高一物理下學(xué)期期末復(fù)習(xí)精細(xì)講義（人教2019）第4講 萬有引力與航天（原卷版+解析）

第4講萬有引力與航天——?jiǎng)澲攸c(diǎn)之精細(xì)講義系列知識(shí)點(diǎn)1：開普勒的行星運(yùn)動(dòng)定律開普勒根據(jù)第谷的觀測(cè)數(shù)據(jù)及個(gè)人的理論分析，對(duì)前人提出的天體做圓周運(yùn)動(dòng)的說法產(chǎn)生了懷疑，經(jīng)過周密計(jì)算，他發(fā)現(xiàn)所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓。1.開普勒第一定律（軌道定律）：內(nèi)容：所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.2.開普勒第二定律(面積定律)內(nèi)容:對(duì)任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等。3.開普勒第三定律(周期定律)內(nèi)容:所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等、因此有,式中的k是對(duì)繞太陽運(yùn)動(dòng)的所有行星都相同的常量。對(duì)開普勒第三定律的理解①k值由中心天體決定與繞中心天體運(yùn)動(dòng)的行星(或衛(wèi)星)無關(guān)，即對(duì)于繞同一中心天體運(yùn)動(dòng)的行星，k值相同;中心天體不同，則k值一般不同。例如繞太陽運(yùn)動(dòng)的八大行星k值相同，衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的k值與行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的k值不同，常數(shù)k不是個(gè)普適常量。②對(duì)于繞同一中心天體運(yùn)動(dòng)的行星,橢圓軌道半長軸越長的行星,公轉(zhuǎn)周期越大,反之公轉(zhuǎn)周期越小。③大多數(shù)行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道與圓十分接近，在中學(xué)階段研究時(shí)均按圓軌道處理，太陽處在圓心，對(duì)某一行星來說它繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度(或線速度)不變。若用r代表軌道半徑，T代表公轉(zhuǎn)周期，開普勒第三定律可以表示為。知識(shí)點(diǎn)2：萬有引力定律1．內(nèi)容自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比．2．公式F＝Geq\f(m1m2,r2)，其中G＝6.67×10－11N·m2/kg2，叫引力常量．3．適用條件（1）嚴(yán)格地說，萬有引力定律只適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用。（2）兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體間的相互作用，也可用本定律來計(jì)算，其中r是兩個(gè)球體球心間的距離。（3）一個(gè)均勻球體與球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力的情形也適用，其中r為球心到質(zhì)點(diǎn)間的距離。（4）兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，公式也近似適用，其中r為兩物體質(zhì)心間的距離。(1)只有天體之間才存在萬有引力．()(2)只要已知兩個(gè)物體的質(zhì)量和兩個(gè)物體之間的距離，就可以由F＝Geq\f(Mm,R2)計(jì)算物體間的萬有引力．()(3)當(dāng)兩物體間的距離趨近于0時(shí)，萬有引力趨近于無窮大．()知識(shí)3：萬有引力定律應(yīng)用及三種宇宙速度1．萬有引力定律基本應(yīng)用(1)基本方法：把天體(或人造衛(wèi)星)的運(yùn)動(dòng)看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其所需向心力由萬有引力提供．(2)基本公式：Geq\f(Mm,r2)＝mgr＝ma＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m\f(v2,r),mrω2,mr\f(2π,T)2,mvω))其中g(shù)r為距天體中心r處的重力加速度．2．三種宇宙速度宇宙速度數(shù)值(km/s)意義第一宇宙速度(環(huán)繞速度)7.9這是衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大環(huán)繞速度，也是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，若7.9km/s≤v＜11.2km/s，物體將繞地球運(yùn)行第二宇宙速度(逃逸速度)11.2是物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度，若11.2km/s≤v＜16.7km/s，物體將繞太陽運(yùn)行第三宇宙速度16.7這是物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度，若v≥16.7km/s，物體將脫離太陽系在宇宙空間運(yùn)行(1)兩種周期——自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期的不同．(2)兩種速度——環(huán)繞速度與發(fā)射速度的不同，最大環(huán)繞速度等于最小發(fā)射速度．(3)兩個(gè)半徑——天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r的不同．1.萬有引力與重力的關(guān)系（1）物體在一般位置（不在赤道和兩極）時(shí)，，F(xiàn)向、F引、G不在一條直線上。（2）當(dāng)物體在赤道上時(shí)，F(xiàn)向達(dá)到最大值，，此時(shí)重力G最小，。（3）當(dāng)物體在兩極時(shí)F向=0，G=F引，重力達(dá)到最大值可見只有在兩極時(shí)，重力等于萬有引力，其他位置時(shí)重力小于萬有引力。2.黃金代換式由于物體隨地球自轉(zhuǎn)需要的向心力很小，一般情況下認(rèn)為重力近似等于萬有引力。因此不考慮地球自轉(zhuǎn)（忽略）的影響時(shí)，在地球附近有，化簡得。通常叫作黃金代換式，適用于任何天體，主要用于某星體的質(zhì)量M未知的情況下，用該星體的半徑R和表面的"重力加速度"g代換M。知識(shí)4：經(jīng)典時(shí)空觀和相對(duì)論時(shí)空觀1．經(jīng)典時(shí)空觀(1)在經(jīng)典力學(xué)中，物體的質(zhì)量是不隨運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而改變的．(2)在經(jīng)典力學(xué)中，同一物理過程發(fā)生的位移和對(duì)應(yīng)時(shí)間的測(cè)量結(jié)果在不同的參考系中是相同的．2．相對(duì)論時(shí)空觀(1)在狹義相對(duì)論中，物體的質(zhì)量是隨物體運(yùn)動(dòng)速度的增大而增大的，用公式表示為m＝eq\f(m0,\r(1－\f(v2,c2))).(2)在狹義相對(duì)論中，同一物理過程發(fā)生的位移和對(duì)應(yīng)時(shí)間的測(cè)量結(jié)果在不同的參考系中是不同的．3．經(jīng)典力學(xué)有它的適用范圍只適用于低速運(yùn)動(dòng)，不適用于高速運(yùn)動(dòng)；只適用于宏觀世界，不適用于微觀世界．【典例1】關(guān)于萬有引力公式F＝Geq\f(m1m2,r2)，以下說法中正確的是()A．公式只適用于星球之間的引力計(jì)算，不適用于質(zhì)量較小的物體B．當(dāng)兩物體間的距離趨近于0時(shí)，萬有引力趨近于無窮大C．兩物體間的萬有引力也符合牛頓第三定律D．公式中引力常量G的值是牛頓規(guī)定的【典例2】在討論地球潮汐成因時(shí)，地球繞太陽運(yùn)行軌道與月球繞地球運(yùn)行軌道可視為圓軌道．已知太陽質(zhì)量約為月球質(zhì)量的2.7×107倍，地球繞太陽運(yùn)行的軌道半徑約為月球繞地球運(yùn)行的軌道半徑的400倍．關(guān)于太陽和月球?qū)Φ厍蛏舷嗤|(zhì)量海水的引力，以下說法正確的是()A．太陽引力遠(yuǎn)大于月球引力B．太陽引力與月球引力相差不大C．月球?qū)Σ煌瑓^(qū)域海水的吸引力大小相等D．月球?qū)Σ煌瑓^(qū)域海水的吸引力大小有差異【典例3】火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運(yùn)行，根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律可知()A．太陽位于木星運(yùn)行軌道的中心B．火星和木星繞太陽運(yùn)行速度的大小始終相等C．火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方D．相同時(shí)間內(nèi)，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積【典例4】設(shè)太陽質(zhì)量為M，某行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期為T，軌道可視作半徑為r的圓．已知萬有引力常量為G，則描述該行星運(yùn)動(dòng)的上述物理量滿足()A．GM＝eq\f(4π2r3,T2) B．GM＝eq\f(4π2r2,T2)C．GM＝eq\f(4π2r2,T3) D．GM＝eq\f(4πr3,T2)考點(diǎn)1：天體質(zhì)量和密度的估算1.重力加速度法：利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.（1）由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G).（2）天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).2.衛(wèi)星環(huán)繞法測(cè)出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T.（1）由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)得天體的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2).（2）若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3).若衛(wèi)星繞中心天體表面運(yùn)行時(shí)，軌道半徑r＝R，則有ρ＝eq\f(3π,GT2).【典例1】“嫦娥一號(hào)”是我國首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為200km的圓形軌道上運(yùn)行，運(yùn)行周期為127分鐘．已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半徑約為1.74×103km.利用以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量約為()A．8.1×1010kg B．7.4×1013kgC．5.4×1019kg D．7.4×1022kg【典例2】一衛(wèi)星繞某一行星表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其線速度大小為v.假設(shè)宇航員在該行星表面上用彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)量一質(zhì)量為m的物體重力，物體靜止時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為N.已知引力常量為G，則這顆行星的質(zhì)量為()A.eq\f(mv2,GN)B.eq\f(mv4,GN)C.eq\f(Nv2,Gm)D.eq\f(Nv4,Gm)考點(diǎn)2：衛(wèi)星運(yùn)行參量的比較與運(yùn)算1.衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)規(guī)律由萬有引力提供向心力，Geq\f(Mm,r2)＝ma向＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2r,T2).2.衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律（1）Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)→v＝eq\r(\f(GM,r))→v∝eq\f(1,\r(r)).（2）Geq\f(Mm,r2)＝mω2r→ω＝eq\r(\f(GM,r3))→ω∝eq\f(1,\r(r3)).（3）Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r→T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))→T∝eq\r(r3).（4）Geq\f(Mm,r2)＝ma→a＝eq\f(GM,r2)→a∝eq\f(1,r2).（5）mg＝eq\f(GMm,R\o\al(2,地))(近地時(shí))→GM＝gReq\o\al(2,地).3.極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星1．極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋．2．近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑，其運(yùn)行線速度約為7.9km/s.【典例1】迄今發(fā)現(xiàn)的二百余顆太陽系外行星大多不適宜人類居住，繞恒星“Gliese581”運(yùn)行的行星“Gl-581c”卻很值得我們期待．該行星的溫度在0℃到40℃之間、質(zhì)量是地球的6倍、直徑是地球的1.5倍、公轉(zhuǎn)周期為13個(gè)地球日．“Gliese581”的質(zhì)量是太陽質(zhì)量的0.31倍．設(shè)該行星與地球均視為質(zhì)量分布均勻的球體，繞其中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則()A．在該行星和地球上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度相同B．如果人到了該行星，其體重是地球上的2eq\f(2,3)倍C．該行星與“Gliese581”的距離是日地距離的eq\r(\f(13,365))倍D．由于該行星公轉(zhuǎn)速率比地球大，地球上的米尺如果被帶上該行星，其長度一定會(huì)變短【典例2】(多選)質(zhì)量為m的探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，其運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知月球質(zhì)量為M，月球半徑為R，月球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則航天器的()A．線速度v＝eq\r(\f(GM,R))B．角速度ω＝eq\r(gR)C．運(yùn)行周期T＝2πeq\r(\f(R,g))D．向心加速度a＝eq\f(Gm,R2)考點(diǎn)3：赤道上物體、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星的區(qū)別1.區(qū)別（1）同步衛(wèi)星與地球赤道上的物體的周期都等于地球自轉(zhuǎn)的周期，而不等于近地衛(wèi)星的周期．（2）近地衛(wèi)星與地球赤道上的物體的運(yùn)動(dòng)半徑都等于地球半徑，而不等于同步衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)半徑．（3）三者的線速度各不相同．2.求解此類題的關(guān)鍵（1）在求解“同步衛(wèi)星”與“赤道上的物體”的向心加速度的比例關(guān)系時(shí)應(yīng)依據(jù)二者角速度相同的特點(diǎn)，運(yùn)用公式a＝ω2r而不能運(yùn)用公式a＝eq\f(GM,r2).（2）在求解“同步衛(wèi)星”與“赤道上的物體”的線速度比例關(guān)系時(shí)，仍要依據(jù)二者角速度相同的特點(diǎn)，運(yùn)用公式v＝ωr而不能運(yùn)用公式v＝eq\r(GM/r).（3）在求解“同步衛(wèi)星”運(yùn)行速度與第一宇宙速度的比例關(guān)系時(shí)，因都是由萬有引力提供的向心力，故要運(yùn)用公式v＝eq\r(GM/r)，而不能運(yùn)用公式v＝ωr或v＝eq\r(gr).【典例1】西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射的中圓軌道衛(wèi)星，其軌道半徑為2.8×107m．它與另一顆同質(zhì)量的同步軌道衛(wèi)星(軌道半徑為4.2×107m)相比()A．向心力較小 B．動(dòng)能較大C．發(fā)射速度都是第一宇宙速度 D．角速度較小同步衛(wèi)星的六個(gè)“一定”【典例2】有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星，a在地球赤道上未發(fā)射，b在地面附近近地軌道上正常運(yùn)動(dòng)，c是地球同步衛(wèi)星，d是高空探測(cè)衛(wèi)星，各衛(wèi)星排列位置如圖，則有()A．a(chǎn)的向心加速度等于重力加速度gB．c在4h內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角是π/6C．b在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長最長D．d的運(yùn)動(dòng)周期有可能是20h考點(diǎn)4：衛(wèi)星的發(fā)射與變軌1.宇宙速度（1）第一宇宙速度v1＝7.9km/s，既是發(fā)射衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的最大環(huán)繞速度．（2）第一宇宙速度的求法：①eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v\o\al(2,1),R)，所以v1＝eq\r(\f(GM,R)).②mg＝eq\f(mv\o\al(2,1),R)，所以v1＝eq\r(gR).③第二、第三宇宙速度也都是指發(fā)射速度．2.衛(wèi)星的變軌分析衛(wèi)星的變軌問題可分為兩類：大氣層外的發(fā)動(dòng)機(jī)變軌(躍遷式)和稀薄空氣作用下的摩擦(連續(xù))變軌．（1）大氣層外的發(fā)動(dòng)機(jī)變軌又存在從較低軌道變軌到較高軌道和從較高軌道變軌到較低軌道兩種情況，這兩種情況互為逆過程．eq\x(\a\al(較低圓,軌道))eq\o(,\s\up7(近地點(diǎn)向后噴氣),\s\do5(近地點(diǎn)向前噴氣))eq\x(\a\al(橢圓,軌道))eq\o(,\s\up7(遠(yuǎn)地點(diǎn)向后噴氣),\s\do5(遠(yuǎn)地點(diǎn)向前噴氣))eq\x(\a\al(較高圓,軌道))（2）空氣阻力使速度減少，Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)→向心運(yùn)動(dòng)→引力做正功→衛(wèi)星動(dòng)能增大→低軌道運(yùn)行v′＝eq\r(\f(GM,r′)).【典例1】(多選)神舟九號(hào)飛船與天宮一號(hào)目標(biāo)飛行器在離地面343km的近圓形軌道上成功進(jìn)行了我國首次載人空間交會(huì)對(duì)接．對(duì)接軌道所處的空間存在極其稀薄的大氣．下列說法正確的是()A．為實(shí)現(xiàn)對(duì)接，兩者運(yùn)行速度的大小都應(yīng)介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間B．如不加干預(yù)，在運(yùn)行一段時(shí)間后，天宮一號(hào)的動(dòng)能可能會(huì)增加C．如不加干預(yù)，天宮一號(hào)的軌道高度將緩慢降低D．航天員在天宮一號(hào)中處于失重狀態(tài)，說明航天員不受地球引力作用【典例2】(多選)“神舟十號(hào)”飛船于北京時(shí)間2013年6月11日17時(shí)38分在甘肅省酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，并于北京時(shí)間6月13日13時(shí)18分，實(shí)施了與“天宮一號(hào)”的自動(dòng)交會(huì)對(duì)接．這是“天宮一號(hào)”自2011年9月發(fā)射入軌以來，第5次與神舟飛船成功實(shí)現(xiàn)交會(huì)對(duì)接．交會(huì)對(duì)接前“神舟十號(hào)”飛船先在較低的圓軌道1上運(yùn)動(dòng)，在適當(dāng)位置經(jīng)變軌與在圓軌道2上運(yùn)動(dòng)的“天宮一號(hào)”對(duì)接．如圖所示，M、Q兩點(diǎn)在軌道1上，P點(diǎn)在軌道2上，三點(diǎn)連線過地球球心，把飛船的加速過程簡化為只做一次短時(shí)加速．下列關(guān)于“神舟十號(hào)”變軌過程的描述，正確的是()A．“神舟十號(hào)”必須在Q點(diǎn)加速，才能在P點(diǎn)與“天宮一號(hào)”相遇B．“神舟十號(hào)”在M點(diǎn)經(jīng)一次加速，即可變軌到軌道2C．“神舟十號(hào)”變軌后在M點(diǎn)的速度大于變軌前的速度D．“神舟十號(hào)”變軌后的運(yùn)行周期總大于變軌前的運(yùn)行周期“多星”模型1.雙星系統(tǒng)（1）雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源雙星繞著連線上的一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力由兩顆星間的萬有引力提供。（2）雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)參量關(guān)系兩星的運(yùn)動(dòng)周期和角速度是相等的，線速度與各自的軌道半徑成正比。（3）雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系設(shè)雙星相距L，質(zhì)量分別為M1和M2，線速度分別為v1和v2，軌道半徑分別為r1和r2，共同運(yùn)動(dòng)的周期為T、角速度為ω，如圖所示。對(duì)于這兩星，由萬有引力定律和向心力公式分別有，其中r1＋r2=L。因此，在求解雙星問題時(shí)，要注意弄清雙星各自的軌道半徑，切勿與兩星之間的距離相混淆。（4）幾個(gè)基本結(jié)論（建議自行推導(dǎo)）①軌道半徑∶，②星體質(zhì)量∶，④系統(tǒng)質(zhì)量∶④星體周期∶2.三星系統(tǒng)宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)（可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用）的三顆星組成的三星系統(tǒng)。已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)主要有兩種基本的構(gòu)成形式∶一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R1的圓軌道上運(yùn)動(dòng);另一種是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓軌道運(yùn)動(dòng)。如圖所示（設(shè)每顆星體的質(zhì)量均為m）。（1）對(duì)第一種形式中A而言，B、C對(duì)A的萬有引力提供A做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則有（2）對(duì)第二種形式中A而言，B、C對(duì)A的萬有引力提供A做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則有這里?！镜淅?】一個(gè)國際研究小組借助于智利的甚大望遠(yuǎn)鏡，觀測(cè)到了一組雙星系統(tǒng)，它們繞兩者連線上的某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示．此雙星系統(tǒng)中體積較小成員能“吸食”另一顆體積較大星體表面物質(zhì)，達(dá)到質(zhì)量轉(zhuǎn)移的目的，假設(shè)在演變的過程中兩者球心之間的距離保持不變，則在最初演變的過程中()A．它們做圓周運(yùn)動(dòng)的萬有引力保持不變B．它們做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度不斷變大C．體積較大星體圓周運(yùn)動(dòng)軌跡半徑變大，線速度也變大D．體積較大星體圓周運(yùn)動(dòng)軌跡半徑變大，線速度變小【典例2】雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，經(jīng)過一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為()A.eq\r(\f(n3,k2))T B.eq\r(\f(n3,k))TC.eq\r(\f(n2,k))T D.eq\r(\f(n,k))T一、單選題1．如圖所示，火星和地球都在圍繞著太陽旋轉(zhuǎn)，其運(yùn)行軌道是橢圓。根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律可知（）A．太陽位于地球運(yùn)行軌道的中心B．地球靠近太陽的過程中，運(yùn)行速率減小C．火星繞太陽運(yùn)行一周的時(shí)間比地球的長D．火星遠(yuǎn)離太陽的過程中，它與太陽的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積逐漸增大2．2022年11月9日發(fā)生了天王星沖日現(xiàn)象，即天王星和太陽正好分處在地球的兩側(cè)，三者幾乎成一條直線，此時(shí)是觀察天王星的最佳時(shí)間。已知此時(shí)地球到天王星和太陽的距離分別為，地球的公轉(zhuǎn)周期為T，則天王星公轉(zhuǎn)周期約為（）A． B． C． D．3．如圖所示，有一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的大球體，從中挖去一個(gè)半徑為的小球體，并在空腔中心放置一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，則大球體的剩余部分對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小為（已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零）（）A． B． C． D．04．下列對(duì)天體的認(rèn)識(shí)正確的是（）A．由可知，兩物體間距離減小時(shí)，它們間的引力增大，距離趨于零時(shí)，萬有引力無限大B．開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律既適用于行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)，也適用于衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動(dòng)C．宇宙飛船內(nèi)的宇航員處于失重狀態(tài)是由于沒有受到萬有引力的作用D．根據(jù)開普勒第二定律可知，行星在近日點(diǎn)的速度小于在遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度5．太空行走又稱為出艙活動(dòng)。2021年11月8日1時(shí)16分，神舟十三號(hào)航天員乘組圓滿完成出艙活動(dòng)全部既定任務(wù)，王亞平成為中國首位進(jìn)行出艙活動(dòng)的女航天員，邁出了中國女性艙外太空行走第一步。假設(shè)質(zhì)量為m的航天員出艙離開空間站后，某時(shí)刻其相對(duì)地心的速度為v，已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度大小為g，則（）A．該航天員離開空間站在太空行走時(shí)所受合外力為零B．該航天員離開空間站在太空行走時(shí)所受的合外力大小等于mgC．此時(shí)該航天員距離地球表面的高度為－RD．此時(shí)該航天員指向地心的加速度大小為6．上世紀(jì)70年代，蘇聯(lián)在科拉半島與挪威的交界處進(jìn)行了人類有史以來最大規(guī)模的地底挖掘計(jì)劃。當(dāng)蘇聯(lián)人向地心挖掘深度為d時(shí)，井底一個(gè)質(zhì)量為m的小球與地球之間的萬有引力為F，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，質(zhì)量分布均勻的地球的半徑為R，質(zhì)量為M，萬有引力常量為G，則F大小等于（）A． B． C． D．7．火星表面特征非常接近地球，適合人類居住。已知火星半徑是地球半徑的，質(zhì)量是地球質(zhì)量的，自轉(zhuǎn)周期也基本相同。地球表面重力加速度是，若王躍在地面上能向上跳起的最大高度是，在忽略自轉(zhuǎn)影響的條件下，下述分析正確的是（）A．火星表面的重力加速度是B．火星表面的重力加速度是C．王躍在火星表面受的萬有引力是在地球表面受萬有引力的倍D．王躍在火星表面受的萬有引力是在地球表面受萬有引力的倍8．2022年10月7日，中國太原衛(wèi)星發(fā)射中心在黃海海域使用長征十一號(hào)海射運(yùn)載火箭，采用“一箭雙星”方式，成功將微厘空間低軌導(dǎo)航試驗(yàn)衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道。設(shè)兩顆衛(wèi)星軌道在赤道平面上，運(yùn)行方向相同，運(yùn)動(dòng)周期也相同，其中a衛(wèi)星為圓軌道，距離地面高度為，b衛(wèi)星為橢圓軌道，近地點(diǎn)M距離地面高度為遠(yuǎn)地點(diǎn)N距離地面高度的一半，地球表面的重力加速度為g，a衛(wèi)星線速度大小為v1，b衛(wèi)星在近地點(diǎn)M時(shí)線速度大小為v2，在遠(yuǎn)地點(diǎn)N時(shí)線速度大小為v3，地球半徑為R，P點(diǎn)為兩個(gè)軌道的交點(diǎn)。下列說法正確的是（）A．b衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)N距離地面高度為B．b衛(wèi)星從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)間為C．D．a(chǎn)、b兩衛(wèi)星在P點(diǎn)受到地球的引力相等9．北京時(shí)間2023年1月15日11時(shí)14分，我國在太原衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征二號(hào)丁運(yùn)載火箭，以“一箭十四星”發(fā)射方式，成功將齊魯二號(hào)/三號(hào)衛(wèi)星及珞珈三號(hào)01星、吉林一號(hào)高分03D34星等4顆衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿成功．假設(shè)其中的甲、乙兩顆衛(wèi)星均繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，甲的軌道半徑是乙的2倍，甲的質(zhì)量也是乙的2倍．則（

）A．由可知，甲的速度是乙的倍B．由可知，甲的向心加速度是乙的2倍C．由可知，甲的向心力是乙的D．由可知，甲的周期是乙的倍10．發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，變軌使其沿橢圓軌道2運(yùn)行，最后變軌將衛(wèi)星送入同步圓軌道3，軌道1、2相切于Q點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)，則當(dāng)衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí)，以下說法正確的是（）A．衛(wèi)星在軌道1上運(yùn)行的速率小于赤道上隨地球自轉(zhuǎn)物體的速率B．衛(wèi)星在軌道3上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度C．三條軌道中速率最大時(shí)刻為經(jīng)過2上的Q點(diǎn)，速率最小時(shí)刻為經(jīng)過2上的P點(diǎn)D．周期關(guān)系為T2>T3>T111．如圖所示，a為放在赤道上相對(duì)地球靜止的物體，隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，b為沿地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星（軌道半徑約等于地球半徑），c為地球的同步衛(wèi)星。下列關(guān)于a、b、c的說法中正確的是（）A．b衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)線速度大于7.9km/sB．a(chǎn)、b、c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小關(guān)系為aa＞ab＞acC．a(chǎn)、b、c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期關(guān)系為Ta=Tc<TbD．在b、c中，b的線速度大12．2021年5月，基于俗稱“中國天眼”的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST）的觀測(cè)，國家天文臺(tái)李菂、朱煒瑋研究團(tuán)組的姚菊枚博士等首次研究發(fā)現(xiàn)脈沖星三維速度與自轉(zhuǎn)軸共線的證據(jù)。之前的2020年3月，我國天文學(xué)家通過FAST，在武仙座球狀星團(tuán)（M13）中發(fā)現(xiàn)一個(gè)脈沖雙星系統(tǒng)。如圖所示，假設(shè)在太空中有恒星A、B雙星系統(tǒng)繞點(diǎn)O做順時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行周期為，它們的軌道半徑分別為、，，C為B的衛(wèi)星，繞B做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行周期為，忽略A與C之間的引力，引力常量為G，則以下說法正確的是（）A．若知道C的軌道半徑，則可求出C的質(zhì)量B．若A也有一顆軌道半徑與C相同的衛(wèi)星，則其運(yùn)動(dòng)周期也一定為C．恒星B的質(zhì)量為D．設(shè)三星由圖示位置到再次共線的時(shí)間為t，則13．如圖所示，質(zhì)量相同的三顆衛(wèi)星a、b、c繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其中b、c在地球的同步軌道上，a距離地球表面的高度為R，此時(shí)a、b恰好相距最近。已知地球質(zhì)量為M、半徑為R、地球自轉(zhuǎn)的角速度為，萬有引力常量為G，則（）A．發(fā)射衛(wèi)星b時(shí)速度要大于11.2km/sB．衛(wèi)星c的機(jī)械能小于衛(wèi)星a的機(jī)械能C．若要衛(wèi)星a與b實(shí)現(xiàn)對(duì)接，可調(diào)節(jié)衛(wèi)星a，使其在b的后下方加速D．衛(wèi)星a和b下次相距最近還需經(jīng)過14．在某科學(xué)報(bào)告中指出，在距離我們大約1600光年的范圍內(nèi)，存在一個(gè)四星系統(tǒng)。假設(shè)四星系統(tǒng)離其他恒星較遠(yuǎn)，通?？珊雎云渌求w對(duì)四星系統(tǒng)的引力作用。假設(shè)某種四星系統(tǒng)的形式如圖所示，三顆星體位于邊長為L的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行，而第四顆星體剛好位于三角形的中心不動(dòng)。設(shè)每顆星體的質(zhì)量均為m，引力常量為G，則（）A．位于等邊三角形三個(gè)頂點(diǎn)上的每顆星體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小與m無關(guān)B．位于等邊三角形三個(gè)頂點(diǎn)上的每顆星體做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為C．若四顆星體的質(zhì)量m均不變，距離L均變?yōu)?L，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍D．若距離L不變，四顆星體的質(zhì)量m均變?yōu)?m，則角速度變?yōu)樵瓉淼?倍15．宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對(duì)它們的引力作用，已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在形式之一是：三顆星位于同一直線上，兩顆環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運(yùn)行，設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為M，則（）A．環(huán)繞星運(yùn)動(dòng)的線速度為B．環(huán)繞星運(yùn)動(dòng)的線速度為C．環(huán)繞星動(dòng)的周期為運(yùn)D．環(huán)繞星運(yùn)動(dòng)的周期為二、多選題16．2021年5月15日，天問一號(hào)探測(cè)器成功著陸于火星烏托邦平原南部預(yù)選著陸區(qū)，我國首次火星探測(cè)任務(wù)著陸火星取得成功。假設(shè)火星可視為半徑為R且質(zhì)量分布均勻的球體，火星赤道處的重力加速度為g火，火星的自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G。則下列說法正確的是（）A．火星極點(diǎn)處的重力加速度大小為g火B(yǎng)．火星的質(zhì)量為C．火星的平均密度為D．火星衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度為17．我國發(fā)射的火星探測(cè)器經(jīng)過漫長的飛行進(jìn)入繞火星運(yùn)轉(zhuǎn)的圓形軌道，在圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，周期為，軌道離火星地面高度為；當(dāng)探測(cè)器在近火星軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，周期為，設(shè)引力常量為，火星視為勻質(zhì)球體。則以下判斷正確的是（）A．火星的半徑是B．火星的密度是C．火星的半徑是D．火星的密度是18．我國首次火星探測(cè)任務(wù)被命名為“天問一號(hào)”。已知火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的，半徑約為地球半徑的，下列說法正確的是（

）A．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度B．火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度C．火星探測(cè)器的發(fā)射速度應(yīng)大于地球的第二宇宙速度D．火星探測(cè)器的發(fā)射速度應(yīng)介于地球的第一和第二宇宙速度之間三、解答題19．2019年3月10日，全國政協(xié)十三屆二次會(huì)議第三次全體會(huì)議上，相關(guān)人士透露：未來十年左右，月球南極將出現(xiàn)中國主導(dǎo)、多國參與的月球科研站，中國人的足跡將踏上月球。假設(shè)你經(jīng)過刻苦學(xué)習(xí)與訓(xùn)練后成為宇航員并登上月球，你站在月球表面沿水平方向以大小為的速度拋出一個(gè)小球，小球經(jīng)時(shí)間落到月球表面上的速度方向與月球表面間的夾角為，如圖所示。已知月球的半徑為，引力常量為。求：（1）月球表面的重力加速度；（2）月球的質(zhì)量和密度；（3）繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星的最小周期。20．如圖所示，在地球赤道上空有一顆運(yùn)動(dòng)方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同的衛(wèi)星A，對(duì)地球赤道覆蓋的最大張角，設(shè)地球半徑為，地球表面重力加速度為。（1）求A做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度；（2）已知地球自轉(zhuǎn)周期為，赤道上有一個(gè)航天測(cè)控站B（圖中未標(biāo)出），求A、B從相距最近到開始不能直接通信的間隔時(shí)間。（衛(wèi)星信號(hào)傳輸時(shí)間可忽略）21．如圖，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間距離為L。已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)。引力常數(shù)為G。(1)求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。(2)在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行為的周期記為T1。但在近似處理問題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期T2。已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98×1024kg和7.35×1022kg。求T2與T1兩者平方之比。（結(jié)果保留3位小數(shù)）第4講萬有引力與航天——?jiǎng)澲攸c(diǎn)之精細(xì)講義系列知識(shí)點(diǎn)1：開普勒的行星運(yùn)動(dòng)定律開普勒根據(jù)第谷的觀測(cè)數(shù)據(jù)及個(gè)人的理論分析，對(duì)前人提出的天體做圓周運(yùn)動(dòng)的說法產(chǎn)生了懷疑，經(jīng)過周密計(jì)算，他發(fā)現(xiàn)所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓。1.開普勒第一定律（軌道定律）：內(nèi)容：所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.2.開普勒第二定律(面積定律)內(nèi)容:對(duì)任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等。3.開普勒第三定律(周期定律)內(nèi)容:所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等、因此有,式中的k是對(duì)繞太陽運(yùn)動(dòng)的所有行星都相同的常量。對(duì)開普勒第三定律的理解①k值由中心天體決定與繞中心天體運(yùn)動(dòng)的行星(或衛(wèi)星)無關(guān)，即對(duì)于繞同一中心天體運(yùn)動(dòng)的行星，k值相同;中心天體不同，則k值一般不同。例如繞太陽運(yùn)動(dòng)的八大行星k值相同，衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的k值與行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的k值不同，常數(shù)k不是個(gè)普適常量。②對(duì)于繞同一中心天體運(yùn)動(dòng)的行星,橢圓軌道半長軸越長的行星,公轉(zhuǎn)周期越大,反之公轉(zhuǎn)周期越小。③大多數(shù)行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道與圓十分接近，在中學(xué)階段研究時(shí)均按圓軌道處理，太陽處在圓心，對(duì)某一行星來說它繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度(或線速度)不變。若用r代表軌道半徑，T代表公轉(zhuǎn)周期，開普勒第三定律可以表示為。知識(shí)點(diǎn)2：萬有引力定律1．內(nèi)容自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比．2．公式F＝Geq\f(m1m2,r2)，其中G＝6.67×10－11N·m2/kg2，叫引力常量．3．適用條件（1）嚴(yán)格地說，萬有引力定律只適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用。（2）兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體間的相互作用，也可用本定律來計(jì)算，其中r是兩個(gè)球體球心間的距離。（3）一個(gè)均勻球體與球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力的情形也適用，其中r為球心到質(zhì)點(diǎn)間的距離。（4）兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，公式也近似適用，其中r為兩物體質(zhì)心間的距離。(1)只有天體之間才存在萬有引力．(×)(2)只要已知兩個(gè)物體的質(zhì)量和兩個(gè)物體之間的距離，就可以由F＝Geq\f(Mm,R2)計(jì)算物體間的萬有引力．(×)(3)當(dāng)兩物體間的距離趨近于0時(shí)，萬有引力趨近于無窮大．(×)知識(shí)3：萬有引力定律應(yīng)用及三種宇宙速度1．萬有引力定律基本應(yīng)用(1)基本方法：把天體(或人造衛(wèi)星)的運(yùn)動(dòng)看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其所需向心力由萬有引力提供．(2)基本公式：Geq\f(Mm,r2)＝mgr＝ma＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m\f(v2,r),mrω2,mr\f(2π,T)2,mvω))其中g(shù)r為距天體中心r處的重力加速度．2．三種宇宙速度宇宙速度數(shù)值(km/s)意義第一宇宙速度(環(huán)繞速度)7.9這是衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大環(huán)繞速度，也是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，若7.9km/s≤v＜11.2km/s，物體將繞地球運(yùn)行第二宇宙速度(逃逸速度)11.2是物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度，若11.2km/s≤v＜16.7km/s，物體將繞太陽運(yùn)行第三宇宙速度16.7這是物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度，若v≥16.7km/s，物體將脫離太陽系在宇宙空間運(yùn)行(1)兩種周期——自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期的不同．(2)兩種速度——環(huán)繞速度與發(fā)射速度的不同，最大環(huán)繞速度等于最小發(fā)射速度．(3)兩個(gè)半徑——天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r的不同．1.萬有引力與重力的關(guān)系（1）物體在一般位置（不在赤道和兩極）時(shí)，，F(xiàn)向、F引、G不在一條直線上。（2）當(dāng)物體在赤道上時(shí)，F(xiàn)向達(dá)到最大值，，此時(shí)重力G最小，。（3）當(dāng)物體在兩極時(shí)F向=0，G=F引，重力達(dá)到最大值可見只有在兩極時(shí)，重力等于萬有引力，其他位置時(shí)重力小于萬有引力。2.黃金代換式由于物體隨地球自轉(zhuǎn)需要的向心力很小，一般情況下認(rèn)為重力近似等于萬有引力。因此不考慮地球自轉(zhuǎn)（忽略）的影響時(shí)，在地球附近有，化簡得。通常叫作黃金代換式，適用于任何天體，主要用于某星體的質(zhì)量M未知的情況下，用該星體的半徑R和表面的"重力加速度"g代換M。知識(shí)4：經(jīng)典時(shí)空觀和相對(duì)論時(shí)空觀1．經(jīng)典時(shí)空觀(1)在經(jīng)典力學(xué)中，物體的質(zhì)量是不隨運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而改變的．(2)在經(jīng)典力學(xué)中，同一物理過程發(fā)生的位移和對(duì)應(yīng)時(shí)間的測(cè)量結(jié)果在不同的參考系中是相同的．2．相對(duì)論時(shí)空觀(1)在狹義相對(duì)論中，物體的質(zhì)量是隨物體運(yùn)動(dòng)速度的增大而增大的，用公式表示為m＝eq\f(m0,\r(1－\f(v2,c2))).(2)在狹義相對(duì)論中，同一物理過程發(fā)生的位移和對(duì)應(yīng)時(shí)間的測(cè)量結(jié)果在不同的參考系中是不同的．3．經(jīng)典力學(xué)有它的適用范圍只適用于低速運(yùn)動(dòng)，不適用于高速運(yùn)動(dòng)；只適用于宏觀世界，不適用于微觀世界．【典例1】關(guān)于萬有引力公式F＝Geq\f(m1m2,r2)，以下說法中正確的是()A．公式只適用于星球之間的引力計(jì)算，不適用于質(zhì)量較小的物體B．當(dāng)兩物體間的距離趨近于0時(shí)，萬有引力趨近于無窮大C．兩物體間的萬有引力也符合牛頓第三定律D．公式中引力常量G的值是牛頓規(guī)定的【解析】萬有引力公式F＝Geq\f(m1m2,r)，雖然是牛頓由天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律得出的，但牛頓又將它推廣到了宇宙中的任何物體，適用于計(jì)算任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力．當(dāng)兩個(gè)物體間的距離趨近于0時(shí)，兩個(gè)物體就不能視為質(zhì)點(diǎn)了，萬有引力公式不再適用．兩物體間的萬有引力也符合牛頓第三定律．公式中引力常量G的值是卡文迪許在實(shí)驗(yàn)室里用實(shí)驗(yàn)測(cè)定的，而不是人為規(guī)定的．故正確答案為C.【答案】C【典例2】在討論地球潮汐成因時(shí)，地球繞太陽運(yùn)行軌道與月球繞地球運(yùn)行軌道可視為圓軌道．已知太陽質(zhì)量約為月球質(zhì)量的2.7×107倍，地球繞太陽運(yùn)行的軌道半徑約為月球繞地球運(yùn)行的軌道半徑的400倍．關(guān)于太陽和月球?qū)Φ厍蛏舷嗤|(zhì)量海水的引力，以下說法正確的是()A．太陽引力遠(yuǎn)大于月球引力B．太陽引力與月球引力相差不大C．月球?qū)Σ煌瑓^(qū)域海水的吸引力大小相等D．月球?qū)Σ煌瑓^(qū)域海水的吸引力大小有差異【解析】設(shè)太陽質(zhì)量為M，月球質(zhì)量為m，海水質(zhì)量為m′，太陽到地球距離為r1，月球到地球距離為r2，由題意eq\f(M,m)＝2.7×107，eq\f(r1,r2)＝400，由萬有引力公式，太陽對(duì)海水的引力F1＝eq\f(GMm′,r\o\al(2,1))，月球?qū)Ｋ囊2＝eq\f(Gmm′,r\o\al(2,2))，則eq\f(F1,F2)＝eq\f(Mr\o\al(2,2),mr\o\al(2,1))＝eq\f(2.7×107,4002)＝eq\f(2700,16)，故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；月球到地球上不同區(qū)域的海水距離不同，所以引力大小有差異，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確．【答案】AD【典例3】火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運(yùn)行，根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律可知()A．太陽位于木星運(yùn)行軌道的中心B．火星和木星繞太陽運(yùn)行速度的大小始終相等C．火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方D．相同時(shí)間內(nèi)，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積【解析】根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律，火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運(yùn)行時(shí)，太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；行星繞太陽運(yùn)行的軌道不同，周期不同，運(yùn)行速度大小也不同，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；火星與木星運(yùn)行的軌道半長軸的立方與周期的平方之比是一個(gè)常量，選項(xiàng)C正確；火星與太陽連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，木星與太陽連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，但這兩個(gè)面積不相等，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．【答案】C【典例4】設(shè)太陽質(zhì)量為M，某行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期為T，軌道可視作半徑為r的圓．已知萬有引力常量為G，則描述該行星運(yùn)動(dòng)的上述物理量滿足()A．GM＝eq\f(4π2r3,T2) B．GM＝eq\f(4π2r2,T2)C．GM＝eq\f(4π2r2,T3) D．GM＝eq\f(4πr3,T2)【解析】本題根據(jù)行星所受的萬有引力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力列方程求解．對(duì)行星有：eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，故GM＝eq\f(4π2r3,T2)，選項(xiàng)A正確．【答案】A考點(diǎn)1：天體質(zhì)量和密度的估算1.重力加速度法：利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.（1）由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G).（2）天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).2.衛(wèi)星環(huán)繞法測(cè)出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T.（1）由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)得天體的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2).（2）若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3).若衛(wèi)星繞中心天體表面運(yùn)行時(shí)，軌道半徑r＝R，則有ρ＝eq\f(3π,GT2).【典例1】“嫦娥一號(hào)”是我國首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為200km的圓形軌道上運(yùn)行，運(yùn)行周期為127分鐘．已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半徑約為1.74×103km.利用以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量約為()A．8.1×1010kg B．7.4×1013kgC．5.4×1019kg D．7.4×1022kg【解析】天體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)都是萬有引力提供向心力．“嫦娥一號(hào)”繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律知：eq\f(GMm,r2)＝eq\f(4π2mr,T2)，得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，其中r＝R＋h，代入數(shù)據(jù)解得M＝7.4×1022kg，選項(xiàng)D正確．【答案】D【典例2】一衛(wèi)星繞某一行星表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其線速度大小為v.假設(shè)宇航員在該行星表面上用彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)量一質(zhì)量為m的物體重力，物體靜止時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為N.已知引力常量為G，則這顆行星的質(zhì)量為()A.eq\f(mv2,GN)B.eq\f(mv4,GN)C.eq\f(Nv2,Gm)D.eq\f(Nv4,Gm)【審題指導(dǎo)】(1)明確行星表面附近的繞行衛(wèi)星的軌道半徑與行星半徑的大小關(guān)系．(2)彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)、物體的重力與其所受萬有引力的大小關(guān)系．【解析】設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m′由萬有引力提供向心力，得Geq\f(Mm′,R2)＝m′eq\f(v2,R)①m′eq\f(v2,R)＝m′g②由已知條件：m的重力為N得N＝mg③由③得g＝eq\f(N,m)，代入②得：R＝eq\f(mv2,N)代入①得M＝eq\f(mv4,GN)，故B項(xiàng)正確．【答案】B考點(diǎn)2：衛(wèi)星運(yùn)行參量的比較與運(yùn)算1.衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)規(guī)律由萬有引力提供向心力，Geq\f(Mm,r2)＝ma向＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2r,T2).2.衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律（1）Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)→v＝eq\r(\f(GM,r))→v∝eq\f(1,\r(r)).（2）Geq\f(Mm,r2)＝mω2r→ω＝eq\r(\f(GM,r3))→ω∝eq\f(1,\r(r3)).（3）Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r→T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))→T∝eq\r(r3).（4）Geq\f(Mm,r2)＝ma→a＝eq\f(GM,r2)→a∝eq\f(1,r2).（5）mg＝eq\f(GMm,R\o\al(2,地))(近地時(shí))→GM＝gReq\o\al(2,地).3.極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星1．極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋．2．近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑，其運(yùn)行線速度約為7.9km/s.【典例1】迄今發(fā)現(xiàn)的二百余顆太陽系外行星大多不適宜人類居住，繞恒星“Gliese581”運(yùn)行的行星“Gl-581c”卻很值得我們期待．該行星的溫度在0℃到40℃之間、質(zhì)量是地球的6倍、直徑是地球的1.5倍、公轉(zhuǎn)周期為13個(gè)地球日．“Gliese581”的質(zhì)量是太陽質(zhì)量的0.31倍．設(shè)該行星與地球均視為質(zhì)量分布均勻的球體，繞其中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則()A．在該行星和地球上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度相同B．如果人到了該行星，其體重是地球上的2eq\f(2,3)倍C．該行星與“Gliese581”的距離是日地距離的eq\r(\f(13,365))倍D．由于該行星公轉(zhuǎn)速率比地球大，地球上的米尺如果被帶上該行星，其長度一定會(huì)變短【解析】行星、地球繞其中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．根據(jù)萬有引力提供向心力解決問題．由題意知，行星、地球的質(zhì)量之比eq\f(m1,m2)＝6，半徑之比eq\f(R1,R2)＝1.5，公轉(zhuǎn)周期之比eq\f(T1,T2)＝eq\f(13,365)，中心天體質(zhì)量之比eq\f(M1,M2)＝0.31.根據(jù)Geq\f(mm′,R2)＝m′eq\f(v2,R)，得第一宇宙速度之比eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(Gm1,R1)·\f(R2,Gm2))＝eq\r(\f(m1,m2)·\f(R2,R1))＝2，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)m′g＝Geq\f(mm′,R2)，得到人的體重之比eq\f(m′g1,m′g2)＝eq\f(m1,R\o\al(2,1))·eq\f(R\o\al(2,2),m2)＝eq\f(m1,m2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R2,R1)))2＝eq\f(8,3)，選項(xiàng)B正確；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，得與中心天體的距離之比eq\f(r1,r2)＝eq\r(3,\f(M1,M2)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))2)＝eq\r(3,0.31×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,365)))2)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；米尺在該行星上長度不一定會(huì)變短，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．【答案】B【典例2】(多選)質(zhì)量為m的探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，其運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知月球質(zhì)量為M，月球半徑為R，月球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則航天器的()A．線速度v＝eq\r(\f(GM,R))B．角速度ω＝eq\r(gR)C．運(yùn)行周期T＝2πeq\r(\f(R,g))D．向心加速度a＝eq\f(Gm,R2)【解析】對(duì)航天器：Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，v＝eq\r(\f(GM,R))，故A正確．由mg＝mω2R得ω＝eq\r(\f(g,R))，故B錯(cuò)誤．由mg＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R得T＝2πeq\r(\f(R,g))，故C正確．由Geq\f(Mm,R2)＝ma得a＝eq\f(GM,R2)，故D錯(cuò)誤．【答案】AC考點(diǎn)3：赤道上物體、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星的區(qū)別1.區(qū)別（1）同步衛(wèi)星與地球赤道上的物體的周期都等于地球自轉(zhuǎn)的周期，而不等于近地衛(wèi)星的周期．（2）近地衛(wèi)星與地球赤道上的物體的運(yùn)動(dòng)半徑都等于地球半徑，而不等于同步衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)半徑．（3）三者的線速度各不相同．2.求解此類題的關(guān)鍵（1）在求解“同步衛(wèi)星”與“赤道上的物體”的向心加速度的比例關(guān)系時(shí)應(yīng)依據(jù)二者角速度相同的特點(diǎn)，運(yùn)用公式a＝ω2r而不能運(yùn)用公式a＝eq\f(GM,r2).（2）在求解“同步衛(wèi)星”與“赤道上的物體”的線速度比例關(guān)系時(shí)，仍要依據(jù)二者角速度相同的特點(diǎn)，運(yùn)用公式v＝ωr而不能運(yùn)用公式v＝eq\r(GM/r).（3）在求解“同步衛(wèi)星”運(yùn)行速度與第一宇宙速度的比例關(guān)系時(shí)，因都是由萬有引力提供的向心力，故要運(yùn)用公式v＝eq\r(GM/r)，而不能運(yùn)用公式v＝ωr或v＝eq\r(gr).【典例1】西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射的中圓軌道衛(wèi)星，其軌道半徑為2.8×107m．它與另一顆同質(zhì)量的同步軌道衛(wèi)星(軌道半徑為4.2×107m)相比()A．向心力較小 B．動(dòng)能較大C．發(fā)射速度都是第一宇宙速度 D．角速度較小【解析】由題意知，中圓軌道衛(wèi)星的軌道半徑r1小于同步衛(wèi)星軌道半徑r2，衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)的向心力由萬有引力提供，根據(jù)F向＝Geq\f(Mm,r2)知，兩衛(wèi)星的向心力F1>F2，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝eq\f(mv2,r)＝mω2r，得環(huán)繞速度v1>v2，角速度ω1＞ω2，兩衛(wèi)星質(zhì)量相等，則動(dòng)能Ek1>Ek2，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；根據(jù)能量守恒，衛(wèi)星發(fā)射得越高，發(fā)射速度越大，第一宇宙速度是發(fā)射衛(wèi)星的最小速度，因此兩衛(wèi)星的發(fā)射速度都大于第一宇宙速度，且v01<v02，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．【答案】B同步衛(wèi)星的六個(gè)“一定”【典例2】有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星，a在地球赤道上未發(fā)射，b在地面附近近地軌道上正常運(yùn)動(dòng)，c是地球同步衛(wèi)星，d是高空探測(cè)衛(wèi)星，各衛(wèi)星排列位置如圖，則有()A．a(chǎn)的向心加速度等于重力加速度gB．c在4h內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角是π/6C．b在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長最長D．d的運(yùn)動(dòng)周期有可能是20h【解析】對(duì)于衛(wèi)星a，根據(jù)萬有引力定律、牛頓第二定律可得，eq\f(GMm,r2)－N＝ma向，而eq\f(GMm,r2)＝mg，故a的向心加速度小于重力加速度g，A項(xiàng)錯(cuò)；由c是同步衛(wèi)星可知衛(wèi)星c在4h內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角是eq\f(π,3)，B項(xiàng)錯(cuò)；由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)得，v＝eq\r(\f(GM,r))，故軌道半徑越大，線速度越小，故衛(wèi)星b的線速度大于衛(wèi)星c的線速度，衛(wèi)星c的線速度大于衛(wèi)星d的線速度，而衛(wèi)星a與同步衛(wèi)星c的周期相同，故衛(wèi)星c的線速度大于衛(wèi)星a的線速度，C項(xiàng)對(duì)；由Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r，得，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，軌道半徑r越大，周期越長，故衛(wèi)星d的周期大于同步衛(wèi)星c的周期，D項(xiàng)錯(cuò)．【答案】C考點(diǎn)4：衛(wèi)星的發(fā)射與變軌1.宇宙速度（1）第一宇宙速度v1＝7.9km/s，既是發(fā)射衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的最大環(huán)繞速度．（2）第一宇宙速度的求法：①eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v\o\al(2,1),R)，所以v1＝eq\r(\f(GM,R)).②mg＝eq\f(mv\o\al(2,1),R)，所以v1＝eq\r(gR).③第二、第三宇宙速度也都是指發(fā)射速度．2.衛(wèi)星的變軌分析衛(wèi)星的變軌問題可分為兩類：大氣層外的發(fā)動(dòng)機(jī)變軌(躍遷式)和稀薄空氣作用下的摩擦(連續(xù))變軌．（1）大氣層外的發(fā)動(dòng)機(jī)變軌又存在從較低軌道變軌到較高軌道和從較高軌道變軌到較低軌道兩種情況，這兩種情況互為逆過程．eq\x(\a\al(較低圓,軌道))eq\o(,\s\up7(近地點(diǎn)向后噴氣),\s\do5(近地點(diǎn)向前噴氣))eq\x(\a\al(橢圓,軌道))eq\o(,\s\up7(遠(yuǎn)地點(diǎn)向后噴氣),\s\do5(遠(yuǎn)地點(diǎn)向前噴氣))eq\x(\a\al(較高圓,軌道))（2）空氣阻力使速度減少，Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)→向心運(yùn)動(dòng)→引力做正功→衛(wèi)星動(dòng)能增大→低軌道運(yùn)行v′＝eq\r(\f(GM,r′)).【典例1】(多選)神舟九號(hào)飛船與天宮一號(hào)目標(biāo)飛行器在離地面343km的近圓形軌道上成功進(jìn)行了我國首次載人空間交會(huì)對(duì)接．對(duì)接軌道所處的空間存在極其稀薄的大氣．下列說法正確的是()A．為實(shí)現(xiàn)對(duì)接，兩者運(yùn)行速度的大小都應(yīng)介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間B．如不加干預(yù)，在運(yùn)行一段時(shí)間后，天宮一號(hào)的動(dòng)能可能會(huì)增加C．如不加干預(yù)，天宮一號(hào)的軌道高度將緩慢降低D．航天員在天宮一號(hào)中處于失重狀態(tài)，說明航天員不受地球引力作用【解析】本題雖為天體運(yùn)動(dòng)問題，但題中特別指出存在稀薄大氣，所以應(yīng)從變軌角度入手．第一宇宙速度和第二宇宙速度為發(fā)射速度，天體運(yùn)動(dòng)的速度為環(huán)繞速度，均小于第一宇宙速度，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；天體運(yùn)動(dòng)過程中由于大氣阻力，速度減小，導(dǎo)致需要的向心力Fn＝eq\f(mv2,r)減小，做向心運(yùn)動(dòng)，向心運(yùn)動(dòng)過程中，軌道高度降低，且萬有引力做正功，勢(shì)能減小，動(dòng)能增加，選項(xiàng)B、C正確；航天員在太空中受地球引力，地球引力全部提供航天員做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．【答案】BC【典例2】(多選)“神舟十號(hào)”飛船于北京時(shí)間2013年6月11日17時(shí)38分在甘肅省酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，并于北京時(shí)間6月13日13時(shí)18分，實(shí)施了與“天宮一號(hào)”的自動(dòng)交會(huì)對(duì)接．這是“天宮一號(hào)”自2011年9月發(fā)射入軌以來，第5次與神舟飛船成功實(shí)現(xiàn)交會(huì)對(duì)接．交會(huì)對(duì)接前“神舟十號(hào)”飛船先在較低的圓軌道1上運(yùn)動(dòng)，在適當(dāng)位置經(jīng)變軌與在圓軌道2上運(yùn)動(dòng)的“天宮一號(hào)”對(duì)接．如圖所示，M、Q兩點(diǎn)在軌道1上，P點(diǎn)在軌道2上，三點(diǎn)連線過地球球心，把飛船的加速過程簡化為只做一次短時(shí)加速．下列關(guān)于“神舟十號(hào)”變軌過程的描述，正確的是()A．“神舟十號(hào)”必須在Q點(diǎn)加速，才能在P點(diǎn)與“天宮一號(hào)”相遇B．“神舟十號(hào)”在M點(diǎn)經(jīng)一次加速，即可變軌到軌道2C．“神舟十號(hào)”變軌后在M點(diǎn)的速度大于變軌前的速度D．“神舟十號(hào)”變軌后的運(yùn)行周期總大于變軌前的運(yùn)行周期【解析】飛船經(jīng)一次加速后由圓軌道1變軌到與加速點(diǎn)相切的橢圓軌道，加速點(diǎn)為近地點(diǎn)，橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)與軌道2相切，近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)分別在地球兩側(cè)，因此飛船必須在M點(diǎn)加速，才能在P點(diǎn)與“天宮一號(hào)”相遇，A錯(cuò)；飛船在M點(diǎn)經(jīng)一次加速后由圓軌道1變軌到橢圓軌道，在橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)再經(jīng)一次加速變軌到軌道2，B錯(cuò)；飛船在M點(diǎn)加速后由圓軌道1變軌到橢圓軌道，則變軌后在M點(diǎn)的速度大于變軌前的速度，C對(duì)；由T＝2πeq\r(\f(r3,GM))可知軌道半徑增大，周期增大，D項(xiàng)正確．【答案】CD“多星”模型1.雙星系統(tǒng)（1）雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源雙星繞著連線上的一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力由兩顆星間的萬有引力提供。（2）雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)參量關(guān)系兩星的運(yùn)動(dòng)周期和角速度是相等的，線速度與各自的軌道半徑成正比。（3）雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系設(shè)雙星相距L，質(zhì)量分別為M1和M2，線速度分別為v1和v2，軌道半徑分別為r1和r2，共同運(yùn)動(dòng)的周期為T、角速度為ω，如圖所示。對(duì)于這兩星，由萬有引力定律和向心力公式分別有，其中r1＋r2=L。因此，在求解雙星問題時(shí)，要注意弄清雙星各自的軌道半徑，切勿與兩星之間的距離相混淆。（4）幾個(gè)基本結(jié)論（建議自行推導(dǎo)）①軌道半徑∶，②星體質(zhì)量∶，④系統(tǒng)質(zhì)量∶④星體周期∶2.三星系統(tǒng)宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)（可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用）的三顆星組成的三星系統(tǒng)。已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)主要有兩種基本的構(gòu)成形式∶一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R1的圓軌道上運(yùn)動(dòng);另一種是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓軌道運(yùn)動(dòng)。如圖所示（設(shè)每顆星體的質(zhì)量均為m）。（1）對(duì)第一種形式中A而言，B、C對(duì)A的萬有引力提供A做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則有（2）對(duì)第二種形式中A而言，B、C對(duì)A的萬有引力提供A做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則有這里?！镜淅?】一個(gè)國際研究小組借助于智利的甚大望遠(yuǎn)鏡，觀測(cè)到了一組雙星系統(tǒng)，它們繞兩者連線上的某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示．此雙星系統(tǒng)中體積較小成員能“吸食”另一顆體積較大星體表面物質(zhì)，達(dá)到質(zhì)量轉(zhuǎn)移的目的，假設(shè)在演變的過程中兩者球心之間的距離保持不變，則在最初演變的過程中()A．它們做圓周運(yùn)動(dòng)的萬有引力保持不變B．它們做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度不斷變大C．體積較大星體圓周運(yùn)動(dòng)軌跡半徑變大，線速度也變大D．體積較大星體圓周運(yùn)動(dòng)軌跡半徑變大，線速度變小【解析】對(duì)雙星M1、M2，設(shè)距離為L，圓周運(yùn)動(dòng)半徑分別為r1、r2，它們做圓周運(yùn)動(dòng)的萬有引力為F＝Geq\f(M1M2,L2)，距離L不變，M1與M2之和不變，其乘積大小變化，則它們的萬有引力發(fā)生變化，A錯(cuò)；依題意雙星系統(tǒng)繞兩者連線上某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期和角速度相同，由萬有引力定律及牛頓第二定律：Geq\f(M1M2,L2)＝M1ω2r1，Geq\f(M1M2,L2)＝M2ω2r2，r1＋r2＝L，可解得：M1＋M2＝eq\f(ω2L3,G)，M1r1＝M2r2，由此可知ω不變，質(zhì)量比等于圓周運(yùn)動(dòng)半徑的反比，故體積較大的星體因質(zhì)量減小，其軌道半徑將增大，線速度也增大，B、D錯(cuò)，C對(duì)．【答案】C【典例2】雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，經(jīng)過一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為()A.eq\r(\f(n3,k2))T B.eq\r(\f(n3,k))TC.eq\r(\f(n2,k))T D.eq\r(\f(n,k))T【解析】雙星間的萬有引力提供向心力．設(shè)原來雙星間的距離為L，質(zhì)量分別為M、m，圓周運(yùn)動(dòng)的圓心距質(zhì)量為m的恒星距離為r.對(duì)質(zhì)量為m的恒星：Geq\f(Mm,L2)＝m(eq\f(2π,T))2·r對(duì)質(zhì)量為M的恒星：Geq\f(Mm,L2)＝M(eq\f(2π,T))2(L－r)得Geq\f(M＋m,L2)＝eq\f(4π2,T2)·L，即T2＝eq\f(4π2L3,GM＋m)則當(dāng)總質(zhì)量為k(M＋m)，間距為L′＝nL時(shí)，T′＝eq\r(\f(n3,k))T，選項(xiàng)B正確．【答案】B一、單選題1．如圖所示，火星和地球都在圍繞著太陽旋轉(zhuǎn)，其運(yùn)行軌道是橢圓。根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律可知（）A．太陽位于地球運(yùn)行軌道的中心B．地球靠近太陽的過程中，運(yùn)行速率減小C．火星繞太陽運(yùn)行一周的時(shí)間比地球的長D．火星遠(yuǎn)離太陽的過程中，它與太陽的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積逐漸增大【答案】C【詳解】A．根據(jù)開普勒第一定律可知，地球繞太陽運(yùn)行的軌道是橢圓，太陽位于橢圓的焦點(diǎn)處，故A錯(cuò)誤；B．地球繞太陽運(yùn)行的過程中，近日點(diǎn)速度最大，遠(yuǎn)日點(diǎn)速度最小，所以地球靠近太陽的過程中，運(yùn)行速率增加，故B錯(cuò)誤；C．根據(jù)開普勒第三定律可知，火星繞太陽運(yùn)行的半長軸大于地球繞太陽運(yùn)行的半長軸，可知火星繞太陽運(yùn)行一周的時(shí)間比地球的長，故C正確；D．根據(jù)開普勒第二定律可知，火星遠(yuǎn)離太陽的過程中，它與太陽的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，故D錯(cuò)誤。故選C。2．2022年11月9日發(fā)生了天王星沖日現(xiàn)象，即天王星和太陽正好分處在地球的兩側(cè)，三者幾乎成一條直線，此時(shí)是觀察天王星的最佳時(shí)間。已知此時(shí)地球到天王星和太陽的距離分別為，地球的公轉(zhuǎn)周期為T，則天王星公轉(zhuǎn)周期約為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)開普勒第三定律可知解得故選C。3．如圖所示，有一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的大球體，從中挖去一個(gè)半徑為的小球體，并在空腔中心放置一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，則大球體的剩余部分對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小為（已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零）（）A． B． C． D．0【答案】C【詳解】將挖空部分填滿，大球體的剩余部分對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的萬有引力與填入球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力的質(zhì)量和等于，填滿的大球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力。由于質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，則填滿后大球體的有效質(zhì)量為得大球體的剩余部分對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小為故選C。4．下列對(duì)天體的認(rèn)識(shí)正確的是（）A．由可知，兩物體間距離減小時(shí)，它們間的引力增大，距離趨于零時(shí)，萬有引力無限大B．開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律既適用于行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)，也適用于衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動(dòng)C．宇宙飛船內(nèi)的宇航員處于失重狀態(tài)是由于沒有受到萬有引力的作用D．根據(jù)開普勒第二定律可知，行星在近日點(diǎn)的速度小于在遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度【答案】B【詳解】A．當(dāng)兩物體之間的距離趨于零時(shí)，萬有引力定律不再適用，故A錯(cuò)誤。B．開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律既適用于行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)，也適用于衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動(dòng)，故B正確。C．宇宙飛船內(nèi)的宇航員處于失重狀態(tài)是由于其與地球間的萬有引力全部用來提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故C錯(cuò)誤。D．開普勒第二定律指出，當(dāng)行星繞太陽運(yùn)動(dòng)時(shí)，在相等的時(shí)間內(nèi)，其與太陽的連線掃過的面積相等。由此可知，行星在近日點(diǎn)的速度大于在遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度，故D錯(cuò)誤。故選B。5．太空行走又稱為出艙活動(dòng)。2021年11月8日1時(shí)16分，神舟十三號(hào)航天員乘組圓滿完成出艙活動(dòng)全部既定任務(wù)，王亞平成為中國首位進(jìn)行出艙活動(dòng)的女航天員，邁出了中國女性艙外太空行走第一步。假設(shè)質(zhì)量為m的航天員出艙離開空間站后，某時(shí)刻其相對(duì)地心的速度為v，已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度大小為g，則（）A．該航天員離開空間站在太空行走時(shí)所受合外力為零B．該航天員離開空間站在太空行走時(shí)所受的合外力大小等于mgC．此時(shí)該航天員距離地球表面的高度為－RD．此時(shí)該航天員指向地心的加速度大小為【答案】C【詳解】AB．在地球表面，該航天員所受重力等于萬有引力，有該航天員離開空間站在太空行走時(shí)，只受萬有引力作用，故該航天員離開空間站在太空行走時(shí)所受合外力為小于其在地球表面時(shí)所受的重力mg，且不為零，故AB錯(cuò)誤；CD．該航天員離開空間站在太空行走時(shí)，所受萬有引力提供向心力，有又，聯(lián)立解得此時(shí)該航天員距離地球表面的高度為該航天員指向地心的加速度大小為故C正確，D錯(cuò)誤。故選C。6．上世紀(jì)70年代，蘇聯(lián)在科拉半島與挪威的交界處進(jìn)行了人類有史以來最大規(guī)模的地底挖掘計(jì)劃。當(dāng)蘇聯(lián)人向地心挖掘深度為d時(shí)，井底一個(gè)質(zhì)量為m的小球與地球之間的萬有引力為F，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，質(zhì)量分布均勻的地球的半徑為R，質(zhì)量為M，萬有引力常量為G，則F大小等于（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】將地球分為半徑為（R－d）的球和厚度為d球殼兩部分，球殼對(duì)小球的引力為零則F等于半徑為（R－d）的球?qū)π∏虻囊?，有設(shè)半徑為（R－d）球的質(zhì)量為，由密度公式得所以解得，F(xiàn)的大小為B正確，ACD錯(cuò)誤。故選B。7．火星表面特征非常接近地球，適合人類居住。已知火星半徑是地球半徑的，質(zhì)量是地球質(zhì)量的，自轉(zhuǎn)周期也基本相同。地球表面重力加速度是，若王躍在地面上能向上跳起的最大高度是，在忽略自轉(zhuǎn)影響的條件下，下述分析正確的是（）A．火星表面的重力加速度是B．火星表面的重力加速度是C．王躍在火星表面受的萬有引力是在地球表面受萬有引力的倍D．王躍在火星表面受的萬有引力是在地球表面受萬有引力的倍【答案】B【詳解】AB．根據(jù)題意，由萬有引力等于重力有解得則火星表面的重力加速度是故A錯(cuò)誤，B正確；CD．根據(jù)題意，由公式可知，王躍在火星表面受的萬有引力與在地球表面受萬有引力之比為即王躍在火星表面受的萬有引力是在地球表面受萬有引力的倍，故CD錯(cuò)誤。故選B。8．2022年10月7日，中國太原衛(wèi)星發(fā)射中心在黃海海域使用長征十一號(hào)海射運(yùn)載火箭，采用“一箭雙星”方式，成功將微厘空間低軌導(dǎo)航試驗(yàn)衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道。設(shè)兩顆衛(wèi)星軌道在赤道平面上，運(yùn)行方向相同，運(yùn)動(dòng)周期也相同，其中a衛(wèi)星為圓軌道，距離地面高度為，b衛(wèi)星為橢圓軌道，近地點(diǎn)M距離地面高度為遠(yuǎn)地點(diǎn)N距離地面高度的一半，地球表面的重力加速度為g，a衛(wèi)星線速度大小為v1，b衛(wèi)星在近地點(diǎn)M時(shí)線速度大小為v2，在遠(yuǎn)地點(diǎn)N時(shí)線速度大小為v3，地球半徑為R，P點(diǎn)為兩個(gè)軌道的交點(diǎn)。下列說法正確的是（）A．b衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)N距離地面高度為B．b衛(wèi)星從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)間為C．D．a(chǎn)、b兩衛(wèi)星在P點(diǎn)受到地球的引力相等【答案】C【詳解】A．設(shè)b衛(wèi)星運(yùn)行的橢圓軌道半長軸為，根據(jù)開普勒第三定律有即設(shè)近地點(diǎn)M距離地面高度為，有解得故b衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)N距離地面高度為，A錯(cuò)誤；B．對(duì)衛(wèi)星a有在地球表面有聯(lián)立解得故b衛(wèi)星從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)間為B錯(cuò)誤；C．根據(jù)開普勒第二定律可知，衛(wèi)星b由N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)速度在增大，分析可知若在P點(diǎn)點(diǎn)火加速可進(jìn)入圓形a軌道，可得；同理，衛(wèi)星b在近地點(diǎn)M減速可進(jìn)入以M點(diǎn)高度所在處的圓軌道，根據(jù)萬有引力公式可知當(dāng)衛(wèi)星圍繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)軌道越高，速度越小，所以可知衛(wèi)星a的速度小于M點(diǎn)高度所在處的圓軌道的速度，即衛(wèi)星b在近地點(diǎn)M的速度大于衛(wèi)星a的速度，所以有C正確；D．根據(jù)萬有引力公式，a、b兩衛(wèi)星在P點(diǎn)時(shí)到地球的距離相等，由于兩衛(wèi)星的質(zhì)量關(guān)系未知，所以無法判斷受到地球引力大小關(guān)系，D錯(cuò)誤。故選C。9．北京時(shí)間2023年1月15日11時(shí)14分，我國在太原衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征二號(hào)丁運(yùn)載火箭，以“一箭十四星”發(fā)射方式，成功將齊魯二號(hào)/三號(hào)衛(wèi)星及珞珈三號(hào)01星、吉林一號(hào)高分03D34星等4顆衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿成功．假設(shè)其中的甲、乙兩顆衛(wèi)星均繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，甲的軌道半徑是乙的2倍，甲的質(zhì)量也是乙的2倍．則（

）A．由可知，甲的速度是乙的倍B．由可知，甲的向心加速度是乙的2倍C．由可知，甲的向心力是乙的D．由可知，甲的周期是乙的倍【答案】D【詳解】A．衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，則因?yàn)樵诓煌壍郎蟝是不一樣的，故不能根據(jù)得出二者速度的關(guān)系，衛(wèi)星的運(yùn)行線速度代入數(shù)據(jù)可得故A錯(cuò)誤；B．因?yàn)樵诓煌壍郎蟽尚l(wèi)星的角速度不一樣，故不能根據(jù)得出兩衛(wèi)星加速度的關(guān)系，衛(wèi)星的運(yùn)行加速度代入數(shù)據(jù)可得故B錯(cuò)誤；C．根據(jù)可得故C錯(cuò)誤；D．兩衛(wèi)星均繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)開普勒第三定律可得故D正確。故選D。10．發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，變軌使其沿橢圓軌道2運(yùn)行，最后變軌將衛(wèi)星送入同步圓軌道3，軌道1、2相切于Q點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)，則當(dāng)衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí)，以下說法正確的是（）A．衛(wèi)星在軌道1上運(yùn)行的速率小于赤道上隨地球自轉(zhuǎn)物體的速率B．衛(wèi)星在軌道3上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度C．三條軌道中速率最大時(shí)刻為經(jīng)過2上的Q點(diǎn)，速率最小時(shí)刻為經(jīng)過2上的P點(diǎn)D．周期關(guān)系為T2>T3>T1【答案】C【詳解】A．根據(jù)可得因?yàn)樾l(wèi)星在軌道1上的運(yùn)動(dòng)半徑小于同步衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)半徑，可知衛(wèi)星在軌道1上的線速度大于同步衛(wèi)星的線速度；同步衛(wèi)星的角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度，根據(jù)v=ωr可知，同步衛(wèi)星的線速度大于赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體的速率，可知衛(wèi)星在軌道1上運(yùn)行的速率大于赤道上隨地球自轉(zhuǎn)物體的速率，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B．根據(jù)可得衛(wèi)星在軌道3上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C．衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)加速才能進(jìn)入軌道2；在軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)加速才能進(jìn)入軌道3，在軌道2上從Q到P，引力做負(fù)功，速率減小，由可知，衛(wèi)星在軌道1上的速率大于在軌道3上的速率，則可知三條軌道中速率最大時(shí)刻為經(jīng)過2上的Q點(diǎn)，速率最小時(shí)刻為經(jīng)過2上的P點(diǎn)，選項(xiàng)C正確；D．根據(jù)開普勒第三定律可知，在軌道3上半徑最大，在軌道1上的半徑最小，軌道2的半長軸大于軌道1的半徑，可知周期關(guān)系為T3>T2>T1選項(xiàng)D錯(cuò)誤。故選C。11．如圖所示，a為放在赤道上相對(duì)地球靜止的物體，隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，b為沿地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星（軌道半徑約等于地球半徑），c為地球的同步衛(wèi)星。下列關(guān)于a、b、c的說法中正確的是（）A．b衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)線速度大于7.9km/sB．a(chǎn)、b、c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小關(guān)系為aa＞ab＞acC．a(chǎn)、b、c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期關(guān)系為Ta=Tc<TbD．在b、c中，b的線速度大【答案】D【詳解】A．由于b為沿地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，運(yùn)行速度等于第一宇宙速度，為7.9km/s，A錯(cuò)誤；C．由于c為地球同步衛(wèi)星，相對(duì)地面靜止，因此Ta=Tc對(duì)于b、c衛(wèi)星，根據(jù)可得因此Tc>TbC錯(cuò)誤；B．對(duì)于b、c衛(wèi)星，根據(jù)可知ab＞ac對(duì)于a、c，根據(jù)由于運(yùn)行周期相同，因此ac>aaB錯(cuò)誤；D．對(duì)于b、c，根據(jù)可得因此D正確。故選D。12．2021年5月，基于俗稱“中國天眼”的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST）的觀測(cè)，國家天文臺(tái)李菂、朱煒瑋研究團(tuán)組的姚菊枚博士等首次研究發(fā)現(xiàn)脈沖星三維速度與自轉(zhuǎn)軸共線的證據(jù)。之前的2020年3月，我國天文學(xué)家通過FAST，在武仙座球狀星團(tuán)（M13）中發(fā)現(xiàn)一個(gè)脈沖雙星系統(tǒng)。如圖所示，假設(shè)在太空中有恒星A、B雙星系統(tǒng)繞點(diǎn)O做順時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行周期為，它們的軌道半徑分別為、，，C為B的衛(wèi)星，繞B做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行周期為，忽略A與C之間的引力，引力常量為G，則以下說法正確的是（）A．若知道C的軌道半徑，則可求出C的質(zhì)量B．若A也有一顆軌道半徑與C相同的衛(wèi)星，則其運(yùn)動(dòng)周期也一定為C．恒星B的質(zhì)量為D．設(shè)三星由圖示位置到再次共線的時(shí)間為t，則【答案】D【詳解】A．C為B的衛(wèi)星，繞B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力，有可得若知道C的軌道半徑，可求出B的質(zhì)量，不能求出C的質(zhì)量，A錯(cuò)誤；BC．恒星A、B雙星系統(tǒng)繞點(diǎn)O做順時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度和周期相同，由相互間的萬有引力提供向心力，對(duì)A有對(duì)B聯(lián)立可得，若A也有一顆軌