2023屆湖北省新高考高三年級(jí)下冊(cè)2月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

2023屆湖北省新高考高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.設(shè)集合厶y=Lx?_2x+3),8={y|y=|2sinx+l|},則()

A.[-3,2]B.[-1,1]C.[0,1]D.[0,2]

【答案】C

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，結(jié)合正弦函數(shù)的值域、集合交集的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】由-x2—2x+3W0=-3Mx41,

因?yàn)?1VsinxVl,所以一142sinx+143=04|2sinx+l|43,

即4=[—3,l],8=[0,3],所以AI3=[0』].

故選：C

2.已知復(fù)數(shù)2=咎，則Z?5=()

1-1

35

A.1B.-C.2D.-

22

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法則求出z的實(shí)部和虛部，再求出共鈍復(fù)數(shù).

2+i(2+i)(l+i)l+3i13.-13.

[i(■-(in-.]z=-----=------------7=------=-+—\,:.z=-------1,

1-i(l-i)(l+i)22222

-(13,Y13。195

(22丿(22丿442，

故選：D.

3.如圖是近十年來(lái)全國(guó)城鎮(zhèn)人口、鄉(xiāng)村人口隨年份變化的折線圖(數(shù)據(jù)來(lái)自國(guó)家統(tǒng)計(jì)局).根據(jù)該折

線圖判斷近十年的情況，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.城鎮(zhèn)人口與年份成正相關(guān)

B.鄉(xiāng)村人口與年份的樣本相關(guān)系數(shù)『接近1

C.城鎮(zhèn)人口逐年增長(zhǎng)量大致相同

D.可預(yù)測(cè)鄉(xiāng)村人口仍呈下降趨勢(shì)

【答案】B

【分析】根據(jù)折線圖可分析城鎮(zhèn)人口與年份的關(guān)系可判斷A,根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念可判斷B,根據(jù)

折線圖趨勢(shì)可判斷C,D.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由折線圖可知，城鎮(zhèn)人口與年份成正相關(guān)，A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)猷l(xiāng)村人口與年份成負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，且線性相關(guān)性很強(qiáng)，

所以「接近-1，B錯(cuò)誤；

對(duì)于c選項(xiàng)，城鎮(zhèn)人口y與年份x成正相關(guān)，且線性相關(guān)性很強(qiáng),

設(shè)線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為亍=法+4(。>0)，

當(dāng)x=《i=2012,2013,,2020)時(shí)，b(i+\)+a-(bi+a)=b,

故城鎮(zhèn)人口逐年增長(zhǎng)量大致相同，C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，鄉(xiāng)村人口與年份成負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，

可預(yù)測(cè)鄉(xiāng)村人口仍呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，D正確.

故選:B.

4.已知e“2是單位向量，且與的夾角為不則何+闖(feR)的最小值為()

A.；B.立C.1D.亜

222

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合配方法進(jìn)行求解即可.

【詳解】k+聞2=e；+2g.02+=〃+/+1=。+丄］+-,

當(dāng)f=時(shí)，卜+?「=^\e,+te2\=専

/.IImin4?1niin乙

故選：B.

5.已知/(可是偶函數(shù)且在［。,+8)上單調(diào)遞增，則滿足〃sinx)</(coM的一個(gè)“值的區(qū)間可以是

3九3兀3兀7兀

5'彳

【答案】B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合余弦二倍角公式、余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)?(x)是偶函數(shù)，故F(x)=/(W),由/(sinx)</(co&x),得fQsirtr|)<川8閡)，由

函數(shù)在［0,卄)上單調(diào)遞增，得卜時(shí)<|cosx|,則sin,ccosZx,即cos2x>0,所以2履-］<2x<2E+］,

kwZ,

兀兀

即E——<x<lat+—,keZ,

44

當(dāng)k=0時(shí)，-7<%<7?當(dāng)左=一1時(shí)，，

4444

?-t37c57r、i,___?7兀9兀

當(dāng)女=1時(shí)，一<x<一,當(dāng)女=2時(shí)，一<x<一,

4444

所以ACD不合題意，選項(xiàng)B符合.

故選：B

6.已知點(diǎn)M(—2,0),N(l,0),若在圓C:(x-a)2+(y-l)2=(上存在點(diǎn)?滿足|PM|=2|PN|,則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是()

B.1+"3+孚C.j+享2+等]D.[|4

A.[2,4]

【答案】C

【分析】設(shè)P(x,y)，由1PM=2|PN|,化簡(jiǎn)可得E:(x-2)2+y2=4,點(diǎn)P既在圓C上，也在圓E上,

所以圓C與圓E有公共點(diǎn)，由圓與圓的位置關(guān)系求解即可.

【詳解】設(shè)P(x,y),由|PM|=2|PN|,得J(x+2)2+y2=2j(x—l)2+y2,

整理得f+戶4*=0,即理-2)2+9=4；

記圓E:(X-2)2+V=4,則點(diǎn)戶既在圓C上，也在圓E上，所以圓C與圓E有公共點(diǎn),

所以白42同41,即沁5―2>+124：解得2+且4a42+亙.

222222

故選：C.

7.在正四面體ABC。中，M,N分別為AC,AO的中點(diǎn)，則異面直線8M,CN所成角的余弦值為()

111

AC

B.-45-D.6-

【答案】D

【分析】方法一：取4V中點(diǎn)E,連接歷E8E,利用余弦定理求虛，再利用余弦定理可得求

cosZBME,可求結(jié)果；

方法二：以｛CA,CB,C。｝為基底，利用向量法求cosBM,CN,可求結(jié)果.

【詳解】法一：取AN中點(diǎn)E,連接ME,BE,則ME//CN,

所以N3ME或其補(bǔ)角就是異面直線8M，CN所成的角.

則設(shè)AB=4,BM=CN=2x/3,ME=>/3,BE=ylAB2+AE2-2AB-A￡cos60=舊,

ME2^BM2-BE23+12-13_1

cos/BME=

2MEMB-2xV3x2V3-6

故選：D.

法二：不妨設(shè)正四面體ABC。的棱長(zhǎng)為2,以｛C4,C8,C￡>｝為基底，則

BM=CM-CB=-CA-CB,CN=~(CA+CD),

則(丄CA2+J.CA.C￡>_CB.CA-CB.CO]=1X(1X22_3X22XCOS60]=--,

2122J2122J2

乂18MHOV|=6,所以c°s.，CM)=^g=[,

所以8M,CN所成角的余弦值為1.

o

故選：D.

8.已知a=>/^-l,b=',c=ln3,則()

82

A.a>b>cB.a>c>h

C.b>c>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性的方法比較大小.

【詳解】a—b=\/e—1——=e—1————,

828

令/(x)=eA-l-x-:|-(x>0),貝!jr(x)=e*-l-x(x>0),

設(shè)/z(x)=e*-1-x(x>°)，有"(x)=e'-1>0,

所以/2（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增，即尸（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增，從而尸（司>/（0）=0,

所以/（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增，于是/］）>/（0）=0,

即；

令g(x)=x-如(l+x)(x>0),則g(x)=l-4—=A^>0,

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，于是g(￡|>g(0)=0,即;>ln(l+g

所以6>c.

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)比較大小主要方法有：

1.通過(guò)找中間值比較大小，要比較的兩個(gè)或者三個(gè)數(shù)之間沒(méi)有明顯的聯(lián)系，這個(gè)時(shí)候我們就可以通

過(guò)引入一個(gè)常數(shù)作為過(guò)渡變量，把要比較的數(shù)和中間變量比較大小，從而找到他們之間的大小關(guān)系。

2.通過(guò)構(gòu)造函數(shù)比較大小，要比較大小的幾個(gè)數(shù)之間可以看成某個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，我們只要構(gòu)

造出函數(shù)，然后找到這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，就可以通過(guò)自變量的大小關(guān)系，進(jìn)面找到要比較的數(shù)的大

小關(guān)系。有些時(shí)候構(gòu)造的函數(shù)還需要通過(guò)放縮法進(jìn)一步縮小范圍。

二、多選題

9.已知隨機(jī)變量XN（3,"），若尸（1WX<3）=04,則（）

A.P（X>5）=0.1B.P（l<X<5）=0.6

C.P（X<1）=O.ID.P（X21）=0.8

【答案】AC

【分析】根據(jù)正態(tài)分布概率曲線的對(duì)稱性，分別求出選項(xiàng)中的概率即可.

【詳解】解：由題意可知，P（X>5）=P（X>3）-P（3<X<5）

=0.5-P（l<X<3）=0.5-0.4=0.1,則選項(xiàng)A正確；

P（1<X<5）=2P（1<X<3）=（）.8,則選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

P（X<1）=P（X<3）-P（1<X<3）=0.5-0.4=0.1,則選項(xiàng)C正確；

P（X>l）=l-P（X<l）=0.9,則選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AC

10.已知4>0,。>0,且〃+丄=1,則（）

b

A.丄+人的最小值為4B.〃+上的最小值為!

ab~4

C.?的最大值為1D.的最小值為0-1

b42

【答案】ACD

【分析】結(jié)合己知等式，運(yùn)用基本不等式、配方法逐一判斷即可.

丄

【詳解】—+/?=［—++丄］=1+1+而+丄N2+2、/"?丄=4,當(dāng)且僅當(dāng)必=1,即-2,時(shí)取

a（a八人丿abVab

b=2

等號(hào)，則A正確；

21（1V

aH—7/1\2111

一—切>-=丄，即當(dāng)且僅當(dāng)而=1,即y=5'時(shí)取等號(hào)，則B錯(cuò)誤；

22（2丿4h22

b=2

\/

b—\,/\

色=上="1=_?_丄丫+丄,當(dāng)3=5,即6=2時(shí)，國(guó)=

則C正確；

bbb2\b2）4b2，'丿疝

［一正

=—=-+--1>2.^i-l=V2-l,當(dāng)且僅當(dāng)一=

2時(shí)取等號(hào)，則D正確.

22b2b72b

故選：ACD

11.已知ABC。一為正四棱柱，底面邊長(zhǎng)為2,高為4,E,尸分別為A4,88/的中點(diǎn).則

下列說(shuō)法正確的是()

A.直線AD/與平面QCC/O/所成角為B

6

B.平面AB/。/〃平面8。。

C.直線EF被正四棱柱的外接球截得的弦長(zhǎng)為2石

D.以。為球心，2&為半徑的球與側(cè)面8CGB/的交線長(zhǎng)為兀

【答案】BCD

【分析】對(duì)A選項(xiàng)找到NA。。即為線面夾角，即可判斷；對(duì)B選項(xiàng)證明與則得到與?！?/p>

平面2OC,同理得到ABt〃平面8DG，利用面面平行的判定定理則可證明；

對(duì)C選項(xiàng)得到外接球即為正四棱柱外接球,再利用垂徑定理得到EF的長(zhǎng);對(duì)D選項(xiàng)得到軌跡為。圓，

4

計(jì)算弧長(zhǎng)即可.

【詳解】A.由正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征可知，則為直線4R與平面OCG2所成角，

1TT

tan/ARD=直線AR與平面。CG。所成角不等于J，故A錯(cuò)誤；

26

B.由正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征可得，BB、〃DD、,BB,=DD,,

則四邊形BBI。。為平行四邊形，可得B,D\〃BD,

,：u平面BOG,BQ屋平面BDC1,

：.BQ、〃平面BDC、,

同理可證AM〃平面BOG，

又AB,c耳。=耳，且4用￡，u平面ABQ,

平面A&R〃平面8DG，故B正確；

C.三棱錐4用。的外接球的表面積，即正四柱的外接球的表面積，

外接球的半徑為R=g6壽彳=振，如下圖所示，顯然球心。距離直線EF的距離0G為1,弦

長(zhǎng)MN=21局-1=2小

D.。到側(cè)面8CC円為2,易得交線軌跡與圓相關(guān)，設(shè)〃為球與側(cè)面交線軌跡的半徑，

『丿(2何—22=2,立體圖如下圖所示

球與側(cè)面8CG用的交線軌跡是以c為圓心，2為半徑的9圓，平面圖如下圖所示

4

故交線長(zhǎng)為兀

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】本題為立體幾何綜合題，考察了線面角，面面平行的判定，空間幾何體的表面積與體積等

知識(shí)，需要有一定的空間想象能力，對(duì)于一些常見(jiàn)的外接球模型要記住.

12.過(guò)橢圓C:￡+4=l外一點(diǎn)戶（乙,九）作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,若直線PA,的

o4

斜率之積為“（加為常數(shù)），則點(diǎn)尸的軌跡可能是（）

A.兩條直線B.圓的一部分

C.橢圓的一部分D.雙曲線的一部分

【答案】BCD

【分析】設(shè)出切線方程且斜率為3聯(lián)立橢圓化筒使判別式等于零得到關(guān)于左等式，根據(jù)判別式及二

次方程和韋達(dá)定理可得%的范圍及即厶/心，根據(jù)加的不同取值分別判斷關(guān)于即“山網(wǎng)方程所對(duì)應(yīng)的

軌跡即可.

【詳解】解：依題意可知直線小和直線尸8的斜率存在，

設(shè)過(guò)卩（品,幾）的橢圓的切線方程為=

（1+2&2+4k（yQ-kx0）x+2（y0-kxQ）'-8=0,

取A=16公（％-5）2-4（1+2用｛2（%_5）2_8卜0,

即（8*+2號(hào)城+4-女=0,

且有8-尺H0,改產(chǎn)±2>/2,且上式兩根分別為小,kPB,

則上式的判別式△1=4君y：-4（8-片）（4-y；）=128但+工一1]>0,

I84

整理得4?”符合題意，所以％/=曰=，〃,

①若根=0,則為=±2（玉產(chǎn)±2五）,

即尸點(diǎn)的軌跡是直線（兩條）的一部分;

②若根=(,則%=±等々卜。4±2&),即P點(diǎn)的軌跡是直線(兩條)的一部分；

1%.%—1

若〃2Ho且〃2W],整理可得8m-44-8777，

m

—4

③當(dāng)m=-1時(shí)，-----=4-8/H=12,

m

軌跡方程可化為片+y；=12(與=±20),即P點(diǎn)的軌跡是圓的一部分；

—4Rill—4

④當(dāng)〃2<—1或一1v〃7vO時(shí)，----->0,4-8w>0,且------。4一8團(tuán)，

mm

由于%n±2啦，且細(xì)心=8-*>8,所以P點(diǎn)的軌跡是橢圓的一部分；

mm

?1Sm-4%?)i>-1

⑤當(dāng)0<小<彳時(shí)，-----<0,4-8w>0,8m-44-8m表示焦點(diǎn)在V軸上的雙曲線，

2m

m

由于々產(chǎn)±2&,所以P點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一部分.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：該題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，屬于難題，關(guān)于求軌跡方程的思路有：

(1)已知軌跡，建立合適的軌跡方程，用待定系數(shù)求解：

(2)未知軌跡，求哪點(diǎn)軌跡設(shè)哪點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)題意建立關(guān)于x，y的等式即可；

(3)軌跡不好判斷，等式關(guān)系不好找時(shí)，找要求的軌跡點(diǎn)與題中的定點(diǎn)或定直線之間的定量關(guān)系，根

據(jù)轉(zhuǎn)化找出軌跡特點(diǎn)，建立軌跡方程，用待定系數(shù)求解.

三、填空題

13.A8，CRE五名同學(xué)站成一排合影，若3站在兩端，C和。相鄰，則不同的站隊(duì)方式共有

種.(用數(shù)字作答)

【答案】24

【分析】相鄰問(wèn)題捆綁法，特殊元素優(yōu)先排，用分步計(jì)數(shù)完成.

【詳解】C,。相鄰，將C,。排在一起并看成一個(gè)整體，有2種方法，B站兩端，有2種方法，A,E

與CD,進(jìn)行3個(gè)元素的全排列，有A；=6種方法，故不同的站隊(duì)方式共有2x2*A；=24種.

故答案為：24

14.若a為銳角，且cos(a+胃=|,則cos(：7t_2aj=.

【答案】一：逐##-撞

99

【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)?1+升|，又a為銳角，所以/a+?京

所以sin(a+《)=Jl-cos2(a+《

.A丄%）?（丄兀）丄兀145246

=-sin2a-\?一=-2、sina+—cos（a+—=-2x——x—=--------，

I6丿I6丿I6丿339

故答案為：-1君

15.已知直線點(diǎn)x-y+2=0和直線4：x=-l,P是拋物線C：V=4x上一點(diǎn)，則P到直線4和4的距離

之和的最小值是.

【答案】逑

2

【分析】由直線4-1是C的準(zhǔn)線，得P到直線戶-1的距離等于歸打，過(guò)戶作尸。丄《于。，戶到直

線4和直線4的距離之和為|PF|+|R2|，當(dāng)且僅當(dāng)居尸,。三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值.利用點(diǎn)到直線的距

離公式求解即可.

【詳解】設(shè)C的焦點(diǎn)為尸（1,0）,由直線戶-1是C的準(zhǔn)線，得P到直線尸-1的距離等于|尸耳，過(guò)P

作PQ丄4于。，如圖所示，

則尸到直線4和直線4的距離之和為歸冃+|PQ|.過(guò)尸作Q尸丄4于2,交c于點(diǎn)6,因?yàn)?/p>

山尸|+出0=|尸烏閆"|+歸。（當(dāng)且僅當(dāng)￡P(guān),Q三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立），所以點(diǎn)尸到4和到4的距離

之和的最小值就是點(diǎn)F到/.的距離，即所求最小值為|尸纟|=也當(dāng)'=芋.

故答案為：逑

2

16.已知函數(shù)"X）=mjlnx-；+2x+］在區(qū)間［2,4］上有零點(diǎn)，則7m2+n2的最小值為.

【答案］勺屬

ln2

【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可.

【詳解】設(shè)。為/（x）在［2,4］上的一個(gè)零點(diǎn)，則4加-；+2“+；〃=0,

所以在直線fna-；+gy+2a=0上,

又\Jnr+H2=J(加一O4+(〃-0)2=\OP\,O為坐標(biāo)原點(diǎn),

令g(x)=W(24x44),則/(“=彳"

4

所以g(x)在2,4上單調(diào)遞增，所以g(x)m,?=g(2)=7F

5/ln2

所以而育的最小值為忘=嚼

故答案沏嚕

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式，再構(gòu)造函數(shù)求最值是解題的關(guān)

鍵.

四、解答題

17.在銳角一A3C中，&(l+cos24)=_6cosB-2sinC

sin2AsinB

⑴求A；

(2)若一ABC的面積為百，點(diǎn)O在線段A3上，且A￡)=23D,求C￡＞的最小值.

【答案】⑴A=；

⑵I".

【分析】(1)根據(jù)余弦、正弦二倍角公式，結(jié)合兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可;

(2)根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理和基本不等式進(jìn)行求解即可.

［詳解］(1)由題意，得二(1+2cos2,-1)=_辰osB-2sinC

2sinAcosAsinB

乂2cosA>0,所以&osA=_'cosB-2sinC

sinAsinB

所以>/3cosAsinB=-VSsinAcosB+2sirb4sinC,

即>/3cosAsinB+>/3sinAcosB=2sinAsinC,

即5^sin(A+=2sinAsinC,

即A^sinC=2sinAsinC,

由0<C〈7t,得sinCwO,解得sinA=，^.

2

因?yàn)橐籄6C為銳角三角形，所以A=.

(2)設(shè)內(nèi)角A,仇C的對(duì)邊分別為〃也。，則_ABC的面積S='bcsinA=,解得兒=4；

24

22

由45=2%>,^AD=-AB=-c^

33

22

在二ACD中，由余弦定理得C￡>2="+(2C]_2b--ccosA=b+-c--be,

(3丿393

所以CD2>2.1b2-—c1——be——be-—,則CD>—y/6.

V93333

4b=—\[6

當(dāng)且僅當(dāng)62=?/,即3時(shí)，等號(hào)成立.

9[c=V6

此時(shí)B,C8的最小值為

18.已知等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,，且吐=9,邑-4旳=3.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2A2b_j_3I

⑵設(shè)纟=1嗎?“+1，q=,記匕｝的前〃項(xiàng)和為z,,證明：T?<-.

【答案】⑴4=3"；

(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為4，由4=9,可得4=3,再由$3-4%=3,可得出=9,即可

得數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式；

3,\11T11

⑵由題意可得5,,=5(3"-1)也=〃，%=壽—從而可得■一“+1>3向,又由

1八1

西戸r>。，即可得仁.

【詳解】⑴解:設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為數(shù)

則%1=9=八

因?yàn)楹危歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，

所以4=3,

由S3-4a2=3,

得絲+/+沁-4%=3,

q

解得生=9,

所以外=%W-2=3".

（2）證明：由（1）知，4=3,5“="絲」=|（3"-1）也=1083（|5“+1）=幅3"=〃.

2b“+32"+31________]

,"=?！八?=〃（〃+1）3向=/一（〃+1>3”

因?yàn)楸庠X雙

111

所以3-（〃+1>3向<§'

即謂.

19.2022年11月21日第22屆世界杯在卡塔爾開(kāi)幕，是歷史上首次在中東國(guó)家舉辦，也是第二次

在亞洲國(guó)家舉辦的世界杯足球賽.某?！白闱蛏鐖F(tuán)”調(diào)查學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，現(xiàn)從男女同學(xué)

中各隨機(jī)抽取100人，其中喜歡足球的學(xué)生占總數(shù)的80%,女同學(xué)中不喜歡足球的人數(shù)是男同學(xué)中

不喜歡足球人數(shù)的3倍.

⑴完成下列2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷喜歡足球與性別是否有關(guān)聯(lián)?

喜歡不喜歡總計(jì)

男同學(xué)

女同學(xué)

總計(jì)

（2）對(duì)200人中不喜歡足球的同學(xué)采用按性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取12人，再?gòu)倪@12

人中隨機(jī)抽取3人，用X表示隨機(jī)抽取的3人中女同學(xué)的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：

a0.050.010.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

【答案】（1）列聯(lián)表答案見(jiàn)解析，喜歡足球與性別有關(guān)聯(lián);

9

⑵分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：

4

【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，結(jié)合公式進(jìn)行求解運(yùn)算判斷即可；

（2）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，結(jié)合古典概型計(jì)算公式、數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）男女同學(xué)共200人，喜歡足球的學(xué)生占總數(shù)的80%,即160人，有40人不喜歡足球,

其中女同學(xué)是男同學(xué)的3倍，所以女同學(xué)不喜歡足球的30人，男同學(xué)不喜歡足球的10人，所以男

同學(xué)喜歡足球的90人，女同學(xué)喜歡足球的70人，可得2x2列聯(lián)表.

喜歡不喜歡總計(jì)

男同學(xué)9010100

女同學(xué)7030100

總計(jì)16040200

零假設(shè)為4。：喜歡足球與性別無(wú)關(guān)聯(lián).

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得到

200x(90x30-70xlQ)2

Z2=12.5>10.828=2l.

100x100x160x400G

根據(jù)小概率值1=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷/不成立，即喜歡足球與性別有關(guān)聯(lián);

（2）按分層抽樣，設(shè)女同學(xué)x人，男同學(xué)y人，則吃=義=2，解得x=9,y=3,

301040

即從不喜歡足球的同學(xué)中抽取9名女同學(xué)，3名男同學(xué).

X的可能取值為01,2,3,則

P"）言鏡，*X=1）=曽嗚，小=2）=等27

lx]2/,-U1^124乙U55

所以隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:

X0123

1272721

P

2202205555

丄丄廠/s八1127c27c219

故E(X)=0x------Fix------F2x---F3x—=一

1722022055554

20.如圖1,在菱形48co中，E為AB的中點(diǎn)，AB=4,/D48=?.現(xiàn)將VADE沿DE翻折至,,

并連接得到如圖2所示的四棱錐P-3CDE,且PC=4&.

（1）證明：PE丄CD；

⑵在棱CP上是否存在點(diǎn)使得加與平面尸皿所成的角的正弦值為?？若存在'求出罟的值:

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

(2)存在，=2-42

【分析】(1)利用余弦定理求邊長(zhǎng)，勾股定理證明垂直，得PE丄DE,PE1EC,證得PE丄平面

BCDE,從而PE丄CD.

CM

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量，利用已知線面角的正弦，求得爲(wèi)的值.

【詳解】(1)證明：在中，DE2=AD2+AE2-2AD-AEcosA=42+22-2x4x2xcos60=12,

由AE=2,AO=4,得A￡：2+OE2=AD2，

所以AE丄￡>E,即在空間中PE丄￡>￡.

XAB//CD,所以DE丄CD.

連接EC,在△￡?￡2中，EC2=￡>￡2+CD2=12+42=28:

在工PCE中，由PE=2,PC=4夜，WPC2=PE2+EC2.

所以PE丄EC.

又DEEC=E,DE,ECu平面BCDE,所以PE丄平面8COE.

又COu平面3CZ5E,所以PE丄CD.

(2)由(1)可知￡￡>,E8,EP兩兩垂直，分別以E￡>,E8,EP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直

角坐標(biāo)系E-型,則。(2"0,0),8(0,2,0),C(2?4,0),*0,0,2),

BP=(0,-2,2),DP=(-2^,0,2).

n-BP=0,-2y+2z=0,

設(shè)平面尸3。的法向量〃=(x,y,z),-

n-DP=0-2A/JX+2Z=0.

令%=1,則〃=(1,G,J5).

假設(shè)棱CP上存在M點(diǎn)，使得DM與平面尸切所成的角的正弦值為五，

7

設(shè)CM=2CP(0<2<1),則CM=4CP=%(-2^,-4,2)=(-2A/32,-442〃，

OM=OC+CM=(0,4,0)+12⑨,-42,22)=12&,4-44,2%),

n?DM卜2&+473-4屆+2例卜百-45/叫不

所以卜os(〃,￡)M，=

n||DM幣.J(-2國(guó)產(chǎn)+―—旬2+(2/)2V7.V3222-32/1+167

整理得力-42+2=0,解得2=2±拒.

又0W4W1,所以?1=2—>/2,故=2—■

2L已知雙曲線44=9。")的焦距為4向直線W座與C交于48兩點(diǎn),點(diǎn)/>是C上

異于A8兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且直線24,P8的斜率之積為g.

（1）求C的方程；

⑵己知M是直線x=2上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線分別交C于點(diǎn)S,7和點(diǎn)E,F,若

\MS\-\M1\=A\ME\-\MF\,求實(shí)數(shù)2的值.

22

【答案】（1）今一3=1

168

⑵4=1

【分析】（1）先表示出斜率之積，根據(jù)焦距及4〃，。的關(guān)系可得方程；

（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，分別求出目標(biāo)長(zhǎng)度，可得答案.

【詳解】（1）由題意,設(shè)厶（方2）,8（—%,-乂）,/）優(yōu),力）,

所以統(tǒng)

2,

x2-Xxx24-Xj石

。2），

由點(diǎn)AP在雙曲線C上，得工_耳.=1,與一馬=1,

a~b~a~b~

兩式相減’得寧一曰=°'即符

〃21

由題意,得勺,.

a22

b21

./=5r,

設(shè)C的焦距為2c,則〈,2=/+從，解得:二1：

[―U—O

2c=4V6

r2”2

所以。的方程為土-上二1.

168

（2）由題意設(shè)"（2"）,直線ST:y=A（x—2）+f,

y=k（^x-2^+t,

2

聯(lián)立《X/化簡(jiǎn)得（1—2公卜2一4/?—2%.—2（f—24）2—16=0.

--------=1,

168

則1一2公羊0,判別式△=8任-4W-12公+8）＞0,

設(shè)5（0為），7（又，必），則與+%;[（f毛匕=-2（；空二一,

1—NK1—

易知財(cái)S|=J1+公|X3-2|,|MT|=Jl+公|X4-2|,

所以

|A/S|jAfr]=(1+)|(七—2)(2—2)|=(1+2~)歸工4—2(w+/)+4卜(1+，)

-2(t-2k)2-16o2,+12

2=(1+用

___\-2k21-2左2

由題意，得直線EF：y=d(x-2)+f,

同理可得\ME\-\MF\=(i+k2)步當(dāng).

所以|琳|.|町=可得2=1.

22.已知函數(shù)/(x)=x-xlnx.

⑴當(dāng)0<xVl時(shí)，x+a4.f(x)4x+6恒成立，求心一目的最小值;

(2)若關(guān)于x的方程/(耳=。的兩個(gè)根分別為與,々(與<馬),