“皖豫名校聯(lián)盟體”高三上學(xué)期畢業(yè)班第二次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷

“皖豫名校聯(lián)盟體”2021屆高中畢業(yè)班第二次考試文科數(shù)學(xué)一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合A＝{x|x21≤0}，B＝{x|0＜x＜2}，則A∩B＝A．(0，1)B．(0，1]C．[1，1]D．[1，2)2．的共軛復(fù)數(shù)為A．B．C．D．3．已知向量，，，則m的值為A．1B．2C．3D．44．某校高三學(xué)生小李每天早晨7點(diǎn)下課后，從教室到學(xué)校餐廳吃早餐，步行4分鐘，統(tǒng)計(jì)小李一段時(shí)間打飯所需時(shí)間Z（單位：分鐘），整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，吃飯需要15分鐘，而后步行4分鐘返回教室．已知學(xué)校要求學(xué)生7:30開始在教室內(nèi)上自習(xí)，則小李上自習(xí)不遲到的概率約為A．0.7B．0.5C．0.4D．0.35．在平面四邊形ABCD中，CD＝1，AC⊥BD，∠CDB＝φ（φ為銳角），∠ACB＝45°，，則BC＝A．1B．C．D．6．過三點(diǎn)A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圓與圓x2+y2＝16的相交弦所在直線的方程為A．x2y+2＝0B．xy+2＝0C．x2y＝0D．x+2y+2＝07．某日化用品廠家研發(fā)了一種新的牙膏產(chǎn)品，該產(chǎn)品的成本由生產(chǎn)成本和銷售成本組成．每批產(chǎn)品的銷售成本y（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x（千件）滿足指數(shù)函數(shù)模型y＝3.47×10mx，已知每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為10元，生產(chǎn)12千件該產(chǎn)品時(shí)，總成本為123470元．若銷售成本增加1倍，則生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量增加了（）千件．(lg2≈0.3)A．1.2B．1.1C．0.9D．0.38．已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上且P在準(zhǔn)線上的投影為Q，直線QF交C于點(diǎn)D，且|QD|＝2|DF|，則△PFQ的面積為A．4B．C．D．9．已知函數(shù)y＝2|cosx|+cos2x在[0，a]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的最大值為A．B．C．D．π10．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在雙曲線右支上，若△MOF為等邊三角形（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該雙曲線的離心率為A．B．C．D．11．某幾何體的三視圖如圖所示，圖中兩個(gè)M點(diǎn)為直觀圖中的同一個(gè)點(diǎn)M，兩個(gè)N點(diǎn)也為直觀圖中的同一個(gè)點(diǎn)N，且分別為所在棱的中點(diǎn)，則在此幾何體表面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為A．B．C．D．12．已知函數(shù)f(x)＝|kx2|g(x)(k＞0)在(0，+∞)上有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則k的取值范圍是A．(0，4)B．(1，+∞)C．(0，1)∪(1，+∞)D．(0，1)∪(1，4)二、填空題13．已知x，y滿足約束條件則z＝5x+2y的最大值為__________．14．高二足球隊(duì)教練分六個(gè)項(xiàng)目對(duì)本隊(duì)全體隊(duì)員進(jìn)行了測(cè)試，小華同學(xué)將自己的成績(jī)與全體隊(duì)員的平均分繪制成雷達(dá)圖如圖．若從中任選2個(gè)項(xiàng)目，則至少有1項(xiàng)小華的成績(jī)高于該隊(duì)平均分的概率為__________．15．費(fèi)馬點(diǎn)是指到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)在三角形內(nèi)，且費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)對(duì)三角形三邊的張角相等，均為120°．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°，P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且PA+PB+PC＝3，則△ABC面積的最大值為__________．16．把圓心角為90°的扇形鐵片圍成一個(gè)側(cè)面積為16πm2的圓錐（接縫處忽略不計(jì)），該圓錐豎直倒置后放入一個(gè)球，該球恰好與圓錐的側(cè)面上邊緣相切，則球心到圓錐頂點(diǎn)的距離為__________m．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題17．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1+2an，在等差數(shù)列{bn}中，b1＝20，b3＝b5+b9．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列中項(xiàng)的最大值．18．某網(wǎng)站的調(diào)查顯示，健身操類、跑步類、拉伸運(yùn)動(dòng)類等健身項(xiàng)目在大眾健康項(xiàng)目中是比較火熱的，但是大多數(shù)人的健身科學(xué)類知識(shí)相對(duì)缺乏，尤其是在健身指導(dǎo)方面．從某健身房隨機(jī)抽取200名會(huì)員，對(duì)其平均每天健身時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，如下表，健身之前他們的體重情況如柱狀圖（1）所示，該健身房的教練為他們制訂了健身計(jì)劃，四個(gè)月后他們的體重情況如柱狀圖（2）所示．平均每天健身時(shí)間（分鐘）[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)人數(shù)203644504010（Ⅰ）若這200名會(huì)員的平均體重減少不低于5kg，就認(rèn)為該計(jì)劃有效，根據(jù)上述柱狀圖，試問：該計(jì)劃是否有效？（每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（Ⅱ）請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，試問：是否有99%的把握認(rèn)為平均每天健身時(shí)間與會(huì)員健身前的體重有關(guān)？平均每天健身時(shí)間低于60分鐘平均每天健身時(shí)間不低于60分鐘合計(jì)健身前體重低于100kg健身前體重不低于100kg80合計(jì)200參考公式：，其中n＝a+b+c+d．參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82819．如圖所示，在四棱錐SABCD中，平面SAB⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，∠ACD＝60°，AC＝AD，SA＝2，，BC＝1．設(shè)平面SCD與平面SAB的交線為l，E為SD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：l∥平面ACE；（Ⅱ）若在棱AB上存在一點(diǎn)Q，使得DQ⊥平面SAC，當(dāng)四棱錐SABCD的體積最大時(shí)，求SQ的值．20．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓C上一點(diǎn)，且∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面積為，過F2且與長(zhǎng)軸垂直的弦的長(zhǎng)為．（Ⅰ）求橢圓C的方程．（Ⅱ）在x軸上是否存在點(diǎn)P(m，0)，使得過點(diǎn)P的直線交橢圓C于G，H兩點(diǎn)，且滿足|GP|2+|HP|2＝3(|GP|·|HP|)2恒成立？若存在，求m2的值；若不存在，說明理由．21．已知函數(shù)，且當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)的最大值為1．（Ⅰ）當(dāng)a＝0時(shí)，求f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)a∈(1，e)時(shí)，證明：f(x)的極大值小于．（二）選考題：請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)曲線C的對(duì)稱中心為P，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B，求△PAB的面積．23．[選修45：不等式選講]已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＞0，b＞0，c＞0．（Ⅰ）若abc＝1，求證：；（Ⅱ）若ab＝1，(1+a)(1+b)的最小值為m，求不等式|x+1|+|x1|≤m的解集．“皖豫名校聯(lián)盟體”2021屆高中畢業(yè)班第二次考試文科數(shù)學(xué)·答案一、選擇題1．答案B命題意圖本題主要考查集合的運(yùn)算．解析根據(jù)題意，集合A＝{x|1≤x≤1}，故A∩B＝(0，1]．2．答案A命題意圖本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)．解析因?yàn)?，所以z的共軛復(fù)數(shù)為．3．答案B命題意圖本題主要考查向量垂直的定義及向量的數(shù)量積．解析因?yàn)?，，，?(2m2)+4＝0?m＝2．4．答案C命題意圖本題主要考查頻率分布直方圖中概率的計(jì)算．解析由題意，小李打飯時(shí)間小于7分鐘才不會(huì)遲到，因?yàn)镻(Z＜7)＝0.1+0.15+0.15＝0.4，故小李上自習(xí)不遲到的概率約為0.4．5．答案C命題意圖本題主要考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用．解析，由φ為銳角解得φ＝30°，由直角三角形的性質(zhì)得∠DBC＝45°，由正弦定理，得．6．答案A命題意圖本題主要考查圓的方程的求解及圓與圓的相交弦所在直線方程的求解．解析由題意得，，所以kABkCB＝1，所以AB⊥CB，即△ABC為直角三角形，則其外接圓的圓心為AC的中點(diǎn)(1，2)，半徑為5，所以其外接圓方程為(x1)2+(y+2)2＝25，與x2+y2＝16左右兩邊分別相減可得相交弦所在直線的方程為x2y+2＝0．7．答案A命題意圖本題主要考查函數(shù)模型的應(yīng)用及指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算．解析設(shè)生產(chǎn)了x千件該產(chǎn)品，則生產(chǎn)總成本為g(x)＝3.47×10mx+x×10×1000．因?yàn)間(12)＝3.47×1012m+120000＝123470，所以3.47×1012m＝3470，所以1012m＝1000，所以m＝0.25．所以y＝3.47×100.25x．設(shè)現(xiàn)在的銷售成本為y1，對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)數(shù)量為x1，原來的銷售成本為y2，對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)數(shù)量為x2，由銷售成本增加1倍，知y1＝2y2，所以，故x1x2＝4lg2≈1.8．答案D命題意圖本題主要考查拋物線的定義及三角形的面積求解．解析設(shè)E為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)三角形相似和拋物線定義，可知，可得∠QFE＝60°，所以∠PQF＝60°，又|PQ|＝|PF|，所以△PFQ為等邊三角形，又，所以△PFQ的面積為．9．答案C命題意圖本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)．解析y＝2|cosx|+cos2x＝2|cosx|+2cos2x1，令t＝|cosx|，則y＝2t2+2t1，當(dāng)時(shí)，t＝|cosx|單調(diào)遞減，t∈[0，1]，因?yàn)閥＝2t2+2t1在[0，1]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y＝2|cosx|+cos2x在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，t＝|cosx|在[0，a]上先減后增，函數(shù)y＝2|cosx|+cos2x在[0，a]上不單調(diào)．所以，a的最大值為．10．答案A命題意圖本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系及離心率的求解．解析設(shè)該雙曲線的半焦距為c，離心率為e，根據(jù)題意，不妨設(shè)直線OM的方程為．由可得．由題可知，聯(lián)合c2＝a2+b2，整理可得．11．答案B命題意圖本題主要考查三視圖及幾何體表面最短路徑問題．解析該三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體是正三棱柱，如圖所示．僅考慮以下三種情況即可：（1）經(jīng)側(cè)面到N，將三棱柱沿AA1，AB，AC，A1B1，A1C1剪開，并展開至同一平面上，則．（2）過頂點(diǎn)A經(jīng)底面到N，此時(shí)．（3）經(jīng)側(cè)面、底面到N點(diǎn)，將底面ABC沿AB，BC剪開，并展開至和ACC1A1在同一平面上，則．因?yàn)椋?，所以從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為．12．答案D命題意圖本題主要考查數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)問題．解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝|kx2|g(x)在(0，+∞)上有3個(gè)不同的零點(diǎn)，所以關(guān)于x的方程|kx2|＝g(x)在(0，+∞)上有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．畫出函數(shù)g(x)的圖象，如圖．y＝|kx2|的圖象恒過點(diǎn)(0，2)，且與x軸的交點(diǎn)為．當(dāng)，即k≥4時(shí)，y＝|kx2|與g(x)的圖象在(0，+∞)上僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖．當(dāng)，即1＜k＜4時(shí)，y＝|kx2|與g(x)的圖象在上有1個(gè)交點(diǎn)，在上有2個(gè)交點(diǎn)，如圖．當(dāng)，即0＜k＜1時(shí)，y＝|kx2|與g(x)的圖象在上有3個(gè)交點(diǎn)，在上有0個(gè)交點(diǎn)，如圖．當(dāng)，即k＝1時(shí)，y＝|kx2|與g(x)的圖象在(0，+∞)上有2個(gè)交點(diǎn)，如圖．綜上，可得k的取值范圍為(0，1)∪(1，4)．二、填空題13．答案14命題意圖本題主要考查線性規(guī)劃．解析根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖陰影部分所示．z＝5x+2y可化為．當(dāng)直線在y軸上的截距最大時(shí)，z取得最大值，由圖可知，過B點(diǎn)時(shí)，截距最大．由求得B(2，2)，代入到z＝5x+2y中，解得z＝14，即zmax＝14．14．答案命題意圖本題主要考查古典概型．解析根據(jù)雷達(dá)圖，可知小華的成績(jī)高于該隊(duì)平均分的項(xiàng)目有3個(gè)，設(shè)為A，B，C，小華的成績(jī)不高于該隊(duì)平均分的項(xiàng)目有3個(gè)，設(shè)為a，b，c，從中任取2個(gè)項(xiàng)目的所有結(jié)果為(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共15種，至少有1項(xiàng)小華的成績(jī)高于該隊(duì)平均分的結(jié)果為(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，共12種，所以概率為．15．答案命題意圖本題主要考查數(shù)學(xué)文化、基本不等式及三角形面積的求解．解析∵9＝(PA+PB+PC)2＝PA2+PB2+PC2+2(PA·PB+PA·PC+PB·PC)≥3(PA·PB+PA·PC+PB·PC)，∴PA·PB+PA·PC+PB·PC≤3．∴，當(dāng)且僅當(dāng)PA＝PB＝PC時(shí)，等號(hào)成立．16．答案命題意圖本題主要考查圓錐的側(cè)面積、弧長(zhǎng)公式及幾何體中距離的求解．解析設(shè)圓錐底面半徑為rm，母線長(zhǎng)為lm，根據(jù)題意以及弧長(zhǎng)公式可知，，解得l＝4r，所以該圓錐的側(cè)面積為S＝πrl＝4πr2＝16π，所以r＝2，l＝8，設(shè)母線與高的夾角為θ，則，，所以球心到圓錐頂點(diǎn)的距離為．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．命題意圖本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列中值最大的項(xiàng)的求解．解析（Ⅰ）因?yàn)镾n＝1+2an，所以an≠0．當(dāng)n≥2時(shí)，Sn1＝1+2an1，兩式相減，得an＝1+2an12an1＝2an2an1，即an＝2an1(n≥2)，所以{an}是等比數(shù)列，公比q＝2，當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝1+2a1＝a1，即a1＝1，所以an＝2n1（Ⅱ）設(shè){bn}的公差為d，則解之得d＝2，所以bn＝222n．所以．設(shè)，則．因?yàn)楫?dāng)n＞13時(shí)，cn＜cn1，當(dāng)n＝13時(shí)，cn＝cn1，當(dāng)n＜13時(shí)，cn＞cn1，所以當(dāng)n＝12或13時(shí)cn最大，即最大，最大值為．18．命題意圖本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)．解析（Ⅰ）柱狀圖（1）中的體重平均值為95×0.3+105×0.5+115×0.2＝104(kg)．柱狀圖（2）中的體重平均值為85×0.1+95×0.4+105×0.5＝99(kg)．因?yàn)?0499＝5，所以該計(jì)劃有效．（Ⅱ）2×2列聯(lián)表如下：平均每天健身時(shí)間低于60分鐘平均每天健身時(shí)間不低于60分鐘合計(jì)健身前體重低于100kg402060健身前體重不低于100kg6080140合計(jì)100100200K2的觀測(cè)值為．所以有99%的把握認(rèn)為平均每天健身時(shí)間與會(huì)員健身前的體重有關(guān)．19．命題意圖本題主要考查線面平行的證明及與幾何體體積有關(guān)的最值問題．解析（Ⅰ）在Rt△ABC中，因?yàn)锽C＝1，，所以，AC＝2，所以∠BAC＝30°．在△ACD中，因?yàn)锳C＝AD，∠ACD＝60°，所以△ACD為等邊三角形，所以CD＝2，∠CAD＝60°，所以∠BAD＝90°，又∠ABC＝90°，所以BC∥AD．如圖，延長(zhǎng)AB和DC交于點(diǎn)F，連接SF，因?yàn)镕∈AB，AB?平面SAB，所以F∈平面SAB．同理可得F∈平面SCD．所以SF所在直線即為直線l．因?yàn)?，所以C為DF的中點(diǎn)，所以在△SDF中，l∥CE．因?yàn)閘不在平面ACE內(nèi)，CE?平面ACE，所以l∥平面ACE．（Ⅱ）過S向AB作垂線，垂足為P，因?yàn)槠矫鍿AB⊥底面ABCD，所以SP⊥底面ABCD，因?yàn)樘菪蜛BCD的面積和SA的長(zhǎng)為定值，所以當(dāng)點(diǎn)P與A重合，即SA⊥底面ABCD時(shí)，四棱錐SABCD的體積最大．因?yàn)镈Q⊥平面SAC，AC?平面SAC，所以DQ⊥AC，所以DQ經(jīng)過AC的中點(diǎn)，所以∠ADQ＝30°，所以，故．20．命題意圖本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系．解析（Ⅰ）設(shè)|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，則r1+r2＝2a，①在△MF1F2中，，即，②由余弦定理得，即(r1+r2)23r1r2＝4c2，將①②代入得a2c2＝1，所以b2＝1．又，解得．所以橢圓C的方程為．（Ⅱ）由條件可得恒成立．當(dāng)直線GH的斜率為零時(shí)，點(diǎn)G，H為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，則，解得或m2＝4．當(dāng)直線GH不與x軸重合時(shí)，設(shè)直線GH的方程為x＝ty+m，G(x1，y1)，H(x2，y2)，聯(lián)立消去x得(t2+2)y2+2mty+m22＝0，由Δ＞0，得m22＜t2，由根與系數(shù)的關(guān)系得，．所以．所以(3m22)(m2+m2t24t22)＝0，所以．綜上可得存在滿足條件的點(diǎn)P，且．21．命題意圖本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值問題中的應(yīng)用．解析（Ⅰ）f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)．當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝blnxx．①若b≤0，因?yàn)椋圆粷M足題意．②若b＞0，．