新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解題思維提升12立體幾何大題部分訓(xùn)練手冊(附答案解析)

專題12立體幾何大題部分

【訓(xùn)練目標】

1、掌握三視圖與直觀圖之間的互換，會求常見幾何體的體積和表面積；

2、掌握空間點線面的位置關(guān)系，以及位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理；并能依此判斷命題的真假;

3、掌握，間角即異面直線所成角，直線與平面所成角，二面角的求法；

4、掌握票體積法求點面距；

5、掌握幾何體體積的幾種求法；

6、掌握利用空間向量解決立體幾何問題。

7、掌握常見幾何體的外接球問題。

【溫馨小提示】

立體幾何素來都是高考的一個中點，小題，大題都有，一般在17分到22分之間，對于大多數(shù)人來說立體

幾何就是送分題，因為只要有良好的空間感，熟記那些判定定理和性質(zhì)定理，然后熟練空間角和距離的求法,

特別是掌握了空間向量的方法，更覺得拿分輕松。

【名校試題薈萃】

ABC-AiBiCiJIJTI=AC=\/3

1、已知直三棱柱中，4C_LCB，D為月日中點，，OB=L

⑴求證：BCi//平面41c。；

⑵求三棱錐°】~的體積.

【解析-】

(1)證明：連結(jié)4cl交41C于。點，連結(jié)DO,

則。和D分別為4cl和AB的中點，所以DO[fBCr,

而DOU平面41DC,BCiU平面4IDC,

所以BC1//平面

AxDC.r

1

(2)因為BCi〃平面工1DC

所以點G_和E到平面DC的距離相等，從而有

=

V~incta*=」S\H”=lx」S、,”.=，xL,4c.sc

01~J1A?C43二c,J6,r

=-x-＞：-^xlxJ3=-

624

AB工BC,ADIiBC.A￡=BC=：AD

2、如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形，"PAD

是正三角形，E是PD的中點.

/，

/7X

f

(1)求證：ADPC：

(2)判定CE是否平行于平面PAB,請說明理由.

【答案】(1)見解析(2)平行

【解析】

⑴取題的中點為M,連接Hf,CM，

由于乂UZ?是正三角形，所以PT/_,必，

又易知四邊形，珀C"是平行四邊形,

加TBCAf,AB-AD,所以A/C_AD,

PCu平面PCM：PMu平面PCMf

又AfCcPM=AT,故4。_平面PCM,

又PCu平面PCM,t^.-LD-PC.

(2)CE平行于平面PAB,

理由如下：取PA的中點為F,連接EF,BF.

EF，皿EF=LAD

2

可知，

2

BCfLAD,5C=1.4D

又-,

所以四邊形BCEF為平行四邊形，故CE//BF.

又BF平面PAB,CE平面PAB,

所以CE//平面PAB-

3、在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，且底面ABCD為邊長為2的菱形，BAD60，PD2-

（1）證明：面PAC面PDB；

（2）在圖中作出點D在平面PBC內(nèi)的正投影M（說明作法及其.理由），并求四面體PBDM的體積.

【答案】（1）見解析（2）勺叵

21

【解析】

ACU面J5CD

（1）因為PD平面ABCD,，所以PDAC,

PD1BD=DAC

在菱形ABCD中，ACBD,且，所以，

ACu面RdCPAC1向PDB

又因為|,所以面.

（2）取BC的中點E，連接DE，PE，易得△BDC是等邊三角形，所以BCDE，

PD1DE=DBC1面PDE

又因為PD平面ABCD,所以PDBC，又，所以，

在面PDE中，過D作DMPE于M,即M是點D在平面PBC內(nèi)的正投影，

BC】PE=EDM「

則DMBC，又，所以，經(jīng)計算得DE<3,在RtZ\PDE中，PD2,

3

度=7?73=0

=y5二3xD.W

4、如圖，ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點0在線段AD上，

OA=\,OD=1,

OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形。

（1）證明：直線BC〃面OEF；

M-OE-D「

（2）在線段.DF上是否存在一點M，使得二面角的余弦值是3S3,若不存在請說明理由,

13

若存在請求出M點所在的位置。

【答案】（1）見解析（2）M為DF中點

【解析】

（1）依題意，在平面ADFC中，=^FOD=60°,..JC/7OF,

又OFu平面。比■，二.4。平面OEF①；

同理，在平面ABED中，JLBAO—二EOD—60'.

二A8〃OE,,45.7平面OEF②；

v.4Jn^C=A,O￡riOF=O,.45AC敞EF,

OEu面OEF,。尸u面OEF,

由①②可得，平面ABC平面OEF.

又3Cu面ABC,所以直線BCtl面OEF.

（本題可先證明BC//EF后得證；也可建立空間直角坐標系得證，請?酌情給分。）

（2）設(shè)OD的中點為G，以G為原點，GE、GD、GF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立.間直角

坐標系。易知，-0(0,1,0),E?3,0,0),F(0,0,v3),D(0,1,0).

4

設(shè)DM-DF.，[0,1].可得一九屈），

w=（x,y,z）為平面MOE的法向量,

nOM=G一(2-z).y+^/3z.z=0

由"~F八有1可取7=（-匕有匯2一2）,

n-OE=0^3x+y=0

又面OED的法向量可取w=（0.0,1）,

3屈行--,jZ-2

所以-^―=cos夕=|cos<m,n>|=?丁、—一

3^4z*+(z-2)*

鮑（22-lXZ+l）=0,又；ie[0』，二上=?。

存在滿足條件的點M為DF中點。

Z&4C=120c

5、如圖,在三棱錐PABC中,PA底面ABC,AB2,AC4,D為BC的3點.

（1）求證：ADPB；

（2）若二面角APBC的大小為45，求三棱錐PABC的體積.

【答案】（1）見解析（2）4

【解析】

3C：=4-16-2"2X4X8SL200=28

（1）在△ABC中，由余弦定理得,則BC2".

配=8=幣

因為D為BC的中點，則

mu1iuiiniuu、iunuir21UB、UH、ILKIUI

功="西+且C)有+/C|

因為，則

=1(4-16-2x2x4x051206i=3AB*-AD*=4+3=7—BD°

4

，所以AD.因為，貝iJABAD.(5分)

因為PA底面ABC,貝iJPAAD，

所以AD平面PAB，從而ADPB.

（2）分別以直線AB,AD,AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖.

5

設(shè)PAa，則點B2,0,0，D0,73,0，P0,0,a.

ULU.?-<>?

即BP=(-2,0,a)

所以，

沒平面RBC的^向量為用=(x』z),則I"吧=°,即］一丁&=°

|wt3P-0|-0

取Jili]y-2,2--^,所以加=

因為n=(0,10)為平面PAB的法向量,

則18s(而=cos45c=,即

1,2同同

所以｝解得a,=12,所以〃=

c

所以「xP,4-lxlx2x4xsinl20x273-4.

6、如圖，|在四棱錐P—ABC并，底面ABCD是邊長為2的菱形，ZDAB=60°,ZADFt=90",平面ADRL平

面ABCD點F為棱PD的中點.

(1)在棱AB上是否存在一點E,使得AF〃平面PCE并說明理由;

(2)當二面角D-FC—B的余弦值為，求直線PB與平面ABCD所成的角.

【答案】(1)點E為棱AB的中點(2)60°

【解析】

(1)在棱AB上存在點E,使得AF〃平面PCE點E為棱AB的中點.

6

理由如下：取PC的中點Q連結(jié)EQFQ

由題意，F(xiàn)QyDCJ.FQ=-CDAE/7CD且AE=^CD

22

故AE〃FQ且AE=FQ.所以，四邊形AEQ叨平行四邊形.所以，AF〃EQ又EQ砰面PEGAF?平面PEG所以,

AF〃平面PEC.

（2）由題意知及BD為正三角形，所以ED1AB,亦即ED1CD,

又NADP=90。,所以PDj_AD,且平面ADP_L平面ABCD,平面ADPCl平面ABCD=AD,所以PD_L平面ABCD,

故以D為坐標原點建立如圖空間直角坐標系,

設(shè)FD=a,則由題意知D（0,0,0）,F（0,0,a*,C（0,2,0）,B（布,1,0）,

FC=（0,2,-a）,CB=（弧-1,0）j

設(shè)平面FBC的法向量為nrr=（x,y,z）,

W.FC=0sW-C5=02y-az=0,2、巧

則由得l令x=1,則y=Y§,z=—

>J3x-y=0,a

所以取m=1,孚，顯然可取平面DFC的法向量n=（1,0,0）,

由題意：-17-=|cos（mn〉|=------------，所以a=\j’3.

412V

寸+3+有

由于PDL平面ABCD所以PB在平面ABCDrt的射影為BD

所以/PBD為直線PB與平面ABCD所成的角，

PD廣

易知在RtZ\PBD中，tanZPBD=—=a=\i3,從而NPBD=60°,

DU

所以直線PB與平面ABC陰成的角為60°.

7、已知三棱柱ABG-AB，C的側(cè)棱垂直于底面，AB=ACNBAG=90°,點MN分別是A'B和BzC的

中點。

（1）證明：MN/平面AAOG

（2）設(shè)AB=AAA,當人為何值時，CNL平面A'MN試證明你的結(jié)論.

【答案】（1）見解析（2）；2

7

【解析】

(D取,E的中點心連接甌猴因為裊國”分別是H￡和PC的中點，所以無5〃4C,ME

"A4：又A'C，湎C'C,A4，一面"C'C,

所以麻〃平面4fCC,順〃平面取CC,

所以平面的〃平面.WC1C,因為鼾平面HNE,

所以JQfil平面AA'C'C.

(2)連接BN設(shè)A'A=a,則AB=Aa,由題意知BG=、、戶Aa,NC=BN=JaU；入宣，

???三棱柱ABG-AB'C的側(cè)棱垂直于底面，，平面A'B'C，平面BBCG

VAB=AC點N是B'C的中點，；.A'N,平面BBCC,；.CNLA'N

要使CNL平面A'MN只需CNLBN即可，；.Cl^l+BM=8(5,2a+^2a=2入2a②？A=、jW,

...當人孑邛時，CNL平面A'MM

jgr=900

8、如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形，,

BC=2AD=2AB=2P￡±PC1PD=^2

，?

p.

.(1)求證：平面PBC平面ABCD；

(2)若PCPB,求點D到「平面PAB的距離.

【答案】(1)見解析⑵如

2

【解析】

(1)證明：取BC中點M，連接DM,PM

A￡D=AB=1

可知且MDBC

QPB±PC.BC=2

又，在RtPBC有PM1

l:.PD：=PM、MD【

又QPD衣，，即MDPM,

8

QJ/D_BC.PMIBC=V,PMu

又平面PBC,BC平面PBC

MD平面PBC,又QMD平面ABCD.

平面PBC平面ABCD

(2)設(shè)點D到平面PAB的距離為h

.

少J

\y

i

■：PC=PB.PC±PB,

PM-BC又；平面C一平面ABCD,

且平面PBC仆平面ABCD=BC,PM_面.13CD

^P-ABD~|IEHIS^D=-^XlxAxlxl=<

3326

在*Zff中有產(chǎn)廳=e=,￡?=LE/=道，

/.PR2=P￡：.PB-.IB-S3==

1c.142,1

^D-XBP=鼻,上商-〃=三又二^乂卜

J-JX飛，h叵

2

所以點D到平面PAB的距離為—

2。

ABC-A,B,C,

9、如圖,在三棱柱中，點P,G分別是AA,B]C]的中點，已知AA平面

AA1—耳G=344—4G.2

ABC,,

(1.)求異面直線AG與AB所成角的余弦值

(2)求證：AjG平面BCG0.

(3)求直線PG與平面BCGB1.所成角的正弦值

V7叵

【答案】(2)見解析

45

9

【解析】

Cl).；ABi二，旬ZG4.S是異面直線AG與T3所成的角.

./44=4C=2,G為3c的中點，二

在心”?44中，N4Gq=90"

J?

即異面直線4G三48斫成角的余炫信.I—.

4

,48C—A5.C,

（2）在三棱柱中.，

AA,平面ABC,AG平面ABC,/.AAAG，,BBAG,

又1-iriri,...蛆平面BCCBi

（3）解：取BC的中點H,連接AH,HG;取HG的中點O,連接OP.OC,.

POPAG,/.PO平面BCCiBi,

???PCQ是PC1與平面BCCR所成的角.

PCj-)2:+f-；--R=4G=￥

1V12)22

由已知得卜，，

sinZPC^----

PC,5

,,J

二直線PG與平面BCC1B1所.成角的正弦值為—.

5

10、如圖，在底面是正三角形的三棱錐P-AB計，PA=AB=2PB=PC5X2.

(1)求證：PAL平面ABG

(2)若點D在線段PC上，且直線BD與平面ABC所成角為一，求二面角D-AB-C的余弦值.

6

10

【答案】(1)見解析(2)國.

7

【解析】

證明：(1)...在層面是正三龜形的三棱錐P-ABC中，PA=M=2,PB=FC=2V2.

,-.PA:+AB;=PB:,PA：+AC：=PC；,

.,.PilAB,PA1M,

,.?ABnAC=A,J.PA_L平面ABC.

(2)以A為原點，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，

B(V3，1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),

設(shè)D(0,b,c),PD=XPC，OWAW1,貝!J(0,b,c-2)=(0,2X,-2人)，

D(0,2X,2-2A)，BD=(-V3，2X-1,2-2人)，

?.?直線BD與平面ABC所成角為三，平面ABC的法向量￡=(0,0,

1),

6

2-2-_________

...sin兀-I麗」I_43+(2入-1產(chǎn)+(2-2入)2,

6|BD|?|n|

解得八'■或'=2(舍),

2

D(0,1,1),AB=(k/3?1，°)，AD=(o，1，1)，

設(shè)平面ABD的法r向量ir=(x,y,z),

nr卷=^葉尸0

IP*AD=y+z=O

則U取x=i,得ir=(1,6,技

平面ABC的法向量p=(0,0,1),

設(shè)二面角D-AB-C的平面角為0,

則cos9=i^-pj_y3_v2i.

|mI-|pIV77

11

，二面角D-AB-C的余弦值為返L.

7

‘皿,A,…、.ABC-ABC^i.AB=Z.1.4C……AA=A,5=a，、=

11、如圖，在斜三棱柱iyiyiy中，11,ABAC-1，側(cè)面BiBCCi

與底面ABC所成的二面角為120°,E,F分別是棱BQ］、AA的中點

(1)求A〕A與底面ABC所成的角；

(2)證明AE〃平面B〔FC；

(3)求經(jīng)過A,A,B,C四點的球的體積.

【答案】

(1)60"(2)見解析(3)曳鼻於，

27

【解析】

(I)過星作AJd_平面ABC,垂足為H.

連接AH,并延長交BC于G,于是NAAH為A：A與底面ABC所成的角.

?.,ZALAB=ZA；AC,：.AG為NBAC的平分線.

XVAB=AC,.,.AG1BC,且G為BC的中點.

因此，由三垂線定理A：Aj_BC.

且EG〃BtB,.'.EG±BC.

于是NAGE為二面角A-BC-E的平面由，即NAGE.

由于四邊形AiAGE為平行四邊形，得NAiAG=60.

(H)證明：設(shè)EG與BQ的交點為P,則點P為EG的中點.連接PF.

在平行四邊形AGEA中，因F為AA的中點，故AE//FP.

而FP?#面BiFC,A,E?平面BiFG所以AE^平面B,FC.

12

CIII)連接A：C.在和￡LA：AB中，由于AC=AB,ZA：AB=ZA：AC,A：A=A：A,

貝I」AA：AWAA：AB,故AC=&B.由已知得A：A=&B=A：C=a.

又?「MILL平面ABC,/.H為AABC的外心.

設(shè)所求球的球心為0,則o€AE,目球心0與A.A中點的連線0F1A.A.

ZBAD=NBCD=9Q0

12、如圖，在四面體ABCD中，BABC-

(1)證明：BDAC；

二ABD=60°

(2)若，BA2，四面體ABCD的體積為2,求二面角BACD的余弦值.

(2)延

【答案】(1)見解析

35

【解析】

(1)如圖，作RtAABD斜邊BD上的高AE,連結(jié)CE.

13