，如圖所示，

則尸到直線4和直線4的距離之和為歸冃+|PQ|.過尸作Q尸丄4于2,交c于點6,因為

山尸|+出0=|尸烏閆"|+歸。（當且僅當￡P,Q三點共線時等號成立），所以點尸到4和到4的距離

之和的最小值就是點F到/.的距離，即所求最小值為|尸纟|=也當'=芋.

故答案為：逑

2

16.已知函數(shù)"X）=mjlnx-；+2x+］在區(qū)間［2,4］上有零點，則7m2+n2的最小值為.

【答案］勺屬

ln2

【分析】根據函數(shù)零點性質，結合點到直線距離公式，通過構造新函數(shù)，利用導數(shù)求出最值即可.

【詳解】設。為/（x）在［2,4］上的一個零點，則4加-；+2“+；〃=0,

所以在直線fna-；+gy+2a=0上,

又\Jnr+H2=J(加一O4+(〃-0)2=\OP\,O為坐標原點,

令g(x)=W(24x44),則/(“=彳"

4

所以g(x)在2,4上單調遞增，所以g(x)m,?=g(2)=7F

5/ln2

所以而育的最小值為忘=嚼

故答案沏嚕

【點睛】關鍵點睛：根據點到直線距離公式，結合兩點間距離公式，再構造函數(shù)求最值是解題的關

鍵.

四、解答題

17.在銳角一A3C中，&(l+cos24)=_6cosB-2sinC

sin2AsinB

⑴求A；

(2)若一ABC的面積為百，點O在線段A3上，且A￡)=23D,求C￡＞的最小值.

【答案】⑴A=；

⑵I".

【分析】(1)根據余弦、正弦二倍角公式，結合兩角和的正弦公式進行求解即可;

(2)根據三角形面積公式，結合余弦定理和基本不等式進行求解即可.

［詳解］(1)由題意，得二(1+2cos2,-1)=_辰osB-2sinC

2sinAcosAsinB

乂2cosA>0,所以&osA=_'cosB-2sinC

sinAsinB

所以>/3cosAsinB=-VSsinAcosB+2sirb4sinC,

即>/3cosAsinB+>/3sinAcosB=2sinAsinC,

即5^sin(A+=2sinAsinC,

即A^sinC=2sinAsinC,

由0<C〈7t,得sinCwO,解得sinA=，^.

2

因為一A6C為銳角三角形，所以A=.

(2)設內角A,仇C的對邊分別為〃也。，則_ABC的面積S='bcsinA=,解得兒=4；

24

22

由45=2%>,^AD=-AB=-c^

33

22

在二ACD中，由余弦定理得C￡>2="+(2C]_2b--ccosA=b+-c--be,

(3丿393

所以CD2>2.1b2-—c1——be——be-—,則CD>—y/6.

V93333

4b=—\[6

當且僅當62=?/,即3時，等號成立.

9[c=V6

此時B,C8的最小值為

18.已知等比數(shù)列｛%｝的各項均為正數(shù)，｛4｝的前〃項和為S,，且吐=9,邑-4旳=3.

⑴求｛4｝的通項公式；

(2A2b_j_3I

⑵設纟=1嗎?“+1，q=,記匕｝的前〃項和為z,,證明：T?<-.

【答案】⑴4=3"；

(2)證明見解析.

【分析】(1)設數(shù)列｛4｝的公比為4，由4=9,可得4=3,再由$3-4%=3,可得出=9,即可

得數(shù)列｛叫的通項公式；

3,\11T11

⑵由題意可得5,,=5(3"-1)也=〃，%=壽—從而可得■一“+1>3向,又由

1八1

西戸r>。，即可得仁.

【詳解】⑴解:設數(shù)列｛4｝的公比為數(shù)

則%1=9=八

因為何｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，

所以4=3,

由S3-4a2=3,

得絲+/+沁-4%=3,

q

解得生=9,

所以外=%W-2=3".

（2）證明：由（1）知，4=3,5“="絲」=|（3"-1）也=1083（|5“+1）=幅3"=〃.

2b“+32"+31________]

,"=?！八?=〃（〃+1）3向=/一（〃+1>3”

因為扁訶雙

111

所以3-（〃+1>3向<§'

即謂.

19.2022年11月21日第22屆世界杯在卡塔爾開幕，是歷史上首次在中東國家舉辦，也是第二次

在亞洲國家舉辦的世界杯足球賽.某?！白闱蛏鐖F”調查學生喜歡足球是否與性別有關，現(xiàn)從男女同學

中各隨機抽取100人，其中喜歡足球的學生占總數(shù)的80%,女同學中不喜歡足球的人數(shù)是男同學中

不喜歡足球人數(shù)的3倍.

⑴完成下列2x2列聯(lián)表，并依據小概率值a=0.001的獨立性檢驗推斷喜歡足球與性別是否有關聯(lián)?

喜歡不喜歡總計

男同學

女同學

總計

（2）對200人中不喜歡足球的同學采用按性別比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取12人，再從這12

人中隨機抽取3人，用X表示隨機抽取的3人中女同學的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.

附：

a0.050.010.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，喜歡足球與性別有關聯(lián);

9

⑵分布列答案見解析，數(shù)學期望：

4

【分析】（1）根據題中數(shù)據完成列聯(lián)表，結合公式進行求解運算判斷即可；

（2）根據分層抽樣的性質，結合古典概型計算公式、數(shù)學期望公式進行求解即可.

【詳解】（1）男女同學共200人，喜歡足球的學生占總數(shù)的80%,即160人，有40人不喜歡足球,

其中女同學是男同學的3倍，所以女同學不喜歡足球的30人，男同學不喜歡足球的10人，所以男

同學喜歡足球的90人，女同學喜歡足球的70人，可得2x2列聯(lián)表.

喜歡不喜歡總計

男同學9010100

女同學7030100

總計16040200

零假設為4。：喜歡足球與性別無關聯(lián).

根據表中數(shù)據，計算得到

200x(90x30-70xlQ)2

Z2=12.5>10.828=2l.

100x100x160x400G

根據小概率值1=0.001的獨立性檢驗，可以推斷/不成立，即喜歡足球與性別有關聯(lián);

（2）按分層抽樣，設女同學x人，男同學y人，則吃=義=2，解得x=9,y=3,

301040

即從不喜歡足球的同學中抽取9名女同學，3名男同學.

X的可能取值為01,2,3,則

P"）言鏡，*X=1）=曽嗚，小=2）=等27

lx]2/,-U1^124乙U55

所以隨機變量X的分布列如下表所示:

X0123

1272721

P

2202205555

丄丄廠/s八1127c27c219

故E(X)=0x------Fix------F2x---F3x—=一

1722022055554

20.如圖1,在菱形48co中，E為AB的中點，AB=4,/D48=?.現(xiàn)將VADE沿DE翻折至,,

并連接得到如圖2所示的四棱錐P-3CDE,且PC=4&.

（1）證明：PE丄CD；

⑵在棱CP上是否存在點使得加與平面尸皿所成的角的正弦值為?？若存在'求出罟的值:

若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析

(2)存在，=2-42

【分析】(1)利用余弦定理求邊長，勾股定理證明垂直，得PE丄DE,PE1EC,證得PE丄平面

BCDE,從而PE丄CD.

CM

(2)建立空間直角坐標系，借助空間向量，利用已知線面角的正弦，求得爲的值.

【詳解】(1)證明：在中，DE2=AD2+AE2-2AD-AEcosA=42+22-2x4x2xcos60=12,

由AE=2,AO=4,得A￡：2+OE2=AD2，

所以AE丄￡>E,即在空間中PE丄￡>￡.

XAB//CD,所以DE丄CD.

連接EC,在△￡?￡2中，EC2=￡>￡2+CD2=12+42=28:

在工PCE中，由PE=2,PC=4夜，WPC2=PE2+EC2.

所以PE丄EC.

又DEEC=E,DE,ECu平面BCDE,所以PE丄平面8COE.

又COu平面3CZ5E,所以PE丄CD.

(2)由(1)可知￡￡>,E8,EP兩兩垂直，分別以E￡>,E8,EP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直

角坐標系E-型,則。(2"0,0),8(0,2,0),C(2?4,0),*0,0,2),

BP=(0,-2,2),DP=(-2^,0,2).

n-BP=0,-2y+2z=0,

設平面尸3。的法向量〃=(x,y,z),-

n-DP=0-2A/JX+2Z=0.

令%=1,則〃=(1,G,J5).

假設棱CP上存在M點，使得DM與平面尸切所成的角的正弦值為五，

7

設CM=2CP(0<2<1),則CM=4CP=%(-2^,-4,2)=(-2A/32,-442〃，

OM=OC+CM=(0,4,0)+12⑨,-42,22)=12&,4-44,2%),

n?DM卜2&+473-4屆+2例卜百-45/叫不

所以卜os(〃,￡)M，=

n||DM幣.J(-2國產+―—旬2+(2/)2V7.V3222-32/1+167

整理得力-42+2=0,解得2=2±拒.

又0W4W1,所以?1=2—>/2,故=2—■

2L已知雙曲線44=9。")的焦距為4向直線W座與C交于48兩點,點/>是C上

異于A8兩點的動點，且直線24,P8的斜率之積為g.

（1）求C的方程；

⑵己知M是直線x=2上的動點，過點M作兩條傾斜角互補的直線分別交C于點S,7和點E,F,若

\MS\-\M1\=A\ME\-\MF\,求實數(shù)2的值.

22

【答案】（1）今一3=1

168

⑵4=1

【分析】（1）先表示出斜率之積，根據焦距及4〃，。的關系可得方程；

（2）設出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，結合韋達定理和弦長公式，分別求出目標長度，可得答案.

【詳解】（1）由題意,設厶（方2）,8（—%,-乂）,/）優(yōu),力）,

所以統(tǒng)

2,

x2-Xxx24-Xj石

。2），

由點AP在雙曲線C上，得工_耳.=1,與一馬=1,

a~b~a~b~

兩式相減’得寧一曰=°'即符

〃21

由題意,得勺,.

a22

b21

./=5r,

設C的焦距為2c,則〈,2=/+從，解得:二1：

[―U—O

2c=4V6

r2”2

所以。的方程為土-上二1.

168

（2）由題意設"（2"）,直線ST:y=A（x—2）+f,

y=k（^x-2^+t,

2

聯(lián)立《X/化簡得（1—2公卜2一4/?—2%.—2（f—24）2—16=0.

--------=1,

168

則1一2公羊0,判別式△=8任-4W-12公+8）＞0,

設5（0為），7（又，必），則與+%;[（f毛匕=-2（；空二一,

1—NK1—

易知財S|=J1+公|X3-2|,|MT|=Jl+公|X4-2|,

所以

|A/S|jAfr]=(1+)|(七—2)(2—2)|=(1+2~)歸工4—2(w+/)+4卜(1+，)

-2(t-2k)2-16o2,+12

2=(1+用

___\-2k21-2左2

由題意，得直線EF：y=d(x-2)+f,

同理可得\ME\-\MF\=(i+k2)步當.

所以|琳|.|町=可得2=1.

22.已知函數(shù)/(x)=x-xlnx.

⑴當0<xVl時，x+a4.f(x)4x+6恒成立，求心一目的最小值;

(2)若關于x的方程/(耳=。的兩個根分別為與,々(與<馬),