【矩陣的跡的應(yīng)用探究12000字（論文）】

矩陣的跡的應(yīng)用研究摘要作為矩陣的一個(gè)重要數(shù)字特征，矩陣的跡在計(jì)算數(shù)學(xué)、估計(jì)、隨機(jī)控制及其計(jì)量經(jīng)濟(jì)理論等方面有重要應(yīng)用。對矩陣跡的研究，文獻(xiàn)[1，3，4]作了一些探討。例如文獻(xiàn)[1]主要討論了矩陣跡的一些簡單性質(zhì)；文獻(xiàn)[3，4]給出了矩陣跡的不等式性質(zhì)。本文在已有文獻(xiàn)[1－4]的基礎(chǔ)上，給出了矩陣跡的幾個(gè)很有用的等式和不等式性質(zhì)，并給出了簡潔證明，最后給出了它們的具體應(yīng)用的實(shí)例。關(guān)鍵詞：矩陣跡；不等式性質(zhì)；逆矩陣；左逆；右逆；目錄引言………………………1緒論………………………2一矩陣的跡的理論概述………………2二逆矩陣………………32.1概念……………….42.2左、右逆矩陣存在的條件……….52.3左、右逆矩陣的求法…………….6三應(yīng)用和例題………..73.1伴隨矩陣求逆矩陣和用初等變換求逆矩陣……...81、用伴隨矩陣求逆矩陣…………………92、用初等變換求逆矩陣……………….103.2幾種變換例析……………………11四矩陣的跡的應(yīng)用………………….12五結(jié)論……………….13六參考文獻(xiàn)…………14矩陣的跡的應(yīng)用緒論矩陣?yán)碚摷熬仃囁惴ㄔ诮y(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程計(jì)算等許多方面都有著廣泛的應(yīng)用，是現(xiàn)今科學(xué)計(jì)算中非常重要的工具。隨著矩陣?yán)碚撝R的發(fā)展，它在各種模型中的應(yīng)用也越來越廣泛。于一個(gè)n階方陣來說,它的逆矩陣可以采取“單邊”定義,即單純定義左逆或右逆。亦即:設(shè)A是一個(gè)n階方陣,若存在一個(gè)n階方陣B,使得AB=E,則B叫做A的逆矩陣(或稱為右逆矩陣)。因?yàn)閷τ趎階方陣來說,我們可以證明“單邊”定義并對教科書均采取“單邊”定義的原因作探討本文討論了矩陣?yán)碚撝信c密切相關(guān)的幾個(gè)方面，并用一些有例算意義的變換結(jié)果。廣義逆矩陣的概念最早是由MooreE.H于1920年提出，但當(dāng)時(shí)并未受到重視。直到1955年P(guān)enroseR又提出了廣義逆矩陣的概念，并證明了加號廣義逆矩陣的唯一性，發(fā)現(xiàn)它在許多學(xué)科都有廣泛應(yīng)用，這才受到人們的關(guān)注。關(guān)于廣義逆矩陣的性質(zhì)，[1-2]總結(jié)了九十年代以前已有的結(jié)果。[3]總結(jié)出了加號廣義逆矩陣的一些性質(zhì)。在較嚴(yán)格的條件下，本節(jié)證明了加號廣義逆矩陣的三條性質(zhì)。矩陣的廣義逆理論與計(jì)算在最優(yōu)化理論、控制理論、計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.例如在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,廣義逆矩陣對于有限Markov鏈的研究具有十分重要的作用,Markov鏈可以由其轉(zhuǎn)移矩陣T描述,Ti表示從狀態(tài)i到狀態(tài)j的變遷概率。在回歸分析中還可運(yùn)用矩陣的Moore逆為回歸分析建立參數(shù)估計(jì)方法。在計(jì)算數(shù)學(xué)中,常以廣義逆矩陣為工具,研究長方或奇異或約束線性方程組的求解與廣義逆矩陣的計(jì)算問題。在最優(yōu)化理論中,可用Moore逆法由陰影恢復(fù)立體表面的實(shí)現(xiàn)算法求得矛盾方程組的最優(yōu)解。矩陣在數(shù)值分析、優(yōu)化理論、概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)字信號處理、自動控制等自然科學(xué)及工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用,其中的許多問題都?xì)w結(jié)為求矩陣及其相關(guān)矩陣的代數(shù)問題。因此,研究矩陣的左逆和右逆具有重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義。我們認(rèn)為,由于只有方陣才可能有逆矩陣,因此對于一個(gè)n階方陣來說,它的逆矩陣可以采取“單邊”定義,即單純定義左逆或右逆。亦即:設(shè)A是一個(gè)n階方陣,若存在一個(gè)n階方陣B,使得AB=E,則B叫做A的逆矩陣(或稱為右逆矩陣)。因?yàn)閷τ趎階方陣來說,我們可以證明“單邊”定義并對教科書均采取“單邊”定義的原因作探討。矩陣的跡及其應(yīng)用是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是工程理論研究中的重要工具。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，首先介紹了矩陣跡的相關(guān)性質(zhì)，然后給出了矩陣不等式的證法，最后對矩陣的應(yīng)用給出實(shí)例.矩陣作為一種基本的數(shù)學(xué)工具，在數(shù)學(xué)體系中有著不可缺少的地位人類對于矩陣的研究歷史極為悠久，據(jù)考證，早在史前年代拉丁方陣和幻方就已經(jīng)有人開始研究歷經(jīng)千萬年人類歷史發(fā)展和科技進(jìn)步，矩陣及其理論體系早已形成并得到逐步的發(fā)展和完善，它在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用同時(shí)也吸引著無數(shù)計(jì)數(shù)學(xué)家們的深入探索和研究，并且獲得了極為豐碩的成果，為數(shù)學(xué)的發(fā)展史添上了精彩的一幕設(shè)有階矩陣；那么矩陣的跡就等于的特征值的總和，也即矩陣的主對角線元素的總和矩陣的跡作為矩陣的一個(gè)重要數(shù)字特征在計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)值估計(jì)、濾波、隨機(jī)控制及其計(jì)量經(jīng)濟(jì)理論等方面都有著重要的應(yīng)用國內(nèi)外學(xué)者對此進(jìn)行了深入研究，并取得了一系列重要成果許多量的計(jì)算最終都會歸結(jié)到矩陣跡的運(yùn)算因此，作為矩陣的跡，它有著無窮的奧秘，正等待著我們做進(jìn)一步的探索、研究和發(fā)現(xiàn)在矩陣?yán)碚撝?，尤其是矩陣跡的不等式，有著更為突出的解決實(shí)際問題和理論問題的特點(diǎn)它在許多領(lǐng)域，諸如管理科學(xué)與工程、信息科學(xué)與技術(shù)、系統(tǒng)工程、通信工程、數(shù)值分析、逼近論、測量誤差、噪聲、病態(tài)矩陣、最優(yōu)化理論、概率統(tǒng)計(jì)、運(yùn)籌學(xué)、控制論、等學(xué)科以及統(tǒng)計(jì)估計(jì)都有著相當(dāng)多的應(yīng)用本文我們將討論有關(guān)矩陣跡的一些重要不等式，以及它們在逼近論中矩陣逼近方面的應(yīng)用同時(shí)還給出了一些關(guān)于矩陣和的控制不等式，以及對著名跡不等式的推廣，矩陣乘積的特征值和奇異值估計(jì)，并運(yùn)用矩陣特征值與奇異值不等式的性質(zhì)，對矩陣幕乘積之跡方面的不等式做了相應(yīng)的推廣.矩陣跡的不等式是矩陣?yán)碚摰闹饕n題之一，許多量的計(jì)算最終都會歸結(jié)到矩陣跡的運(yùn)算控制不等式作為一種數(shù)學(xué)工具，它常常能夠深刻地描述許多數(shù)學(xué)量之間的內(nèi)在關(guān)系，幾乎滲入到各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域而且處處扮演著精彩角色范數(shù)是典型的酉不變范數(shù)，是研究最小二乘解，矩陣擾動的主要手段乘積是一種比較特殊的矩陣乘法，在組合論中的組合方案，概率論中的特征函數(shù)及通信工程等方面都有著重要的應(yīng)用。一矩陣的跡的理論概述矩陣的跡（trace）是一個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)名詞，X∈P（n×n）,X=（xii）的主對角線上的所有元素之和稱之為X的跡，記為tr(X)，即tr(X)=∑xii。矩陣的跡在矩陣?yán)碚撝杏兄匾淖饔?，它在矩陣估?jì)與計(jì)算有著重要的一席之地(參見文獻(xiàn)[29][30]>。而利用Hermite陣探討約束條件下矩陣跡的研究也較多(參見文獻(xiàn)[31-32]，涉及內(nèi)容也非常廣泛，特別是在線性模型參數(shù)估計(jì)最優(yōu)性方面發(fā)揮著重要的作用(參見文獻(xiàn)。本節(jié)首先建立在約束條件XX=I:下給出了tr(XAX-(XA-'X)-')的上界，但是XX-I:范圍太苛刻，本節(jié)中我們將可逆矩陣X和XX=△分別代替XX=I:并且得到了與在約束條件XX=I:下給出的tr(XAX-(XA-'X)-')的上界相一致的不等式的結(jié)果。(1)設(shè)有N階矩陣A，那么矩陣A的跡（用tr（A）表示）就等于A的特征值的總和，也即A矩陣的主對角線元素的總和。1.跡是所有對角元的和2.跡是所有特征值的和3.某些時(shí)候也利用tr(AB)=tr(BA)來求跡(2)奇異值分解（Singularvaluedecomposition）奇異值分解非常有用，對于矩陣A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由對角陣與增廣行或列組成），滿足A=U*B*VU和V中分別是A的奇異向量，而B是A的奇異值。AA'的特征向量組成U，特征值組成B'B，A'A的特征向量組成V，特征值（與AA'相同）組成BB'。因此，奇異值分解和特征值問題緊密聯(lián)系。如果A是復(fù)矩陣，B中的奇異值仍然是實(shí)數(shù)。SVD提供了一些關(guān)于A的信息，例如非零奇異值的數(shù)目（B的階數(shù)）和A的階數(shù)相同，一旦階數(shù)確定，那么U的前k列構(gòu)成了A的列向量空間的正交基。(3)在數(shù)值分析中，由于數(shù)值計(jì)算誤差，測量誤差，噪聲以及病態(tài)矩陣，零奇異值通常顯示為很小的數(shù)目。將一個(gè)矩陣分解為比較簡單或者性質(zhì)比較熟悉的矩陣之組合，方便討論和計(jì)算。由于矩陣的特征值和特征向量在化矩陣為對角形的問題中占有特殊位置，因此矩陣的特征值分解。盡管矩陣的特征值具有非常好的性質(zhì)，但是并不是總能正確地表示矩陣的“大小”。矩陣的奇異值和按奇異值分解是矩陣?yán)碚摵蛻?yīng)用中十分重要的內(nèi)容，已成為多變量反饋控制系統(tǒng)最重要最基本的分析工具之一，奇異值實(shí)際上是復(fù)數(shù)標(biāo)量絕對值概念的推廣，表示了反饋控制系統(tǒng)的輸出/輸入增益，能反映控制系統(tǒng)的特性。正n階方陣A的主對角線上元素和稱為A的跡。從定義看,既明了又簡單。用它解題時(shí),如果題中出現(xiàn)“跡”,都要從這方面考慮,用它來解;如果題中沒有出現(xiàn)它,往往就被遺忘了。殊不知,有些題特別是結(jié)論是否定的題,用它來解,比用其它方法就顯得更簡捷。蛇階方陣A的主對角線上元素和稱為A的跡.從定義看,既明了又簡單.用它解題時(shí),如果題中出現(xiàn)“跡”,都要從這方面考慮,用它來解;如果題中沒有出現(xiàn)它,往往就被遺忘了.殊不知,有些題特別是結(jié)論是否定的題,用它來解,比用其它方法就顯得更簡捷.先給出幾個(gè)解題過程中經(jīng)常用到的結(jié)論.根據(jù)矩陣跡的定義,首先給出了矩陣跡的性質(zhì),然后依據(jù)方陣的F—范數(shù)定義Cauchy—Schwarz不等式,給出了零矩陣,不相似矩陣,數(shù)冪矩陣,列矩陣,冪等矩陣及矩陣不等式的證法。對矩陣的跡在解題中進(jìn)行了應(yīng)用。矩陣跡的不等式是矩陣?yán)碚摰闹饕n題之一,許多量的計(jì)算最終都會歸結(jié)到矩陣跡的運(yùn)算.控制不等式作為一種數(shù)學(xué)工具,它常常能夠深刻地描述許多數(shù)學(xué)量之間的內(nèi)在關(guān)系,幾乎滲入到各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域而且處處扮演著精彩角色Frobenius范數(shù)是典型的酉不變范數(shù),是研究最小二乘解,矩陣擾動的主要手段Hadamard乘積是一種比較特殊的矩陣乘法,在組合論中的組合方案,概率論中的特征函數(shù)及通信工程等方面都有著重要的應(yīng)用.本文主要分為以下六個(gè)部分：第一部分概述文章主要內(nèi)容,介紹相關(guān)引理及符號；第二部分給出在一定條件下復(fù)矩陣以及Hermite矩陣特征值與奇異值不等式,控制不等式和Frobenius范數(shù)不等式；第三部分介紹并推廣著名的Neumann跡不等式；第四部分給出兩個(gè)關(guān)于矩陣Hadamard乘積之奇異值不等式,并對這兩個(gè)不等式進(jìn)行推廣；第五部分給出若干復(fù)矩陣連乘積之跡的不等式,并運(yùn)用矩陣特征值與奇異值不等式的性質(zhì),獲得m個(gè)復(fù)矩陣乘積以及Hermite半正定矩陣偶次冪之跡的不等式,并推廣了相關(guān)結(jié)果；第六部分給出矩陣跡的不等式在逼近論中矩陣逼近方面的應(yīng)用.二逆矩陣2.1概念矩陣集合上定義了乘法。以向量內(nèi)積為基礎(chǔ)的矩陣乘法非常成功。但它是不可交換的。即，通常有AB≠BA，那怕在n階方陣子集中也這樣。

矩陣的乘法有“單位元”E（n階方陣）即在可乘的條件下，=A。AE或BE=B，E在乘法中的作用，就象數(shù)1那樣。若n階方陣A滿秩，它就應(yīng)該有逆元。即“右逆”AB=E或“左

逆”CA=E由于矩陣乘法不可易，按理“右逆”與“左逆”可能不同。但是《線性代數(shù)》中，滿秩方陣A的逆陣B的定義就是AB=BA=E之所以有這個(gè)特殊性，原因在于A有伴隨陣A*基本恒等式A*A=AA*=|A|E在A滿秩時(shí)，它告訴我們，A*/|A|就既是A的“右逆”，又是A的“左逆”。且按照矩陣相等的定義，滿秩方陣A的逆陣唯一。有趣的是，如果n階方陣A的“列向量組”是標(biāo)準(zhǔn)正交組（單位正交組），則A′A=E你只能先說A′是A的“左逆”。A′的行，就是A的列。左行右列作內(nèi)積，恰好用上已知條件。但是，逆陣唯一，“左逆”就是“右逆”。AA′=E這樣一來，A的行向量組必定也是標(biāo)準(zhǔn)正交組。同樣，如果n階方陣A的“行向量組”是標(biāo)準(zhǔn)正交組，那它的列向量組必定也是標(biāo)準(zhǔn)正交組。實(shí)際上，很簡單，AA′=E，則|A|=±1滿秩方陣A的的逆陣唯一，A′=±A*只有兩類正交陣——要么A的每一元就等于自己的代數(shù)余子式，要么A的每一元等于自己的代數(shù)余子式的相反數(shù)。另有一個(gè)應(yīng)用逆陣唯一性的好例。

2.2左、右逆矩陣存在的條件首先,行列式乘積定理|AB|=|A|*|B|的證明不依賴于你想要證明的結(jié)論,它可以通過初等變換來證明.

然后就是一個(gè)觀念的問題,滿足|A|≠0的矩陣A稱為非奇異矩陣,而關(guān)于X的方程AX=XA=E有解的矩陣A稱為可逆矩陣,這兩者的等價(jià)性沒有驗(yàn)證之前最好不要混淆.

利用Cranmer法則可以證明非奇異矩陣必可逆,因?yàn)榇藭r(shí)可以構(gòu)造出一個(gè)解X=adj(A)/|A|.再利用行列式乘積定理可以證明可逆矩陣必定非奇異.準(zhǔn)備工作到此為止.回到你的問題,如果AB=E,那么由|A||B|=1得A非奇異,因此必定可逆,取A的逆X,那么X=XE=XAB=B,從而BA=XA=E.2.3左、右逆矩陣的求法A乘以A的逆等于單位矩陣，兩側(cè)同時(shí)轉(zhuǎn)置，右側(cè)單位矩陣轉(zhuǎn)置仍然得單位矩陣，左側(cè)分別轉(zhuǎn)置兩個(gè)矩陣，然后以相反順序相乘，因此A的逆的轉(zhuǎn)置乘以A的轉(zhuǎn)置得到單位陣。A轉(zhuǎn)置的逆即是A的逆的轉(zhuǎn)置。因此，要求A轉(zhuǎn)置的逆，只需要先求A的逆，然后求該逆的轉(zhuǎn)置即可。轉(zhuǎn)置和逆兩種乘法運(yùn)算，對于單個(gè)矩陣而已，其順序可以顛倒。這種算法就是在右邊加上一個(gè)單位矩陣E組成一個(gè)新矩陣，然后使用初等變換，當(dāng)變換到新矩陣左半部分是單位矩陣的時(shí)候，右半部分就是原來矩陣的逆了。

1.02.03.01.00.00.0

2.02.01.00.01.00.0

3.04.03.00.00.01.0

可以變換到：

1.00.00.01.03.0-2.0

0.01.00.0-1.5-3.02.5

0.00.01.01.01.0-1.0所以右邊就是他的逆。Am×nBn×p=Cm×p，A列必須等于B的行數(shù)1）常規(guī)方法，行列點(diǎn)乘法：C=AB，C中的第i行j列結(jié)果來自A的第i行向量與B的第j列向量的點(diǎn)乘。整行整列的進(jìn)行。2）列方法，整列考慮，列的線性組合方式：B的一個(gè)列向量乘以A（矩陣A各列向量的線性組合）得到C的對應(yīng)列向量，此過程其余列向量暫不參與計(jì)算。3）行方法，整行考慮，行的線性組合方式：A的一個(gè)行向量乘以B（矩陣B各行向量的線性組合）得到C的對應(yīng)行向量，此過程其余行向量暫不參與計(jì)算。4）列×行法：AB等于A各列與B各行乘積之和：A中列乘以B中行，如A第一列乘以B第一行得一個(gè)矩陣（這樣的矩陣很特殊，行向量和列向量都是單個(gè)向量的線性組合，第四講會講到有關(guān)行空間，列空間的概念），最后將得到的各矩陣相加。三應(yīng)用和例題3.1伴隨矩陣求逆矩陣和用初等變換求逆矩陣1、用伴隨矩陣求逆矩陣定義：設(shè)矩陣A=所對應(yīng)的行列式detA中元素aij的代數(shù)余子式矩陣稱為A的伴隨矩陣，記為A*。顯然，AA＊=仍是一個(gè)n階方陣，其中第i行第j列的元素為由行列式按一行（列）展開式可知=所以AA＊==detAE（1）同理AA＊=detAE=A＊A定理：n階方陣A可逆的充分必要條件是A為非奇異矩陣，而且A-1=A＊=證必要性：如果A可逆，則A-1存在使AA-1=E，兩邊取行列式det(AA-1)=detE,即detAdetA-1=1,因而detA≠0,即A為非奇異矩陣。充分性：設(shè)A為非奇異矩陣，所以detA≠0，由（1）式可知A(A＊)=(A＊)A=E所以A是可逆矩陣。且A-1=A＊例1求矩陣A=的逆矩陣。解因?yàn)閐etA=,所以A是可逆的。又因?yàn)樗訟-1=A＊==2、用初等變換求逆矩陣用初等變換求一個(gè)可逆矩陣A的逆矩陣，其具體方法為：把方陣A和同階的單位矩陣E，寫成一個(gè)長方矩陣，對該矩陣的行實(shí)施初等變換，當(dāng)虛線左邊的A變成單位矩陣E時(shí)，虛線右邊的E變成了A-1即從而可求A-1。例2用初等變換求的逆矩陣。解因?yàn)?所以A-1=例3解線性方程組解方程組可寫成=設(shè)A=X=B=則AX=B由例2知A可逆，且A-1=所以X=A-1B，即=A-1B==于是，方程組的解是3.2幾種變換例析1設(shè)表示所有系數(shù)在域中的矩陣的集合，考慮的子空間序列

這里，由于是上的有限維的向量空間，因此存在自然數(shù)使得，于是存在的矩陣使得

由于，對歸納就可以得到。上式同時(shí)乘以得到

因此

（2）因?yàn)椋粒拢剑?，Ａ，Ｂ是n階方陣（已知條件）

故必然存在ＡＡ（－１）＝Ｅ＝A(-1)A（Ａ（－１）是n階方陣，存在性）

比較上面兩式，得到Ｂ＝Ａ（－１）（等效性）

故ＢＡ＝Ａ（－１）Ａ＝Ｅ方法２：因?yàn)椋ǎ拢粒n=BA*BA*...=B(AB)^(n-1)A=BA對任意正整數(shù)n成立，

所以，ＢＡ必然是單位方陣Ｅ或者是０。

因?yàn)椋粒拢剑?，故可排除ＢＡ＝０可能性。故ＢＡ＝Ｅ?/p>

方法３：ＢＡ*BA=BEA=ＢＡＥ,兩邊除以ＢＡ（因?yàn)閨ＢＡ|=|AB|不等于０，故可除）

可得ＢＡ＝Ｅ

方法４：AB*A=A=AE,兩邊除以Ａ（因?yàn)椋粒坏扔冢?，故允許除法）

可得ＢＡ＝Ｅ（3）由隱含條件

從而有：

若存在,使得則的行向量組線性無關(guān),因?yàn)槿舸嬖趧t

因而的行向量組是線性空間的一個(gè)基，所以可以用A的行向量組表示出的標(biāo)準(zhǔn)基，即存在令,則,

最后易證（4）初等行變換，將(A,E)用初等行變換化為行最簡形

若左子塊是E,則A可逆,且此時(shí)右子塊就是A^-1

--建議用此方法

例如題1

(A,E)=

-11-1100

-1-11010

1-1-1001

-->

00-2101

0-20011

1-1-1001

-->

001-1/20-1/2

0100-1/2-1/2

1-1-1001

-->

001-1/20-1/2

0100-1/2-1/2

100-1/2-1/20

-->

100-1/2-1/20

0100-1/2-1/2

001-1/20-1/2

A^-1=

-1/2-1/20

0-1/2-1/2

-1/20-1/2（5）如果那么互為強(qiáng)逆矩陣。那么可以知道強(qiáng)逆矩陣存在的充要條件是行列式不為零。這個(gè)過程只不過是書上可逆充要條件是行列式不為零這個(gè)過程的文本替換而已。如果，那么稱為的右逆矩陣，那么容易知道如果一個(gè)矩陣有右逆矩陣，根據(jù)Cachy-Binet定理，行列式必然不為零，必然有強(qiáng)逆矩陣，并且強(qiáng)逆矩陣就是右逆矩陣。（6）有7位有效數(shù)字，這和定義所得結(jié)果完全一致,這是共它任何方法所難得到的.（7）設(shè)mxn二實(shí)矩陣A是列滿秩的,是A的近似左逆矩陣,如果滿足條件列則：其中R(A)表示矩陣A的象空間，A十表示A的廣義逆矩陣，這里即為A的左逆矩陣·（8）如果二次型中含變量xi的平方項(xiàng)，則先將含xi的項(xiàng)集中，按xi配成完全平方，直至都配成平方項(xiàng)；如果二次型不含平方項(xiàng)，但某混合項(xiàng)系數(shù)aIj不為0，可先通過xi=yI+yj，xj=yI-yj，xk=yk（k不是i或j）這一可逆變換使二次型中出現(xiàn)平方項(xiàng)后，按前一方法配方。例：f=x1^2+x2^2+3x3^2+4x1x2+2x1x3+2x2x3=(x1^2+4x1x2+2x1x3)+x2^2+3x3^2+2x2x3=(x1+2x2+x3)^2-3x2^2+2x3^2-2x2x3=……=（x1+2x2+x3)^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3*x3^2;作變換y1=x1+2x2+x3,y2=x2+1/3*x3,y3=x3,就得標(biāo)準(zhǔn)型f=y1^2-3y2^2+7/3*y3^2.將上述變換求出逆變換x1=y1-2y2-5/3*y3,x2=y2-1/3*y3,x3=y3,寫成矩陣形式X=CY形式，其中C=（1，-2，-5/3；0，1，-1/3；0，0，1）（分號表示矩陣行結(jié)束）就是合同變換中的變換矩陣。例，f=2x1x2-6x1x3,無平方項(xiàng)，則先作變換x1=y1+y2,x2=y1-y2,y3=x3,代入f中f=2y1^2-2y2^2-6y1y3-6y2y3=2(y1-3/2*y3)^2-2(y2+3/2*y3)^2;再作變換：z1=y1-3/2*y3,z2=y2+3/2*y3,z3=y3用逆變換y1=z1+3/2*z3,y2=z2-3/2*z3,y3=z3,就能把f化成f=2z1^2-2z2^2這種標(biāo)準(zhǔn)二次型。最后將再次用的變換寫成矩陣形式，X=C1*Y,Y=C2*Z的形式，X=C1*C2*Z,則C=C1*C2就是所求（具體計(jì)算略）。先寫出二次型的A的矩陣形式拼單位陣，變換左半為對角陣，要靈活運(yùn)用三種初等變換（交換，倍數(shù)，加倍都需要行列相繼對應(yīng)變換），當(dāng)對角線元素為零時(shí)，單純交換不能解決問題，采用具有規(guī)律性的后行/列加前行/列，寫在題目最后的一句話：做可逆變換x=Cy即（矩陣形式），把f做成標(biāo)準(zhǔn)形f=...。注意：用配方法或合同變換解題時(shí)，系數(shù)不是A的特征值，只有用正交變換才是特征值，它們的共同點(diǎn)是：項(xiàng)數(shù)一樣，符號一樣。變換得出左半對角陣即可寫出標(biāo)準(zhǔn)形。將二次型的矩陣寫出來，在下方寫一個(gè)單位矩陣，然后對行和列做相同的初等變換，使上面的矩陣變成對角矩陣，對角線上是1或-1。下面的矩陣就變成了線性替換的矩陣。設(shè)矩陣A=1-81X=x1411x211-2x3解:f=x1^2+x2^2-2x3^2-4x1x2+2x1x3+2x2x3=(x1-2x2+x3)^2-3x2^2-3x3^2+6x2x3=(x1-2x2+x3)^2-3(x2-x3)^2=y1^2-3y2^2對AE用類同的行列變換將上子塊化為對角矩陣,則下子塊即X與Y的關(guān)系X=CYPS.這個(gè)方法很少用,不如配方法好使。用mathematical求正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出所作的正交變換mat={{1.1,2.3,-2.4},{2.3,-2.2,4.45},{-2.4,4.45,4.2};{lam,

vec}=Eigensystem[mat];vec=Transpose[vec];vec//MatrIxForm至此求出正交變換的矩陣Diagonal[Inverse[vec].mat.vec]至此求出標(biāo)準(zhǔn)型的三個(gè)項(xiàng)用正交線性替換化下列二次型為典范性f(x1,x2,x3)=x1*2+2x2*2+3x3*2-4x1x2-4x2x3(注：x1中的1為下標(biāo))定理：假定A=I?L?U是一個(gè)M-矩陣,1D≥0且10LLβ≤≤,其中?L,?U分別是A的嚴(yán)格下三角部分和嚴(yán)格上三角部分,那么預(yù)條件混合型迭代法(5.1.4)是收斂的。證明：我們先記1DISβ=?,LLSSLβββ=?+,2UUSα=+其中1S,2S是SUβ的對角線和上三角部分,則11MDDLLββ=++?,11NDLUβ=++,因?yàn)锳是一個(gè)M-矩陣，并且10LLβ≤≤,我們有1111111M(DDLL)[(DD)(LL)]0ββββ???=++?=+??≥,1A0?≥,11NDLU0β=++≥.根據(jù)引理,我們可得M-矩陣預(yù)條件混合型方法是收斂的。推論：如果系數(shù)矩陣A是一個(gè)M-矩陣且0<r<1,那么PSOR迭代法是收斂的。推論5.2.2.如果系數(shù)矩陣A是一個(gè)M-矩陣且0<r<w<1,那么PAOR迭代法是收斂的。定理：設(shè)A為非退化的Z-矩陣，若滿足1D≥0,10LLβ≤≤,β∈[0,1]且T,T分別是和所表示的迭代矩陣(ⅰ)若ρ(T)<1,則ρ(T)<ρ(T)<1；(ⅱ)假定A是不可約的，且滿足1101,2,,.iiiiaain??<<=有：(1)若ρ(T)>1則ρ(T)>ρ(T);(2)若ρ(T)=1則ρ(T)=ρ(T);(3)若ρ(T)<1則ρ(T)<ρ(T)。證明：取11MDDLLβββ=++?11NDLUββ=++11M=I+D+L?L11N=D+L+U11E(IS)(IDLL)ββ=+++?11F(IS)(DLU)ββ=+++那么,我們有A=M?N,AMNEFβββββ=?=?。(ⅰ)因?yàn)锳是一個(gè)非退化的Z-矩陣且滿足1D≥0和10LLβ≤≤,則易得11M=I+D+L?L是一個(gè)非奇異M矩陣且分解1111A=M?N=(I+D+L?L)?(D+L+U)是一個(gè)M-分解。因此ρ(T)<1,由引理2.5.6我們有A是一個(gè)非退化的M-矩陣，進(jìn)而由引理2.5.7,存在正向量x，滿足Ax≥0，所以有Ax(IS)Ax0ββ=+≥。另一方面,由：，我們可得：所以：因?yàn)椋核晕覀兛梢缘玫剑杭矗阂陨系玫搅藥Ъs束條件矩陣跡的不等式的兩個(gè)重要的推廣，文獻(xiàn)都是關(guān)于矩陣跡不等式及其推廣的一些研究。從線性模型中相對效率的下界和最佳線性無偏估計(jì)的研究引申出帶約束條件矩陣跡的不等式的推廣，重要參見文獻(xiàn)，有關(guān)于這方面的研究。在以后的學(xué)習(xí)中，我會努力將本節(jié)得到的推廣加以應(yīng)用。四矩陣的跡的應(yīng)用廣義逆矩陣是上世紀(jì)矩陣?yán)碚撝袠O為重要的一項(xiàng)新發(fā)展，廣義逆的概念是Redholm最早在1908年提出的，他給出了TFredholm積分算子的廣義逆，在1912年利用有限維Fredholm積分算子的零空間Hurwitz給出了此類廣義逆的一個(gè)簡單的代數(shù)表征，在1904年Hilbert討論廣義Green函數(shù)時(shí)曾提出了微分算子的廣義逆，許多學(xué)者從此以后研究了微分算子的廣義逆，特別是Myller,westfall,Reid等。在1920年矩陣的廣義逆由Moore首次提出，他利用投影矩陣定義了唯一的廣義逆。erhammer在不知道Moore結(jié)果的情形下，重新提出了廣義逆矩陣的定義，利用廣義逆給出了線性方程組的解。Bott和Duffin在研究電網(wǎng)絡(luò)理論時(shí)，引進(jìn)了后來被稱為Bott-Duffin廣義逆。但是，在此后的20年中，這種廣義逆幾乎沒有引起人們的多少注意，直到1955年，Penrose證明了Moore所定義的廣義逆是滿足四個(gè)矩陣方程的唯一的矩陣之后，廣義逆的研究才真正為人們所重視，得到迅速發(fā)展并在諸多領(lǐng)域獲得廣泛的應(yīng)用。近四十年來，廣義逆矩陣?yán)碚撛跀?shù)理統(tǒng)計(jì)、最優(yōu)化、算子理論、計(jì)算數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等眾多數(shù)學(xué)分支和工程科技領(lǐng)域發(fā)揮了重大作用。矩陣跡的不等式是矩陣?yán)碚撝械闹饕n題之一，是一個(gè)龐大的知識結(jié)構(gòu)體系，具有廣闊的研究空間.本文所做的討論不過是矩陣?yán)碚撝R海洋中的點(diǎn)滴，基本上是在前人成果的基礎(chǔ)上做了一些改進(jìn)和推廣，其內(nèi)容的創(chuàng)新性和嚴(yán)密性還有待進(jìn)一步提升.因此，本文需要進(jìn)一步研究的問題還很多，就目前而言，主要是想把矩陣和的有關(guān)控制不等式，矩陣Hadamard乘積之奇異值不等式，Neumann跡不等式，矩陣乘積之跡不等式推向更廣泛的情況，同時(shí)可以類比其他類型的不等式做一些關(guān)于矩陣跡不等式方面的創(chuàng)新工作，等等，另外，本文研究的問題主要是矩陣跡的不等式，然而，由于作者自身的知識有限，并不能在更廣泛的領(lǐng)域應(yīng)用矩陣跡的不等式進(jìn)行研究.因此，今后還需要進(jìn)一步努力學(xué)習(xí)，刻苦專研，虛心請教，以豐富自身所掌握的理論知識，扎實(shí)功底，爭取能夠做好對矩陣?yán)碚撝R更深入的研究.廣義逆矩陣的概念最早是由MooreE.H于1920年提出，但當(dāng)時(shí)并未受到重視。直到1955年P(guān)enroseR又提出了廣義逆矩陣的概念，并證明了加號廣義逆矩陣的唯一性，發(fā)現(xiàn)它在許多學(xué)科都有廣泛應(yīng)用，這才受到人們的關(guān)注。關(guān)于廣義逆矩陣的性質(zhì)，[1-2]總結(jié)了九十年代以前已有的結(jié)果?？偨Y(jié)出了加號廣義逆矩陣的一些性質(zhì)。在較嚴(yán)格的條件下，本節(jié)證明了加號廣義逆矩陣的三條性質(zhì)。線性模型是一類統(tǒng)計(jì)模型的總稱，許多生物，醫(yī)學(xué)，經(jīng)濟(jì)，管理，地質(zhì)，氣象，農(nóng)業(yè)，工業(yè)，工程技術(shù)等領(lǐng)域的現(xiàn)象都可以用線性模型來近似描述。參考文獻(xiàn)[4-5],因此線性模型成為現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用最為廣泛的模型之一。在線性模型的統(tǒng)計(jì)推斷中，矩陣?yán)碚摵途仃囁惴▽⑹且粋€(gè)十分重要的工具。隨著研究的深入和應(yīng)用的發(fā)展，矩陣與線性模型之間的關(guān)系會越來越深刻。一方面，線性模型對矩陣?yán)碚撗芯刻岢隽嗽S多新的研究課題，刺激了有關(guān)矩陣?yán)碚摷熬仃囉?jì)算研究的發(fā)展;另一方面，矩陣?yán)碚撝械慕Y(jié)果被越來越多地應(yīng)用于線性模型的理論研究及其應(yīng)用中。近三十年來，很多統(tǒng)計(jì)學(xué)家在這方面付出了很大努力，并寫了很多這方面的論文和著作，其中很多結(jié)論在線性模型的研究中發(fā)揮著很大的作用。隨著科技日新月異地進(jìn)步，矩陣的應(yīng)用越來越廣泛，矩陣?yán)碚摷熬仃囉?jì)算的研究也就越來越重要[6]。本文皆在向讀者介紹線性模型中常用矩陣?yán)碚摷熬仃囁惴ǖ娜缦聨讉€(gè)方面：矩陣不等式、M矩陣、廣義逆矩陣等，這些方面與線性模型息息相關(guān)。關(guān)于矩陣不等式，已經(jīng)出版了好幾部英文專著，要么以數(shù)量和函數(shù)的不等式為主要討論對象，要么從某一特定方向研究一類數(shù)量或矩陣的不等式，其中最有影響的是Hardy，Littlewood和Polya的“Inequalities”[7]，Beckenback和Bellman（1961）的“Inequalities”[8]以及Marshall和Olkin(1979)的“Inequalities:TheoryofMajorizationanditsApplications”[9]。隨著矩陣?yán)碚摰难杆侔l(fā)展，矩陣?yán)碚撛谧匀豢茖W(xué)、工程技術(shù)和社會經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，因此關(guān)于矩陣不等式的新結(jié)果層出不窮，它們或者是經(jīng)典不等式的改進(jìn)與推廣，或者是完全新型的不等式，或者是應(yīng)用的深入與拓廣，這些結(jié)果在線性模型的研究中也起到很大的作用。M矩陣從20世紀(jì)初至今，應(yīng)用日益廣泛，對M矩陣的研究也日益受到人們的重視，有關(guān)的研究論文達(dá)數(shù)百篇，是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，計(jì)算數(shù)學(xué)，和應(yīng)用數(shù)學(xué)中較為活躍的研究領(lǐng)域之一，國際上許多著名數(shù)學(xué)家從事這個(gè)領(lǐng)域的研究，并取得了許多重要的成果，我國的數(shù)學(xué)工作者起步較晚，作為矩陣?yán)碚摰囊粋€(gè)分支和研究問題。隨著矩陣?yán)碚摰难杆侔l(fā)展，矩陣?yán)碚撛谧匀豢茖W(xué)、工程技術(shù)和社會經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，因此關(guān)于矩陣不等式的新結(jié)果層出不窮，它們或者是經(jīng)典不等式的改進(jìn)與推廣，或者是完全新型的不等式，或者是應(yīng)用的深入與拓廣，這些結(jié)果在線性模型的研究中也起到很大的作用。矩陣不等式的理論已經(jīng)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的很多問題上得到應(yīng)用，在其它學(xué)科中的應(yīng)用也相當(dāng)廣泛。本章主要介紹兩類矩陣不等式的推廣，這兩類不等式分別為Marshall和Olkin型Cauchy-Schwarz不等式和約束條件下矩陣跡不等式。Cauchy-Schwarz不等式是一個(gè)非?；镜牟坏仁剑詮?948年Kantorovich通過Cauchy-Schwarz不等式的推廣形式得到了Kantorovich不等式以來，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)和統(tǒng)計(jì)相對效率方面有著廣泛而重要的應(yīng)用，許多統(tǒng)計(jì)學(xué)家相繼給出了一些矩陣意義下的Kantorovich不等式的推廣形式。在1990年，Marshall和Olkin[22]將Cauchy-Schwarz不等式推廣到矩陣形式。在本章第二節(jié)中，我們結(jié)合Kantorovich不等式的推廣形式[23]將其推廣到了一般形式，擴(kuò)大了它的適用范圍。這些推廣在線性模型的參數(shù)估計(jì)和相對效率的研究中能起到很重要作用，矩陣跡是矩陣論中一個(gè)重要內(nèi)容，它在許多方面都有廣泛的應(yīng)用。本章第三節(jié)主要討論帶約束條件的矩陣跡不等式，把已有結(jié)果推廣到了一般形式，這些結(jié)果在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中是十分有用的。五結(jié)論隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,科學(xué)與工程計(jì)算簡稱科學(xué)計(jì)算的研究受到科學(xué)技術(shù)人員的極大重視,其應(yīng)用范圍己滲透到許多學(xué)科領(lǐng)域。而矩陣計(jì)算是科學(xué)計(jì)算領(lǐng)域中的一個(gè)重要方面。對于科學(xué)研究和工程技術(shù)上的各種問題,用矩陣的理論和方法來處理己越來越普遍。引入矩陣?yán)碚摬粌H使理論的表達(dá)更為簡捷,而且對理論實(shí)質(zhì)的刻畫也更為深刻。這一點(diǎn)已被越來越多的科技工作者所認(rèn)識。特別是由于計(jì)算機(jī)和計(jì)算方法的普及和發(fā)展,不僅為矩陣?yán)碚摵头椒ㄩ_辟了廣闊的研究前景,也使科學(xué)與工程技術(shù)的研究發(fā)生新的變化,開拓了嶄新的研究途徑。矩陣?yán)碚撆c方法已成為眾多學(xué)科領(lǐng)域的數(shù)學(xué)工具。它不僅在數(shù)值分析、最優(yōu)化方法、數(shù)學(xué)模型等數(shù)學(xué)分支上有極其重要的應(yīng)用,還在信號處理、圖像處理、無線電技術(shù)和衛(wèi)星通信等尖端科學(xué)領(lǐng)域中有重要的用途。矩陣計(jì)算的理論和方法在圖像恢復(fù)與重建、壓縮與編碼、圖像分析、圖像識別及近年來研究較熱的數(shù)字水印等各個(gè)領(lǐng)域中都有重要的應(yīng)用。這里我們就圖像識別中的代數(shù)特征提取、基于四元數(shù)矩陣的彩色圖像處理及數(shù)字水印中的水印嵌入分別簡要地介紹矩陣計(jì)算的理論和方法在圖像處理及識別中的應(yīng)用。以上的討論不過是矩陣?yán)碚撝械狞c(diǎn)滴，通過探討認(rèn)識到矩陣知識是重要的、系統(tǒng)的。而矩陣的跡作為矩陣的一個(gè)重要數(shù)字特征，在數(shù)值計(jì)算、逼近論及統(tǒng)計(jì)估計(jì)等方面有著較為廣泛應(yīng)用。通過以上對跡的性質(zhì)的討論，不難發(fā)現(xiàn)利用矩陣跡的性質(zhì)在解決一些實(shí)際問題中收到了很好的效果。在今后的教學(xué)科研活動中，應(yīng)加強(qiáng)對矩陣?yán)碚搯栴}的探討，這對教師的科研和教學(xué)及學(xué)生的學(xué)習(xí)有很大的幫助。數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)及物理學(xué)等多學(xué)科領(lǐng)域中均是隨機(jī)矩陣?yán)碚摰幕钴S研究領(lǐng)域，并且發(fā)展迅猛?，F(xiàn)如今，隨機(jī)矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用范圍十分廣泛，其在多元統(tǒng)計(jì)分析中應(yīng)用的研究也得到了越來越多的專家學(xué)者的關(guān)注。本文就隨機(jī)矩陣?yán)碚摰难芯勘尘?、目的意義及發(fā)展趨勢進(jìn)行了粗淺分析，以探究隨機(jī)矩陣?yán)碚撛诟呔S多元統(tǒng)計(jì)分析的檢驗(yàn)問題中的應(yīng)用問題，為發(fā)掘隨機(jī)矩陣?yán)碚摳嗟膽?yīng)用研究價(jià)值提供新思路。六參考文獻(xiàn)[1]TianYaobang,Lidong,WangAnna.ExtensionsoftheMatrixAnthropocentricInequalities.ProceedingsoftheEighthInternationalConferenceonMatrixTheoryanditsApplications.2008[2]TianYaobang,WangAnna,Mialei.ExtensionoftheMatrixCauchy-SchwaandMarshallKinfolksinequality.ProceedingsofThirdInternationalWorkshopOnMatrixAnalysisandApplicationsinchina.2009[3]LiuShijiazhuang,KroneckerHeinz.SeveralmatrixAnthropocentricinequalities.JournalofMathematicalAnalysisandApplications.1996[4]SalaryJ.K,ChippyB,TrencherG.somefurtherresultsonDomitian-matrixinequalities.LinearAlgebraandItsApplications.1992[5]TianYaobang,Mialei.AGeneralizationofTraceInequalityofMatrix.ProceedingsofInterdenominationalWorkshopOnMatrixAnalysisandApplicationsinchina.2009[6]KroneckerH.Amatrixtraceinequality.MahAnalApp.1992[7]Gang-HuiChang,HuntingHuang,ShenaniganHen.Notetothemixed-typesplittingiterativemethodforZ-matriceslinearsystems.JComp.Appl.Math.2008[8]Li,S.Z.EfficiencycomparisonsbetweentheOLSEandtheBLUEinasingularlinearmodel.J.Stasis.Plain.Infer.2000[9]E.F.Backpacker,R.Bellman.Inequalities..1983[10]HardyG.H,LittleJ.E,PloyG.Inequalities..2004[10]杜娟.

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