環(huán)境流體力學(xué) 課件 4.1 流體靜力學(xué)

4.1非慣性非慣性系中均質(zhì)流體的相對(duì)平衡定義為坐標(biāo)系的位移，為相對(duì)坐標(biāo)系的位移，于是絕對(duì)位移。取固連在非慣性系上的坐標(biāo)系，絕對(duì)位移，于是絕對(duì)速度其中為坐標(biāo)架平移速度，為相對(duì)速度，坐標(biāo)架轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，設(shè)相對(duì)于以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系存在方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，則有坐標(biāo)變換非慣性系中均質(zhì)流體的相對(duì)平衡其中為坐標(biāo)架轉(zhuǎn)過的角度，為正交矩陣，并且有非慣性系中均質(zhì)流體的相對(duì)平衡記為角速度，有于是非慣性系中均質(zhì)流體的相對(duì)平衡同理可證，如果存在三個(gè)方向的旋轉(zhuǎn)(在方向的轉(zhuǎn)角分別為)則有角速度非慣性系中均質(zhì)流體的相對(duì)平衡絕對(duì)加速度牽連速度相對(duì)速度非慣性系中均質(zhì)流體的相對(duì)平衡牽連加速度科氏加速度相對(duì)加速度如果流體相對(duì)于非慣性系靜止【例3】如圖，一圓柱形容器繞z軸旋轉(zhuǎn)，求與容器一起整體旋轉(zhuǎn)的均質(zhì)流體，在重力場中的壓強(qiáng)分布和自由面形狀。在自由面上，p=常數(shù)。于是自由面形狀此式說明自由面是一個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面，旋轉(zhuǎn)角速度越大，這個(gè)拋物面就變得越細(xì)越高。非慣性系中相對(duì)平衡流體靜力學(xué)(1)均質(zhì)流體作用于平壁上的壓強(qiáng)合力如圖，設(shè)平壁與水平而夾角為θ，(xc,yc)是壁面的形心坐標(biāo)S是壁面的面積假定合力的作用線通過（x’，y’），把通過(xc,yc)平行于x、y兩個(gè)軸的坐標(biāo)軸分別記作ξ，η，那么對(duì)于ξ軸和η軸的力矩應(yīng)分別等于分布?jí)簭?qiáng)所引起的相應(yīng)力矩，即則平壁上任一點(diǎn)的壓強(qiáng)應(yīng)為(2)均質(zhì)流體作用于曲壁上的壓強(qiáng)合力如圖，由于力平衡，曲壁面所受流體壓強(qiáng)合力的x分量，恰好等于此曲壁面在yz平面上的投影Sx上所受的流體壓強(qiáng)合力如圖，由于力平衡，曲壁面S所受流體壓強(qiáng)合力的豎直分量Fz的大小等于該曲面以上直到等效分界面之間的體積(稱為壓力體)都充滿該種流體時(shí)的重量。設(shè)豎直方向的流體壓強(qiáng)合力的作用線通過

(x’,y’)，顯然，(x’,y’)是該曲面以上壓力體的幾何中心，即為(xc,yc)。靜止均質(zhì)流體中曲壁面所受豎直方向的流體壓強(qiáng)合力的作用線通過該曲面以上壓力體的幾何中心。【例】如圖，圖示的圓柱形堰，直徑2R，長L．試求兩側(cè)靜止流體作用于堰上的合力大小，方向及作用線。應(yīng)用以前的靜力學(xué)知識(shí)，對(duì)左側(cè)面微元進(jìn)行受力分析。對(duì)x軸的矩【例】如圖，圖示的圓柱形堰，直徑2R，長L．試求兩側(cè)靜止流體作用于堰上的合力大小，方向及作用線。根據(jù)剛學(xué)的曲面壁靜力學(xué)知識(shí)，左、右側(cè)面的x方向合力分別為(說明：合力的作用線低于形心)左、右側(cè)面的y方向合力分別為同理：合力作用線4.2無粘流動(dòng)的控制方程定常流動(dòng)的伯努利積分蘭姆-葛羅米柯方程無粘或大Re數(shù)流動(dòng)，粘性項(xiàng)可忽略，則體積力有勢(shì)正壓流體定常流動(dòng)沿流線，成立，沿渦線，也有。于是即于是沿流線和渦線成立伯努利方程無粘流動(dòng)的控制方程定常流動(dòng)的伯努利積分在重力場中不可壓縮流體各項(xiàng)的量綱均為長度。左邊第一項(xiàng)代表單位重量流體的動(dòng)能，或稱速度頭；第二項(xiàng)為單位重量流體所作的功，或稱壓強(qiáng)頭，第三項(xiàng)為單位重量流體所具有的勢(shì)能，或稱高度頭。對(duì)于絕熱等熵流動(dòng)無粘流動(dòng)的控制方程定常流動(dòng)的伯努利積分【例】皮托(Pitot)-靜壓管，由內(nèi)外兩層套管組成，頭部有一小孔與內(nèi)管相通，側(cè)壁上有幾個(gè)小孔與套管的環(huán)形空間相同，兩通道的另一端分別與一U型壓強(qiáng)計(jì)的兩端相連，壓強(qiáng)計(jì)盛有密度為的液體，使用時(shí)，頭部正對(duì)來流，管體軸線與來流平行，讀出壓強(qiáng)器的壓差即可算出來流速度?？紤]沿管壁的流線，在點(diǎn)1處，，壓強(qiáng)最大，稱為總壓，此點(diǎn)為駐點(diǎn)，對(duì)1,2處應(yīng)用伯努利積分，有這結(jié)果是在流體無粘性的假定上獲得的，為了考慮流體的粘性和管體對(duì)流場擾動(dòng)的影響，實(shí)際上，應(yīng)對(duì)上述所得值加以修正，常用的方法是對(duì)皮托(Pitot)管進(jìn)行校準(zhǔn)，乘以校準(zhǔn)系數(shù)，有無粘流動(dòng)的控制方程定常流動(dòng)的伯努利積分【例】文托利

(Verturi)管，對(duì)流線1,2處流體應(yīng)用伯努利積分，有由連續(xù)性方程無粘流動(dòng)的控制方程定常流動(dòng)的伯努利積分【例】溢水堰。水利工程師通過在明渠中放置障礙物——堰，讓水漫過障礙物來測量流量

對(duì)和大氣接觸面上的流線，在1,2處的流體應(yīng)用伯努利積分，有對(duì)于無窮遠(yuǎn)的來流1處，。1，2處都和大氣壓接觸，有。令，有設(shè)2處的水面高度為d，流量，于是顯然堰的最高點(diǎn)A處對(duì)應(yīng)最小值，通過，求的極值點(diǎn)處的速度d為堰最高點(diǎn)到水面的距離。此法只是估算水流量，不是一個(gè)很精確的結(jié)果。4.2無粘流動(dòng)的控制方程無旋流動(dòng)拉格朗日(Lagrange)積分對(duì)于無旋運(yùn)動(dòng)對(duì)于無旋運(yùn)動(dòng)定義速度勢(shì)由于所以自動(dòng)滿足。無粘、正壓、體積力有勢(shì)流體的蘭姆方程如果無旋，定義，于是有無粘流動(dòng)的控制方程無旋流動(dòng)拉格朗日(Lagrange)積分此為無旋流動(dòng)的拉格朗日(Lagrange)積分，說明在整個(gè)空間場是均勻的。對(duì)重力場中不可壓縮流體，有絕熱等熵流動(dòng)，有無粘流動(dòng)的控制方程無旋流動(dòng)拉格朗日(Lagrange)積分【例】如圖所示均勻彎管，盛有長為lL的液柱。若在初始時(shí)刻管內(nèi)液柱偏離平衡位置的長度為L0*。而此時(shí)液面為靜止的。求管內(nèi)液柱運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。解：液柱的運(yùn)動(dòng)可以近似看做一維和無旋的，令于是有代入Lagrange積分

，由連續(xù)性方程，任一時(shí)刻，另外有：，，積分得因?yàn)?，所以有邊界條件：無粘流動(dòng)的控制方程作業(yè)若水雷在水下爆炸后的運(yùn)動(dòng)圖案是中心對(duì)稱的，各點(diǎn)的流動(dòng)速度都只有徑向分量，試求爆炸后的壓力分布。積分方程及其應(yīng)用積分形式的連續(xù)性方程對(duì)均質(zhì)不可壓縮流體，關(guān)于r進(jìn)行一次積分【例】討論以夾角為φ的兩平板為邊界的渠道內(nèi)不可壓縮流體的流動(dòng)。如圖所示。設(shè)夾角φ隨時(shí)間緩慢變化，而且認(rèn)為

是恒定的。流動(dòng)可設(shè)想為是來自兩平板的延長線交點(diǎn)O，所有流線均是徑向的(自O(shè)點(diǎn)出發(fā))。渠道入口處，入口處速度分布是均勻的，設(shè)為v0，同時(shí)認(rèn)為兩平板有恒定的寬度w0。

試求：(a)渠道中流體流動(dòng)的連續(xù)性方程；(b)渠道中流體的運(yùn)動(dòng)速度。

積分方程及其應(yīng)用動(dòng)量定理積分方程對(duì)于定常運(yùn)動(dòng)，【例】如圖所示，有一個(gè)水力發(fā)射器噴射出射流，其速度為VZ，截面積為A，水的密度為ρ，若以這股射流去推動(dòng)質(zhì)量為M，速度為V的飛機(jī)下面具有半圓的翼片，試求飛機(jī)的加速度。取隨翼片一起運(yùn)動(dòng)的控制體，在水平

(x)方向應(yīng)用動(dòng)量定理，得于是射流對(duì)飛機(jī)的作用力(R)為飛機(jī)對(duì)射流的反作用力，有由于機(jī)翼是雙側(cè)的，于是飛機(jī)的加速度積分方程及其應(yīng)用積分形式的動(dòng)量方程如果忽略由表面力和由于對(duì)稱性體力所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩，對(duì)于定常運(yùn)動(dòng)對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)流體機(jī)械，有對(duì)于非定常運(yùn)動(dòng)，有兩端取矩其中，分別為流體在入口截面1和出口截面2處的絕對(duì)速度切向分量，r1，r2

為與至轉(zhuǎn)軸的距離。Qm為流量。積分方程及其應(yīng)用【例】一草坪灑水器在進(jìn)口表壓的作用下運(yùn)轉(zhuǎn)，每一射流以相對(duì)于轉(zhuǎn)臂為vrel的速度排水，灑水器射流噴嘴與水平面成θ

夾角，截面積為A0，如圖所示，灑水器繞垂直軸旋轉(zhuǎn)，在軸承內(nèi)有Is

的轉(zhuǎn)矩阻礙它旋轉(zhuǎn)，體積流量為Qv，軸承與密封引起的阻抗轉(zhuǎn)矩為常數(shù)T0，試求旋轉(zhuǎn)角速度隨時(shí)間的變化關(guān)系。取柱形控制體積包圍整個(gè)旋轉(zhuǎn)臂部分，應(yīng)用動(dòng)量矩定理其中包括轉(zhuǎn)臂的動(dòng)量矩時(shí)間變化率，為空轉(zhuǎn)臂的旋轉(zhuǎn)慣性動(dòng)量矩；轉(zhuǎn)臂內(nèi)流體的的動(dòng)量矩時(shí)間變化率。由于轉(zhuǎn)臂以角速度旋轉(zhuǎn)，于是由流量守恒有于是，有初始條件，上式的解為顯然，即從理論上說時(shí)，即Ω

成為常數(shù)。作業(yè)積分方程及其應(yīng)用能量定理積分方程能量變化率，其中表示力做功的功率，包括三部分，即每單位時(shí)間外界對(duì)控制體所做的機(jī)械功每單位時(shí)間質(zhì)量力所做的功每單位時(shí)間面力所做的功質(zhì)量力為重力時(shí)忽略切向表面力所做的功，面力所做的功為表示動(dòng)能、勢(shì)能和內(nèi)能假設(shè)運(yùn)動(dòng)為定常，積分方程及其應(yīng)用能量定理積分方程【例】射流泵是一種利用射流提高流體壓強(qiáng)和速度的裝置，它的結(jié)構(gòu)如圖所示，圓管中的流體以勻速運(yùn)動(dòng)，圓管的橫截面積為，一高速射流沿圓管中心線射出，它的出口速度與橫截面積分別為與，如果圓管中的射流與流體為同一